圆的概念 公式及推导(完整版)

圆的相关概念与计算圆是几何学中的一种基本图形，它在我们日常生活中随处可见，例如车轮、钟表等。

在数学中，圆有着独特的性质和计算方法。

本文将详细介绍圆的相关概念和计算方法。

一、圆的基本概念圆是由平面上和一个点为中心，到该点的距离都相等的所有点的集合。

其中，中心点称为圆心，距离称为半径。

圆的半径用字母r表示，圆心用字母O表示。

以O为圆心，r为半径的圆记作⚪O(r)。

圆的直径是圆上任意两点间的距离，直径的长度是半径的两倍。

直径用字母d表示，可用半径来计算，即d=2r。

圆的周长是圆上所有点之间的距离总和，即圆周的长度。

根据圆的定义，所有点到圆心的距离都相等，因此圆的周长可以通过半径r和π（圆周率）来计算，周长C=2πr。

圆的面积是圆内部的所有点构成的集合的大小。

我们常用πr²来表示圆的面积，其中π是一个无理数，值约为3.14159。

因此，圆的面积S=πr²。

二、圆的计算方法1. 已知半径求周长和面积当已知圆的半径r时，可以通过以下公式计算圆的周长和面积：周长C=2πr面积S=πr²例如，已知一个圆的半径为5cm，可以计算其周长和面积：周长C=2π×5=10π≈31.42cm面积S=π×5²=25π≈78.54cm²2. 已知直径求周长和面积当已知圆的直径d时，可以通过以下公式计算圆的周长和面积：周长C=πd面积S=π(d/2)²=πd²/4例如，已知一个圆的直径为8cm，可以计算其周长和面积：周长C=π×8=8π≈25.12cm面积S=π×(8/2)²=π×16/4=4π≈12.56cm²3. 已知面积求半径和周长当已知圆的面积S时，可以通过以下公式计算圆的半径和周长：半径r=√(S/π)周长C=2πr=2π√(S/π)=2√(πS)例如，已知一个圆的面积为50cm²，可以计算其半径和周长：半径r=√(50/π)≈3.99cm周长C=2π×3.99≈25.10cm三、圆的相关概念应用1. 圆的应用圆在几何学和物理学中有广泛的应用。

