研究性课题与实习作业 线性规划的实际应用教案

第十四课时●课 题研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用●教学目标（一）教学知识点线性规划的应用.（二）能力训练要求1.会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题.2.经过分析数学模型的解求得实际问题的最优解.（三）德育渗透目标1.增强学生的应用意识.2.培养学生的辩证唯物主义观点.●教学重点1.数学建模.2.求实际问题的最优解.●教学难点1.建立准确恰当的数学模型.2.求得实际问题的最优解.●教学方法指导法指导学生对一些可用线性规划的理论和方法解决的实际问题进行调查、分析，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］经过一段时间的学习，我们对线性规划有了初步的认识.今天，我们对其进行一下总结，看怎样将其应用于解决实际问题当中，为我们的生活所服务.Ⅱ.讲授新课［师］线性规划研究的是什么问题？［生］线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取得最大值或最小值问题. ［师］那么，同学们是否可对一般的线性规划问题的数学模型作出总结？［生］一般地，线性规划问题的数学模型如下：已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+++≤+++≤+++nm mn n n m m m m b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （以上“≤”也可以是“≥”或“=”）其中a ij （i =1,2,…,n ,j =1,2,…,m ),b i (i =1,2,…,n )都是常量，x j (j =1,2,…,m )是非负变量，求z =c 1x 1+c 2x 2+…+c m x m 的最大值或最小值，这里c j (j =1,2,…,m ）是常量.［师］前面我们讨论过的简单的线性规划都是几个变量？［生］两个变量.［师］解决两个变量的线性规划问题，我们一般用什么方法来求最优解？［生］图解法.［师］涉及多个变量的线性规划问题不能用图解法求解，至于用什么求解，由于我们知识有限，暂时不予讨论.［师］现在我们所学的线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，前面一节，我们已讨论过，哪两类呢？［生］一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.［师］常见的具体问题有哪些呢？［生甲］1.物资调运问题.［师］能举例说明吗？［生甲］例如已知A 1、A 2两煤矿某年的产量，煤需经B 1、B 2两个车站运往外地，B 1、B 2两个车站的运输能力是有限的，且已知A 1、A 2两煤矿运往B 1、B 2两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制方案，能使总运费最少？［师］还有吗？［生乙］2.产品安排问题.例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需要的A 、B 、C 三种材料的数量、此厂每月能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种产品或乙种产品所能获得的利润都是已知的，这个工厂在每个月应如何安排这两种产品的生产，能使每月获得的总利润最大？［生丙］3.下料问题.例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？［师］下面我们就一实际问题，结合获得的一些数据，来讨论一下如何用我们所学的知识来解决一些实际问题？［例］甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别为300 t,750 t,A 、B 、C 三地需要该产品的数量分别为200 t 、450 t 、400 t ，甲地运往A 、B 、C 三地的费用分别为6 元/t ，3元/t ，5元/t ，乙地运往A 、B 、C 三地费用分别为5元/t ，9元/t ，6元/t ，问怎样调运，才能使总运算最值？分析：可先假设两生产地分配到各需求地的数量，把实际问题数学化.解：设甲地生产的某种产品运往A 、B 、C 三地数量分别为x t 、y t 、(300-x -y ) t ，则z 地生产的产品运往A 、B 、C 三地数分别为（200-x ） t 、（450-y ） t 、［400-(300-x -y )］t.据题意得：⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤≤≤400300045002000y x y x∵z =6x +3y +5（300-x -y ）+5(200-x )+9(450-y )+6(100+x +y )=2x -5y +7150∴y =5152+x (7150-z ), 做出可行域如图所示：由图可知：当(7150-x)最大时，z最小.即过点（0，300）时，z m in=5650元.即甲地产品全部运往B地，乙地产品运往A、B、C三地分别为200 t、150 t、400 t 时，总运费最省为5650元.评述：此题根据题意，观察提供数据之间大小，也可以估计如下：甲地生产某种产品数量为300 t比较少，比乙地总需求量还少，并且甲地运往B地的费用3元/t也比较低，可决策把甲地产品全部运往B地，其他地方让乙地产品运往.通过以上计算此估计是正确的.［师］以上数据是李华同学调查所获得的，我们已用我们所学的知识将这一问题加以分析，最后，我们还需写一实习报告，将这一问题加以总结.实习报告Ⅲ.课堂练习［生］（自练）有两种物资（石油和粮食），可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘船和每架飞机运输效果如下表：在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨粮食和150吨石油的任务？解：设每天安排轮船x 艘，飞机y 架，则⎩⎨⎧≥+≥+15001002502000150300y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧∈≥+≥++Z y x y x y x ,30254036目标函数为z =x +y可行域如图所示：由图可知： 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+32631330254036y x y x y x ∴⎩⎨⎧==74y x 答：每天安排轮船4艘、飞机7架，才能合理完成任务.Ⅳ.课时小结通过本节学习，同学们要会对实际调查的问题，从已获数据分析结果，选择最佳方案，从而节约人力、财力.Ⅴ.课后作业课本P 67习题7.5.●板书设计。

