四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟(一)数学(理)试题 Word版含答案 (1)

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.设集合M＝{−1, 0, 1}，N＝{x|x−1<0}，则M∩N＝（）A.{0}B.{1}C.{0, 1}D.{−1, 0}2.若sinα=13，则cos2α()A.−79B.−29C.29D.793.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，则a4＝（）A.4B.7C.8D.144.若a，b均为不等于1的正实数，则“a>b>1”是“log b2>log a2”的（）A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充分必要条件5.函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.2B.3C.4D.56.已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−32B.−20C.25D.427.设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−13B.−15C.−17D.−198.已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.−1B.0C.1D.29.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n −2，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝64，则1m +9n 的最小值为（ ） A.145 B.114C.83D.10310.设函数f(x)＝ae x −2sinx ，x ∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ） A.√2e π4B.√2e−π4C.√2e π2D.√2e−π211.定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x <2时，f(x)=2x −x 2：当x ≥2时，f(x)=3f(x −2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a 1，a 2，⋯，a n ，⋯，并记相应的极大值为b 1，b 2，⋯，b n ，⋯，则a 1b 1+a 2b 2+⋯+a 20b 20的值为()A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+112.已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 ，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2的取值范围是（ ） A.(0, 12) B.(0, 16) C.(9, 21) D.(15, 25)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上13.已知向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)，若(a →+2b →) // (2a →−b →)，则实数λ＝________．14.函数f(x)＝Asin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．15.在△ABC 中，AB ＝4，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)，且x +2y ＝1，则△ABC 的面积的最大值为________．16.已知恰有两条不同的直线与曲线y ＝e x−2和x 2＝2py 都相切，则实数p 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知asin A+C 2=bsinA ．(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．18.函数f(x)＝Asin 2(ωx +φ)(A >0, ω>0, 0<φ<π2)，且y ＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)． （1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．19.设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ；②证明∑(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．20.已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．21.已知函数f(x)＝alnx(a ≠0)，g(x)＝x −1x ． （1）当a ＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x ＝1是函数F(x)的极大值点，求a 的取值范围．22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3ty =−√3t（t 为参数），曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长．23.已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围．24.设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围．2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.设集合M ＝{−1, 0, 1}，N ＝{x|x −1<0}，则M ∩N ＝（ ） A.{0} B.{1} C.{0, 1} D.{−1, 0}【解答】由题得N ＝{x|x <1}，所以M ∩N ＝{−1, 0}． 2.若sinα=13，则cos2α() A.−79 B.−29C.29D.79【解答】 ∵sinα=13，∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×(13)2=79．3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 7＝28，则a 4＝（ ） A.4 B.7 C.8 D.14【解答】因为数列{a n }是等差数列，S 7＝28=a 1+a 72×7=2a 42×7=7a 4，所以a 4＝4．4.若a ，b 均为不等于1的正实数，则“a >b >1”是“log b 2>log a 2”的（ ） A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分必要条件【解答】a ，b 均为不等于1的正实数，当若“a >b >1”时，由对数函数的性质可得：log 2a >log 2b >0， 可得log b 2>log a 2成立． 当若：“log b 2>log a 2”有①若a ，b 均大于1，由log b 2>log a 2，知log 2a >log 2b >0，必有a >b >1； ②若a ，b 均大于0小于1，依题意，0>log 2a >log 2b ，必有0<b <a <1； ③若log a 2<0<log b 2，则必有0<a <1<b ； 故：“log b 2>log a 2”不能推出a >b >1；综上所述由充要条件的定义知，a>b>1”是“log b2>log a2”的充分不必要条件．5.函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【解答】函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则：2T+3T4<2π，整理得：114⋅2πω<2π，解得：ω>114，6.已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−32 B.−20 C.25 D.42【解答】因为函数f(x)是奇函数，所以f(−x)＝−f(x)，所以a＝5．由题得f′(x)＝3x2+(b+4)，∴k＝f′(3)＝b+31，因为切线与直线y=16x+3垂直，所以b+31＝−6，所以b＝−37．所以a+b＝−32．7.设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−13B.−15C.−17D.−19【解答】先根据实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，画出可行域，A(0, 3)，B(2, 0)，C(0, −3)，D(−2, 0)，当直线z＝7x+3y−1过点D时，目标函数取得最小值，7x+3y−1最小是：−15，8.已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.−1B.0C.1D.2【解答】由函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，可得方程a−22−x＝2x−2+|x−2|有且只有1个解，方程a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，即直线y＝a与y＝2x−2+22−x+|x−2|的图象只有一个交点，设ℎ(x)＝2x−2+22−x+|x−2|，由ℎ(x)＝ℎ(4−x)，可得函数ℎ(x)关于直线x＝2对称，若a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，则a＝ℎ(2)＝2，9.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n−2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则1m +9n的最小值为（）A.145B.114C.83D.103【解答】S n＝2a n−2，可得a1＝S1＝2a1−2，即a1＝2，n≥2时，S n−1＝2a n−1−2，又S n＝2a n−2，相减可得a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1，即a n＝2a n−1，{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n＝2n．a m a n＝64，即2m⋅2n＝64，得m+n＝6，所以1m +9n=16(m+n)(1m+9n)=16(10+nm+9mn)≥16(10+2√9)=83，当且仅当nm =9mn时取等号，即为m=32，n=92．因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m +9n>83，验证可得，当m＝2，n＝4时，1m +9n取得最小值为114．10.设函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A.√2e π4 B.√2e−π4 C.√2eπ2 D.√2e−π2【解答】函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点等价于a=2sinxe x，x∈[0, π]有且仅有一个解，即直线y＝a与g(x)=2sinxe x，x∈[0, π]的图象只有一个交点，设g(x)=2sinxe，x∈[0, π]，则g′(x)=2√2cos(x+π4)e x，当0≤x<π4时，g′(x)>0，当π4<x≤π时，g′(x)<0，即g(x)在[0, π4)为增函数, 在(π4, π]为减函数，又g(0)＝0，g(π)＝0，g(π4)=√2e−π4，则可得实数a的值为√2e−π4，11.定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x<2时，f(x)=2x−x2：当x≥2时，f(x)=3f(x−2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，⋯，a n，⋯，并记相应的极大值为b1，b2，⋯，b n，⋯，则a1b1+a2b2+⋯+a20b20的值为()A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+1【解答】解：当0≤x<2时，f(x)=2x−x2=1−(x−1)2，可得f(x)的极大值点a1=1，b1=1，当2≤x<4，即有0≤x−2<2，可得f(x)=3f(x−2)=3[1−(x−3)2]，可得a2=3，b2=3，当4≤x<6，即有0≤x−4<2，可得f(x)=9f(x−4)=9[1−(x−5)2]，可得a3=5，b3=9，⋯即有a20=39，b3=319，则S20=a1b1+a2b2+⋯+a20b20=1×1+3×3+5×9+⋯+39×319，3S20=1×3+3×9+5×27+⋯+39×320，相减可得−2S20=1+2(3+9+27+⋯+319)−39×320=1+2×3(1−319)1−3−39×320，化简可得S20=1+19×320.故选A.12.已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 ，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2的取值范围是（ ） A.