分式知识点及例题知识讲解

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。

考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。

考点4 分式方程的特殊解问题【例7】若关于x 的方程2222=-++-xm x x 的解为正数，求m 的取值范围？【例8】已知关于x 的分式方程21a x ++=1的解是非正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a≤-1B ．a≤-1且a≠-2C ．a≤1且a≠-2D ．a≤1【例9】如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是3-和xx--21，且点A ，B 到原点的距离相等，求x 的值.【课堂练习】 1、分式方程0131-x 2=+-x 的解为（ ）[来源Com] A ．x=3 B ．x=﹣5 C ．x=5 D ．无解2、关于x 的分式方程=1的解为正数，则字母a 的取值范围为（ ）A. a≥﹣1B. a ＞﹣1C. a≤﹣1D. a ＜﹣1 3、若分式方程)2)(1(11+-=--x x m x x 有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和-2 D 、3 4、关于x 的分式方程1mx +=-1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞-1 B ．m ＞-1且m≠0 C ．m≥-1D ．m≥-1且m≠05、方程201x xx +=+的根是 。

6、分式方程2111x x x +--=3的解是 。

-3xx --21 B ．A ．7、若关于x 的方程15102x mx x-=--无解，则m= 。

8、已知关于x 的分式方程2122=--x a x 的解为非负数，求a 得取值范围。

9、的值求有增根若分式方程m x x m x x ,)2)(1(11+-=--【课后作业】1、解分式方程x x －2＝2＋3x －2，去分母后的结果是( )A ．x ＝2＋3B ．x ＝2(x －2)＋3C ．x(x －2)＝2＋3(x －2)D ．x ＝3(x －2)＋2 2、若分式的值为0，则x 的值是（ ）A. x=3B. x=0C. x=﹣3D. x=﹣43、若3x 与61x -互为相反数，则x 的值为（ ） A.13 B.－13C.1D.－1 4、若方程32x x --=2mx-无解，则m=——————．5、已知x ＝2y ＋33y －2，用x 的代数式表示y ，则y ＝____．6、解方程：（1）x x 332=-； （2）11322x x x -=--- （3）2240x-11x -=-。

分式的知识点及典型例题分析1、分式的定义：例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2—a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、ma 1+中分式的个数为( ) （A ） 2 （B ） 3 (C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .⑴275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +。

(2）下列式子,哪些是分式？5a -； 234x +；3y y ; 78x π+;2x xy x y +-；145b-+。

2、分式有，无意义,总有意义:(1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义； 例2:分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义. 例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ,y 满足关系 时，分式x yx y-+无意义; 例6:无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）A ．122+x x B 。

12+x x C 。

133+x x D 。

25xx - 例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2<x例8：要是分式)3)(1(2-+-x x x 没有意义，则x 的值为（ ）A. 2 B 。

—1或—3 C 。

-1 D 。

3同步练习题：3、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使,看看是否使分母=0了,如果使分母=0了，那么要舍去.例1：当x 时,分式121+-a a的值为0 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0例3：如果分式22+-a a 的值为为零，则a 的值为( ) A. 2± B 。

1、分式的加减：例1：化简1x +12x +13x等于（ ） A ．12x B ．32x C ．116x D ．56x例2：x x x x x x 13632+-+-- 例7：2212a a a ++-－224a a --例3：计算11--+a a a 的结果是（ ） A 11-a B 11--a C 112---a a a D 1-a 例4：请先化简：21224x x x ---，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值.例5：已知：0342=-+x x 求442122++--+x x x x x 的值。

2、分式的混合运算：例1：4421642++-÷-x x x x 例2：34121311222+++-∙-+-+x x x x x x x例3：222)2222(x x x x x x x -∙-+-+- 例4：1342+∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x3、分式求值问题：例1：已知x 为整数，且23x ++23x -+22189x x +-为整数，求所有符合条件的x 值的和.例2：已知x ＝2，y ＝12，求222424()()x y x y ⎡⎤-⎢⎥+-⎣⎦÷11x y x y ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭的值.例3：已知实数x 满足4x 2-4x+l=O ，则代数式2x+x21的值为________．例5：若13x x += 求1242++x x x 的值是（ ）． A ．81 B ．101 C ．21 D ．41 例6：已知113x y -=，求代数式21422x xy y x xy y----的值例7：先化简，再对a 取一个合适的数，代入求值221369324a a a a a a a +--+-÷-+-．4、化为一元一次的分式方程：（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

