高一数学数形结合思想

浅谈数形结合思想在高中数学学习中的体现数形结合思想是指数学与几何之间的相互关系，在数学学习中利用几何图形帮助解决数学问题。

数形结合思想的应用，在高中数学学习中具有广泛的应用，为学生创造了更加直观、生动的数学学习环境。

本文将就数形结合思想在高中数学学习中的体现进行浅谈。

一、数形结合在解决数学问题时的应用1.几何图形辅助确定函数性质在学习高中数学时，学生需要熟练掌握各种函数的性质，如奇偶性、周期性等。

对于一些比较复杂的函数，可以通过几何图形帮助学生更好地理解函数的性质。

例如，对于f(x)=sinx+cosx，考虑该函数的奇偶性。

我们可以通过画出函数的图像，利用“对称”这一几何概念，快速判断函数的性质，提高解题效率。

2.几何图形推导数学公式在解决数学问题时，有很多公式需要使用。

利用几何图形可以帮助学生更好地理解公式的含义，并进行相关推导。

例如，利用平面直角坐标系中的勾股定理，可以推导出三角形中的余弦定理和正弦定理，进一步推导出三角形周长和面积公式等。

3.几何图形帮助解决方程和不等式在解决一些方程和不等式时，通常需要求出图形上的交点或最大最小值。

通过画出几何图形，可以清晰地看到图像的特征，更好地理解问题，进而得出解答。

例如，考虑方程y=x^2和直线y=x+k的交点，将两个式子联立。

通过画图解决，可以发现直线穿过抛物线的一个交点，且平移得到的一组方程解都在一条直线上。

1.数列图像的绘制学习数列时，很多数列的性质可以通过画图形得出。

例如，可以画出等差数列或等比数列的前几项，从而形成图像，进一步分析数列的递推公式和通项公式等。

2.立体几何的可视化学习立体几何时，容易产生抽象和难以理解的感觉，但是通过画图，可以将几何图像可视化，使学生更好地理解和掌握知识。

例如，学习平面和立体图形的面积和体积计算时，可以通过绘制图形，让学生直观感受到计算公式的含义。

3.概率统计与图形在学习概率统计时，通常需要绘制各种统计图形，如直方图、饼图、折线图等。

数形结合思想方法在高中数学教学中的运用分析一、数形结合思想方法的基本原理数形结合思想方法是一种通过几何图形来形象化地表示和解决数学问题的方法。

数学中的抽象符号和几何图形之间的转化能够帮助学生通过观察和思考几何图形中的特征和规律来理解和解决数学问题，进而提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

二、数形结合思想方法在高中数学教学中的运用1.求解方程的图像化表示在高中数学教学中，求解方程是一个重要的内容。

通过数形结合思想方法，可以将方程表达的数学关系用几何图形表示出来，使学生更加直观地理解方程的解和方程之间的关系。

例如，在讲解一元二次方程时，可以以抛物线为例，通过观察抛物线的开口方向、顶点位置等特点，帮助学生更好地理解方程的根的个数和位置。

2.利用几何图形解决数学问题数形结合思想方法能够帮助学生从几何图形的角度来理解和解决数学问题。

例如，在讲解函数的单调性时，可以通过绘制函数的图像帮助学生观察和判断函数的单调性。

在讲解排列组合和概率时，可以通过绘制几何图形来帮助学生理解问题，并结合计数的方法求解。

3.数学定理的几何证明数形结合思想方法能够帮助学生理解和证明数学定理。

例如，在讲解相似三角形时，可以通过绘制三角形的图像来帮助学生观察和理解相似性质，并通过几何证明来推导相似定理。

这样可以使学生从几何角度来理解和记忆数学定理，提高学生的证明能力和数学思维能力。

三、数形结合思想方法运用的优势1.提高学生的学习兴趣2.培养学生的数学思维能力3.帮助学生解决实际问题数形结合思想方法可以帮助学生将抽象的数学概念应用到实际问题中，从而培养学生解决实际问题的能力。