(0, 12) B.(0, 16) C.(9, 21) D.(15, 25)【解答】作出函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 的图象， 存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4， 且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)， 可得−log 2x 1＝log 2x 2，即有x 1x 2＝1，且x 3+x 4＝2×6＝12，即为x 4＝12−x 3，2<x 3<4， 则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2=(x 3−2)(x 4−2)＝(x 3−2)(10−x 3)＝−(x 3−6)2+36， 可得在(2, 4)递增， 即所求范围为(0, 12)．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上已知向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)，若(a →+2b →) // (2a →−b →)，则实数λ＝________． 【解答】向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)， 则a →+2b →=(0, 2λ−1)， 2a →−b →=(−5, −λ−1)， 又(a →+2b →) // (2a →−b →)，所以0×(−λ−1)−(−5)×(2λ−1)＝0， 解得实数λ=12．函数f(x)＝Asin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．【解答】根据函数的图象：A ＝1， 由于T4=5π12−π4=π6，整理得T =2π3，所以ω=2π2π3=3，当x =π4时，3⋅π4+φ＝kπ(k ∈Z)，解得φ＝kπ−3π4(k ∈Z)，由于|ϕ|<π2，当k ＝1时φ=π4． 所以f(x)＝sin(3x +π4)，所以为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移π12个单位即可．在△ABC 中，AB ＝4，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)，且x +2y ＝1，则△ABC 的面积的最大值为________． 【解答】取AC 的中点D ，因为AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)， 所以AO →=xAB →+2YAD →， 又因为x +2y ＝1， 所以B ，O ，D 三点共线， 因为O 是三角形的外接圆的圆心，所以BD⊥AC，设AD＝DC＝m，则BD=2所以S△ABC=12⋅2m⋅√16−m2=√m2(16−m2)≤√(m2+16−m22)2=8，当且仅当m＝2√2时取等号．已知恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，则实数p的取值范围是________．【解答】恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，可得y＝e x−2和x2＝2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=x 2e x−2，设f(x)=x2e x−2，f′(x)=x(2−x)e x−2，可得0<x<2时，f(x)递减；x>2或x<0时，f(x)递增，即有f(x)的极小值为f(0)＝0，极大值为f(2)＝4，则0<2p<4，可得0<p<2．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asin A+C2=bsinA．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【解答】解：(1)由题设及正弦定理得，sinAsin A+C2=sinBsinA,因为sinA≠0，所以sin A+C2=sinB,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘；(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=csinAsinC =sin(120∘−C)sinC=√32tanC+12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘，0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √3 2).函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)．（1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．【解答】函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)=A2−A2cos(2ωx+2φ)，由y＝f(x)的最大值为2，则A>0，且A2+A2=2，解得A＝2；又f(x)图象相邻两对称轴间的距离为2，且ω>0，所以12⋅2π2ω=2，解得ω=π4；所以f(x)＝1−cos(π2x+2φ)，又y＝f(x)过(1, 2)点，所以1−cos(π2+2φ)＝2，求得cos(π2+2φ)＝−1，所以sin2φ＝1，解得2φ＝2kπ+π2，k∈Z；所以φ=kπ+π4，k ∈Z ， 又0<φ<π2，所以φ=π4；由φ=π4，所以y ＝f(x)＝1−cos(π2x +π2)＝1+sin π2x ； 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+1+0+1＝4， 又y ＝f(x)的周期为4，且2019÷4＝504...3， 所以f(1)+f(2)+...+f(2019)＝504×4+3＝2019．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ；②证明∑(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．【解答】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2−q −2=0．∵q >0，可得q =2． 故a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d =4， 由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d =16， ∴b 1=d =1． 故b n =n ．所以数列{a n }的通项公式为a n =2n−1，数列{b n }的通项公式为b n =n ． （2）①解：由(1)，有S n =1−2n 1−2=2n −1，故T n =∑(n k=12k −1)=∑2k n k=1−n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2．②证明：因为(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1， 所以∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：(1)定义域为(0, +∞)，f′(x)=1−lnxx2，令f′(x)=1−lnxx2=0，得x=e．f(x)的单调递增区间为(0, e)，单调递减区间为(e, +∞)．f(x)的极大值为f(e)=lnee =1e，无极小值．(2)∵x>0，lnxx≤kx，∴k≥lnxx2，令ℎ(x)=lnxx2，又ℎ′(x)=1−2lnxx3，令ℎ′(x)=0，解得x=√e，ℎ(x)的单调递增区间为(0,√e)，单调递减区间为(√e,+∞)．当x=√e时函数ℎ(x)有最大值，且最大值为12e，所以k≥12e．已知函数f(x)＝alnx(a≠0)，g(x)＝x−1x．（1）当a＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x＝1是函数F(x)的极大值点，求a的取值范围．【解答】a＝2时，设G(x)＝2xlnx−x2+1，G(1)＝0．则x>0，G′(x)＝2(1+lnx−x)，令u(x)＝1+lnx−x，u′(x)=1x −1=−(x−1)x，可得x＝1时，函数u(x)取得极大值，∴u(x)≤u(1)＝0．∴G′(x)＝2(1+lnx−x)≤0，∴G(x)是(0, +∞)上的减函数，∴0<x<1，G(x)<0，即2xlnx<x2−1，∴2lnx<x−1x．x＝1时，可得2lnx＝x−1x．x>1时，2lnx>x−1x．函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2=[aln√x]2−(√x−√x )2=14a2ln2x−x−1x+2．F′(x)=12a2lnxx−1+1x．∵1是函数F(x)的极大值点，∴x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x<0.0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2>0．①x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2<0．化为：12a2<x2−1xlnx，令ℎ(x)=x 2−1xlnx，x>1．ℎ′(x)=x2lnx+lnx−x2+1(xlnx)2，令u(x)＝x2lnx+lnx−x2+1，u′(x)＝2xlnx−x+1x=v(x)，v′(x)＝2lnx+1−1x2>0．∴u′(x)>v(1)＝0．∴u(x)>u(1)＝0．∴ℎ′(x)>0．∴ℎ(x)在x∈(1, +∞)上单调递增．∴x→1时，x 2−1xlnx →2xlnx+1=2，∴12a2≤2，可得a2≤4．②0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2≥0．同理可得：a2≤4综上可得：a2≤4，解得−2≤a≤2．∴a的取值范围是[−2, 2]．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3ty=−√3t（t为参数），曲线C1的参数方程为{x=2+2cosθy=2sinθ（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ= 2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长． 【解答】（1）直线l 的参数方程为{x =3ty =−√3t （t 为参数），转换为直角坐标方程为：yx =−√33， 所以直线的倾斜角为5π6． 所以：θ=5π6，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2＝4． 转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ， 转换为直角坐标的方程为：x 2+y 2=2√3x −2y ， 整理得：x 2+y 2−2√3x +2y =0， 线l 交曲线C 1于O ，A 两点， 则：{θ=5π6ρ=4cosθ，解得：A(−2√3, 5π6)， 直线θ=5π6和曲线C 2于O ，B 两点 则：{θ=5π6ρ=2√3cosθ−2sinθ，解得：B(−4, 5π6)，所以：|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4−2√3．已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围． 【解答】解：(1)当a =0时，f(x)<1化为|2x −1|−|x|−1<0． 当x ≤0时，不等式化为x >0，无解；当0<x ≤12时，不等式化为x >0， 解得0<x ≤12；当x >12时，不等式化为x <2， 解得12<x <2；综上，f(x)<1的解集为{x|0<x <2}． (2)由题设可得f(x)={ −x +1−a ，x <a,−3x +1+a ，a ≤x ≤12,x −1+a ，x >12,所以f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为, (a+13, 0)，(1−a, 0)，(12，a −12)，该三角形的面积为12×[(1−a)−(a+13)]×|a −12|=(1−2a)26．由题设(1−2a)26>32，且a <0，解得a <−1．所以a 的取值范围是(−∞, −1)．设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围． 【解答】函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，当x ≤−3时，f(x)＝(3−x)−(x +1)＝−2−2x ，不等式f(x)≤6化为−2−2x ≤6，解得x ≥−4，此时，−4≤x ≤−3； 当−3<x <1时，f(x)＝3−x +x +1＝4<6，恒成立；当x ≥1时，f(x)＝x −3+x +1＝2x +2，不等式f(x)≤6化为2x +2≤6，解得x ≤2．综上所述，不等式f(x)≤6的解集为[−4, 2]，即M ＝[−4, 2]；当−4≤x ≤−3时，f(x)＝−2x −2，不等式f(x)≥a|x −1|化为−2x −2≥−a(x −1)， 即a ≤2x+2x−1，∴a ≤2+4x−1，求得a ≤1； 当−3<x <1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥−a(x −1)，即a ≤4−(x−1)，求得0<a ≤1；当x ＝1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥0，恒成立，此时a >0；当1<x ≤2时，f(x)＝2x +2，不等式f(x)≥a|x −1|化为2x +2≥a(x −1)， 即a ≤2x+2x−1，∴a ≤2+4x−1，求得0<a ≤6． 综上所述，a 的取值范围是(0, 1]．。