分式的相关知识点总结一、分式的定义和性质1. 分式的定义分式是指两个整数或者两个代数式的比值的表示形式.一般为 a/b 的形式，其中 a 和 b 都是整数，b 不等于 0。

2. 分式的性质(1) 分式的分子和分母互质：如果分数 a/b 已经约分为最简分数，那么 a 和 b 一定是互质的，即它们的最大公因数是 1。

(2) 分母为 1 的分数：如果分数的分母为 1，那就是一个整数，可以简单地把它看作一个整数。

(3) 分式的相等：分数 a/b 和 c/d 相等，当且仅当 ad = bc。

两个分式相等时，它们表示的比值是相等的。

二、分式的运算1. 分式的加法和减法(1) 加法和减法的分母变换：对于不同分母的分数，需要将它们的分母变为相同的数，然后再进行加法或减法运算。

(2) 加法和减法的运算规则：对于相同的分母，直接将分子相加或相减，分母保持不变。

2. 分式的乘法和除法(1) 乘法法则：两个分式相乘时，分子与分子相乘，分母与分母相乘，即 (a/b) * (c/d) = (a*c)/(b*d)。

(2) 除法法则：两个分式相除时，分子与分母相乘，分母与分子相乘，即 (a/b) / (c/d) = (a*d)/(b*c)。

三、分式的化简1. 分式的约分分式约分是指将分子与分母的公因数约掉，使其成为最简分式.一般采用求最大公因数的方法进行约分。

2. 分式的通分不同分母的分数，通分是指将它们的分母都变为相同的数，通常采用最小公倍数的方法进行通分。

3. 分式的化简原则(1) 分式中的公因式可以约掉；(2) 同等分母的分式相加或相减时，只需对各分子分别进行加减。

四、分式的应用1. 代数方程中的应用在解代数方程时，常常会遇到分式方程，需要对其进行分式的加减乘除，并化简以便求解。

2. 几何问题中的应用在几何中，常常会涉及到对分式的加减乘除和化简操作，特别是在比例、相似三角形、面积等方面的计算中。

3. 物理问题中的应用在物理中，分式广泛应用于密度、速度、功率等问题的计算中，需要进行分式的加减乘除以及化简操作。

整式与分式例题和知识点总结一、整式整式是代数式的一部分，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。

1、单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如：3x 是单项式，系数是 3，次数是 1；－5 是单项式，系数是－5，次数是 0；＄x^2y$是单项式，系数是 1，次数是 3。

2、多项式几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

例如：＄2x 3$是多项式，有两项，分别是 2x 和－3，其中－3 是常数项，次数是 1；＄x^2 ＋ 2x ＋ 1$是多项式，有三项，分别是$x^2$、2x 和 1，次数是 2。

3、整式的加减整式加减的实质是合并同类项。

同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

例如：3x ＋ 5x ＝ 8x， 7$y^2$ 2$y^2$ ＝ 5$y^2$例题 1：化简$5a^2b 3ab^2 ＋ 2ab^2 4a^2b$解：原式＝（5 4）＄a^2b ＋（－3 ＋ 2)ab^2$＝＄a^2b ab^2$例题 2：已知多项式$A ＝ 3x^2 5x ＋ 1$，＄B ＝－2x^2 ＋ 3x 4$，求$A ＋ B$。

解：＄A ＋ B ＝（3x^2 5x ＋ 1) ＋（－2x^2 ＋ 3x 4)＄＝＄3x^2 5x ＋ 1 2x^2 ＋ 3x 4$＝＄（3 2)x^2 ＋（－5 ＋ 3)x ＋（1 4)＄＝＄x^2 2x 3$4、整式的乘法（1）单项式乘以单项式系数相乘，同底数幂相乘，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如：＄2x^2 ＼cdot 3x^3 ＝ 6x^5$（2）单项式乘以多项式用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

