同步北师大版数学选修1-1练习：第二章 §1 1.2 第1课时 椭圆的简单性质

1.2椭圆的简单性质(二)学习目标1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一点与椭圆的位置关系思考1判断点P(1,2)与椭圆x24＋y2＝1的位置关系．思考2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？知识点二直线与椭圆的位置关系思考1直线与椭圆有几种位置关系？思考2如何判断y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系？知识点三直线与椭圆的相交弦思考若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？梳理弦长公式：(1)|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]；(2)|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. 注：直线与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k 为直线的斜率．其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．类型一直线与椭圆的位置关系命题角度1直线与椭圆位置关系的判断例1直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是() A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定反思与感悟直线与椭圆的位置关系判断方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点．(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点．(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．跟踪训练1在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．命题角度2距离的最值问题例2在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．反思与感悟此类问题可用数形结合思想寻找解题思路，简化运算过程，也可以设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式求出最小距离．跟踪训练2已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．类型二弦长及中点弦问题例3已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点． (1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度； (2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练3已知椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．引申探究在例4中，设直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程．反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．跟踪训练4椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为 3.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且直线l 的方程为y ＝kx ＋3(k >0)，若O 为坐标原点，求△OAB 的面积的最大值．1．经过椭圆x 216＋y 23＝1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为() A ．6B ．8C ．10D ．162．经过椭圆x 29＋y 26＝1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为() A ．1B ．2C ．3D ．43．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是() A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠34．过点P (－1,1)的直线交椭圆x 24＋y 22＝1于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，则AB 所在的直线方程为________________．5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点， 且|MN |＝423，求直线l 的方程．解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解．答案精析问题导学知识点一思考1当x ＝1时，得y 2＝34，故y ＝±32，而2>32，故点在椭圆外． 思考2当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b2>1； 当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b2＝1； 当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b2<1. 知识点二思考1有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．思考2联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程.知识点三 思考有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得．题型探究例1A [直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．] 跟踪训练1解由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1. 整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0， 解得k ＜－22或k ＞22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 例2解设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4， 显然y ＝32x －4距l 最近， d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313， 切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74. 跟踪训练2解设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0， 得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0，最小距离为d ＝|4－3|2＝22. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧ x ＝－83，y ＝13，即P 点坐标为(－83，13)． 例3解(1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)， 即y ＝12x .由⎩⎨⎧ y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2 ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝52×62＝310.所以线段AB 的长度为310.(2)当直线l 的斜率不存在时，不合题意．所以直线l 的斜率存在．设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，消去y 得 (1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2， 由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4， 解得k ＝－12，且满足Δ>0. 这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.跟踪训练3解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差， 得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.①∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22， 代入①式可得b ＝2a .∵直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1.又|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，∴|x 2－x 1|＝2.联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0，可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ，∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b.