2020年四川省绵阳市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =…，则(A B =I ) A ．{1，2} B ．{1-，0，1} C ．{1-，1，2} D ．{0}2．（5分）若a R ∈，则“2a >”是“||2a >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．（5分）已知复数z 满足(12)(z i i i -=g 是虚数），则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（5分）从编号0，1，2，⋯，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为( ) A ．72B ．74C ．76D ．785．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y = 6．（5分）在5(2)x a +（其中0)a ≠的展开式中，2x 的系数与3x 的系数相同，则a 的值为()A ．12±B ．12C ．2-D ．27．（5分）已知tan()34πα+=-，则sin 2(α= )A ．45B ．25 C ．45-D ．8．（5分）圆224x y +=被直线2y =+截得的劣弧所对的圆心角的大小为( ) A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒9．（5分）某木材加工厂需要加工一批球形滚珠．已知一块硬质木料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，现将该木料进行切削、打磨，加工成球形滚珠，则能得到的最大滚珠的半径最接近( )A ．3cmB ．2.5cmC ．5cmD ．4.5cm10．（5分）2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：购票人数 1~5051~100100以上 门票叫个13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为( ) A ．20B ．30C ．35D ．4011．（5分）如图，ABC ∆中，2BC =，且32AB BC =-u u u r u u u r g ，AD 是ABC ∆的外接圆直径，则(AD BC =u u u r u u u rg )A ．1B ．2C ．23D ．4312．（5分）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于任意1(x ，1)y M ∈，存在2(x ，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“Ω集合”，给出下列5个集合；①1{(,)|}M x y y x ==②1{(,)|}x x M x y y e-==③2{(,)|1}M x y y x ==-④2{(,)|22}M x y y x x ==-+⑤{(,)|cos sin }M x y y x x ==+．其中是“Ω集合”的所有序号是( ) A ．②③B ．①④⑤C ．②③⑤D ．①②④二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数2log ,1()(3),1,x x f x f x x >⎧=⎨+⎩…则(2)f -= ．14．（5分）已知0a >，0b >，且2a b ab +=，则当且仅当a = 时，ab 取得最小值 15．（5分）为准确把握市场规律，某公司对其所属商品售价进行市场调查和模型分析，发现该商品一年内每件的售价按月近似呈()sin()f x A x B ωϕ=++的模型波动(x 为月份），已知3月份每件售价达到最高90元，直到7月份每件售价变为最低50元．则根据模型可知在10月份每件售价约为 ．（结果保留整数）16．（5分）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别为线段AB 、1BD 的中点，则点A 到平面EFC 的距离为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 满足12a =，324a =，且{}2nna 是等差数列． （1）求n a ；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．18．（12分）3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求，某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品．已知该厂有两条不同生产线A 和B 生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到[90，100)的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到[80，90)的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60，80)的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．（1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记X 为来自B 机器生产的产品数量，写出X 的分布列，并求X 的数学期望；（2）请完成下面质量等级与生产线产品列联表，并判断能不能在误差不超过0.05的情况下，。

2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科数学试卷（5月）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第1题5分已知集合A={x|0<x⩽3,x∈N}，B={x|y=√x2−9}，则集合A∩(∁R B)=（）．A. {1,2}B. {1,2,3}C. {0,1,2}D. (0,1)2、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第2题5分⩾1，q:(x−a)2<1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）．已知p:1x−2A. (−∞,3]B. [2,3]C. (2,3]D. (2,3)3、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第3题5分2015~2016学年高一单元测试2020~2021学年江西南昌高一上学期期中（六校联考）第11题5分2015~2016学年浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高一上学期期末|的图象大致为（）．若当x∈R时，函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|⩽1，则函数y=log a|1xA.B.C.D.4、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第4题5分(1 x2+4x2+4)3展开式中的常数项为（）．A. 120B. 160C. 200D. 2405、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第5题5分用电脑每次可以自动生成一个属于区间(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（）．A. 127B. 23C. 827D. 496、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第6题5分下列说法正确的是（ ）．A. 命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x 0∈R ，e x 0>0”B. 命题“若a =−1，则函数f(x)=ax 2+2x −1只有一个零点”的逆命题为真命题C. “x 2+2x ⩾ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x 2+2x )min ⩾(ax)max 在x ∈[1,2]上恒成立”D. 命题“已知x ，y ∈R ，若x +y ≠3，则x ≠2或y ≠1”的逆否命题是真命题7、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第7题5分2016~2017学年天津和平区高三上学期期末理科第7题5分如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，AB =2，AD =1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM BC =NC DC =λ，其中λ∈[0,1]，则AM →⋅AN →的取值范围是（ ）．A. [0,3]B. [1,4]C. [2,5]D. [1,7]8、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第8题5分2017~2018学年山东临沂兰山区高二上学期期中文科第9题3分2017~2018学年广西桂林秀峰区桂林市桂林中学高二上学期期中理科第9题5分2017~2018学年内蒙古包头东河区包头市第一中学高三上学期期中文科第11题5分2017~2018学年广西桂林秀峰区桂林市桂林中学高二上学期期中文科第10题5分已知x ，y 满足约束条件{x −y ⩾0x +y ⩽2y ⩾0，若z =ax +y 的最大值为4，则a =（ ）．A. 3B. 2C. −2D. −39、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第9题5分2018~2019学年福建厦门思明区福建省厦门双十中学高一上学期期中第10题5分2017~2018学年福建泉州泉港区泉港区第一中学高一下学期期末第5题5分2019~2020学年北京海淀区北京市第五十七中学高二下学期期末第4题若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是()A. a+1b <b2a<log2(a+b)B. b2a <log2(a+b)<a+1bC. a+1b <log2(a+b)<b2aD. log2(a+b)<a+1b <b2a10、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第10题5分2019~2020学年9月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第12题已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n，T n，且a n>0，6S n=a n2+3a n，n∈N∗，b n=2a n(2a n−1)(2a n+1−1)，若∀n∈N∗，k>T n恒成立，则k的最小值是（）．A. 17B. 149C. 49D. 844111、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第11题5分2018~2019学年2月湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高三下学期月考文科第11题5分2017~2018学年6月河北唐山路北区河北省唐山市开滦第二中学高二下学期月考文科第11题5分2017~2018学年6月河北唐山路北区河北省唐山市开滦第二中学高二下学期月考理科第11题5分2016~2017学年3月湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高三下学期月考文科第10题5分四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，四棱锥P−ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2√2，则该球表面积为（）．A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π12、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第12题5分2020年江西高三一模理科第12题5分2020~2021学年黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨师范大学附属中学高二下学期期末理科第12题5分2019~2020学年12月广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三上学期月考文科第12题5分2019年广东深圳高三二模文科第12题5分若函数f(x)=x−√x−aln⁡x在区间(1,+∞)上存在零点，则实数a的取值范围为（）．)