线性规划教案【教案名称】：线性规划教案【教学目标】：1. 了解线性规划的基本概念和应用领域；2. 掌握线性规划模型的建立方法；3. 理解线性规划的求解过程和最优解的意义；4. 能够运用线性规划方法解决实际问题。

【教学内容】：一、线性规划的基本概念1. 线性规划的定义及其应用领域；2. 线性规划模型的一般形式；3. 线性规划问题的基本假设。

二、线性规划模型的建立方法1. 确定决策变量和目标函数；2. 制定约束条件；3. 构建线性规划模型。

三、线性规划的求解过程1. 图解法求解线性规划问题；2. 单纯形法求解线性规划问题；3. 整数规划问题的求解方法。

四、线性规划的最优解及其意义1. 最优解的定义和判定条件；2. 最优解的意义和应用。

五、线性规划的实际应用1. 生产计划问题的线性规划建模；2. 运输问题的线性规划建模；3. 投资组合问题的线性规划建模。

【教学步骤】：一、导入环节1. 引入线性规划的应用背景，激发学生的学习兴趣；2. 提出线性规划的重要性和实际应用价值。

二、理论讲解1. 介绍线性规划的基本概念和应用领域；2. 详细解释线性规划模型的建立方法；3. 分步讲解线性规划的求解过程和最优解的意义；4. 给出线性规划实际应用的案例分析。

三、案例分析1. 选择一个生产计划问题的案例，引导学生进行线性规划建模；2. 使用图解法和单纯形法求解该案例，并比较两种方法的优缺点；3. 分析最优解的意义和对决策的指导作用。

四、练习与讨论1. 提供多个线性规划问题的练习题，让学生进行解答；2. 小组讨论解题思路和方法，分享解题经验；3. 教师进行答疑和点评，引导学生深入理解线性规划的应用。

五、拓展延伸1. 引导学生思考线性规划在其他领域的应用，如金融、物流等；2. 鼓励学生自主学习相关拓展知识，深化对线性规划的理解。

【教学手段】：1. 板书：重点概念、公式和解题步骤；2. 多媒体演示：案例分析、图解法和单纯形法的示意图；3. 小组讨论：解题思路和方法的交流与分享；4. 练习题：巩固学生的解题能力和应用能力。

