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圆的基本概念与性质圆是几何学中的一个基本概念，在我们的日常生活中也经常出现。
对于圆的概念和性质，我们需要进行深入的探究。
本文将从圆的定义、圆的性质以及圆相关的计算方法等方面进行阐述。
一、圆的定义圆是由一个平面上的所有到一个固定点的距离都相等的点组成的图形。
这个固定点称为圆心，用O表示；到圆心距离相等的点与圆心之间的距离称为半径，用r表示。
圆的边界称为圆周，圆周上的任意两点与圆心之间的距离都相等。
二、圆的性质1. 圆的直径与半径圆的直径是指通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆上。
直径的长度等于半径的两倍，即d=2r，其中d代表直径的长度。
2. 圆的周长圆的周长是圆周的长度，通常用C表示。
周长的计算公式为C=2πr，其中π是一个数学常数，取近似值3.14。
3. 圆的面积圆的面积是指圆所包围的区域的大小，通常用A表示。
面积的计算公式为A=πr²，即圆的面积等于半径的平方乘以π。
4. 圆的弧长圆的弧长是圆周上一部分的长度，通常用L表示。
弧长的计算公式为L=2πr，其中r是弧所对应的半径，即弧长等于弧所对应的圆心角的度数除以360度再乘以周长。
5. 圆的扇形面积圆的扇形是由一个圆心角和与其所对应的弧组成的图形，通常用S 表示。
扇形的面积计算公式为S=πr²θ/360°，其中θ是圆心角的度数，r 是半径。
6. 圆的切线与法线圆上的切线是与圆周只有一个交点的直线，切线的斜率等于半径的斜率。
圆上的法线是与切线垂直，并通过圆心的直线。
三、圆的应用圆在日常生活中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 圆形运动：物体在圆周上做匀速运动时，我们可以利用圆的性质来计算物体的位移、速度、加速度等。
2. 圆的建筑：许多建筑设计中都会使用圆形的建筑物，比如圆形剧场、圆形广场等，给人以艺术美感。
3. 圆的通信：在无线通信中，天线辐射出的信号范围就是一个圆形的区域，我们可以通过圆的性质来计算信号的传播距离与强度。
圆的概念及确定1.圆定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心。
（确定圆的位置）线段OA叫做半径。
（确定圆的大小）记法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”注意：（1）圆指的是“圆周”而不是“圆面”。
（2）半径指的是线段，为了方便也把半径的长称为半径。
圆的确定：（1）一个圆心一个半径（2）圆心、圆上一个一个的已知点（3）直径2. 圆的集合定义：（1）角平分线上的点到角两边的距离相等。
到角两边距离相等的点在角的平分线上。
所以：角平分线可以看做是到角的两边距离相等的点的集合。
（2）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的点的集合。
*把一个图形看成是满足某种条件的点的集合，必须符合：a.图形上的每一点都满足某个条件，b.满足某个条件的每一个点，都在这个图形上。
（3）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r），到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
（圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形）圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
点和圆的位置关系有：点在圆内、圆上，圆外三种，设⊙O的半径为r，点P和圆心O的距离为d，则有：点在圆内；点在圆上；点在圆外。
6. 理解定理，不在一直线上的三点确定一个圆，并掌握不在同一条直线上三点作圆的方法。
7. 会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆。
8. 了解三角形外心的概念。
9. 过三点的圆确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点），确定圆的位置；半径（定长），确定圆的大小。
只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定。
此外，下列条件都可以确定圆心和半径，因而都能确定圆：（1）经过不在一直线上的三点的圆；（2）已知圆心和圆上一点的圆；（3）以已知线段为直径的圆。
认识圆的基本概念与性质圆是几何学中非常重要的一个概念，它有许多特性和性质。
在这篇文章中，我们将一起探讨认识圆的基本概念和性质。
一、圆的定义圆是指平面上所有到一个固定点（圆心）的距离都相等的一组点的集合。
这个固定距离称为半径，用字母r表示。
根据这个定义，我们可以知道圆由无数个点组成，其中每个点到圆心的距离都等于半径r。
二、圆的要素1. 圆心：圆心是圆的中心点，用字母O表示。
2. 半径：半径是从圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
3. 直径：直径是通过圆心的任意两个点之间的距离，它等于半径的两倍，用字母d表示。
三、圆的性质1. 圆的周长：圆的周长是沿着圆的边界一周所经过的距离。
我们可以通过一个简单的公式来计算圆的周长，即周长C等于半径r乘以2π（C=2πr）。
2. 圆的面积：圆的面积是指圆内部所有的点所覆盖的区域。
同样地，我们可以通过一个公式来计算圆的面积，即面积A等于半径r的平方乘以π（A=πr²）。
3. 圆的弧长：圆的弧长是圆上一段弧的长度。
计算圆的弧长需要知道弧所对应的圆心角的大小。
如果我们知道圆心角的度数为θ度，那么弧长L等于周长C乘以圆心角θ度除以360度（L=C×θ/360）。
四、圆与其他几何图形的关系1. 矩形和正方形：圆和矩形或正方形之间有一个有趣的关系，在给定固定周长的情况下，圆的面积是最大的。
也就是说，圆拥有对于给定周长最大的面积。
这是因为圆的周长分布在圆的边界上，而矩形或正方形的周长则分布在边界的四条边上。
2. 正多边形：正多边形是指所有边和角相等的多边形，圆可以看作是一个边数无限多的正多边形。
当正多边形的边数逐渐增大时，它的外接圆趋近于一个圆形。
3. 弦和切线：在圆上，连接两个不同点的线段称为弦。
弦的特点是它的中点和圆心连线垂直。
切线是指与圆只有一个交点的直线，切线与圆相切的点处的切线垂直于半径。
通过上述论述，我们对圆的基本概念和性质有了更深入的了解。