A. (0,12,e)B. (12C. (0,+∞),+∞)D. (12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第13题5分2018年北京高二高考模拟已知a是实数，i是虚数单位，若z=a2−1+(a+1)i是纯虚数，则a=．14、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第14题5分设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S25>0，S26<0，则数列{S n an}(n∈N+,n⩽25)中的最大项是第项．15、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第15题5分2018~2019学年10月江苏南京鼓楼区南京市宁海中学高一上学期月考第10题5分2017~2018学年福建泉州洛江区泉州市马甲中学高一上学期期中第16题5分已知函数f(x)满足对任意的x∈R，都有f(12+x)+f(12−x)=2成立，则f(18)+f(28)+⋯+f(78)=．16、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第16题5分2018年江西高三高考模拟已知F为抛物线y2=x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，而且OA→⋅OB→=6(O为坐标原点)，若△ABO与△AFO的面积分别为S1和S2，则S1+4S2最小值是．三、解答题（本大题共5小题）17、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第17题2017~2018学年四川德阳旌阳区德阳市香港马会第五中学高二上学期期中2017~2018学年四川德阳旌阳区德阳市香港马会第五中学高三上学期期中设f(x)=sin⁡xcos⁡x−cos2(x+π4)．(1) 求f(x)的单调区间．(2) 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，若f(A2)=0，a=1，求△ABC面积的最大值．18、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第18题2019年陕西西安莲湖区西安远东教育集团第一中学高三一模文科第20题12分2017~2018学年江西南昌东湖区南昌市第二中学高二上学期期末文科第19题12分2018~2019学年3月重庆合川区合川中学高三下学期周测C卷文科第18题12分在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3，且成绩分布在[40,100]内，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．(1) 求a的值，并计算所抽取样本的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．(2) 填写下面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文，理科有关”？附表及公式：K2=n(ad−bc)2，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第19题2021年陕西咸阳武功县高三一模理科第18题12分如图，已知长方形ABCD中，AB=2√2，AD=√2，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．(1) 求证：AD⊥BM．(2) 若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E−AM−D的余弦值为2√55．20、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第20题2018~2019学年4月贵州遵义汇川区遵义航天高级中学高三下学期月考文科第20题2018年四川遂宁高三一模理科第20题12分设椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左焦点为F，右顶点为A，过点F的直线交椭圆于E，H两点，若直线EH垂直于x轴时，有|EH|=32．(1) 求椭圆的方程．(2) 设直线l:x=−1上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为√62，求直线AP的方程．21、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第21题已知函数f(x)=e x+x2−x，g(x)=x2+ax+b，a，b∈R．(1) 当a=1时，求函数F(x)=f(x)−g(x)的单调区间．(2) 若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)切于点(1,c)，求a，b，c的值．(3) 若f(x)⩾g(x)恒成立，求a+b的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1小题）【选修4-4：参数方程与极坐标】22、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第22题2018~2019学年10月四川成都青羊区成都市树德中学高三上学期月考理科第22题10分2017~2018学年广西南宁兴宁区广西南宁市第三中学高二下学期期末理科第22题10分2019~2020学年四川成都青羊区成都市树德中学（宁夏街校区）高二下学期期中文科第18题12分2017~2018学年6月四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高二下学期月考理科第22题10分在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2√5cos⁡αy=2sin⁡α（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:ρ2+4ρcos⁡θ−2ρsin⁡θ+4=0．(1) 写出曲线C1，C2的普通方程．(2) 过曲线C1的左焦点且倾斜角为π4的直线l交曲线C2于A，B两点，求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第23题2019~2020学年7月陕西西安雁塔区唐南中学高三下学期月考文科（十七模）第23题10分2017~2018学年10月广东广州越秀区广州市铁一中学高三上学期月考理科第23题10分已知函数f(x)=|x−2|+|3x+a|．(1) 当a=1时，解不等式f(x)⩾5．(2) 若存在x0满足f(x0)+2|x0−2|<3，求实数a的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 B;4 、【答案】 B;5 、【答案】 C;6 、【答案】 D;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 D;13 、【答案】1;14 、【答案】13;15 、【答案】7;16 、【答案】6;17 、【答案】 (1) 见解析;(2) 见解析;18 、【答案】 (1) a=0.025，x=69．;(2)有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) E为BD上靠近D点的15处．;20 、【答案】 (1) x2+4y23=1．;(2) 3x−√6y−3=0或3x−√6y−3=0．;21 、【答案】 (1) F(x)在(ln⁡2,+∞)上单调递增，在(−∞,ln⁡2)上单调递减．;(2) a=−2，b=2，c=1．;(3) e−1．;22 、【答案】 (1) x220+y24=1，(x+2)2+(y−1)2=1．;(2) √2．;23 、【答案】 (1) (−∞,−1]∪[1,+∞)．;(2) (−9,−3)．;第11页，共11页。

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1. 设集合M＝{−1, 0, 1}，N＝{x|x−1<0}，则M∩N＝（）A.{1}B.{0}C.{−1, 0}D.{0, 1}2. 若sinα=13，则cos2α()A.−29B.−79C.79D.293. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，则a4＝（）A.7B.4C.14D.84. 若a，b均为不等于1的正实数，则“a>b>1”是“log b2>log a2”的（）A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件C.充分必要条件D.必要不充分条件5. 函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.3B.2C.5D.46. 已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−20B.−32C.42D.257. 设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−15B.−13C.−19D.−178. 已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.0B.−1C.2D.19. 已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n−2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则1m +9n的最小值为（）A.114B.145C.103D.8310. 设函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A.√2e−π4B.√2eπ4C.√2e−π2D.√2eπ211. 定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x<2时，f(x)=2x−x2：当x≥2时，f(x)=3f(x−2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，⋯，a n，⋯，并记相应的极大值为b1，b2，⋯，b n，⋯，则a1b1+a2b2+⋯+a20b20的值为()A.19×319+1B.19×320+1C.20×320+1D.20×319+112. 已知函数f(x)={|log2x|,0<x<2sin(π4x),2≤x≤10，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则(x3−2)(x4−2)x1x2的取值范围是（）A.(0, 16)B.(0, 12)C.(15, 25)D.(9, 21)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上已知向量a→=(−2,−1)，b→=(1,λ)，若(a→+2b→) // (2a→−b→)，则实数λ＝________．函数f(x)＝Asin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．在△ABC中，AB＝4，O为三角形的外接圆的圆心，若AO→=xAB→+yAC→(x, y∈R)，且x+2y＝1，则△ABC 的面积的最大值为________．已知恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，则实数p的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asin A+C2=bsinA．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)．（1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n(n∈N∗)，{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ； ②证明∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．已知函数f(x)＝alnx(a ≠0)，g(x)＝x −1x ．（1）当a ＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x ＝1是函数F(x)的极大值点，求a 的取值范围．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3t y =−√3t （t 为参数），曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长．已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围．设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】二倍角于三角术数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】等差数常的占n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】三角于数的深期两及其牛法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函数与方都的综合运着【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】函数与方都的综合运着【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上【答案】此题暂无答案【考点】平行向根（共线）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）【答案】此题暂无答案【考点】二倍角明正推公式诱三公定三角形射面积公放解都还形正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】y=A水体具（直能+φ）中参数的物理意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】等差明列政快比数坏的综合数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值利用都数资究不长式化成立问题利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利来恰切研费函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆的较坐标停程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】三角形射面积公放绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