课题：线性规划在实际生活中的应用教学目标：1．知识目标：会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题；2．能力目标：培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；3．情感目标：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神．教学重、难点：教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答．教学难点：1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；2．寻找整点最优解的方法．教具：多媒体、实物投影仪、印好的习题纸和直尺（习题纸附后）教学方法：讲练结合、分组讨论法教学过程：（一）讲解新课1．实例1讲解引入：李咏主持的《非常6＋1》是大家很喜欢的娱乐节目．（播放视频：李咏首支个人单曲MV《你是我们的大明星》）当娱乐大哥大李咏把《非常6＋1》里的金蛋砸得金花四溅时，央视总编却在思考着另外一个问题：例1：央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？应用题是同学们最头痛的题型之一，它的特点是文字多、数据多，条件复杂，要看懂题目意思，理清题目中的数据，可以采用什么方式？请学生回答．分析：将已知数据列成下表播放片甲播放片乙节目要求片集时间（min） 3.5 1≤16 广告时间（min）0.5 1 ≥3.5收视观众（万）60 20解：设电视台每周应播映片甲x 次，片乙y 次，总收视观众为z 万人．42160.5 3.5,x y x y x y N +≤⎧⎪+≥⎨⎪∈⎩6020z x y =+ 列约束条件时，要注意讲清x ∈N .y ∈N ，这是学生容易忽略的问题．列出了约束条件和目标函数后，应用问题转化为线性规划问题，用图解法求解．先请学生回忆图解法求线性规划问题的一般步骤，然后教师用多媒体课件展示画图、平移过程：①画出了可行域后用闪动的方式加以强调；②拖动直线l 平移，平移过程中可以显示z 值的大小变化．由图解法可得：当x =3， y =2时，z max =220．答：电视台每周应播映甲种片集3次，乙种片集2次才能使得收视观众最多．例题小结：简单线性规划应用问题的求解步骤：（教师示意学生观看板书，并给予适当的提示） 1． 将已知数据列成表格的形式，设出变量x ，y 和z ; 2． 找出约束条件和目标函数;3． 作出可行域，并结合图象求出最优解; 4． 按题意作答．2．实例2讲解 (课本例题修改，数据基本不变，改了题目的实际背景) 引入： “中国结”是中国特有的民间手工编结装饰品，“中国结”经过几千年的结艺演变，现已成为广大群众喜爱的具有中国特色的艺术品：（展示中国结的图片，及其它相关图片，配有背景音乐）例2：某校高二(1)班举行元旦文艺晚会，布置会场要制作“中国结”，班长购买了甲、乙两种颜色不同的彩绳，把它们截成A 、B 、C 三种规格．甲种彩绳每根8元，乙种彩绳每根6元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳的根数如下表所示：A 规格B 规格C 规格 甲种彩绳 2 1 1 乙种彩绳 1 2 3今需要A 、B 、C 三种规格的彩绳各15、18、27根，问各截这两种彩绳多少根，可得所需三种规格彩绳且花费最少？ 分析：将已知数据列成下表甲种彩绳 乙种彩绳 所需条数 A 规格 2 1 15 B 规格 1 2 18 C 规格 1 3 27 彩绳单价 8 6解：设需购买甲种彩绳x 根、乙种彩绳y 根，共花费z 元；215218327,x y x y x y x y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩ z=8x+6y在用图解法求解的过程中，学生发现：直线l 最先经过可行域内的点A(3.6,7.8)并不是最优解,学生马上想到最优解可能是（4，8），引导学生计算花费，花费为80元，有没有更优的选择?进一步激发学生兴趣：可能是（3，9）吗? 此时花费为78元，可能是（2，10）吗？此时花费为76元，可能是……，如何寻找最优解？满足题意的点是可行域内的整点，首先要找整点，引导学生采用打网格或利用坐标纸的方法；根据线性规划知识，平移直线l ,最先经过的整点坐标是整数最优解．由网格法可得：当x =3，y =9时，z min =78．答：班长应购买3根甲种彩绳、9根乙种彩绳，可使花费最少！例题小结：确定最优整数解的方法：1．若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下） 2．若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l 、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解；这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范． （结合例题1、例题2，可以归纳出以上两点）（二）课堂练习引入：2006年9月，历4载风雨，国家体育场“鸟巢”从图纸变成现实．××中学想组织学生去参观：（动画演示到国家体育场行进路线，展示“鸟巢”效果图，配上背景音乐）练习：××中学准备组织学生去国家体育场“鸟巢”参观．参观期间，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤集团有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人． 已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，能使总费用最少？学生练习分为三部分，引导学生动手，分解难点：（每个学生发一张习题纸和一把直尺，在习题纸上作答、画图） 1．练习填表理解题意（习题纸上课堂练习题下印有下表）小巴 大巴思考片刻，请学生回答．2．练习列约束条件和目标函数；①将学生分为三组，分组讨论，各组竞争，教师巡视，对学生列式中出现的错误及时纠正；②从三组中选出一位完成的好的同学的习题纸，用投影仪展示，教师讲解、点评，提醒学生注意解题的规范性；3．练习画图，寻找整数最优解；①习题纸上的课堂练习已画好网格和坐标系，学生在习题纸上练习画图，教师巡视，对学生画图中出现的错误及时纠正；②把最先找出整点最优解的同学的习题纸用投影仪展示，教师讲解、点评． 解：设每天派出小巴x 辆、大巴y 辆，总运费为z 元； 56300704,x y x y x y N+≥⎧⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪∈⎩ z=240x+180y由网格法可得：x=2，y=4时，z min =1200． 答：派4辆小巴、2辆大巴费用最少．（三）回顾与小结请同学们相互讨论交流：1．本节课你学习到了哪些知识？2．本节课渗透了些什么数学思想方法？（引导学生从知识和思想方法两个方面进行小结）知识：1．把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方法．建模主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，如例题1．（链接到例题1，进行具体实例回顾）2．求解整点最优解的解法：网格法．网格法主要依赖作图，要规范地作出精确图形．（链接到例题2，进行具体实例回顾）思想方法：数形结合思想、化归思想，用几何方法处理代数问题．（四）布置作业课本65页 习题7．4 第3、5题教学设计说明1．课时分析在组织社会化生产、经营管理活动中，我们经常会碰到最优决策的实际问题．而解决这类问题的现代管理科学以线性规划作为其重要的理论基础，为此，试验教材高二(上)编进了简单的线性规划知识．这不仅给传统的高中数学注入了新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的实践机会．本课时讲线性规划在实际生活中的应用．为了激发学生学习数学的兴趣，养成学数学、用数学的意识并进一步提高解决实际问题的能力．在教材例题的框架下，我本着贴近时代、贴近生活、贴近学生为原则．以学生的日常学习、生活为背景，设计了两道例题、一道练习题，让学生感受到数学来源于实践，服务于生活．使学生在掌握数学知识和方法的同时，享受学习数学带来的情感体验和成功的喜悦．2．重、难点解析本节的重点是把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答．难点是建立数学模型和整点最优解的寻找．建模是解决线性规划问题的极为重要的环节与技术．一个正确数学模型的建立要求建模者熟悉规划问题的生产和管理内容，明确目标要求和错综复杂的约束条件．这对初学者来说，有相当的难度．解决这个难点的关键是根据问题中的已知条件，各种数据，依据条件在表中列出，从而找出约束条件和目标函数，并从数学角度有条理地表述出来．线性规划中寻找整点最优解的问题，教材中提供了利用作图解决问题的方法，这种方法简单方便，学生容易掌握，体现了数形结合的数学思想。