② 将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13， ∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1. 例4解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ， 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由(1)知5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .引申探究解可求得O 到AB 的距离d ＝|m |2， 又|AB |＝2510－8m 2， ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12·2510－8m 2·|m |2＝25(54－m 2)m 2≤25·(54－m 2)＋m 22＝14， 当且仅当54－m 2＝m 2时，等号成立， 此时m ＝±104∈[－52，52]． ∴所求直线的方程为x －y ±104＝0. 跟踪训练4解(1)已知椭圆的离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ， 即b ＝3t ，其中t >0，又△F 1PF 2面积取最大值3时，即点P 为短轴端点， 因此12·2t ·3t ＝3， 解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 24＋y 23＝1， 整理得(4k 2＋3)x 2＋83kx ＝0.解得x 1＝0或x 2＝－83k 4k 2＋3. ∵k >0，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|－83k 4k 2＋3| ＝1＋k 2·83k 4k 2＋3， 原点O 到直线l 的距离为d ＝31＋k 2. ∴S △OAB ＝121＋k 2·83k 4k 2＋3·31＋k 2＝12k 4k 2＋3＝124k ＋3k≤1243＝3， 当且仅当4k ＝3k ，即k ＝32时， △OAB 面积的最大值为 3.当堂训练1．B2.D3.B4.x －2y ＋3＝05．解设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简， 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0. 由|MN |＝423，得 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， 所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， 所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2)2＝329， 化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.。

[A.基础达标]1．已知椭圆x 216＋y 29＝1及以下3个函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝cos x ，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积．易知f (x )＝x ，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝cos x 为偶函数，故①②满足要求．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个顶点在直线x ＋43y ＝4上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±5，0)B ．(0，±5)C ．(±7，0)D ．(0，±7)解析：选C.直线x ＋43y ＝4在坐标轴上的截距为4、3，所以a ＝4，b ＝3，所以c ＝42－32＝7，故椭圆的焦点坐标为(±7，0)．3.如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( ) A.－1＋52B.5－1C.2－12D.2－1 解析：选A.因为Rt △AOB ∽Rt △BOC ，所以a b ＝b c，即b 2＝ac ， 又b 2＝a 2－c 2，所以a 2－c 2＝ac ，即c 2＋ac －a 2＝0，所以e 2＋e －1＝0，又e ∈(0，1)，所以e ＝－1＋52. 4．如图，已知ABCDEF 是边长为2的正六边形，A 、D 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)长轴的两个端点，BC 、EF 分别过椭圆两个短轴的端点，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 23＋y 24＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 23＋y 2＝1 解析：选A.因为a ＝|AO |＝2，b ＝2×32＝ 3. 故该椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 5．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A ．98aB ．99aC ．100aD ．101a 解析：选D.设F 2为椭圆的右焦点，|F 1P i |＋|F 2P i |＝2a (i ＝1，2，…，99)，P 1，P 2，…，P 99关于y 轴成对称分布， ∑i ＝199 （|F 1P i |＋|F 2P i |）＝2a ×99＝198a ，∑i ＝199| F 1P i |＝12∑i ＝199 (|F 1P i |＋|F 2P i |)＝99a .又因为|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，所以|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |＝99a ＋2a ＝101a .6．已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________． 解析：由题意知，2a ＝20，a ＝10，e ＝c a ＝35， 所以c ＝6，b 2＝a 2－c 2＝64.故椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1. 答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1 7．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是________．解析：将椭圆化为标准方程为x 21m ＋1＋y 21m＝1， 则必有m >0.因为m ＋1>m >0，所以1m ＋1<1m. 所以a 2＝1m ，a ＝m m ，2a ＝2m m. 答案：2m m8．若椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率e ∈⎣⎡⎭⎫22，1，则实数m 的取值范围为________． 解析：当焦点在x 轴上时，可得：⎩⎨⎧0＜m ＜4，22≤4－m 2＜1，解得m ∈(0，2]； 当焦点在y 轴上时，可得：⎩⎨⎧m ＞4，22≤m －4m ＜1，解得m ∈[8，＋∞)， 故m ∈(0，2]∪[8，＋∞)．答案：(0，2]∪[8，＋∞)9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． 解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1， 因为m －m m ＋3＝m （m ＋2）m ＋3>0， 所以m >m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m （m ＋2）m ＋3. 由e ＝32得 m ＋2m ＋3＝32，所以m ＝1. 所以椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. 所以a ＝1，b ＝12，c ＝32. 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为(－32，0)，(32，0)；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，(0，－12)，(0，12)． 10．(1)已知椭圆E 经过点A (2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.求椭圆E 的方程． (2)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，所以椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1. 将A (2，3)代入上式，得1c 2＋3c2＝1，解得c 2＝4， 所以椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如题图所示，则有F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，b )，B (a ，0)，直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a，所以P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 又PF 2∥AB ，所以△PF 1F 2∽△AOB .