3.1 圆一、圆的定义及表示方法1、定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它的一个固定的端点O旋转周一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆。
定点O叫做圆心，线段OA叫做圆的半径。
（2）、用点的集合观点给圆下定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是“所有到定点O的距离等于定长r的点组成的集合。
”其中，定点O是圆的圆心，定长r是圆的半径。
2、表示方法：如图的圆可以记作：⊙O，读做：圆O。
总结：（1）、圆是一条封闭的曲线，曲线是圆周，而不是圆面。
（2）、圆有一个圆心，有无数条半径，同一个圆中所有半径都相等（3）、确定一个圆的要素：二、圆的相关概念（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过的圆心的弦叫做直径（2）弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点之间的弧叫做半圆；小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧叫做优弧。
（弧的表示方法略）（3）半径相等的两个圆能够完全重合，我们把他们半径相等的圆叫做等圆。
在同圆或者等圆中能够相互重合的弧叫做等弧。
注意：（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦；半圆是弧，而弧不一定是半圆。
（2）同圆是指同一个圆，等圆是指两个或多个圆的关系（3）等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧。
例1、平面内所有到点O的距离等于3cm的点组成的图形是___________例2、以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作______个。
例3、如图，四边形ABCD是扇形AEF的内接矩形，顶点C在弧EF上，且不与点E、F重合，当点C在弧EF上移动时，矩形ABCD的形状、大小随之变化，BD的长度是否变化？练习：1、如图，在90°的扇形AOB中有矩形PMON，P为弧AB上的动点，点M、N分别在半径BO、AO上，当P点运动到P′时，M、N也随之移动到M′、N′，若保持四边形P′M′ON′是矩形，试判断MN与M′N′的大小关系，并说明理由2、如图，AB、CD是圆O的两条互相垂直的直径。
圆的几何定义
圆的几何定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
这个定义也可以从轨迹的角度来描述：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
圆的直径是半径的2倍，圆的半径是直径的一半。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
圆中最长的弦为直径。
此外，顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
圆的定义及有关概念初三圆是由平面上与一个给定点的距离相等的所有点组成的形状。
圆的定义可以表示为：给定一个平面上的点O和一个正数r，如果一个点P与点O的距离等于r，那么点P就在以点O为圆心、距离为r的圆上。
在讨论圆的相关概念时，有几个重要的概念需要了解：●圆心（Center）：圆的中心点，用字母O表示。
●半径（Radius）：圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
●直径（Diameter）：通过圆心，并且两端都在圆上的线段。
直径的长度是半径的两倍。
●弧（Arc）：圆上两点之间的部分。
圆上的任意弧所对的圆心角都是相等的。
●弦（Chord）：圆上连接两点的线段。
●弧长（Arc Length）：弧的长度。
●弧度制（Radian）：用于表示角度的单位，1弧度等于半径长的弧所对的圆心角。
●圆周率（Pi）：π是一个数学常数，近似于3.14159，用来表示圆周与直径的比值。
当我们讨论平面几何中的圆时，圆是由平面上所有到给定点O的距离相等的点组成的形状。
点O称为圆心，距离O的距离为r的所有点所组成的圆面积称为圆。
在圆的定义中，首先需要明确的概念是半径，它是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
每个圆只有一个半径。
如果围绕圆心O从一个点P顺时针或逆时针方向旋转时，它所扫过的弧称为圆弧。
同样，圆的直径是通过圆心，并且两端都在圆上的直线段。
直径的长度是半径的两倍。
此外，圆周是指圆的周长，而它是圆上弧长的长度。
弧长则是连接圆上两点的弧的长度。
弧仅仅指圆上的曲线部分，而弦指的是连接圆上的任意两点的线段。
弦长度小于或等于圆周，但大于或等于圆的直径。
圆的性质还包括：圆上的所有点到圆心的距离都相等；半径相等的圆一定相等；两条弦相等的圆，所对的两弧的弧长一定相等；如果两条弦的夹角相等，则所对的两弧的弧长也相等；圆的切线垂直于半径，切点位于半径的延长线上。
圆的定义概念圆的定义概念圆的基本定义•圆是一个平面内离定点距离相等的点的集合。
•圆由圆心和半径组成，圆心是离定点距离相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
圆的性质•圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，直径的长度是半径长度的2倍。
•圆的周长是圆周上的所有点与圆心的距离之和，记作C。
•圆的面积是圆内的所有点构成的区域，记作A。
圆的相关概念圆心角•圆中心O的两条射线夹成的角称为圆心角。
•圆心角的度数等于所对弧所对的圆心角度数的一半。
圆内接四边形•如果一个四边形的四个顶点都在圆上，那么这个四边形被称为圆内接四边形。
•圆内接四边形的两组对角线互相垂直，并且对角线的交点是圆的中心点。
弧•圆上两点之间的弧是连接这两个点的圆弧。
•弧可以通过它的圆心角度数来度量。
弦•圆上连接两个点的线段叫做弦。
•弦的长度小于或等于圆的直径。
切线•切线是与圆相切的直线，只有一个交点，并且交点与圆接触。
总结•圆的定义是一个平面内离定点距离相等的点的集合。
•圆的性质包括直径、周长和面积。
•圆的相关概念有圆心角、圆内接四边形、弧、弦和切线。
弧长•弧长是指弧所对的圆周的长度。
•弧长可以通过弧度来计算，公式为：弧长 = 弧度× 圆的半径。