分 式【知识网络】【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ∙=,b c b d bda d a c ac÷=∙=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2一、考点、热点知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。

知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：C B C ∙∙=A B A ，CB C÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

三.分式考点一：分式的概念1. 定义：如果A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，0B ≠，那么式子A B叫做分式.例1.下列代数式是分式的是 （ ）.31x A x + 21.2x B +-C x.aD π2. 分式有意义的条件：分式中分母的值不能为零，即A B中，0B ≠使，分式有意义，否则分式没有意义. 例2.若分式15x -有意义，则实数x 的取值范围是 .3. 分式的值的讨论： （1） 若分式0A B =，则A=0，且0B ≠，即0{A B =≠时，0A B=.（2） 若分式0A B >，则A 、B 同号，即0{0A B >>或者0{0A B <<（3） 若分式0A B<，则A 、B 异号，即0{0A B ><或者0{0A B <>例2. 分式211x x -+的值为0，则 （ ）.1A x =- .1B x = .1C x =± .0D x =针对训练： 1.若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 .考点二.分式的基本性质1. 基本性质：分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用符号来表示为：A A M A MB B MB M÷==÷ (M 的值不为0)2. 分式的基本性质的应用（1） 分式的约分：把一个分式的分子与分母的公共因式约去，分式的值不变，叫做约分。

说明：约分时，分子与分母不是乘积的形式，不能约分.（2） 分式的通分：把n 个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式. 说明：①通分的依据是分式的基本性质, ②通分后的各分式的分母相同.③通分后的各式分式分别与原来的分式相等. ④通分的关键是确定最简公分母 ⑤分式通分的步骤：ⅰ.确定最简公分母；ⅱ.将各分式化成相同分母的分式.(3)分式的符号规则：分式的分子、分母及分式本身的符号中，改变其中任意俩个，分式的值不变.用式子表示为：,A A A A A A A BBB BBBB---==--=-==---(0B ≠).例3.（1）先化简，再求值：()2111211x x x ⎛⎫-÷+- ⎪+-⎝⎭，其中x =.（2）先化简，再求值：221211,24x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭其中 3.x =- 针对训练：1. 化简：221211.241x x x x x x --+÷++--2. 先化简，再求值：22211.221x x x x x x x ++--÷++-其中2x =-考点三：分式的加减 1. 分式的加减,.a b a b a c ad bc ad bcc c c bd bd bd bd±±±=±=±= 2. 分式的乘除,.a c ac a c a d adb d bd b d bc bc=÷== 说明：对于分式的乘除混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，如分子、分母是多项式，可先将分子、分母分解因式，再相乘. 3．分式的乘方nnna ab b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数） 例4.（1）化简：22221369x y x yx yx xy y+--÷--+（3） 先化简，再求值：22211(1),11m m m m m m -+-÷---+其中m =针对训练：1. 计算：2.b a ba b a b a ⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭2.先化简，再求值：()2211,1a a a ⎛⎫-+÷+ ⎪+⎝⎭其中 1.a =-课堂针对训练一、选择题 1.化简2111x x x x -⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果是 （ ） 1.A xB. 1x - 1.x C x- D.1x x -2．若分式31x x -有意义，则x 应满足 （ ）.0A x = B. 0x ≠ C. 1x = D. 1x ≠3．设22220,4,m n m n m n mn mn->>+==则（ ）A B. C. D.3二、填空题4.当x= 时，25x -.5.若ab=1，11,,1111a b x y abab=+=+++++则xy= .三、解答题 6.先化简，再求值：()222,a b a b a b-+-+其中2, 1.a b ==7.先化简，再求值：2242,6926a a a a a --÷+++其中 5.a =-。