绝密★启用前四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟（一）数学（理）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．在复平面内，已知点(1,1)A 所对应的复数为z ，则||z 为（ ） A ．1BC ．2D ．02．已知集合{1,2,3}A =，20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ） A ．{1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}3．已知0.50.70.70.7,0.5,log 0.5a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<4．执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（ ）…○…………装………………订…………○…………线…………○……※※请※※不※※要※※在※※※线※※内※※答※※题※※…○…………装………………订…………○…………线…………○……A ．4950B ．5151C ．0D ．50505．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3520a a +=，()4353S S S -=，则数列{}n a 公差为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．87．已知圆C 与直线20x y ++=和圆221212540x y x y ++++=都相切，则半径最小的圆C 的标准方程为（ ） A ．22222x y +++=()()B ．22(2)(2)2x y -+-=…○…………订___班级：___________…○…………订C ．22(4)(4)4x y -+-= D ．22(4)(4)4x y +++=8．从标号分别为1、2、3、4、5的5张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差1的概率为（ ） A ．45B ．25C ．425D ．8259．已知3cos cos()35παπα⎛⎫+=--⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．725-B ．725C ．5725D ．5725-10．如图，圆O 是直角ADC 的外接圆，过点C 作圆O 的切线，交AD 的延长线于点B ，M 为线段BC 上的动点，连接AM 交CD 于N ，6,:1:3BC AD DB ==，则AC AM AB AN ⋅+⋅=（ ）A ．24B ．C ．39D ．1811．已知A ，B ，C 为抛物线24x y =上不同的三点，焦点F 为ABC 的重心，则直线AB 与y 轴的交点的纵坐标t 的取值范围是（ ）A ．13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．13,1,22⎛⎫⎡⎫-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭C ．13,11,22⎛⎫⎛⎤-⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦12．若不等式2sin 12cos 2x x a x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭对(0,]x π∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．1,π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明………外…………订…………○…内※※答※※题※※………内…………订…………○…二、填空题13．n的展开式的第五项为358，则展开式的第六项的二项式系数为_________．14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45°的方向上，行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北60°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=_____m．15．已知双曲线与y x=-直线有公共点，与直线2y x=-没有公共点，则双曲线离心率取值范围是_______．16．已知四边形ABCD为矩形，24AB AD==，E为AB的中点，将ADE∆沿DE折起，连接1A B，1A C，得到四棱锥1A DEBC-，M为1A C的中点，1A E与平面ABCD所成角为α，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是________．①//MB平面1A DE；②三棱锥M DEC-的体积最大值为3；③点M的轨迹是圆的一部分，且||MB=④一定存在某个位置，使1DE A C⊥；三、解答题………外………………内………17．已知一个公比q 不为1的等比数列{}n a 和一个公差也为q 的等差数列{}n b ，且132322,,a a a 成等差数列． （1）求q 的值；（2）若数列{}n b 前n 项和为n T ，12b =，试比较2n ≥时，n b 与n T 的大小． 18．为调查某地区被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位被隔离者，结果如下：（1）估计该地区被隔离者中，需要社区非医护人员提供帮助的被隔离者的比例； （2）能否有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助与性别有关？19．如图，正方形AMDE 的边长为2，B C 、分别为线段AM MD 、的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD PC 、分别交于点G H 、．（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．……○…………订…※※装※※订※※线※※内※※答……○…………订…20．已知函数ln ()()a xf x a R x+=∈． （1）当函数()f x 与函数()ln g x x =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；（2）证明：当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()h x f x ax =-有两个零点12,x x ，且满足12111x x a+<． 21．如图，椭圆22143x y +=的右焦点为F ，过焦点F ，斜率为k 的直线l 交椭圆于M 、N 两点（异于长轴端点），()2,Q t 是直线2x =上的动点．（1）若直线OQ 平分线段MN ，求证：43OQ k k ⋅=-．（2）若直线l 的斜率1,12k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，直线MQ 、OQ 、NQ 的斜率成等差数列，求实数t 的取值范围．22．直线l 的极坐标方程为sin 8cos ρθρθ=+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）（1）写出C 的极坐标方程； （2）射线3πθ=与C 和l 的交点分别为M ，N ，射线23πθ=与C 和l 的交点分别为A 、B ，求四边形ABNM 的面积．23．已知a ，b ，c 均为正实数，求证： （1）()2()4a b ab cabc ++≥；参考答案1．B 【解析】 【分析】由题意可得1z i =+，从而可求得其模. 【详解】解：因为在复平面内点(1,1)A 所对应的复数为z ，所以1z i =+，所以||z ==故选：B 【点睛】此题考查复数的几何意义，复数的模，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】化简集合B ，利用并集概念及运算即可得到结果. 【详解】由题意可得：{}2|0,1,2x B x x Z x -⎧⎫=≤∈=⎨⎬⎩⎭又{1,2,3}A = ∴AB ={}123，， 故选：C 【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】先利用指数函数和幂函数的单调性比较出,a b ，1的大小，再利用对数函数的单调性判断出c 与1的大小，然后可比较出3个数的大小.解：因为0.7x y =在R 上为减函数，且0.50>，所以0.500.00.771<<=，即01a <<，同理可得01b <<， 因为0.50.500.7.50.5,0.700..55<>，所以0.50.710.70.50>>>，即10a b >>>，因为0.7log y x =在(0,)+∞上为减函数，且0.70.50>>， 所以0.70.7log 0.5log 0.71>=，即1c >， 所以b a c <<， 故选：B 【点睛】此题考查指数和对数大小的比较，采取了中间量法，利用了转化与化归的思想，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】推导出输出的123100s =++++，然后利用等差数列的求和公式可求得输出的s 的值.【详解】第一次循环，1100i =≤成立，1s =，112i =+=； 第二次循环，2100i =≤成立，12s =+，213i =+=； 第三次循环，3100i =≤成立，123s =++，314i =+=； 以此类推，最后一次循环，100100i =≤成立，123100s =++++，1001101i =+=； 101100i =≤不成立，输出的()100110012310050502s ⨯+=++++==.故选：D. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题. 5．B 【解析】根据特殊值的函数值排除,,A C D ，从而选B . 【详解】因为11011ln 1f e e e e⎛⎫==> ⎪⎝⎭--，所以A 错； 因为11()0ln 12f e e e e ==>---，所以C 错；因为()222211()ln 13f e f e e e e ==<---，所以D 错， 故选：B ． 【点睛】本题考查了由函数解析式选择函数图象，考查了特值排除法，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】利用等差中项及数列求和公式的性质化简条件可求出34,a a ，根据等差数列定义即可求出公差. 【详解】()4353S S S -=4335a a ∴=，①3520a a +=， 4220a ∴=，②由①②可得4310,6a a ==，434d a a ∴=-=，故选：C 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、性质，前n 项和的性质，属于中档题. 7．A【分析】直接检验四个选项中的圆是否与已知圆和直线相切． 【详解】已知圆标准方程为22(6)(6)18x y +++=，圆心为(6,6)M --，半径为r =，M 到直线20x y ++=的距离为d ==作出圆M 和直线20x y ++=，如图，四个选项的圆心依次为,,,A B C D ， 显然以B 和C 为圆心的圆不可能既与圆M 相切又与直线20x y ++=相切， 而圆D 与圆M 和直线20x y ++=都不相切， 只有圆A 与圆M 和直线20x y ++=都相切． 故选：A ．【点睛】本题考查平面上直线与圆，圆与圆的位置关系，判断直线与圆，圆与圆的位置关系一般用几何法，即由圆心到直线的距离与半径的大小确定直线与圆的位置关系，由圆心距与两圆半径的关系确定两圆的位置关系．作为选择题，本题用排除法选出正确答案，可避免计算与繁琐的推理． 8．