高二数学研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用教案教学目标(1)了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等差不多概念;(2)了解线性规化问题的图解法;(3)培养学生搜集、分析和整理信息的能力，在活动中学会沟通与合作，培养探究研究的能力和所学知识解决实际问题的能力;(4)引发学生学习和使用数学知识的爱好，进展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.教学建议一、重点难点分析学以致用，培养学生用数学的意识是本节的重要目的。

学习线性规划的有关知识其最终目的确实是运用它们去解决一些生产、生活中问题，因而本节的教学重点是：线性规划在实际生活中的应用。

困难大多是如何把实际问题转化为数学问题(既数学建模)，因此把一些生产、生活中的实际问题转化为线性规划问题，确实是本节课的教学难点。

突破那个难点的关键就在于尽快熟悉生活，了解实际情形，并与所学知识紧密结合起来。

二、教法建议(l)建议可适当采纳电脑多媒体和投影仪等先进手段来辅助教学，以增加课堂容量，增强直观性，进而提高课堂效率.(2)课堂上能够设计几个实际让学生分组研讨解答，一方面是复习线性规划问题的一样解法，为总结线性规划问题的数学模型和常见类型作铺垫;另一方面，也为接下来到别处分组调研积存体会，让学生在讨论、探究过程中初步学会沟通与合作，共同完成活动任务.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情形及时传递给家长，要求小孩回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高专门快。

(3)确定研究课题，建议各小组以三个常见问题为主，或者依照本小组实际自拟课题.课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。

研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用
课时安排
1课时
从容说课
研究性课题主要是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和某他学科中出现的问题进行研究.它是以我们所学的数学知识为基础，密切结合生活和生产实际所开展的自主的、开放的、探究式的学习活动.它能让我们体验知识的形成过程、体验知识发展的方阔前景，通过与相近相关知识的比较、类比；通过直觉感受、猜测的进一步分析，不断主动地去积极探索思辨，初步学会查找资料，分析处理有关的信息，善于反思辨别、判断创新，培养科学精神，善于与会协作，互享成果，真正做自己的学习的主人.
本小节的实习作业是高中数学教科书中的第二个实习作业，它是我们力所能及的一种数学实践活动，它对于我们认识学习数学的意义，提高学习数学的兴趣，培养解决问题的能力都有好处，我们应认真完成.
线性规划主要应用于这样两类问题：
1．在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
2．给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
请同学们抽时间到附近的工厂、学样、企业、商店等作调查研究，了解线性规划在实际中的应用。