圆的基本知识点总结和公式圆是平面几何中最基本的几何图形之一。

它是由一个平面上距离固定点相等的点构成的集合。

本文将概述圆的基本定义、性质和公式，以及它在现实生活中的应用。

一、基本定义圆被定义为距离中心点固定距离的所有点的集合。

距离被称为半径（r），中心点被称为圆心（O）。

用符号表示圆。

二、圆的性质1.直径直径（d）是连接圆上两个相对点的线段，通过圆心。

它是半径的两倍，即d=2r。

2.周长周长（C）是圆上所有点到圆心的距离之和。

圆的周长公式是C=2πr，其中π（pi）表示一个圆的周长和直径之比，大约为3.14。

3.面积圆的面积（A）是圆内部的所有点的面积的总和，公式是A=πr²。

4.弧弧是圆上两个点之间的一段曲线。

圆的周长可以看作是一个完整的弧的长度。

5.扇形扇形是由圆心和两个相邻半径之间的弧形区域组成的图形。

圆的面积可以分解为若干个扇形的面积之和。

6.切线切线是从圆外一点画出的一条直线，它与圆相切于圆上一个点处。

切线与半径的长度相等。

7.圆弦圆弦是连接圆上两个点的线段。

如果一条弦穿过圆心，则被称为直径。

三、现实应用在现实生活中，圆形图案经常出现。

圆形的形状使得它非常适合用于实现运动和旋转。

以下是一些示例。

1. 轮胎轮胎是由圆形轮辋和圆形轮胎组成的。

轮胎的圆形轮廓使它可以在任何方向上旋转。

2. 模拟器游戏、飞行和汽车模拟器通常都有一个圆形的控制器。

圆形的形状使其易于操纵，可以随意改变方向。

3. 平盘秤平盘秤是一种由两个圆形盘组成的手持秤，遵循平衡原则。

当需要测量重量时，将物品放在一个盘子上，然后向另一个盘子上添加重量，直到两个盘子保持平衡。

4. 平面旋转圆形的形状也使得它非常适合在一个平面上做旋转运动。

这个概念被广泛应用于机械和电子工程，如发动机和电机。

四、结论在我们的日常生活中，圆形图案似乎无处不在。

可以想象一下，如果没有圆形，我们的许多设备和工具将无法如此有效地运作。

与其他几何形状相比，圆形的形状会导致许多有趣的性质和应用。

圆的知识点总结圆是几何学中的基本图形之一，是指平面上的一组点，这些点到一个固定点的距离都相等。

下面将对圆的知识点进行总结。

一、基本概念：1. 圆心：圆心是圆的中心点，用字母O表示。

2. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，用字母r表示。

3. 直径：穿过圆心，且两个端点在圆上的线段称为直径，直径的长度是半径的2倍。

4. 弦：在圆上任取两点，并连接这两点的线段称为弦。

5. 弧：在圆上，弦所夹的部分叫做弧，两点所表示的角度可以表示弧的长度。

二、圆的公式：1. 圆的周长：圆的周长等于圆的直径乘以π（π≈3.14），即C=2πr。

2. 圆的面积：圆的面积等于圆的半径平方乘以π，即A=πr²。

三、圆与直线的相关性质：1. 切线：切线是与圆相切且与半径垂直的直线。

切线与半径的交点是相切点。

2. 弦切角定理：在圆内部，如果一条弦与一个切线相交，那么这条弦所对的弧的两条弦所对的弧的和等于弧所对的角的度数。

3. 弧切角定理：在圆内部，如果一条弧与一个切线相交，那么该弧能够分出的两个弧所对的角的度数和等于弧所对的角的度数。

四、圆的相交关系及性质：1. 两个圆相交：当两个圆的半径之和大于两个圆心之间的距离时，两个圆相交。

2. 相交弦定理：两个相交圆的弦所夹的两个圆弧，所对的角互为补角。

3. 两个圆的外切线：当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，两个圆的外切线重合。

4. 两个圆的内切线：当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差时，两个圆的内切线重合。

五、圆的投影：1. 圆柱的投影：当有一个光源位于圆柱上方时，圆柱在水平面上的投影是一个同心圆。

2. 球的投影：球在投影平面上的投影是一个圆。

六、圆相关的常用公式：1. 弧长公式：L = rθ，其中L代表弧长，r代表半径，θ代表所对弧的角度。

2. 弧度制与角度制的转换：θ（角度）= π/180 × θ（弧度）。

3. 扇形面积公式：A = 1/2 × r² × θ，其中A代表扇形的面积，r代表半径，θ代表对应的圆心角的弧度数。

〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。

集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是…，通常用π表示，计算中常取为它的近似值。

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。

和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

圆锥侧面展开图是一个扇形。

这个扇形的半径成为圆锥的母线。

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O 相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。