通过将数学问题转化为几何图形来解决，学生能够更好地理解问题的本质和求解方法，并能够将数学知识应用到实际生活中。

四、总结数形结合思想方法在高中数学教学中的运用是一种有效的教学方法。

它能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高他们的数学思维能力和解决实际问题的能力。

第二讲 数形结合思想知识整合数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合，达到抽象思维和形象思维的和谐统一．通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．1.数形结合思想在方程的根或函数零点中的应用典题例析例1 若f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx－m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( D )A ．[0，12)B ．[12，＋∞)C ．[0，13)D ．(0，12][解析] 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]， ∵当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ，∴f (x ＋1)＝x ＋1．而由f (x )＋1＝1f (x ＋1)，可得f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1(x ∈(－1,0])．如图所示，作出函数f (x )在区间(－1,1]内的图象，而函数g (x )零点的个数即为函数f (x )与y ＝mx ＋m 图象交点的个数，显然函数y ＝mx ＋m 的图象为经过点P (－1,0)，斜率为m 的直线．如图所示，f (1)＝1，故B (1,1)．直线PB 的斜率k 1＝1－01－(－1)＝12，直线PO 的斜率为k 2＝0.由图可知，函数f (x )与y ＝mx ＋m 的图象有两个交点，则直线y ＝mx ＋m 的斜率k 2<m ≤k 1，即m ∈(0，12]．规律总结利用数形结合求方程解应注意两点1．讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．2．正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为__1__.[解析] 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1．又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1．2．(2019·辽宁模拟)f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数为( B ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7[解析] 令2sinπx －x ＋1＝0，则2sinπx ＝x －1，令h (x )＝2sinπx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数问题就转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sinπx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h (52)>g (52)，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数为5.故选B.2.数形结合化解不等式问题典题例析例2 (1)(2019·四川模拟)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] 方法一：不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <(12)x .在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝(12)x 的图象，如图，由题意，知在(0，＋∞)上，直线y ＝x －a 有一部分在曲线y ＝(12)x 的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1，故选D.方法二：不等式2x (x －a )<1可变形为a >x －(12)x .记g (x )＝x －(12)x (x >0)，易知g (x )为增函数，又g (0)＝－1，所以g (x )∈(－1，＋∞)．故a >－1．故选D.(2)已知关于x 的不等式x >ax ＋32的解集为{x |4<x <b }，则ab ＝ 92 .[解析] 设f (x )＝x ，g (x )＝ax ＋32(x ≥0)．因为x >ax ＋32的解集为{x |4<x <b }，所以两函数图象在4<x <b 上有f (x )>g (x )，如图所示．当x ＝4，x ＝b 时，由f (x )＝g (x )，可得⎩⎨⎧4＝4a ＋32，b ＝ab ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，b ＝36，所以ab ＝18×36＝92. 规律总结1．数形结合思想解决参数问题的思路(1)分析条件所给曲线．(2)画出图象．(3)根据图象求解． 2．常见的数与形的转化(1)集合的运算及韦恩图．(2)函数及其图象．(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象．(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线．1．(2019·太原模拟)不等式2x －x 2≤x ＋b 恒成立，则实数b 的取值范围是( C ) A ．(－∞，－2－1] B ．(－∞，2－1] C ．[2－1，＋∞)D ．[－2－1，2－1][解析] 设y ＝2x －x 2＝1－(x －1)2，整理得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，表示以A (1,0)为圆心，半径为1的上半圆；而y ＝x ＋b 表示斜率为1，在y 轴上的截距为b 的直线．如图所示，要使不等式恒成立，则直线y ＝x ＋b 在半圆的上方，即圆心到直线的距离不小于圆的半径，故|1＋b |2≥1，解得b ≥2－1或b ≤－2－1．而当b ≤－2－1时，直线y＝x ＋b 在半圆的下方，所以不满足条件．所以实数b 的取值范围是[2－1，＋∞)．故选C.2．对∀x ∈(0，13)，8x <log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是 13≤a <1 .[解析] 当0<x <13时，函数y ＝8x －1的图象如图中实线所示．∵对∀x ∈(0，13)，8x <log a x ＋1恒成立，∴当x ∈(0，13)时，y ＝log a x 的图象恒在y ＝8x －1的图象的上方(如图中虚线所示)．∵y ＝log a x 的图象与y ＝8x －1的图象交于点(13，1)时，a ＝13，∴13≤a <1．3.