所以|PF 1||F 1F 2|＝|AO ||OB |，所以b 22ac ＝b a，所以b ＝2c . 所以b 2＝4c 2，所以a 2－c 2＝4c 2，所以c 2a 2＝15. 所以e ＝c a ＝55.[B.能力提升]1．已知直线x ＝t 与椭圆x 225＋y 29＝1交于P ，Q 两点，若点F 为该椭圆的左焦点，则使FP →·FQ →取得最小值时，t 的值为( )A ．－10017B ．－5017C.5017D.10017解析：选B.若P 在x 轴上方，则P (t ，9（1－t 225）)，Q (t ，－9（1－t 225）)， 所以FP →＝(t ＋4，9（1－t 225）)，FQ →＝(t ＋4，－9（1－t 225）)，FP →·FQ →＝3425t 2＋8t ＋7，t ∈(－5，5)，其对称轴为t ＝－5017∈(－5，5)，故当t ＝－5017时， FP →·FQ →取最小值． 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，B 为上顶点，F 为左焦点，A 为右顶点，且右顶点A 到直线FB 的距离为2b ，则该椭圆的离心率为( )A.22 B ．2－ 2 C.2－1 D.3－ 2解析：选C.由题意知，A (a ，0)，直线BF 的方程为x －c ＋y b＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，由题意得|ab ＋bc |b 2＋c 2＝2b ，即a ＋c a ＝2，1＋c a ＝2，c a ＝2－1，所以e ＝2－1. 3．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是________． 解析：由已知得e ＝c a ＝12，则c ＝a 2.又x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ca a 2＝b 2＋a 2a 2＜2a 2a2＝2，因此点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内． 答案：点P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率为________．解析：由|AO →||AF →|＝|AP →||AB →|＝23＝a a ＋c ，得a ＝2c . 故e ＝c a ＝12. 答案：125．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A (0，1)，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 是椭圆上的一点，求|AP |的最大值． 解：(1)因为过点A (0，1)，所以b ＝1， 又因为离心率为32，所以a ＝2，c ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设点P (x 0，y 0)，则满足x 204＋y 20＝1， 得x 20＝4(1－y 20)，所以|AP |2＝x 20＋(y 0－1)2＝4(1－y 20)＋(y 0－1)2， 整理得|AP |2＝－3y 20－2y 0＋5＝－3(y 0＋13)2＋163， 所以当y 0＝－13时，|AP |max ＝433. 6．(选做题)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝120°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， |PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos120°＝(m ＋n )2－mn ＝4a 2－mn ≥4a 2－(m ＋n 2)2＝4a 2－a 2＝3a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)． 所以c 2a 2≥34，即e ≥32. 又0<e <1，所以e 的取值范围是[32，1)． (2)证明：由(1)知mn ＝4b 2，所以S △F 1PF 2＝12mn sin 120°＝3b 2， 即△F 1PF 2的面积只与短轴长有关．。

1．2椭圆的简单性质授课提示：对应学生用书第14页一、椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围|x|≤a，|y|≤b |y|≤a，|x|≤b 顶点(±a,0)，(0，±b) (0，±a)，(±b,0) 轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点(±c,0)(0，±c)焦距2c对称性对称轴坐标轴，对称中心原点离心率e＝ca二、当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆．[疑难提示]椭圆方程中a，b，c的意义结合椭圆的定义与几何性质可以知道，a：定义中定长的一半，长半轴的长，焦点到短轴顶点的距离；b：短半轴的长；c：焦点到椭圆的中心的距离，焦距的一半．a，b，c恰好可以构成以a为斜边的直角三角形，如图所示．[想一想]1．能否用a和b表示椭圆的离心率e?提示：可以．由于e＝ca，又c＝a 2－b2，故e＝ca＝a2－b2a＝1－b2a2.[练一练]2．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率为( ) A.12 B.22C. 2D ．2解析：由b ＝c 得c 2＝b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2c 2即c 2a 2＝12，∴e ＝c a ＝22. 答案：B3．椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长为________，短轴长为________，焦点坐标为________，顶点坐标为______，离心率为________．答案：18 6 (0，±62) (±3,0)和(0，±9) 223授课提示：对应学生用书第15页探究一 由椭圆方程得椭圆的几何性质[典例1] 求下列椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，顶点坐标以及离心率． (1)4x 225＋y 216＝1； (2)m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)．[解析] (1)椭圆的方程4x 225＋y 216＝1可转化为x 2254＋y 216＝1.∵16>254，∴焦点在y 轴上，并且长半轴长a ＝4，短半轴长b ＝52，半焦距c ＝a 2－b 2＝16－254＝392，∴长轴长2a ＝2×4＝8，短轴长2b ＝2×52＝5，焦点坐标为(0，－392)，(0，392)， 顶点坐标为(－52，0)，(52，0)，(0，－4)，(0,4)，e ＝c a ＝398. (2)椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)，可化为x 21m 2＋y 214m 2＝1.∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2，∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为(－32m ，0)，(32m，0)，顶点坐标为(1m ，0)，(－1m ，0)，(0，－12m )，(0，12m )，e ＝c a ＝32.已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a 与b ，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是( )A ．(±1,0)B ．(0，±1)C ．(±7，0)D ．(0，±7)解析：由题意，椭圆的焦点在y 轴上，a ＝4，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝42－32＝7，所以椭圆的焦点坐标是(0，±7)，故选D.答案：D2．已知椭圆mx 2＋(m ＋9)y 2＝25m (m >0)的离心率e ＝35，求实数m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解析：椭圆的方程可化为x 225＋(m ＋9)y 225m ＝1.∵25－25m m ＋9＝225m ＋9>0，∴25>25mm ＋9， 即a 2＝25，b 2＝25m m ＋9，c 2＝a 2－b 2＝225m ＋9，由e ＝35，得22525(m ＋9)＝925，∴m ＝16.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3.∴椭圆的长轴长为10，短轴长为8，两焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，四个顶点坐标分别为(－5,0)，(5,0)，(0，－4)，(0,4)．探究二 利用几何性质求标准方程[典例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，a ＝2，离心率e ＝12；(2)一焦点坐标为(－3,0)，一顶点坐标为(0,5)； (3)过点(3,0)，离心率e ＝63. [解析] (1)由a ＝2，e ＝12，可得a 2＝4，且c 2＝12，即c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.已知椭圆的焦点在y 轴上，所以所求的标准方程为y 24＋x 23＝1.