两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P ＜R-r。

圆形的基础知识一、圆形的定义圆呢，就是在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线。

这个点就叫做圆心，而从圆心到圆上任意一点的距离就叫做半径。

就像我们生活中的车轮子，它基本上就是圆形的，圆心就是轮子中间的那个点，半径就是从中间那个点到轮子边缘的距离啦。

二、圆形的周长1. 计算方法圆的周长计算公式是C = 2πr或者C = πd。

这里面的C就是周长啦，r是半径，d是直径（直径就是半径的两倍哦，也就是d = 2r），π呢，是一个无限不循环小数，通常我们取3.14来计算。

比如说，一个圆的半径是3厘米，那它的周长就是2×3.14×3 = 18.84厘米。

这就好像我们用一根绳子去绕这个圆一圈，绳子的长度就是这个圆的周长。

2. 生活中的例子在生活中，我们计算圆形花坛的围栏长度就会用到这个公式。

假如花坛的半径是5米，那围栏的长度就是2×3.14×5 = 31.4米，这样我们就能知道需要买多长的围栏材料啦。

三、圆形的面积1. 计算方法圆的面积公式是S = πr²。

比如说一个圆的半径是4厘米，那它的面积就是3.14×4² = 3.14×16 = 50.24平方厘米。

这个公式是怎么来的呢？其实是把圆转化成近似的长方形推导出来的，不过这有点复杂，我们只要记住这个公式就好啦。

2. 生活中的应用比如我们要给一个圆形的餐桌铺上桌布，就需要先算出餐桌的面积，然后买合适大小的桌布。

如果餐桌的半径是0.5米，那它的面积就是3.14×0.5² = 0.785平方米。

四、圆形的相关概念1. 弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

比如在一个钟面上，从12点到3点的那一段弧线就是弧。

弧长的计算公式是l = nπr÷180（n是圆心角的度数，r是半径）。

2. 扇形由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。

圆的知识点总结简要一、圆的定义和基本概念1. 圆的定义圆是一个平面上的点到另一个点距离等于定值的所有点的集合。

通常我们将这个距离定值称为圆的半径。

可以用数学式表示为：圆的定义为：平面上到定点距离等于常数r（半径）的点的集合。

2. 圆的基本元素圆的基本元素包括圆心、半径、直径、圆周和弧。

圆心是指圆上所有点到该点的距离相等（等于半径）。

半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用r表示。

直径是圆上通过圆心的任意两点之间的距离，直径是直线段的长度，是半径的两倍。

圆周是圆上的一条封闭曲线，是所有到圆心距离等于r的点的集合，通常也称为圆的周长。

而弧是圆周上两点之间的曲线部分。

二、圆的性质1. 圆的性质- 圆上任意一点到圆心的距离都相等，等于半径r。

- 任意一条直径等分圆，即将直径平分为两个相等的半圆。

- 圆的直径是圆周的两倍，即直径d=2r。

- 圆的直径是最长的弦，即圆周上任意两点的连线。

- 圆的面积和周长与半径的关系分别为：面积S=πr^2，周长C=2πr。

- 圆的任意弧长s和对应的对角线长d之间的关系为：s=rθ，d=2rsin(θ/2)，其中θ为弧度。

2. 圆的切线性质- 圆上任意一点，有且只有一条与圆相切的直线。

- 切线与半径的夹角为直角（90度）。

三、圆的相关公式1. 圆的周长和面积- 圆的周长公式为：C=2πr。

- 圆的面积公式为：S=πr^2。

2. 圆的弧长和扇形面积- 弧长公式为：s=rθ，其中θ为弧度。

- 扇形面积公式为：A=0.5r^2θ，其中θ为扇形的圆心角的弧度。

3. 圆的切线方程和切点坐标- 圆的标准方程为（x-a）^2 + (y-b)^2 = r^2，其中（a，b）为圆心坐标，r为半径。

- 圆的切线方程为y = mx ±√(r^2m^2-r^2+b^2)。

四、圆的应用1. 工程应用- 圆的几何形状在工程设计和施工中具有广泛的应用，例如桥梁拱形结构、齿轮的设计等。

- 圆的运动学特性在机械传动系统和轮胎等方面有着重要应用。

1 ．圆的定义：平面上的一种曲线图形。

2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

圆心一般用字母 O 表示。

它到圆上任意一点的距离都相等．3 ．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。

半径一般用字母 r 表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

4 ．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

5 ．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

直径一般用字母 d 表示。

6 ．在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。

7 ．在同一个圆里，有无数条半径，有无数条直径。

8 ．在同一个圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的一半。

1用字母表示为： d ＝2 r r ＝2 d用文字表示为：直径 =半径×2 半径 =直径÷29 ．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

10 ．圆的周长总是直径的 3 倍多一些，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们它叫做圆周率，用字母表示。

圆周率是一个无限不循环小数。

在计算时，取 3.14。

世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

11 ．圆的周长公式： 1.知道直径 d ：圆周长 = ×直径： C = d2.知道半径 r ：圆周长=2××半径： C=2 r12.知道圆的周长 C 求直径： d=C 知道圆的周长 C 求半径：r= C 213、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。

S = r2 2.已知 d 时：S = (d 2)214 ．求圆面积的公式： 1.已知 r 时：3.已知 C 时：先求出半径( r= C 2)，然后S = r2或者直接用公式：S = (C 2)215 ．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

16 ．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

17 ．一个环形，外圆的半径是 R ，内圆的半径是 r它的面积是S = R2 一 r2 或 S= (R2 -r2)18 ．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。

