三角形四心向量形式的充要条件应用

三角形“四心”向量形式的结论及证明（附练习答案）三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下：一．知识点总结1）O是的重心;若O是的重心，则故;为的重心.2）O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3）O是的外心(或)若O是的外心则故4）O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成：O是内心的充要条件也可以是若O是的内心，则故;的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；二．范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP 平分，那么在中，AP平分，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2．H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D）A．外心B．内心C．重心D．垂心解析:由.即则所以P为的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。

平面向量的应用——三角形四心的性质一 知识点精讲三角形四“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222O A O B O C ⇔== . （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++= .证明： 证明： （3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.证明： （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. 证明：二 典例解析一、重心1. 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的（ ）． Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心2. 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足sin ||sin ||(CAC BAB ++=λ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的（ ）．Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心二、垂心3. O 是ABC △所在平面上一点，222222||||||||||||+=+=+，O 是ABC △___Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心4. 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos ||cos ||(CAC BAB ++=λ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的（ ）．Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心三、内心4.（2003江苏） 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的（ ）． Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心四、外心5. 已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的．Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心6. (2005湖南)．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ABcPBCS S ∆∆， λ2＝ABCPCAS S ∆∆， λ3＝ABCPAB S S ∆∆，定义),,()(321λλλ=p f ，若G 是△ABC 的重心，)61,31,21()(=Q f ，则（ ）A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合定理：设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，则有=++∆∆∆S S S PBC PAC PAB五 判断三角形的形状及求最值 7.在△ABC 中，已知向量210(==⋅+BC AC AB 满足与，则△ABC 为（ ）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8. 在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(+⋅的最小值为 .六 轨迹问题9．已知)0,1(),0,4(N M ，若动点(,)P x y 满足6||MN MP NP ⋅=，求动点P 的轨迹方程.三课堂检测：1若O 为ABC ∆的内心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆的形状为( ) A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形2.已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 及平面内一点P ，且PA PB PC AB ++=，则点P 与ABC ∆的位置关系是( ) A.P 在ABC ∆内部 B.P 在ABC ∆外部 C.P 在AB 边上或其延长线上 D.P 在AC 边上3.平面直角坐标坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B （－1，3），若点C 满足OC=αOA +βOB，若中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为（ ）A 、（x －1）2+（y －2）2=5 B 、3x+2y －11=0 C 、2x －y=0 D 、x+2y －5=04.已积OB =（2，0），OC =（2，2），CA = （2cos α，2sin α），则OA 与OB 夹角的范围是（ ）A 、[0，π4]B 、[π4，5π12]C 、[π12，5π12] D、[5π12，π2] 5.平面向量a =（x ，y ），b =（x 2，y 2），c =（1，1），d =（2，2），若a ·c =b ·d =1，则这样的向量a有A 、1个B 、2个C 、多于2个D 、不存在6.设O 为ABC ∆所在平面上一定点, P 为平面上的动点,且满足()()0OP OA AB AC -⋅-=,则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的 心.7. 已知ABC ∆的重心为G ，点O 为ABC ∆所在平面上任意一点，求证：1()3OG OA OB OC =++ .8.,,a b c 为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，(cos ,sin )22C C m = ，(cos ,sin )22C Cn =- ，且m 与n 的夹角为3π，求C ；9.已知A 、B 、C 是直线l 上的不同的三点，O 是外一点，向量,,OA OB OC满足23(1)[ln(23)]02OA x OB x y OC -+∙-+-∙=,记()y f x =.求函数()y f x =的解析式；。

AB AC e 1e 2+ += ⇔ 三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下： 一． 知识点总结 1）O 是ABC 的重心OAOBOC 0 ;若 O 是ABC 的重心，则 S BO C S AOC S AOB1 S 3 ABC 故OA OBOC0 ;1PG = 3 (PA + PB + PC ) ⇔ G 为∆ABC 的重心.2）O 是ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA ; 若 O 是ABC (非直角三角形)的垂心，则S BOC：SAOC：SAOBtan A ：tan B ：tan C故tan AOAtan BOBtan COC 0 3）O 是ABC 的外心| OA || OB || OC | (或OA2OB2OC 2)若 O 是ABC 的外心 则SBOC：SAOC：SAOBsinBOC ：sin AOC ：sin AOB sin 2A : sin 2B : sin 2C故sin 2AOA sin 2BOB sin 2COC 04）O 是内心ABC 的充要条件是OA (AC ) OB ( A CBA | BA |OC (CA | CA |引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记 AB, BC, CA 的单位向量为e 1 , e 2 , e 3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件可以写成： OA (e 1 e 3 ) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3 ) 0O 是ABC 内心的充要条件也可以是aOA bOB cOC 0若 O 是ABC 的内心，则S BOC ：S AOC ：S AOB a ：b ：cA故 aOA bOB cOC 0或sin AOA sin BOB sin COC 0 ; | AB | PC | BC | PA | CA | PB 0 P ∆ABC 的内心; 向量(A B + A C )(≠ 0) 所在直线过∆ABC 的内心(是∠BAC 的角平分 | AB | | AC |C线所在直线)； B二． 范例P(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例 1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP = OA + ( AB + AC) ，∈[0,+∞)则 P 点的轨迹一定通过∆ABC 的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心HABBC2 2 2 2解析：因为AB 是向量 的单位向量设 与方向上的单位向量分别为 e 和 e ，又AB AB AC 1 2OP - OA = AP ，则原式可化为 AP = (e 1 + e 2 ) ，由菱形的基本性质知 AP 平分∠BAC ，那么在∆ABC中，AP 平分∠BAC ，则知选 B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起， 解这道题一点问题也没有。