(2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3,0)，可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝3.又由一顶点坐标为(0,5)，可得b ＝5，所以a 2＝b 2＋c 2＝25＋9＝34.因此所求的标准方程为x 234＋y 225＝1.(3)当椭圆的焦点在x 轴上时，因为a ＝3，e ＝63， 所以c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，因为b ＝3，e ＝63， 所以a 2－b 2a ＝63，所以a 2＝27，所以椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：(1)求出a 2，b 2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程．3．解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1 解析：由椭圆的定义可知2a ＋2a ＝12，即a ＝3.由e ＝a 2－b 2a ＝23，解得b 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.答案：D4．求符合下列条件的椭圆标准方程： (1)焦距为8，离心率为45；(2)焦点与较接近的长轴端点的距离为10－5，焦点与短轴两端点的连线互相垂直； (3)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)． 解析：(1)由题意，因为2c ＝8，所以c ＝4； 又因为c a ＝45，所以a ＝5，所以b 2＝9，焦点在x 轴上时，椭圆标准方程为x 225＋y 29＝1；焦点在y 轴上时，椭圆标准方程为y 225＋x 29＝1.(2)由题意，a －c ＝10－5，b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2， 所以解得a 2＝10，b 2＝5，焦点在x 轴上时，椭圆标准方程为x 210＋y 25＝1；焦点在y 轴上时，椭圆标准方程为y 210＋x 25＝1.(3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知a ＝2b .① 又过点(2，－6)，因此有22 a2＋(－6)2 b2＝1或(－6)2a2＋22b2＝1.②由①②，得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.故所求椭圆的标准方程为x2148＋y237＝1或y252＋x213＝1.探究三椭圆的离心率椭圆的离心率—⎪⎪⎪⎪—直接法求椭圆的离心率—方程思想求椭圆的离心率—利用椭圆的定义求离心率—求椭圆的离心率的取值范围5．椭圆x24＋y29＝1的离心率是()A.53 B.52C.133 D.132解析：由方程知a＝3，b＝2，∴c＝a2－b2＝5，∴e＝ca＝53.答案：A6．(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.55 B.22C.33 D. 3解析：设椭圆的焦距为2c，则|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，∴e＝55.故选A.答案：A(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．答案：27－57．F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率．解析：如图，设|PF1|＝m，则|PQ|＝m，|F1Q|＝2m.由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a.∴|PF1|＋|PQ|＋|F1Q|＝4a，即m＋m＋2m＝4a，(2＋2)m＝4a.∴m＝(4－22)a.又|PF2|＝2a－m＝(22－2)a.在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2.即(4－22)2a2＋(22－2)2a2＝4c2.∴c2a2＝9－62＝3(2－1)2，∴e＝ca＝3(2－1)＝6－ 3.8．如图，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率e的取值范围．解析：由余弦定理得cos 60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，解得|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，即|PF 1|·|PF 2|＝4b 23，∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2， ∴3a 2≥4(a 2－c 2)，解得c a ≥12，又∵0<e <1，∴所求椭圆离心率e 的取值范围为[12，1)．因忽略讨论椭圆焦点位置致误[典例] 若椭圆x 2k ＋4＋y 24＝1的离心率为12，则k ＝________.[解析] 当焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋4，b 2＝4， 所以c 2＝k ，因为e ＝12，所以c 2a 2＝14，即k k ＋4＝14，所以k ＝43.当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝k ＋4， 所以c 2＝－k .由e ＝12，所以c 2a 2＝14，所以－k 4＝14. 所以k ＝－1.综上可知，k ＝43或k ＝－1.[答案] 43或－1[错因与防范] 本例易主观认为焦点在x 轴上，漏掉另一个解－1，从而导致答案不全面．对椭圆方程x 2m ＋y 2n ＝1，当分母含参数时，一要注意隐含条件分母m >0，n >0，m ≠n ，二要注意讨论焦点位置(即分母大小).莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

1.2椭圆的简单性质(一)学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的简单性质已知两椭圆C 1、C 2的标准方程：C 1：x 225＋y 216＝1，C 2：y 225＋x 216＝1.思考1怎样求C 1、C 2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2椭圆具有对称性吗？思考3椭圆方程中x ，y 的取值范围分别是什么？ 梳理知识点二椭圆的离心率思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？梳理(1)定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的________，用e表示．(2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近1，椭圆越______，当e越接近______，椭圆就越接近圆．类型一椭圆的简单性质引申探究已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．例1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．类型二求椭圆的离心率命题角度1与焦点三角形有关的离心率问题例2设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．反思与感悟涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝1－b 2a2求解．跟踪训练2椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________． 命题角度2利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)例3(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． (2)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．反思与感悟若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．跟踪训练3若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 类型三 利用椭圆的简单性质求方程 例4求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，且与y 轴的一个交点为(0，－10)，该点与最近的焦点的距离为10－5；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.反思与感悟在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b ，这就是我们常用的待定系数法．跟踪训练4椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程．1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)2.如图，已知直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B ，则椭圆的离心率为() A.15B.25 C.55D.2553．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆标准方程是()A.x 22＋y 24＝1B ．