数学的分式知识点总结一切可以写成一分支比值的数都是分数。

比值这个概念是比大小或者多少的概念，就是两个或者多个数值的对比。

而分数这种表示形式和方法在数学中广泛使用。

主要的一些概念就是分子，分母，等概念。

分子表示某个比值的一部分或者某一类量的数量，而分母表示整个比值的基数。

分式的定义分式是将一个整数或它们的代数式（称为分子）除以另一个整数或代数式（称为分母）得到的商。

分式的写法在分式中，分子和分母之间用横线（或表达式之间的竖线）隔开，横线上面写分子，横线下面写分母。

如 a/b （ a和b 是整数），a叫作分子，b叫做分母。

分式的简单形式如果一个分数的分子和分母没有除法，那么这个分数叫做简分数，这时这个分数是小于1的。

分式的除法分子的除以分母等于：被除数。

在数学中,我们可以用分式表示几个数之间的倍数关系,这种倍数关系可以表示比例,关系比值等问题。

分式的性质1. 分式的值不变分式，分式的分子和分母同时乘以一个非零数，其值不变。

2. 两个分数并列分式，分数其值不变。

3. 倒数的分式任何一个非零分式，它的倒数仍是一个分式，其分子与原分式的分母相同，分子与原分式的分母相同，分母与原分子相同。

分式的化简我们在学习的过程中, 会经常遇到需要化简分数, 化简分数作为一个基本的计算中。

化简分数, 是指将分数的分子和分母约分的过程。

分式的约分所谓约分，就是指将一个分数化为更小的分数，即将分子和分母的公因数除去。

分式的约分就是约去分式分子和分母的公因数的过程。

分式的通分分式的通分是指两个分式的分母变为相同数。

比如 a/b 和 c/d 两个分数通分（求最小公倍数或者一个相同的分母方式）后，当两个分母相同时候，分子的和就可以看做一个分数了，即（a+c）/ b = (ad + bc) / bd 。

分式的运算分数的加减法，分数的乘除求分数的各种运算理论和经验方法。

分式的加法两个非零分数的和等于：它们的和的分子（分子相加）再分母相同。

分式知识点及典型例题一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是：分式的分母不能为 0，因为分母为 0 时，分式无意义。

例如：1/x ，（x ＋ 1）／（x 2）都是分式，而 1/2 就不是分式，因为它的分母 2 不含字母。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。

即：对于分式 A/B，B ≠ 0 时，分式有意义。

例如：对于分式 1/（x 1) ，要使其有意义，则x 1 ≠ 0，即x ≠ 1。

三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时，要同时满足两个条件：1、分子为 0 ，即 A ＝ 0 。

2、分母不为 0 ，即B ≠ 0 。

例如：若分式（x 1）／（x ＋ 2）的值为 0，则 x 1 ＝ 0 且 x ＋2 ≠0 ，解得 x ＝ 1 。

四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。

即：A/B ＝（A×C）／（B×C）， A/B ＝（A÷C）／（B÷C）（C ≠ 0 ）例如：将分式 2x/3y 的分子分母同时乘以 2 ，得到 4x/6y ，分式的值不变。

五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

确定公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公因数。

2、字母：取相同字母的最低次幂。

例如：对分式（6xy）／（9x²y）进行约分，分子分母的系数 6 和 9 的最大公因数是 3 ，字母部分 x 的最低次幂是 1 ，y 的最低次幂是 1 ，所以公因式是 3xy ，约分后得到 2/（3x) 。

六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的方法：1、取各分母系数的最小公倍数。

2、凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。

人教版八年级下册分式全章 知识点和典型例习题 知识点回顾知识点一：分式形如 的式子叫做分式 。

知识点二：分式B A 的值1.当 时,分式有意义;2.当 时,分式无意义;3.当 时,分式的值为0;4.当 时,分式的值为1;5.当 时, 分式的值为正;6.当 时,分式的值为负; 知识点三：分式的基本性质用式子表示 知识点四：分式中的符号法则用式子表示 知识点五： 分式的约分 约去分子、分母的最大公因式，使分式变成最简分式或者整式 1.最大公因式= 。