圆的基本概念圆是几何学中的一种基本形状，它具有许多独特的特性和重要的应用。

本文将介绍圆的基本概念、性质和应用，以及与圆相关的一些重要定理和公式。

一、圆的定义圆是由平面上距离中心固定距离的所有点构成的图形。

其中，距离中心最远的点称为圆的边界，也称为圆周；距离中心的长度称为圆的半径，用字母r表示；直径是通过圆心并且两端点都在圆周上的线段，直径的长度是半径长度的两倍。

二、圆的性质1. 圆上的任意两点与圆心的距离相等。

2. 圆的直径是圆周长的两倍。

3. 圆的面积公式为S = π * r²，其中π是一个常数，约等于3.14。

4. 圆的周长公式为C = 2 * π * r。

5. 在圆内任取一点A，与圆心连线，得到线段OA。

以OA为半径，做圆心在圆上作弦AB，与OA所关的扇形和三角形OAB的面积之和等于全圆的面积。

三、圆的重要定理1. 切线定理：如果一条直线与圆相切于点T，那么切线的斜率等于与圆心连线的斜率。

2. 弧长定理：弧所对的圆心角的大小等于弧长与半径的比值。

3. 弦长定理：弦所对的两个圆心角的大小相等。

四、圆的应用1. 圆在几何图形的构建中具有重要作用，可以通过给定的半径和圆心画出一个确定的圆。

2. 圆的应用广泛，例如建筑设计中的圆形窗户和圆形拱门，以及机械工程中的圆锥和齿轮系统。

3. 圆的性质在计算机图形学和计算机编程中被广泛应用，例如设计和绘制圆形图标、圆形按钮等。

总结：圆作为几何学中的基本形状，具有着丰富的性质和重要的应用价值。

通过对圆的定义、性质和定理的理解，我们可以更好地认识和应用圆形图形。

在实际生活和工作中，我们经常会遇到和使用圆，因此深入理解圆的基本概念对我们的学习和工作具有重要意义。

通过不断学习和探索，我们可以更好地利用圆的特性，将其应用于各个领域，促进我们的创新和发展。

圆的概念公式及推导完整版圆是在平面上由离一个固定点距离相等的所有点构成的几何图形。

圆由圆心和半径组成，其中圆心表示固定点，半径表示圆心到圆上任意一点的距离。

一、圆的定义：圆可以通过以下定义来描述：在平面上，固定一个点O作为圆心，取一个长度为r的固定线段OP作为半径，那么满足OP=OP’的所有点P构成的集合就是圆。

二、圆的基本性质：1.所有圆上的点到圆心的距离都相等，即圆上任意两点之间的距离相等。

2.圆的直径是通过圆心的任意两点构成的线段，直径的长度等于半径的两倍。

3.圆的半径和直径是圆上的重要元素，在圆的几何证明中经常被使用。

三、圆的周长和面积公式的推导：1.周长公式的推导：假设圆的半径为r，利用圆的定义，可以得到圆的周长公式C=2πr，其中π约等于3.14或22/7设圆的周长为C，将C分成n段，每段长度为s，那么每段所对应的弧长也是相等的，即s=2πr/n。

当n趋向于无穷大时，每段趋向于无穷小，弧长s趋向于0，此时所有的弧长连成一个圆，即C=2πr。

因此，圆的周长公式C=2πr可以得到。

2.面积公式的推导：假设圆的半径为r，利用圆的定义，可以得到圆的面积公式S=πr^2将圆上的点P连接圆心O，并连接P与圆上的一点A，可以得到一个扇形OAP，其中OA为半径，OP为弧长。

我们可以发现，当扇形的弧长OP 趋向于圆周C时，扇形会无限逼近一个三角形OAP。

当扇形无限接近三角形时，扇形的面积可近似于三角形的面积。

由于三角形的面积公式为S=1/2bh，其中b为底边的长度，h为高的长度。

在三角形OAP中，底边为弧长OP，高为半径OA，所以三角形OAP的面积为S=1/2(OP*OA)。

当弧长OP趋向于圆周C时，三角形OAP无限接近一个圆的半圆，此时圆的半径OA等于三角形的高，所以S=1/2(OP*OA)进一步化简为S=1/2(C*r)。

因此，圆的面积公式S=πr^2可以得到。

四、圆的其他公式和性质：1.弧长公式：设圆的半径为r，圆心角为θ度，则弧长L=rθ。

圆的知识点概念公式大全一．圆的定义1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．二．同圆、同心圆、等圆1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3．半径相等的圆叫做等圆．三．弦和弧1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的弧记作»AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．四．与圆有关的角及相关定理1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角．圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半．4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角．圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半．5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．五．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2．其它正确结论：⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．3．知二推三：⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法：⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT △，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．相关题目：1．平面内有一点到圆上的最大距离是6，最小距离是2，求该圆的半径2．（08郴州）已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD ，是两条平行弦，且86AB CD ==，，则弦AC 的长为__________．． 六．点与圆的位置关系 1．点与圆的位置有三种：⑴点在圆外⇔d r >；⑵点在圆上⇔d r =；⑶点在圆内⇔d r <. 如下表所示：2．过已知点作圆⑴经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点A B、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C、、三点、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．⑷过n()4n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．4．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.图3图2图1CBCC五．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：四．切线的性质及判定1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3. 切线长和切线长定理：⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．五．三角形内切圆1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．六．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设12O O 、⊙⊙的半径分别为R r 、（其中R r >），两圆圆心距为d ，则两圆位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．d R r >+⇔两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．d R r=+⇔两圆外切相交两个圆有两个公共点．R r d R r-<<+⇔两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．d R r=-⇔两圆内切内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．0d R r≤<-⇔两圆内含说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．七．正多边形与圆1. 正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．⑶正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．⑷正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3. 正多边形的性质：⑴正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴； ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．八、圆中计算的相关公式设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ， 1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线） 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： ① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法。