x 2＋y 26＝1 C.x 26＋y 2＝1D.x 28＋y 25＝1 4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 5.求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为13，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．答案精析问题导学知识点一思考1对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y＝0，得x＝±5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C2与y轴的交点为(0,5)与(0，－5)，与x轴的交点为(4,0)与(－4,0)．思考2有．问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．思考3C1：－5≤x≤5，－4≤y≤4；C2：－4≤x≤4，－5≤y≤5.梳理F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤ax轴、y轴和原点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)2a2b知识点二思考如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．梳理(1)离心率(2)(0,1)扁0题型探究例1解已知方程化成标准方程为x2 16＋y29＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e ＝c a ＝74.又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是F 1(－7，0)和F 2(7，0)，四个顶点坐标分别是A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)和B 2(0,3)． 引申探究解把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1，可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3， 短半轴长b ＝2.又得半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.所以椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)．四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e ＝c a ＝53.跟踪训练1解椭圆方程化为标准形式为x 24＋y 2m ＝1，且e ＝12.(1)当0<m <4时，长轴长和短轴长分别是4,23， 焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2,0)， B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m >4时，长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1(0，－233)，F 2(0，233)，顶点坐标为A 1(0，－433)，A 2(0，433)，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．例2解(1)由|AF 1|＝3|F 1B |， |AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0，且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得 |AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|· |BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ， 所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.跟踪训练23－1 例3(1)33解析直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a，∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )．∴kBF 1＝－b 2a －0c －(－c )＝－b 2a 2c ＝－b 22ac ，∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )，令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac ＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0， ∴e ＝－2±4－4×3×(－3)23＝－2±423， ∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.(2)[22，1) 解析椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，－b ≤y ≤b .由题意知，以F 1F 2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点， 则c ≥b ，即c 2≥b 2， 所以c 2≥a 2－c 2， 所以e 2≥1－e 2，即e 2≥12.又0<e <1，所以e 的取值范围是[22，1)． 跟踪训练335解析由题意知2a ＋2c ＝2(2b )， 即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得 5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0， ∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．例4解(1)由题意知a ＝10， a －c ＝10－5， 则c ＝ 5.所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以所求椭圆的方程为y 210＋x 25＝1.(2)由e ＝c a ＝23，得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2， 所以a 2＝144，b 2＝80，所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.跟踪训练4解∵椭圆过点(3,0)， ∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．①当椭圆的焦点在x 轴上时，(3,0)为右顶点，则a ＝3，∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ＝63×3＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝32－(6)2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，(3,0)为右顶点，则b ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－23a 2＝13a 2，∴a 2＝3b 2＝27，∴椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上可知，椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.当堂训练1．D2.D3.B4.[4－23，4＋23] 5．解(1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∵e ＝c a ＝4a ＝13，∴a ＝12，从而b 2＝a 2－c 2＝128，∴椭圆的标准方程为y 2144＋x 2128＝1.(2)由已知得⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-11.2 椭圆的简单性质课时目标 1.掌握椭圆上点的集合范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b以及c，e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的焦点在x轴上焦点在y轴上位置图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝______，长轴长＝______焦点焦距对称性 对称轴是__________，对称中心是______离心率2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋bx 2a 2＋y 2b2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋bx 2a 2＋y2b2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A.x 236＋y 216＝1B.x 216＋y 236＝1C.x 26＋y 24＝1D.y 26＋x 24＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A.3B.32C.83D.234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52B ．