D 【解析】 【分析】计算出基本事件的总数，并列举出事件“抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差1”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】从标号分别为1、2、3、4、5的5张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张， 所有的基本事件数为2525=，其中，事件“抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差1”所包含的基本事件有：()1,2、()2,1、()2,3、()3,2、()3,4、()4,3、()4,5、()5,4，共8种情况， 因此，所求事件的概率为825P =. 故选：D. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】首先将题中所给的式子进行化简，之后逆用余弦差角公式得到3cos()35πα-=-，接着利用余弦倍角公式和辅助角公式求得结果. 【详解】由3cos cos()35παπα⎛⎫+=--⎪⎝⎭可得13cos sin cos 225ααα-=+，即13cos 225αα+=-，即3cos()35πα-=-，所以2297cos(2)2cos ()121332525ππαα-=--=⨯-=-， 227cos 2cos[(2)]cos(2)33325πππααπα⎛⎫+=-+=--= ⎪⎝⎭，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有余弦的差角公式，余弦倍角公式和诱导公式，属于简单题目. 10．A 【解析】 【分析】先求出BD AD ==AC =. 【详解】由题得90ACB ADC ==∠∠,由射影定理得2246,3BC BD AB BD BD BD AD ==⨯=⨯∴==由射影定理得23,CD AD BD CD AC =⨯==∴==所以()()AC AM AB AN AC AC CM AB AD DN ⋅+⋅=⋅++⋅+22(2cos024AC AC CM AB AD AB DN =+⋅+⋅+⋅=+=.故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，考查平面向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．C 【解析】 【分析】根据题意，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合三角形重心的性质，结合题意，求得结果. 【详解】设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，由抛物线24x y =的焦点F 的坐标为(0,1)， 焦点F 为ABC ∆的重心， 所以123123()3x x x y y y ++=⎧*⎨++=⎩，显然直线AB 斜率存在，设为k ，则直线AB 方程为y kx t =+，联立24y kx tx y=+⎧⎨=⎩，消去y 得：2440x kx t --=， 所以216160k t ∆=+>，即20k t +>①，且12124,4x x k x x t +=⋅=-，所以21212()242y y k x x t k t +=++=+，代入式子()*得3234342x ky k t=-⎧⎨=--⎩， 又点C 也在抛物线上，所以221612168k k t =--，即2328tk -=②， 由①②及20k ≥可解得320360t t -≥⎧⎨+>⎩，即1322t -<≤，又当1t =时，直线AB 过点F ，此时,,A B F 三点共线， 由焦点F 为ABC ∆的重心，得FC 与FA 共线， 即点C 也在直线AB 上，此时点C 与,A B 之一重合， 不满足点,,A B C 为该抛物线上不同的三点，所以1t ≠， 所以实数的取值范围为13,11,22⎛⎫⎛⎤-⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，韦达定理，三角形重心的性质，在解题的过程中，注意对1t =时的讨论，属于较难题目 12．D 【解析】 【分析】不等式变形为sin 2cos xax x ≥+，则直线y ax =在函数sin ()2cos x f x x=+（(0,]x π∈）图象的上方，则直线y ax =过原点，斜率为a ，利用导数研究函数sin ()2cos xf x x=+的单调性，由导数的几何意义得出结论． 【详解】因为(0,]x π∈，所以题中不等式可变形为sin (2cos )x a x x ≤+，即sin 2cos xax x≥+，设sin ()2cos xf x x=+，22cos (2cos )sin (sin )12cos ()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +-⋅-+'==++，所以2(0,)3x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，2(,)3x ππ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，23x π=时，max 2()33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭， 又()y f x =在原点处切线斜率为212cos 01(0)(2cos 0)3f +'==+，直线y ax =过原点且斜率为a ，则由sin 2cos x ax x ≥+（[0,]x π∈）恒成立得，13a ≥，此时，令sin ()2cos xg x ax x=-+，则212cos ()(2cos )x g x a x +'=-+，设212cos ()()(2cos )xh x g x a x +'==-+，则32sin (1cos )()(2cos )x x h x x -'=+，当[0,]x π∈时，()0h x '>，()h x 递增，即()'g x 递增，所以1()(0)03g x g a ''>=-≥，所以()g x 在[0,]π上单调递增，()(0)0g x g ≥=，所以sin 2cos xax x ≥+（[0,]x π∈）恒成立，综上13a ≥．故选：D ． 【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题，考查转化与化归思想，解题关键是把不等式恒成立转化为函数图象在直线下方，通过研究导数的几何意义，得出参数的范围，然后再利用导数的知识进行证明此时不等式恒成立，从而确定结论．13．56 【解析】 【分析】先由n的展开式的第五项为358求出n 的值，然后用通项公式可求出展开式的第六项的二项式系数. 【详解】解：n的展开式的通项为2112r rnr r n r r r n n T C C x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为n的展开式的第五项为358， 所以4413528n C ⎛⎫= ⎪⎝⎭且402n -=，解得8n =， 所以展开式的第六项的二项式系数为5856C =故答案为：56 【点睛】此题考查的是求二项式展开式的二项式系数，属于基础题. 14．300+ 【解析】 【分析】在ABC 中由正弦定理求得BC ，再在直角ACD 中求得CD ． 【详解】由题意604515BCA ∠=︒-︒=︒，1sin15sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45222︒=︒-︒=︒︒-︒︒=-⨯=，在ABC 中由正弦定理得sin sin AB BC BCA BAC =∠∠，所以sin sin AB BACBC BCA∠=∠300300sin451)sin15⨯︒===︒，在BCD中tan1)tan30300CD BC CBD=∠=︒=+．故答案为：300+【点睛】本题考查正弦定理解三角形，解题关键是掌握方位角的概念，掌握仰角的概念，本题属于基础题．15．【解析】【分析】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，求得ba的取值范围，再由离心率公式e=可求得双曲线离心率的取值范围.【详解】若双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为()222210,0x ya ba b-=>>，由于双曲线与y x=-直线有公共点，与直线2y x=-没有公共点，则12ba<≤，所以，cea==；若双曲线的焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为()222210,0y xa ba b-=>>，若双曲线与y x=-直线有公共点，与直线2y x=-没有公共点，不合乎题意.综上所述，双曲线离心率的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率取值范围的求解，解答的关键就是求得ba的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 16．①②③ 【解析】 【分析】取1A D 的中点N ，连接MN 、EN ，根据四边形MNEB 为平行四边形判断①③正确；当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，三棱锥M DEC -的体积取最大值，经过计算得出②正确；假设1DE A C ⊥，得出矛盾结论判断④不正确.【详解】①项，取1A D 的中点N ，连接MN 、EN ，则MN 为1A CD ∆的中位线，//MN CD ∴，且12MN CD =又E 为矩形ABCD 的边AB 的中点，//BE CD ∴，且12BE CD =//MN BE ∴，且=MN BE ，即四边形MNEB 为平行四边形， //BM EN ∴，又EN ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，//BM ∴平面1A DE ，故①正确；②项，由M 为1A C 的中点，可知三棱锥M DEC -的体积为三棱锥1A DEC -的一半，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，三棱锥1A DEC -的体积取最大值，取DE 的中点O ，则1AO DE ⊥，且11122==⨯=A DE O ∵平面1A DE ⊥平面BCDE ，平面1A DE 平面BCDE DE =，1AO DE ⊥， ∴1A O ⊥平面BCDE ,DEC ∆的面积为：1142422∆=⋅=⨯⨯=DEC S CD BC ，∴三棱锥1A DEC -的体积的最大值为143⨯=则三棱锥M DEC -的体积的最大值为3，故②项正确； ③项，由四边形MNEB 为平行四边形可得BM NE =， 而在翻折过程中，NE 的长度保持不变，故 BM 的长为定值，1A DE ∆为直角三角形，1∠=DA E 90°，111,2==A N A E ，∴=NE∴==BM NE④项，取DE 的中点O ，连接1A O ，CO ，由11A D A E =可知1AO DE ⊥， 若1DE A C ⊥，则DE ⊥平面1A OC ，DE OC ∴⊥，又9045︒︒∠=-∠=CDO ADE ，OCD ∴∆为等腰直角三角形，故而CD =，而122==OD DE ，CD =4CD =矛盾， 故DE 与1A C 所成的角不可能为90︒，故④不正确. 故答案为：①②③.【点睛】本题考查了空间中线面平行的判定定理，面面垂直的性质定理，三棱锥的体积，反证法等知识，考查了空间想象能力，运算求解能力，推理论证能力和创新意识，属于难题. 17．（1）13q =-；（2）答案不唯一，见解析. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式及等差中项列出方程即可求出q ；（2）计算出等差数列的通项公式，利用求和公式得n T ，做差n n T b -，分类讨论即可. 【详解】（1）由已知可得211123a a q a q +=， ∵{}n a 是等比数列，10a ≠ ∴23210q q --=． 解得1q =或13q =-． ∵1q ≠， ∴13q =-（2）由（1）知等差数列{}n b 的公差为13-， ∴172(1)33n nb n -⎛⎫=+--=⎪⎝⎭， 21132(1)236n n n nT n n -⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，(1)(14)6n n n n T b ---=-，当14n >时，n n T b <； 当14n =时，n n T b =； 当214n ≤<时，n n T b >．综上，当214n ≤<时，n n T b >； 当14n =时，n n T b =； 当14n >时，n n T b <． 【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式，等差数列的求和公式，做差法比较大小，分类讨论的思想，属于中档题.18．（1）14%；（2）有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关． 【解析】 【分析】（1）计算出样本中需要提供帮助的被隔离者所占比，由此估计该地区被隔离者所占比例； （2）根据列联表的数据，计算出随机变量的观测值29.967K ≈，比0.010所对应的k 值6.635大，得出结论“有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关”. 【详解】解：（1）∵调查的500位被隔离者中有403070+=位 需要社区非医护人员提供帮助，∴该地区被隔离者中需要帮助的被隔离者的比例的估算值为7014%500=； （2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，22500(4027030160)9.96770430200300K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．