2.当分式的分子和分母为多项式时， 知识点六：分式的通分把异分母分式变成同分母分式的过程。

1.最简公分母= 。

2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点七：分式的乘除法法则（用式子表示）乘法法则：用式子表示 除法法则： 用式子表示 知识点八：回顾因式分解总步骤：一提二套三分组1. 提公因式： 套 平方差公式： 2 . 公 完全平方和：式 完全平方差：知识点九：分式的加减法法则 加法法则：减法法则：知识点十：分式的混合运算先 再 最后再 。

知识点十一：整数指数幂七大公式1.同底数幂的乘法2.同底数幂的乘法3.幂的乘方4.积的乘方5.分式的乘方法则6.0指数幂7.负整数指数幂 知识点十二：科学计数法1.绝对值大于1数都可表示成2. 绝对值小于1数都可表示成 其中101<≤a 。

知识点十三：分式方程 1. 概念 2. 解法:①去分母:② ③知识点十四：分式方程解应用题的步骤 、 、 、 、【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ； (8)5.023+m ；【练习】1、在下列各式ma m x xb a x xa,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有 个2.找出下列有理式中是分式的代号(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xyy x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值 【例题】 1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义；3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式1x x x-- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义；④当x_____时,分式11x x +-有意义；⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是 ； 2.当x = 3时，分式bx a x +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 ；②若分式)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________； ③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零；4.当x __ 时，分式x -51的值为正.5.当x=_____时,分式232x x --的值为1.6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。

．知识点及相关练习（一） 分式定义及有关题型题型一：分式的定义【例1】下列代数式中：yx y x y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有：题型二：分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）xx 11- 题型三：分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：分式的值为正、负的条件：【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正；（2）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.（3）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：b a b a b a ba =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x y x 41313221+- （2）b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y x 11+. 【例4】已知：21=-x x ，求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241-的值.（三）分式的运算1． 确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2. 确定最大公因式的方法： ①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.（1）a b b b a a 22,--； （2）22,21,1222--+--x x x x x x x ； （3）a a -+21,2 题型二：约分【例2】约分：（1）322016xy yx -； （2）n m m n --22； （3）6222---+x x x x . 题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(a bc ab c c b a ÷-⋅-； （2）112---a a a ； （3）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x 题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分式)]121()144[(48122x x x x -÷-+-- 的值； （2）已知：432z y x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值； 题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x N x M x x，试求N M ,的值.（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅ （3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+--（4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x 题型二：化简求值题【例2】（1）已知51=+-x x ，求①22-+x x 的值；②求44-+x x 的值.（2）．已知0152=+-x x ，求①1-+x x ，②22-+x x 的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯； （2）3223)102()104(--⨯÷⨯. （五）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）x x 311=-； （2）0132=--xx ； （3）114112=---+x x x ； （4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x m x 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=a x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型三：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dc x b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c .题型四：列分式方程解应用题(教材P29-P31)（六）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xm x x -=--221无解，求m 的值。

分式知识点总结及例题一、分式的概念分式是指以分数的形式表示的数，通常由分子和分母两部分组成，分子表示分数的一部分，分母表示分数的总份额。

分式通常用来表示比例、部分和整体的关系。

二、分式的基本性质1. 分式的分子和分母可以分别约分。

2. 分式的值与分子和分母的乘除有关。

3. 分式的运算可以转化为通分和通分的计算问题。

三、分式的化简分式的化简是指将分式表示的数化为最简形式的操作，主要包括分子分母约分、常数和分式的转化等。

四、分式的加减法分式的加减法是指对分式的分子和分母进行通分后，进行加减运算的操作。

五、分式的乘法和除法分式的乘法是指对分式的分子和分母分别进行乘法运算后，化简为最简形式的操作。

分式的除法是指对分式进行倒数运算，然后化简为最简形式的操作。

六、分式的应用分式在实际问题中有着广泛的应用，如物体的比例尺、物体的比重、长方形的面积和周长等问题都可以用分式进行表示和计算。

七、例题1. 化简分式$\frac{6}{8}$解：分子和分母可以同时除以2，得到$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，所以$\frac{6}{8}$的最简形式为$\frac{3}{4}$。