1－22C.2－1 D.225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．06.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点.满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，1题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于_________________________________．9．椭圆E ：x 216＋y 24＝1内有一点P(2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为____________． 三、解答题 10.如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2c (c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e.11．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．能力提升12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45B.35C.25D.1313．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．1.2 椭圆的简单性质知识梳理1.焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)范围 －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a 顶点 (±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点 (±c,0)(0，±c)焦距 2c ＝2a 2－b 2对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点离心率e ＝ca，0<e<12.一 ＝ 二 > 没有 < 作业设计1．B [先将椭圆方程化为标准形式：x 29＋y 225＝1，其中b ＝3，a ＝5，c ＝4.] 2．A 3.B4．A [由(a ＋c)2＝a 2＋2b 2＋c 2， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋ac －a 2＝0， ∵e ＝ca，∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1＋52.]5．B [∵4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4.∴点P(m ，n)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．]6. C [∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径， 由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则|OP|>c 恒成立， 由椭圆性质知|OP|≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b>c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22.又∵0<e<1，∴0<e<22.]7.x 245＋y 236＝1 解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，将点(－5,4)代入得25a 2＋16b2＝1，又离心率e ＝ca ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，解之得a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1. 8.255解析 由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝ca ＝255. 9．x ＋2y －4＝0解析 设弦的两个端点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1x 2216＋y 224＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k MN ＝－12，由点斜式可得弦所在直线的方程为y ＝－12(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0.10．解 依题意知H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，F(c,0)，B(0，b)．设P(x P ，y P )，且x P ＝c ，代入到椭圆的方程，得y P ＝b 2a .∴P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .∵HB ∥OP ，∴k HB ＝k OP ，即b －00＋a 2c ＝b 2ac .∴ab ＝c 2.∴e ＝ca ＝bc ，∴e 2＝a 2－c 2c2＝e －2－1.∴e 4＋e 2－1＝0.∵0<e<1，∴e ＝5－12.11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0. 解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝15(m 2－1)．设弦长为d ，且y 1－y 2＝(x 1＋m)－(x 2＋m) ＝x 1－x 2， ∴d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.∴当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x. 12．B [由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2， ∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac.∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0. ∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．]13．解 (1)∵a ＝2，c ＝3，∴b ＝a 2－c 2＝1.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)设P(x 0，y 0)，M(x ，y)，由中点坐标公式， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －1，y 0＝2y －12.又∵x 204＋y 20＝1，∴(2x －1)24＋⎝⎛⎭⎪⎫2y －122＝1 即为中点M 的轨迹方程．。

1.2椭圆的简单性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的简单性质已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x225＋y216＝1，C2：y225＋x216＝1.思考1怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2椭圆具有对称性吗？思考3椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？梳理知识点二椭圆的离心率思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？梳理(1)定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的________，用e表示．(2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近1，椭圆越______，当e越接近______，椭圆就越接近圆．类型一椭圆的简单性质引申探究已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．例1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．类型二 求椭圆的离心率命题角度1 与焦点三角形有关的离心率问题例2 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝ 1－b 2a2求解．跟踪训练2 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________． 命题角度2 利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． (2)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．反思与感悟 若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．跟踪训练3 若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．类型三 利用椭圆的简单性质求方程 例4 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，且与y 轴的一个交点为(0，－10)，该点与最近的焦点的距离为10－5；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.