∵9.967 6.635>，∴有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关． 【点睛】本题考查了古典概型，考查了独立性检验的问题，属于基础题. 19．（1）详见解析（2）6π【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几条件，如本题利用正方形性质得//AB DE ，从而有//AB 平面PDE ．而线线平行的证明，一般利用线面平行性质定理，即从两平面交线出发给予证明（2）利用空间向量解决线面角，一般先建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求大小.试题解析：解：（1）证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以//AB DE ． 又因为AB ⊄平面PDE ，所以//AB 平面PDE ．因为AB 平面ABF ，且平面ABF平面PDE FG =，所以//AB FG（2）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以,PA AB PA AE ⊥⊥，如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()()()()1,0,0,2,1,0,0,0,2,0,1,1B C P F ，(1,1,0)BC =． 设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0n AB n AF ⎧=⎨=⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1z =，则1y =-，所以()0,1,1n =-． 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则·1sin cos ,2n BC n BC n BCα===， 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为6π 考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角 【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 20．（1）1ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先利用导数的几何意义和函数()ln g x x =求出公切线方程，再将公切线方程与函数()f x 联立，表示21ln a x x e =-，再构造函数21()ln m x x x e=-利用导数求出其单调区间和值域，可求出a 的取值；（2）要证()h x 有两个零点，只要证2()ln k x ax x a =--有两个零点即可，而1x =时函数()k x 的一个零点，所以只需再利用导数研究此函数的性质即可，由于两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上，若设121,x x =>则12211111x x x +=+<， 所以只需利用导数证明11a+即可 . 【详解】解：（1）设公切线l 与函数()ln g x x =的切点为()00,x y ，则公切线l 的斜率()001k g x x '==，公切线l 的方程为：()0001y y x x x -=-，将原点坐标(0,0)代入，得01y =，解得0x e =，公切线l 的方程为：1y x e=， 将它与ln ()a xf x x +=联立，整理得21ln a x x e=-． 令21()ln m x x x e =-，对之求导得：22()x e m x ex-'=，令()0m x '=，解得x =当x ∈时，()0,()m x m x '<单调递减，值域为ln 2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，当)x ∈+∞时，()0,()m x m x '>单调递增，值域为ln 2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，由于直线l 与函数()f x 相切，即只有一个公共点， 故实数a 的取值集合为1ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）证明：2ln ()a x ax h x x+-=，要证()h x 有两个零点，只要证2()ln k x ax x a =--有两个零点即可．(1)0k =，即1x =时函数()k x 的一个零点． 对()k x 求导得：1()2k x ax x'=-，令()0k x '=，解得x =x >()0,()k x k x '>单调递增；当0x <<时，()0,()k x k x '<单调递减．当x =()k x取最小值，(1)0k k <=，22221()ln (1)12k x ax x a ax x a ax x a ax x =-->---=-+->-+，必定存0x >在使得二次函数2001()02u x ax x =-+>， 即()()000k x u x >>．因此在区间上0x ⎫⎪⎭必定存在()k x 的一个零点． 练上所述，()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上． 下面证明12111x x a+<． 由上面步骤知()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上．不妨设121,x x =>则12211111x x x +=+<11a <即可．令1()1v a a =，对之求导得21()0v a a'=--<，故()v a在定义域内单调递减，11()102v a v a ⎛⎫=-->= ⎪⎝⎭，即11a <．【点睛】此题考查切线与导数的关系，利用导数研究函数零点个数，利用导数证明不等式，考查数学转换思想和计算能力，属于难题. 21．（1）证明见解析；（2）63,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用点差法可证得结论成立； （2）令[]11,2m k=∈，可得直线l 的方程为1x my =+，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用直线MQ 、OQ 、NQ 的斜率成等差数列，可得出t 关于m 的等式，然后利用函数的基本性质可求得实数t 的取值范围. 【详解】（1）设()11,M x y 、()22,N x y ，线段MN 的中点()00,P x y ，由题意可得22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 上述两式相减得22221212043x x y y --+=，可得2212221234y y x x -=--， 1212y y k x x -=-，120121201222OQy y y y y k x x x x x ++===++，则2212221234OQ y y k k x x -⋅==--， 因此，43OQ k k ⋅=-； （2）由()1,0F ，令[]11,2m k=∈，则直线l 的方程为1x my =+， 由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，()214410m ∆=+>恒成立，由韦达定理得122634my y m -+=+，122934y y m -=+，因为直线MQ 、OQ 、NQ 的斜率成等差数列， 所以2MQ O NQ Q k k k =+，12122222y t y t tx x --+=⋅--， ()()()()()()1221212222y t x y t x t x x ∴--+--=--， ()()()()()()1221211111y t my y t my t my my ∴--+--=--，()()212122tmm y y y y t -++=，即()2229623434mtm m t m m ---+=++， ()2313t m m ∴+=，2331313m t m m m ∴==++，由双勾函数的单调性可知，函数()13f m m m=+在区间[]1,2上单调递增，当12m ≤≤时，()1342f m ≤≤，所以，()363,134t f m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. 因此，实数t 的取值范围是63,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查点差法的应用，同时也考查了椭圆中参数取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.22．（1）4ρ=；（2）【解析】 【分析】（1）消去参数α得圆C 的普通方程，再由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得极坐标方程；（2）直接把3πθ=和23πθ=代入直线的极坐标方程可得,N B 的极径，4A M ρρ==，然后由11sin sin 2323ABNM ONB OAM N B A M S S S ππρρρρ=-=-△△计算可得面积．【详解】解：（1）由22cos sin 1αα+=消去参数α得圆C 的普通方程为2216x y +=，所以C 的极坐标方程为2222cos sin 16ρθρθ+=，即4ρ=；（2）把3πθ=代入直线l 的极坐标方程得sin8cos33N N ππρρ=+，1)82N ρ=，1)N ρ=，同理1)B ρ=，所以1sin 1)1)23OBN B N S πρρ==⨯=△又144sin 23OAM S π=⨯⨯=△∴ABNM OBNOAMS S S=-=．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查普通方程与极坐标方程的互化，考查直线极坐标方程的应用．掌握极坐标的定义是解题关键． 23．证明过程详见解析 【解析】 【分析】⑴将求证的不等式进行化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化简后的不等式成立⑵123222a a +++≤=，同理可得另外两个也是成立，结合已知条件即可求证结果 【详解】证明：(1)要证()()24a b ab cabc ++≥，可证222240a b ac ab bc abc +++-≥，需证()()2222b 220ac ac a c b bc +-++-≥， 即证()()220b a c a c b -+-≥，当且仅当a b c ==时，取等号，由已知，上式显然成立， 故不等式()()24a b ab cabc ++≥成立．(2)因为,,a b c 均为正实数，123222a a +++≤=，当且仅当12a +=时，取等号， 123222b b +++≤=当且仅当12b +=时 ，取等号，123222c c +++≤=当且仅当12c +=时，取等号，62a b c d+++≤=+≤1a b c ===时，取等号． 【点睛】本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果．。

普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A I Z 中元素的个数是（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（ ）（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（ ）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ）（A 3（B ）23（C 2（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ,DA u u u r g DB u u u r =DB u u u r g DC u u u r =DC u u u r g DA u u u r=-2，动点P ，M满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u uu r ，则2BM u u u u u r 的最大值是（ ）（A ）434（B ）494（C 3763+D 37233+第II 卷（非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2+2x −3<0}，B ={x|2x ≥1}，则A ∩B =( )A. (−∞,−3]B. (−∞,1]C. (−3,0]D. [0,1)2. 设不等式组{x −y ≤2√2x +y ≥−2√2y ≤0所表示的区域为M ，函数y =−√4−x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为( )A. π4B. π8C. π16D. 2π 3. 如图所示的程序框图是为了求出满足1+12+13+⋯+1n <100的最大正整数n的值，那么在“◇”和“▱”两个空白框中，可以分别填入( )A. “S <100？”和“输出i −1”B. “S <100？”和“输出i −2”C. “S ≥100？”和“输出i −1”D. “S ≥100？”和“输出i −2”4. 