线性规划在实际生活中的应用说课稿线性规划在实际生活中的应用说课稿1、教材地位和作用“线性规划”这节课是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，是新教材改版之后增加的一个新内容、反映了《新大纲》对数学知识在实际应用方面的重视、在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益是线性规划研究的基本内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用、当然，中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容，也能体现数学的工具性、应用性，同时渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生解决实际问题提供了良好素材。

依据教材的上述地位和作用，我确定如下教学目标和重难点2、教学目标（1）知识目标：会用线性规划的知识解决一些较简单的实际问题；（2）能力目标：培养学生的观察能力、分析能力和作图能力，渗透化归和数形结合的数学思想，提高学生解决实际问题的能力、（3）情感目标：激发学生学习数学的兴趣，让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦，同时融入集体荣誉感教育、3、教学重、难点：教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即数学建模、建模是解决线性规划问题极为重要的环节、一个正确数学模型的建立要求建模者熟悉规划问题的具体实际内容、对初学者来说，面对文字长、数据多的应用题，要明确目标函数和约束条件有相当的难度、解决这个难点的关键是引导学生通过表格的形式把问题中的已知条件和各种数据进行整理分析，从而找出约束条件和目标函数，并从数学角度有条理地表述出来、教学难点：1、建立数学模型、把实际问题转化为线性规划问题；2、寻找整点最优解、线性规划中寻找整点最优解的问题，教材中提供了利用作图解决问题的方法，这种方法简单方便，学生容易掌握，体现了数形结合的数学思想、教师要引导学生规范地作出精确图形，并从图形中观察出整点最优解、另外，教师在本节课后还可介绍其它一些代数求解方法、教学中为了达到上述目标，突破上述重难点，我将采用如下方法与手段二、教学方法与手段1、教学方法：诱导启发、自主探究的互动式教学方法在教学过程中，教师适当的设置疑问，学生通过自己的努力解决问题，同时教学过程中，应着重学生的动手训练、2、教学工具：多媒体课件、实物投影仪、印发准备好的习题纸多媒体辅助教学的采用：①由于本课例题文字过长，作图比较复杂，所以采用多媒体辅助教学。