利用数形结合思想解决不等式、参数问题 典题例析例3 (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( B )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1[解析] 方法1：(解析法)建立坐标系如图所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )， ∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2[x 2＋(y －32)2－34]≥2×(－34)＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B. 方法2：(几何法)如图所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤(|P A →|＋|PD →|2)2＝(32)2＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝2(P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.(2)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵ 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为__2__.[解析] 如题图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)．由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，解得⎩⎨⎧x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)．又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.规律总结建坐标系可以实现平面向量问题的全面运算，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，化繁为简，轻松破解．1．(2019·福建模拟)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( A )A ．13B ．15C ．19D ．21[解析] 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (1t ，0)(t >0)，C (0，t )，P (1,4)，PB →·PC →＝(1t －1，－4)(－1，t －4)＝17－(4t ＋1t )≤17－2×2＝13.当且仅当t ＝12时，PB →·PC →最大为13，故选A ．2．(2019·西安高新模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC→＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝__12__.[解析] 方法一：因为AB →·AC →＝2AB →·AD →， 所以AB →·AC →－AB →·AD →＝AB →·AD →， 所以AB →·DC →＝AB →·AD →.因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，所以2|AB →|＝|AB →||AD →|cos π4，化简得|AD →|＝2 2.故AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝|AD →|2＋AD →·DC →＝(22)2＋22×2cos π4＝12.方法二：如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n,0)，其中m >0，n >0，则由AB →·AC →＝2AB →·AD →，得(n,0)·(m ＋2，m )＝2(n,0)·(m ，m )， 所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD →·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12.4.数形结合化解圆锥曲线问题典题例析例4 (1)(2019·武汉模拟)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( A )A ．(14，－1)B ．(14，1)C ．(1,2)D ．(1，－2)[解析] 点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2＝4x ，得x 0＝14，故点P 的坐标为(14，－1)，故选A ．(2)已知A (1,1)为椭圆x 29＋y 25＝1内一点，F 1为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一动点，求|PF 1|＋|P A |的最大值和最小值．[解析] 由x 29＋y 25＝1可知a ＝3，b ＝5，c ＝2，左焦点F 1(－2,0)，右焦点F 2(2,0)．由椭圆定义，知|PF 1|＝2a －|PF 2|＝6－|PF 2|， ∴|PF 1|＋|P A |＝6－|PF 2|＋|P A |＝6＋|P A |－|PF 2|.如图，由||P A |－|PF 2||≤|AF 2|＝(2－1)2＋(0－1)2＝2，知－2≤|P A |－|PF 2|≤ 2.当点P 在AF 2的延长线上的点P 2处时，取右“＝”， 当点P 在AF 2的反向延长线上的点P 1处时，取左“＝”， 即|P A |－|PF 2|的最大、最小值分别为2，－ 2. 于是|PF 1|＋|P A |的最大值是6＋2，最小值是6－ 2. 规律总结(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．1．(2019·南宁模拟)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( C )A ．55B ．655C ．855D ．455[解析]如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．此时|MN|＝2b2a＝855，又c＝a2－b2＝5－4＝1，所以此时△FMN的面积S＝12×2×855＝855.故选C.2．(2019·广西模拟)设P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，M，N分别是圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m －n|＝(C)A．4 B．5C．6 D．7[解析]由题意得，圆C1：(x＋4)2＋y2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r1＝2；圆C2：(x －4)2＋y2＝1的圆心为(4,0)，半径为r2＝1．设双曲线x2－y215＝1的左、右焦点分别为F1(－4,0)，F2(4,0)．如图所示，连接PF1，PF2，F1M，F2N，则|PF1|－|PF2|＝2.又|PM|max＝|PF1|＋r1，|PN|min＝|PF2|－r2，所以|PM|－|PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r1＋r2＝5.又|PM|min＝|PF1|－r1，|PN|max＝|PF2|＋r2，所以|PM|－|PN|的最小值n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－1，所以|m－n|＝6.故选C.。