反思与感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b ，这就是我们常用的待定系数法．跟踪训练4 椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程．1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13)D ．(0，±69)2.如图，已知直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B ，则椭圆的离心率为( ) A.15 B.25 C.55D.2553．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆标准方程是( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 5. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为13，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．答案精析问题导学 知识点一思考1 对于方程C 1：令x ＝0，得y ＝±4，即椭圆与y 轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y ＝0，得x ＝±5，即椭圆与x 轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C 2与y 轴的交点为(0,5)与(0，－5)，与x 轴的交点为(4,0)与(－4,0)．思考2 有．问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形．思考3 C 1：－5≤x ≤5，－4≤y ≤4； C 2：－4≤x ≤4，－5≤y ≤5.梳理 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) |x |≤a ，|y |≤b |x |≤b ，|y |≤a x 轴、y 轴和原点 (±a,0)，(0，±b ) (0，±a )，(±b,0) 2a 2b 知识点二思考 如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝c a ，记e ＝ca ，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越圆．梳理 (1)离心率 (2)(0,1) 扁 0 题型探究例1 解 已知方程化成标准方程为 x 216＋y 29＝1， 于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74.又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是F 1(－7，0)和F 2(7，0)，四个顶点坐标分别是A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)和B 2(0,3)． 引申探究 解 把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1，可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3， 短半轴长b ＝2. 又得半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.所以椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)．四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e ＝c a ＝53.跟踪训练1 解 椭圆方程化为标准形式为x 24＋y 2m ＝1，且e ＝12.(1)当0<m <4时，长轴长和短轴长分别是4,23， 焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2,0)， B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m >4时，长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1(0，－233)，F 2(0，233)，顶点坐标为A 1(0，－433)，A 2(0，433)，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．例2 解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |， |AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0，且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得 |AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|· |BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ， 所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.跟踪训练2 3－1例3 (1)33解析 直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a，∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )．∴kBF 1＝－b 2a－0c －(－c )＝－b 2a 2c ＝－b 22ac ，∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )，令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac ＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0， ∴e ＝－2±4－4×3×(－3)23＝－2±423， ∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.(2)[22，1) 解析 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，－b ≤y ≤b .由题意知，以F 1F 2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点， 则c ≥b ，即c 2≥b 2， 所以c 2≥a 2－c 2， 所以e 2≥1－e 2，即e 2≥12.又0<e <1，所以e 的取值范围是[22，1)． 跟踪训练3 35解析 由题意知2a ＋2c ＝2(2b )， 即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得 5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0， ∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．例4 解 (1)由题意知a ＝10，a －c ＝10－5，则c ＝ 5.所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以所求椭圆的方程为y 210＋x 25＝1. (2)由e ＝c a ＝23，得c ＝23a ， 又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80，所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1. 跟踪训练4 解 ∵椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．①当椭圆的焦点在x 轴上时，(3,0)为右顶点，则a ＝3，∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ＝63×3＝6， ∴b 2＝a 2－c 2＝32－(6)2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1. ②当椭圆的焦点在y 轴上时，(3,0)为右顶点，则b ＝3，∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ， ∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－23a 2＝13a 2， ∴a 2＝3b 2＝27，∴椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1. 综上可知，椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1. 当堂训练1．D 2.D 3.B 4.[4－23，4＋23]5．解 (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4，∵e ＝c a ＝4a ＝13，∴a ＝12， 从而b 2＝a 2－c 2＝128，∴椭圆的标准方程为y 2144＋x 2128＝1. (2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2c ，a －c ＝3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.。