课 题：线性规划的实际应用教学目的：1.能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题2.增强学生的应用意识.培养学生理论联系实际的观点 教学重点：求得最优解教学难点：求最优解是整数解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析：线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小 教学过程：一、复习引入：1．二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解 3．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）;（2）设t =0，画出直线0l ;（3）观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解),(),,(1100y x B y x A ; （4）最后求得目标函数的最大值及最小值4.求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 二、讲解新课：判断可行区域的方法： 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）三、讲解范例例1 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?解：设甲煤矿向东车站运l 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z =x +1.5(200－x )+0.8y +1.6(300－y )(万元) 即z =780－0.5x －0.8y .x 、y 应满足：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤-+-≤+≥-≥-≥≥360)300(2002800300020000y x y x y x y x 作出上面的不等式组所表示的平面区域设直线x+y =280与y 轴的交点为M ，则M (0，280)把直线l ：0.5x +0.8y =0向上平移至经过平面区域上的点M 时，z 的值最小 ∵点M 的坐标为(0，280)，∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运280万吨向西车站运20万吨时，总运费最少例2 设实数x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧-≥+≤+≤.322,41x y y x （1）求点(x ,y )所在的平面区域；（2）设1->a ，在（1）所求的区域内，求函数ax y y x f -=),(的最值 导析：必须使学生明确，求点),(y x 所在的平面区域，关键是确定区域的边界线，可从去掉绝对值符号入手 解：（1）已知的不等式组等价于)2(.032,232,41)1(.032,322,41⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+≤+≤⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+≤+≤x x y y x x x y y x 或 解得点),(y x 所在的平面区域为所示的阴影部分（含边界）其中，4:;52:=+-=y x BC x y AB1:;12:=++-=y x DA x y CD（2）ax y y x f -=),(表示直线k ax y l =-:在y 轴上的截距，且直线l 与（1）中所求区域有公共点∵1->a ,∴当直线l 过顶点C 时，ax y y x f -=),(最大 ∵C 点的坐标为（-3，7），∴ax y y x f -=),(的最大值为a 37+如果-1＜a ≤2，那么当直线l 过顶点A （2，-1）时，ax y y x f -=),(最小，最小值为-1-2a .如果a ＞2，那么当直线l 过顶点B （3，1）时，ax y y x f -=),(最小，最小值为1-3a说明：由于直线l 的斜率为参数a ，所以在求截距k 的最值时，要注意对参数a 进行讨论，方法是直线l 动起来例3 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?分析：将已知数据列成下表：解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0025023002y x y x y x z =600x +900y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域 作直线l ：600x +900y =0，即直线l ：2x +3y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z =600x +900y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ,得M 的坐标为x =3350≈117，y =3200≈67 答：应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱67吨，能使利润总额达到最大例4 要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A 、B 、C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：今需A 、B C 三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少解：设需截甲种钢管x 根，乙种钢管y 根，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+001841631322y x y x y x y x 作出可行域(如图)：目标函数为z =x+y ,作出一组平行直线x+y=t 中(t 为参数)经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线4x+y =18和直线x +3y =16的交点A (1146,1138)，直线方程为x+y =1184.由于1138和1146都不是整数，所以可行域内的点(1146,1138)不是最优解 经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y =8,经过的整点是B (4，4)，它是最优解答：要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少方法是，截甲种钢管、乙种钢管各4根四、课堂练习： 图中阴影部分的点满足不等式组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00625y x y x y x 在这些点中，使目标函数y x k 86+=取得最大值的点的坐标是_____ 参考答案：(0，5)五、小结求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 六、课后作业：1.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t 需耗A 种矿石8t 、B 种矿石8t 、煤5t;生产乙种产品1t 需耗A 种矿石4t 、B 种矿石8t 、煤10t.每1t 甲种产品的利润是500元，每1t 乙种产品的利润是400元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过320t 、B 种矿石不超过400t 、煤不超过450t.甲、乙两种产品应各生产多少能使利润总额达到最大?2.某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A 、C 、D 、E 和最新发现的Z .甲种胶囊每粒含有维生素A 、C 、D 、E 、Z 分别是1mg 、1mg 、4mg 、4mg 、5mg ；乙种胶囊每粒含有维生素A 、C 、D 、E 、Z 分别是3mg 、2mg 、1mg 、3mg 、2mg.如果此人每天摄入维生素A 至多19mg ，维生素C 至多13mg ，维生素D 至多24mg ，维生素E 至少12mg ，那么他每天应服用两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量，并能得到最大量的维生素Z3.张明同学到某汽车运输队调查，得知此运输队有8辆载重量为6t 的A 型卡车与6辆载重量为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员.此车队承包了每天至少搬运720t 沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车16次，B 型卡车12次.每辆卡车每天往返的成本费为A 型车240元，B 型车378元.根据张明同学的调查写出实习报告，并回答每天派出A 型车与B 型车各多少辆运输队所花的成本最低?4.某厂生产A 与B 两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元.又知每生产1公斤A 产品需要电力2千瓦、煤4吨；而生产1公斤B 产品需要电力3鱭、煤2吨.但该厂的电力供应不得超过100鱭，煤最多只有120吨.问如何安排生产计划以取得最大产值?5.某钢厂两个炼钢炉同时各用一种方法炼钢.第一种炼法每炉用a 小时(包括清炉时间)；第二种炼法每炉用b 小时(包括清炉时间).假定这两种炼法，每炉出钢都是k 公斤，而炼1公斤钢的平均燃料费第一法为m 元，第二法为n 元.若要在c 小时内炼钢的公斤数不少于d ，问应怎样分配两种炼法的任务，才使燃料费用最少?(kac +kbc －dab ＞0，m ≠n ) 参考答案：1.甲产品30t 、乙产品20t2.5粒甲种胶囊，4粒乙种胶囊3.A 型车5辆，B 型车2辆4.A 产品20公斤、B 产品20公斤5.当m ＞n 时，第一种炼法应炼b kc bd -公斤，第二种炼法应炼bkc公斤；当m ＜n 时，第一种炼法应炼akc 公斤，第二种炼法应炼a kcad -七、板书设计（略） 八、课后记：。