2. 计算$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}$解：先将两个分式通分，得到$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}=\frac{9}{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}$，再化简得$\frac{19}{15}=1 \frac{4}{15}$。

3. 计算$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}$解：将两个分式分别相乘得到$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}=\frac{10}{18}$，再将$\frac{10}{18}$化简为最简形式，得$\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$。

4. 计算$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}$解：将两个分式进行倒数运算，得到$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}=\frac{4}{5} \times\frac{3}{2}=\frac{12}{10}=1 \frac{2}{10}=1 \frac{1}{5}$。

分式与分式方程【知识框架】【知识点&例题】知识点一：分式的基本概念一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子B A 叫做分式，为分子，为分母。

知识点二：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变。

字母表示：C B C••=A B A，C B C÷÷=A B A ，其中、、是整式，。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即B B AB B --=--=--=AAA注意：在应用分式的基本性质时，要注意这个限制条件和隐含条件B ≠0。

知识点三：分式的乘除法法则分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：db c a d c b a ••=•分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为cc ••=•=÷bd a d b a d c b a 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。

式子n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛巩固练习：1.若分式的值为0，则x 的值为 .2.当= 时，分式的值为零.3.计算x xy y xy y xy y x xy y22222222++-÷+-+4.先化简，再求值：其中.242x x --x 26(1)(3)x x x x ----2291333x x x x x ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭13x =5.先化简，再求值：，其中．6、先化简，再求值：，其中7、解下列方程：（1）（2）（3） （4）532224x x x x -⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭3x 22144(1)1a a a a a-+-÷--1a =-3522x x =-223444x x x x =--+22093x x x +=-+35012x x -=+9、在年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的倍，求这两种车的速度。

分式★学习目标1．知道分式的概念，会进行分式的约分与通分2．会分式的加减、乘除及分式的混合运算3、能根据分式的定义解决分式有无意义问题和分式的值为0问题 案例导学【题型一】分式的概念1、使分式4x 2x -有意义的x 的取值范围是（ ） A. x=2 B. x ≠2C. x=－2D. x ≠－2 【题型二】分式的约分与通分1、 计算：1x xx 2--2、已知两个分式4x 4A 2-=，x 212x 1B -++=，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ） A. 相等 B. 互为倒数 C. 互为相反数D. A 大于B 【题型三】分式的计算1、化简：b a b b a a 22--- 2、1x 2x 21x 1x 2x 22+-÷-+-3、)2a 42a a (a 2a a 222---⋅+ 4、化简1x x )1x 11(2-÷-+【题型四】分式有无意义问题1、使式子1|x |1-有意义的取值为（ ）A. x>0B. x ≠1C. x ≠－1D. 1x ±≠2、当x=_________时，分式3x 1-没有意义。

3、函数x 212y -=的自变量x 的取值范围是_________________。

【题型四】分式的值为0问题1、当m=_________时，分式2m 3m )3m )(1m (2+---的值为0。

2、若3x 2x 1|x |2-+-的值为0，则x 的值是（ ）A. ±1B. 1C. －1D. 不存在【题型五】条件求值问题1、若3x 1x =+，则1x x x 242++的值是（ ） A. 81B. 101C. 21D. 412、已知12x +=，求x 1)1x 2x x x x 1x (22÷+---+的值。

3、若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是( )A.a<3B.a>3C.a ≥3D.a ≤3【题型六】分式方程问题1、解方程：x 312212x 61--=-2、若关于x 的方程01x x1x 1m =----有增根，则m 的值是（ ）A. 3B. 2C. 1D. －13、已知x=12+，求xx x x x x x 112122÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+的值.4、当m=______时,方程233xmx x =---会产生增根.。

分式模块一、分式的概念和基本性质1、分式的概念：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式BA 叫做分式。