已知i 是虚数单位，则|2i1+i |=( ) A. 1 B. 2√2 C. 2 D. √25. “|b|≤√2”是“直线y =x +b 与圆x 2+y 2=1有公共点”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 数列{a n }中，已知a 61=2 000，且a n+1=a n +n ，则a 1等于( )A. 168B. 169C. 170D. 1717. 某组合体的三视图如图所示(其中侧视图中的弧线为半圆)，则该几何体的体积为( )A. 2π+2B. π+43C. 43π+43D. 2π+438. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 39. 若“0≤x ≤4”是“(x −a)[x −(a +2)]≤0”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. (0,2)B. [0,2]C. [−2,0]D. (−2,0)10. 已知奇函数f(x)在[−1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且α>β，则下列结论正确的是( )A. f(cos α)>f(cos β)B. f(sin α)>f(sin β)C. f(sin α)>f(cos β)D. f(sin α)<f(cos β) 11. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为( )A. √52B. √102C. √152D. √512. 已知函数f(x)={x −2lnx,x ⩾1−x 2+2x,x <1，若关于x 的方程f(x)=k 有3个不相等的实根，则实数k 的取值范围为( )A. (2−2ln 2,1)B. (−∞,2−2ln 2)C. (2−2ln 2,+∞)D. (1,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的两个焦点且F 1，F 2到直线x a +y b =1的距离之和为√3b ，则离心率e = ______ ．14. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=______．15. 小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有______ 种．16. 在△ABC 中，∠A 为钝角，AB =2，AC =3，AO⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且2λ+3μ=1，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |(其中x 为实数)的最小值为1，则|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在平面四边形ABCD中，已知∠ABC=3π，AB⊥AD,AB=1．4(1)若AC=√5，求ΔABC的面积；(2)若，求CD的长．18.某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组[40,50)，第二组[50,60)，…，第六组[90,100]，作出频率分布直方图，如图所示：(1)用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差(精确到个位)；(2)以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为Y，是估算Y的数学期望．19.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，AA1⊥AB，AB=3,BC=5.(1)求证：AA1⊥BC；(2)求二面角A1−BC1−B1的余弦值.20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(−2,0)、P2(−1,32)、P3(1,1)、P4(1,32)中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)过定点P(−2,t)(t≠0)作直线l、与椭圆C相交于不同的两点M、N，过点M作x轴的垂线分别与直线P1P2、P1N交于点A、B，若点A为线段MN的中点，求t的值．21.已知函数f(x)=e x−ax2−bx−1，其中a,b∈R，e=2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；(2)若f(1)=0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e−2<a<1．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：{x=2+2cosθy=2sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α(ρ>0)．(1)将圆C的参数方程化为极坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,√3)，射线l与圆C交于点B不同于点O)，求△OAB面积的最大值．23.已知函数f(x)=|x−a|+|2x−2|(a∈R)．(1)当a=2时，求不等式f(x)>2的解集；(2)若x∈[−2,1]时不等式f(x)≤3−2x成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：A ={x|−3<x <1}，B ={x|x ≥0}；∴A ∩B =[0,1)．故选：D ．可解出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算． 2.答案：A解析：解：不等式组{x −y ≤2√2x +y ≥−2√2y ≤0所表示的区域为M ，作出可行域，得M 是如图所示的阴影三角形，该三角形的面积S =12×4√2×2√2=8，函数y =−√4−x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，N 是以O(0,0)为圆心，以2为半径的下半圆，该下半圆的面积S 半圆=12π×22=2π，∴由几何概型得：向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为S 半圆S =2π8=π4．故选：A ．作出可行域，得M 是等腰直角三角形，该三角形的面积S =12×4√2×2√2=8，N 是以O(0,0)为圆心，以2为半径的下半圆，由几何概型能求出向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率． 本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．3.答案：D解析：本题考查循环结构的程序框图，属于基础题．由题意程序循环至1+12+...+1i≥100时，退出循环，则判断框应填S≥1 00，由于满足1+12+13+⋯+1n≥1000后，又执行了一次i=i+1，故输出的应为i−2的值．解：求满足1+12+13+⋯+1n<1 00的最大正整数n 的值，初始值i=1，S=0，则S=1，i=2，...循环至1+12+...+1i≥100时，退出循环，所以在应填“S≥1 00”，因为当1+12+...+1i≥100时，i变为i+1，且应输出1+12+13+⋯+1n<1 00的最大n值，故输出“i−2”.故选D．4.答案：D解析：本题考查复数的运算及复数的模，直接计算即可，属基础题．解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i2=1+i，所以|2i1+i|=|1+i|=√2．故选D．5.答案：C解析：根据题意，求出圆x2+y2=1的圆心到直线y=x+b的距离d，由直线与圆的位置关系分析可得“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的充分必要条件；即可得答案．本题考查直线与圆位置关系的判断，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．解：根据题意，圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径r=1，圆心(0,0)到直线y=x+b的距离d=√2，若“|b|≤√2”，则d≤r，直线与圆相交或相切，直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点；则“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的充分条件；若“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”，则有d≤r，即√2≤1，解可得“|b|≤√2”，则“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的必要条件；故“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的充分必要条件；故选：C．6.答案：C解析：本题考查了数列的递推关系，累加法的应用，属于基础题．解：∵a61=2000,a n+1−a n=n，则a61=(a61−a60)+(a60−a59)+⋯+(a2−a1)+a1=60+59+⋯+1+a1=60×(60+1)2+a1=2000，∴a1=170．故选C．7.答案：B解析：解：几何体为半圆柱与正四棱锥的组合体，其中，半圆柱的底面半径为1，高为2，正四棱锥的底面边长为2，高为1，∴几何体的体积为V =π×12×2×12+13×22×1=π+43．故选：B ．几何体上部分半圆柱，下部分为正四棱锥，代入数据计算即可．本题考查了常见几何体及其简单组合体的三视图，结构特征与体积计算，属于中档题． 8.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z =x +2y 得y =−12x +12z ，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z =x +2y ，则y =−12x +12z ，当直线y =−12x +12z 过点B(−2,−2)时z 取到最小值，所以z =x +2y 的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B ． 9.答案：B解析：解：由(x −a)[x −(a +2)]≤0，解得：a ≤x ≤a +2，由集合的包含关系知：{a ≥0a +2≤4(其中等号不同时成立)， ∴a ∈[0,2]，故选：B ．先解出不等式(x −a)[x −(a +2)]≤0，结合集合之间的关系，从而得到答案． 本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题．。

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一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中，只有一项符合题目要求
1.若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A
B = A. {}10x x x ><或 B. {}12x x << C. {|2}x x >
D. {}1x x >
【答案】C
【解析】
【分析】 解一元次二次不等式得{|2A x x =>或0}x <，利用集合的交集运算求得A B ={|2}x x >.
【详解】因为{|2A x x =>或0}x <，{}1B x x =>，所以A
B ={|2}x x >，故选C. 【点睛】本题考查集合的交运算，属于容易题.
2.若复数z 满足3(1)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ） A. 1 B. 0 C. 1- D. 1322
i -+ 【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的运算法则求出z ，再根据共轭复数的概念求解即可． 【详解】解：∵331z i zi =，
∴1313213i z i
+==-+-， 则132z =-
-， ∴1z z +=-，。

普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A I Z 中元素的个数是（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（ ）（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（ ）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ）（A 3（B ）23（C 2（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ,DA u u u r g DB u u u r =DB u u u r g DC u u u r =DC u u u r g DA u u u r=-2，动点P ，M满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u uu r ，则2BM u u u u u r 的最大值是（ ）（A ）434（B ）494（C 3763+D 37233+第II 卷（非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。