高中四大数学思想方法高中四大数学思想方法数学（mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。

数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

下面是店铺整理的高中四大数学思想方法，希望对你有所帮助！一、数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。

应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。

运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线。

以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法。

以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。

二、分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决。

分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”。

应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏。

如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结。

数形结合思想在高中数学教学中的有效运用
数形结合思想是指通过数学运算和几何形状的结合，来解决问题和推导结论的思维方式。

它将抽象的数学概念与具象的几何图形相结合，帮助学生更好地理解和应用数学知识。

在高中数学教学中，数形结合思想的有效运用可以提高学生的学习兴趣，加深对数学概念
的理解，提升问题解决能力。

第一，数形结合思想可以帮助学生形成直观的数学感知。

数学在很大程度上是抽象的，许多概念和定理难以通过纯数学的形式直观地理解。

而通过将数学知识与几何图形相结合，可以将抽象的数学概念转化为具体的形象，使学生更易于理解和记忆。

在学习平面直角坐
标系时，通过绘制坐标轴和点，可以直观地展示坐标的含义和关系，使学生更好地理解平
面几何和代数之间的联系。

第二，数形结合思想可以提高学生的问题解决能力。

在数学学习中，有很多问题是需
要通过推理和推导来解决的。

通过将问题转化为几何形状，再运用数学知识进行分析，可
以更直观地看出问题的本质和解决思路。

在解决二次函数的最值问题时，可以通过绘制抛
物线和分析抛物线的形状，来确定最值点的位置和取值范围。

这种数形结合的思考方式，
有助于学生培养综合运用知识解决问题的能力。

数形结合思想在高中数学解题中的运用探究数形结合思想是指在解决数学问题时，将数学问题通过图形展示出来，从而更加直观地理解和解决问题的思想。

这种思想在高中数学中有着广泛的运用，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力。

本文将探讨数形结合思想在高中数学解题中的运用，分析其作用和方法，希望对广大学生有所帮助。

一、数形结合思想在解决实际问题中的作用1. 提高问题理解能力在高中数学中，有很多实际问题需要转化为数学模型进行计算。

但有些问题本身并不容易理解，因此就需要通过图形来展示这些实际问题，使得问题更加直观化。

通过数形结合，学生能够更好地理解问题，加深对问题本质的认识，从而更好地应用数学知识解决实际问题。

2. 培养抽象思维能力数学是一门抽象的学科，但通过数形结合，可以将抽象的概念通过图形呈现出来，使得学生更容易理解。

在解决实际问题时，通过图形的呈现，可以培养学生的抽象思维能力，帮助他们更好地理解和应用数学概念。

3. 增强解题方法的多样性数形结合思想能够增强解题方法的多样性。

有些问题可能通过代数方法难以解决，但通过数形结合可以找到新的解题思路。

这样一来，学生能够开拓解题思路，提高解题的效率和灵活性。

二、数形结合思想在不同数学领域的具体运用1. 几何问题的解题在解决几何问题时，数形结合思想是非常重要的。

通过绘制图形，例如画出几何图形、坐标系等，能够更清晰地解决问题。

对于平面几何题目，可以通过画图标注给定条件，然后根据图形的性质进行推导。

对于空间几何题目，可以通过绘制三维图形来直观地理解问题，更好地进行分析和解决。

2. 解方程组的问题在解决方程组的问题时，通过数形结合思想也可以得到很好的应用。

通过画图，将方程组转化为图形表示，可以更加清晰地观察方程组的解的情况，进而找到解的规律。

这样一来，学生能够更好地理解和掌握方程组的解题方法。

3. 研究函数图像在研究函数的图像时，数形结合思想也是非常重要的。

通过画出函数的图像，能够更好地观察函数的性质，比如函数的单调性、极值点、零点等。

高中数学·数形结合思想所谓数形结合的思想方法，其实质就是将形象的数学语言与直观的图形有机结合起来。

使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体抽象、表象的联系与转化，化难为易、化抽象为直观。

1．遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞． 首先，由代数式、方程、不等式构造函数时一要注意变量(包括自变量和因变量)的取值范围，如【1】. 【1】．解不等式x -3>x －1.分析：令x -3＝y ，则y 2＝－(x －3) (y ≥0), 它表示抛物线的上半支．令y ＝x －1表示一条直线．作出图象求解．解：作出抛物线y 2＝－(x －3) (y ≥0),以及直线y ＝x －1． 解方程组⎩⎨⎧--=-=)3(12x y x y 得x =2或x =－1（舍去）,由右图可知：当x ＜2时不等式x -3>x －1成立，所以原不等式的解集为{x | x <2}.点拨解疑：一般地，形如n mx c bx ax +>++2(亦可＜)等不等式皆可用数形结合求解，更一般地可作出图象的函数或方程都可试用此法．如－3＜x1＜2等． 其次，由于草图的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．比如，在同一坐标系画几个函数图像要注意函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”，见【2】【3】，【2】.判断命题：“当a > 1时，关于x 的方程x a a x log =无实数解。

”正确与否。

错解：在同一坐标系中，分别画出函数xa y = (a > 1)及 x y a log =(a > 1)的图像，如图2-1所示，可见它们没有公共点，所以方程确无实数解，故命题正确。

评析：实际上对不同的实数a ，xa y =及x y a log =的图像的延伸趋势不同，例如当a = 2时，原方程无实数解；而当a =2 时 ，x = 2 便是原方程的解。