有关圆的知识点及公式
以下是有关圆的知识点和公式：
定义：平面上距离某一点固定距离的所有点的集合，该点称为圆心，固定距离称为半径。

1.周长公式：圆的周长等于直径乘以π，即C=πd。

2.面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A=πr²。

3.弧度：弧度是一种角度的度量方式，定义为圆弧的长度等于半径的弧所对的圆心角的大小，常用符号为rad。

4.弧长公式：圆弧的长度等于圆心角的大小（用弧度表示）乘以半径，即L=rθ。

5.圆心角的大小：圆心角的大小等于弧度乘以180°π。

6.切线：从圆上某一点向圆外引一条直线，该直线与过该点的半径垂直，那么该直线称为圆的切线。

7.切线定理：切线与半径的关系为：切线的长度等于其与圆心的连线所夹的圆心角对应的弧长。

8.弦：圆上任意两点之间所连的线段称为圆的弦。

9.弦长公式：弦长等于半径的两倍乘以正弦值的一半，即L=2r×sin(θ2)。

以上是关于圆的一些基本知识点和公式，可以帮助我们更好地理解圆的性质和计算。

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圆的基本性质与计算公式（知识点总结）圆是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和计算公式。

本文将从不同的角度来总结和介绍圆的基本性质和计算公式，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、圆的基本概念和性质1. 定义：圆是由平面上任意一点到一个固定点的距离等于常数的所有点的集合。

2. 圆心：固定点称为圆心，通常用字母O表示。

3. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。

4. 直径：通过圆心的一条线段，两个端点在圆上的线段称为直径，直径等于半径的两倍。

5. 弦：在圆上任意两点之间的线段称为弦，圆的直径也是一种特殊的弦。

6. 弧：在圆上两点之间的一段弧，圆心夹的角称为圆心角，它等于所对圆弧的一半。

7. 切线：与圆相切于圆上一点的直线称为切线，切线与半径的夹角为90度。

二、圆的计算公式1. 圆的周长：周长即圆的周长，用C表示，由于圆是一个闭合曲线，所以其周长是所有弧长的总和。

周长计算公式为C = 2πr，其中π取近似值3.14。

2. 圆的面积：面积是圆所包围的平面区域，用A表示，计算公式为A = πr²。

3. 弧长：弧长是指圆上一段弧的长度，用字母L表示。

弧长的计算公式为L = 2πr(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。

4. 扇形面积：扇形是由圆心和两个弧上的点组成的区域，扇形面积即扇形所包围的平面区域，用字母S表示。

扇形面积的计算公式为S = 0.5πr²(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。

5. 弓形面积：弓形是由圆上的弧和圆心到弧的两条切线组成的区域，弓形面积即弓形所包围的平面区域，用字母A表示。

弓形面积的计算公式为A = 0.5r²(θ/360 - sinθ)，其中θ表示圆心角的度数。

三、应用举例1. 例题一：已知一个圆的半径为6cm，求其周长和面积。

解：周长C = 2πr = 2π × 6 ≈ 37.68 cm，面积A = πr² = π × 6² ≈ 113.04 cm²。

圆公式〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。

集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。

和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

圆锥侧面展开图是一个扇形。

这个扇形的半径成为圆锥的母线。

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆--⊙半径--r 弧--⌒直径--d 扇形弧长／圆锥母线--l 周长--C 面积--S 〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。