弧度•弧度是圆心角所对的弧所占据的圆周的弧长比。
•弧度可以用数值来表示，一周等于2π弧度。
正弦•在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦是指对边与斜边之比，记作sin(A)。
•圆的正弦是指以圆心为端点的半径与弧所对应的直线段之比。
余弦•在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦是指邻边与斜边之比，记作cos(A)。
•圆的余弦是指以圆心为端点的半径与弦所对应的直线段之比。
切线定理•切线定理是指一条切线与半径所夹的角为直角，证明可以使用切线与半径的垂直性。
切线与弦的关系•切线与弦所夹的角相等，证明可以使用弧与弦所夹角的相等性和切线与弧所夹角的垂直性。
切线与切线的关系•两条切线所夹的角等于两条切线所夹角的对角的弧所夹角的一半。
【圆的定义有两个】其一：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。
其二：平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
【有关圆的基本性质与定理】⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
BC圆的基本概念1、定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离 等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
3.直径：经过圆心的弦叫直径。
注：圆中有无数条直径 4圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性5.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB ”.(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。
如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ⋂(用三个字母).学习重点:圆及其有关概念 学习难点:用集合的观念描述圆【例1】 已知：如图，OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，∠AOC=∠BOC ，M 、N 分别为OA 、OB 的中点．求证：MC=NC ．【例2】 由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？【随堂针对练习】1．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心的距离等于半径的点都在．2．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（）A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径C．⊙O上有两点到点P的距离最小D．⊙O上有两点到点P的距离最大3．以已知点O为圆心作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个4．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个5．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A为圆心，12cm为半径作圆，则点C 与⊙A的位置关系是．7．⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是．8．如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？垂径定理及其推论:（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；（2）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
圆的概念及确定1.圆定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心。
（确定圆的位置）线段OA叫做半径。
（确定圆的大小）记法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”注意：（1）圆指的是“圆周”而不是“圆面”。
（2）半径指的是线段，为了方便也把半径的长称为半径。
圆的确定：（1）一个圆心一个半径（2）圆心、圆上一个一个的已知点（3）直径2. 圆的集合定义：（1）角平分线上的点到角两边的距离相等。
到角两边距离相等的点在角的平分线上。
所以：角平分线可以看做是到角的两边距离相等的点的集合。
（2）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的点的集合。
*把一个图形看成是满足某种条件的点的集合，必须符合：a.图形上的每一点都满足某个条件，b.满足某个条件的每一个点，都在这个图形上。
（3）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r），到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
（圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形）圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
点和圆的位置关系有：点在圆内、圆上，圆外三种，设⊙O的半径为r，点P和圆心O的距离为d，则有：点在圆内；点在圆上；点在圆外。
6. 理解定理，不在一直线上的三点确定一个圆，并掌握不在同一条直线上三点作圆的方法。
7. 会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆。
8. 了解三角形外心的概念。
9. 过三点的圆确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点），确定圆的位置；半径（定长），确定圆的大小。
只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定。
此外，下列条件都可以确定圆心和半径，因而都能确定圆：（1）经过不在一直线上的三点的圆；（2）已知圆心和圆上一点的圆；（3）以已知线段为直径的圆。