数形结合思想在（必修一）第一章中的应用数形结合思想指的是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数解形”（借助数的精确性来阐明性的某种属性）的方式，把抽象的数学语言与直观的图形语言联系起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来分析，力求在代数与几何的交汇点处寻求解题思路，进而解决问题的一种数学思想.数形结合思想在第一章中的应用有：（1）数轴； （2）常见函数（一次函数、二次函数、反比例函数等）的图象； （3）韦恩图； （4） 方程的曲线（一次函数、二次函数结合等）；高考试题对数形结合思想的考查在第一章主要涉及以下几个方面：（1）集合及其运算问题； （2）数轴及直角坐标系的广泛应用问题； （3）函数图象的应用问题； （4） 数学定义及数学表达式的几何意义的应用问题.数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，每年的高考试题（特别是客观题）能够用此思想方法解决的题目均占相当大的比例，在平常的教学中，要引起高度的重视. 热点聚焦例1：已知集合{}|1,1A x x =<-≥或x ，{}|21,1B x a x a a =<≤+<，若A B B =，求实数a 的取值范围.分析：A B B =⇔B A ⊆，欲求参数a 的取值范围，需建立关于a 的不等式，由可得端点之间的不等关系，进而求a 的范围解析：1,21,a a a B <∴<+∴≠∅.在数轴上表示集合A,B ，如图所示.由B A ⊆知，11a +<-或21a ≥，即2a <-或12a ≥. 1a <，2a ∴<-或112a ≤<.故所求a 的取值范围是()1,2,12⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭. 例2： 已知{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A ={}4,7,8B =求A B ，A B ,U U C A C B ,U A C B ,U C A B .解析：画出Venn 图，如图所示，可得A B ={}4，A B ={}3,4,5,7,8，U U C A C B ={}1,2,6，U A C B ={}3,5，U C A B {}1,2,4,6,7,8=.（1） 用Venn 图可直观地求出有限集的交集； （2） 利用反演律不用分别求出集合A,B 的补集，从而简化集合的运算.例3 已知函数2()21(33)f x x x x =---≤≤ （1） 证明：()f x 是偶函数；（2） 画出这个函数的图象；（3） 指出函数()f x 的单调区间，并说明在各个单调区间上()f x 的单调性；（4） 求函数()f x 的值域. 解析：（1）证明函数定义域[]3,3-关于原点对称，且22()()2121()f x x x x x f x -=----=--=， ∴()f x 为偶函数.（2）解：当0x ≥时，22()21(1)2f x x x x =--=--；当0x <时，22()21(1)2f x x x x =+-=+-. {22(1)2,0.(1)2,0.()x x x x f x --≥+-<=根据分段函数的作图方法，可得函数图象如图所示.（3） 解：函数()f x 的单调区间为[)[)[)[]3,1,1,0,0,1,1,3.---()f x 在[)3,1--，[)0,1上为减函数；在.[)1,0-，[]1,3上为增函数.（4）解：()f x 图象在y 轴上的纵投影为[]2,2-，故函数的值域为[]2,2-.规律方法：（1）含绝对值符号的函数图象的画法：① 根据绝对值定义去掉绝对值符号，将原函数化为分段函数；②依次作每一段的图象.（2）注意事项：①若原函数具有奇偶性，可利用奇（偶）函数的对称性作图象；②通常令绝对值号内的式子等于0，以求得讨论的分界点.例4 求出关于x 的方程223x x a +-=的实根的个数. 解析：令2()23f x x x =+-，()g x a =.如图所示，()f x 的图象是将223y x x =+-的图象在x 轴及其上方的部分不变，x 轴下方的部分以x 轴为对称轴，对称地翻折倒上方.由图可知：当0a <时，两函数图象无交点，故原方程无实根；当0a =时，两函数图象有两个交点，原方程有2个实根；当04a <<时，两函数图象有4个交点，原方程有4个实根；当4a =时，两函数图象有3个交点，原方程有3个实根；当4a >时，两函数图象有2个交点，原方程有2个实根. 例5 设{}|2A x x a =-≤≤，{|23B y y x ==+且}x A ∈，{2|C z z x ==，}x A ∈，若C B ⊆，求实数a 的取值范围.标准解读：23y x =+在[]2,a -上是增函数，∴123y a -≤≤+，即{}|123B y y a =-≤≤+.作出2z x =的图象，该函数定义域右端点x a =有三种不同的位置情况如下：① 当20a -≤<时，24a z ≤≤即{}2|4C z a z =≤≤，要使C B ⊆，需且只需234a +≥，得12a ≥或20a -≤<矛盾. ② 当02a ≤≤时，04z ≤≤即{}|04C z z =≤≤，要使C B ⊆，必需且只需{23402a a +≥≤≤，解得122a ≤≤. ③ 当2a >时，20z a ≤≤，即{}2|0C z z a =≤≤，要使C B ⊆，必需且只需{2232a a a ≤+>，解得23a <≤，④ 当2a <-时，A =∅，此时B C ==∅，则C B ⊆成立.综上所述，a 的取值范围是()1,2,32⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦. 精心联想，大胆应用. “以形助数”、“以数解形”巧妙结合，使数形结合思想在我们的学习中运用的得心应手，解题能力更上一层楼.。