三角形“四心”的向量性质及其应用东阳市中天高级中学数学组：蔡航英自从2003年高考(江苏卷)第5题向量考出彩后，在中学数学向量教学时，挖掘三角形“四心”向量性质及其应用，引起了广泛重视。

与三角形的“四心”(重心、垂心、外心、内心)有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性，又具有相当深度和难度的重要题型,备受各级各类考试命题者的青睐,频频出现在各级各类考试卷中，凸现出较好的区分和选拔功能，是考查学生数学能力和素养的极好素材，现将有关三角形“四心”向量性质及其应用罗列如下：一、三角形的重心的向量表示及应用命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r，所以 ()GA GB GC =-+u u u r u u u r u u u r．以GB u u u r，GC u u u r为邻边作平行四边形BGCD ，则有GD GB GC =+u u u r u u u r u u u r， 所以GD GA =-u u u r u u u r．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =u u u ru u u r，GE ED =u u u ru u u r．所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =u u u ra ，=u u u rOB b ，=u u u r OC c ，试用a b c ，，表示u u u rOG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a Θ GC GB GA OG c b a ++=-++∴而03=-++∴OG c b a3cb a OG ++=∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则AD BE CF ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：如图的所示，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=GC CF GBBE GA AD 232323Θ )(23GC GB GA CF BE AD ++-=++∴0=++GC GB GA Θ AD BE CF ∴++=u u u ru u u ru u u r0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，则1()4PO PA PB PC PD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．证明：1()2PO PA PC =+u u u r u u u r u u u r Q ，1()2PO PB PD =+u u u r u u u r u u u r，1()4PO PA PB PC PD ∴=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P图3图2与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=u u u ru u u ru u u ru u u r0．二、三角形的外心的向量表示及应用命题二：已知G 是ABC △==，则点M 为△ABC 的外心。

三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后,学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有 关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下： 一． 知识点总结 1）O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ;若 O 是 ABC 的重心,则S 1 BOCSSSAOCAOBBOCS SS3A BC故 OA OB OC 0 ;1()PG PA PB PC G 为 ABC 的重心.32）O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ;若 O 是 ABC (非直角三角形 )的垂心,则 SS Stan A tan B tan CBOC： ：： ：AOCAOB故tan AOA tan BOB tan COC 03）O 是 ABC 的外心 |OA | | OB | | OC | (或若 O 是 ABC 的外心 222OAOBOC )则SS S sin BOC sin AOC sin AOB sin2A : sin2B : sin2CBOC： ：： ：AO CAO B故sin2AOA sin 2BOB sin2COC 04）O 是内心 ABC 的充要条件是 OA (|A B AB | A C AC ) OB (| B A BA | | B C BC ) | OC ( | C A CA | | C B CB ) |引进单位向量,使条件变得更简洁。

如果记 AB, BC,CA 的单位向量为e ,则刚才 O是 1 ,e ,e23ABC 内心的充要条件可以写成： O A (e e )O B (e e )O C (ee )131223O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOA bOB cOC 0 若 O 是 ABC 的内心,则 S S S a b cBOC： ： ： ： AOCAO BA故 aO A bOB cO C0或sinAOA sinBOB sinCOC 0;e1| AB | PC |BC | PA |CA| P B 0 P ABC 的内心;e2ABAC向量 ()(0)| AB | | AC |线所在直线 ) ；所在直线过 ABC 的内心( 是 BAC 的角平分BC二． 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查P例1．O 是平面上的一定点, A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点PAB AC满足OP OA ( ) ,0, 则P点的轨迹一定通过ABC 的（）AB AC（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心AB解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为AB e1和e ,又2OP OA AP ,则原式可化为AP (e1 e2) ,由菱形的基本性质知AP 平分BAC ,那么在ABC 中,AP 平分BAC ,则知选 B.AB点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”,首先是什么？没见过！想想,一个非零AB向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉,又能迅速地将它们迁移到一起,解这道题一点问题也没有。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(OC |BC ||BA |(OB AC|AB |(OA =⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。

若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下： 一、 知识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABCAOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++; 1()3PG PA PB PC =++⇔G 为A B C ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OBOA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是OC OB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA C A PB P ++=⇔A B C ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过A B C ∆的内心(是B A C ∠的角平分线所在直线)； 二、 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为是向量AB 的单位向量设AB与A C方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。