A 是分式的分子，B 是分式的分母。

2、注意点：分式的分母不能为0，如果分式中字母所取的值使分母的值为0，那么分式无意义。

3、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变4、分式的约分：把一个分式的分子和分母分别除以他们的公因式，叫做分式的约分。

5、最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。

6、分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫做分式的通分。

变形后的分母叫做这几个分式的公分母。

7、最简公分母。

几个分式中各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母例题：例1：当x 满足很忙条件时，分式x 11111++有意义例2：先化简：)1121(1222+---÷--x x x x x x ，再从33-<<x 的范围内选取一个合适的整数x 代入求值。

例3：已知0832=-+x x ，求代数式21144*212+--++--x x x x x x 的值模块二：分式的恒等变形分式恒等的概念：对于两个代数式而言，如果两个代数式里面的字母换成任意的数值，这两个代数式的值相等，就说这两个代数式恒等。

表示这两个代数式恒等的等式叫做恒等式。

恒等变形的概念：将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形，也叫恒等变换。

恒等变形的意义：将一个代数式从一种形式变成另一种形式，变形前和变形后的两个代数式是恒等的。

就是“形”变“值”不变。

例1：(1) 若b a 12=，则=-+ba b a 2____________ (2) 若b a b a -=-111，则_________=+ba ab (3) 已知211=+b a ，求ab a b b a ab 33++--的值例2：已知31=+x x ，求221x x +，441x x +，xx 1-的值例3：已知0142=++a a ，求：①a a 1+；②2241a a a ++；例4：先化简代数式xx x x x x x 2111422+-÷--++，并写出当x 为何整数时，该代数式的值也是整数模块三 分式方程的基本解法1、分式方程的概念：分式中含有未知数的方程叫做分式方程2、分式方程的解法（可化为一元一次方程）(1) 基本思想：把分式方程化为整式方程(2) 一般步骤：① 去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程② 解这个整式方程③ 验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根。

分式知识点及典型例题正文：分式，又称有理数，是数学中的一个重要概念，它由分子和分母组成，表示两个数的比值关系。

在分式的运算中，我们需要了解一些基本知识点，并且通过典型的例题来加深理解。

一、分式的定义和基本性质分式可以用“a/b”的形式表示，其中a为分子，b为分母。

分子和分母都可以是整数、小数或者其他分式。

分式也可以是正数、负数或者零。

分式的基本性质有：1. 当分子为0时，分式的值为0，即0/b=0。

2. 当分母为1时，分式的值等于分子本身，即a/1=a。

3. 当分子和分母互为相反数时，分式的值为-1，即（-a）/a=-1。

二、分式的运算1. 分式的加减运算分式的加减运算遵循相同分母则分子相加减的原则。

具体步骤如下：（1）将两个分式的分母化为相同的分母；（2）将两个分式的分子按照相同分母相加减；（3）将结果化简为最简形式。

例如：计算1/3 + 1/4 - 1/6。

解：首先将三个分式的分母化为12，得到4/12 + 3/12 - 2/12，再将分子相加减，得到5/12。

2. 分式的乘除运算分式的乘除运算遵循分子相乘除，分母相乘除的原则。

具体步骤如下：（1）将两个分式的分子相乘或相除；（2）将两个分式的分母相乘或相除；（3）将结果化简为最简形式。

例如：计算2/3 × 5/8 ÷ 4/5。

解：根据乘除法的原则，分子相乘得到10，分母相乘得到24，再将结果化简为最简形式，得到5/12。

三、分式的简化分式的简化是将分子和分母的公因式约去，使其达到最简形式。

具体步骤如下：（1）求分子和分母的最大公因数；（2）将分子和分母分别除以最大公因数。

例如：将12/18简化为最简分式。

解：求12和18的最大公因数为6，将分子和分母都除以6，得到最简分式2/3。

四、分式的应用举例1. 问题：小明爸爸买了一块布长3米，要均分给他和他妹妹，他分到几分之几的布？解：设小明分到的布的长度为x米，他妹妹分到的布的长度为y米，则由题意可得分式x/y=3/2。