两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

初中圆知识点总结公式1. 圆的基本概念圆是由平面上所有到一个固定点距离等于定长的点组成的集合。

这个固定点叫做圆心，定长叫做半径。

圆的图形可以用一个圆心和半径表示。

2. 圆的元素在圆的几何图形中，有一些基本的元素，包括圆心、半径、直径、弧、圆周、切点等。

- 圆心：圆的中心点，通常用O表示。

- 半径：从圆心到圆周上任意一点的线段，通常用r表示。

- 直径：穿过圆心的两个点之间的线段，通常用d表示。

- 弧：圆上两点之间的弧线，通常用l表示。

- 圆周：圆的周长，通常用C表示。

- 切点：直线和圆相切的点。

3. 圆的面积和周长圆的面积和周长是初中圆的重要知识点，它们的计算公式如下：- 圆的周长：C = 2πr- 圆的面积：S = πr²其中，π是一个无限不循环小数，可以近似表示为3.14。

根据圆的周长和面积公式，可以推导出其他相关公式，比如直径和圆的周长和面积的关系：d = 2r, C = πd, S = π(r²)。

4. 圆的内切正多边形圆的内切正多边形是一个非常重要的几何概念，它可以用来计算圆周率π的近似值。

内切正多边形的边数越多，其面积越接近于圆的面积。

根据内切正多边形的面积公式，我们可以推导出π的近似值。

5. 圆的相关定理在初中数学中，圆的相关定理也是一个重要的知识点，包括：相交弧定理、相交弦定理、弧长定理、切线定理等。

掌握这些定理可以帮助学生更好地理解圆的性质和特点。

6. 圆的相关问题在解决数学问题时，圆也经常出现在各种问题中，比如与圆相关的几何问题、坐标系中的圆、圆的方程等。

掌握了圆的相关知识和公式后，可以更好地解决这些问题。

以上就是初中圆的知识点和相关公式的总结，掌握这些知识可以帮助学生更好地理解圆的性质和特点，解决与圆相关的各种数学问题。

希望同学们能够认真学习并掌握这些知识，为更深入的数学学习打下坚实的基础。

圆的概念及公式总结1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。

2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

圆心一般用字母O表示。

它到圆上任意一点的距离都相等．3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。

半径一般用字母r 表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

直径一般用字母 d 表示。

6．在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。

7．在同一个圆里，有无数条半径，有无数条直径。

8．在同一个圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的一半。

用字母表示为：d＝２rr ＝12d用文字表示为：直径=半径× 2 半径=直径÷ 29．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

10．圆的周长总是直径的 3 倍多一些，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们它叫做圆周率，用字母表示。

圆周率是一个无限不循环小数。

在计算时，取 3.14。

世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

11．圆的周长公式： 1.知道直径d：圆周长= ×直径：C= d2.知道半径r ：圆周长=2××半径：C=2 r12.知道圆的周长 C 求直径：d=C 知道圆的周长 C 求半径：r= C 213、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。

14．求圆面积的公式： 1.已知r 时：2S r 2.已知d 时：S d 2 22S r 3.已知C 时：先求出半径（r= C 2），然后2S C 2 或者直接用公式：15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r它的面积是2 2S R r 2-r2)或S= (R18．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。

圆的概念公式定理推论初三（4）班周雍圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧垂径定理的逆定理平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧“知二推三”。

（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。

知道其中两个，就可以推出另外三个平行弦所夹的弧相等弦心距的概念弦到圆心的距离叫弦心距圆心角的概念顶点在圆心，另外两点在圆上所形成的角尺规作图找出圆心任意画两条弦，做这两条弦的垂直平分线，交点就是圆心。

圆周角顶点在圆上，其它两点也在圆上所形成的角同弧或等弧所对的圆周角相等【直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

】圆心角和圆周角的大小关系同弧或等弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半【∠1=∠P】圆内接四边形的性质圆内接四边形对角互补相交弦定理如果圆内有两条弦分割出的两条线段大小的乘积相等确定圆的条件经过1点、2点都可以画无数个圆。

不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

外接圆外接圆的由来：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

这个三角形叫做圆的内接三角形。

外心：外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

因为垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。

三角形与外心的位置关系锐角三角形的外心在锐角三角形的内部；直角三角形的外心在斜边的中点；钝角三角形在三角形的外部。

点与圆的位置关系如果这个点到圆心的距离大于半径，则点在圆外【d＞r】如果这个点到圆心的距离等于半径，则点在圆上【d=r】如果这个点到圆心的距离小于半径，则点在圆内【d＜r】【圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

】直线和圆的位置关系1、相交：直线和圆有两个交点【d＜r】2、相切：直线和圆有一个交点【d=r】3、相离：直线和圆没有交点【d＞r】切线和切点直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。