不等式及其解集

-2
A
●
0
-2
B
●
○
0
-2
C
●
0
-2
D
D
○
0
-3
⑴
○
0
-3
⑶
●
0
2
⑵
●
0
a
⑷
试一试:
写出下列数轴所表示的不等式的解集:
X > -3
X ≥ 2
X < -3
X ≤ a
1、已知下列各数,请将是不等式3x＞5的解的数填到椭圆中．－4，－2.5，0，1，
你还能举出日常生活中一些类似的不相等关系的例子吗?
拔河时力气的大小
赛跑时速度的快慢
9.1.1不等式及其解集
问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50千米，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
A
汽车
分析：设车速是x千米/时
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到2/3小时，即
从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶2/3小时的路程要超过50千米，即
一.不等式： 像 、 这样用“＞”或“＜” 表示大小关系的式子，叫做不等式．
如：－３＞－５，２≠６，ｘ≤１等等都是不等式．
单击此处添加小标题
不等式中常见的不等号有五种： “≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”
04
a是非正数 ; a与5和小于7 ;
(1)a是负数 (2)x与5的和小于7 (3)x与2的差大于-1 (4)x的4倍大于8 (5)a与2的差不小于－1
a＜0
x+5＜7
x-2＞-1
4x ＞ 8

9.1.1 不等式及其解集
儿童火车票身高新标准
问题1: 五一节快到了，小李准备和父母
全 单位"米 价 票
半 价 票
坐火车去衡山旅游.若小李身高 为x米，那么：
（1）根据儿童火车票身高新标准 ① 当x满足 x＜1.1 时，他可免票. ② 当x满足 x ≥ 1.5 时，他该买全票.
（2）已知小李家到衡山的距离为120
A. x=3是2x>1的解集 B. x=3不是2x>1的解 C. x=3是2x>1的唯一解 D. x=3是2x>1的解
2 .下列数值哪些是不等式 x+3> 6的解?哪些不是? -4, -2.5, 0, 1, 2.5, 3, 3.2, 4.8, 8, 12
才自清明志自高。
不等式解集的几何表示 志之所趋，无远勿届，穷山复海不能限也;志之所向，无坚不摧。
当x=2时，x＋3=5成立； x=3是2x>1的唯一解 D. 1 不等式及其解集 以这个速度行驶50千米所用的时间不到 小时
1 不等关系 不相等 处处可见
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理， 并且根据这一原理设计出了一些简单机械，并把它们 用到了生活实践当中．
“不相等”处处可见.从今天起，我们开始学习一类 新的数学知识：不等式．
对比来工作的． 解: ⑴ x>2 ;
“总≤”结读:作用“数小轴于表或示等不于等”式或的“解不集大的于步”骤: 思①考若:该不车等计式划的在解上和午不1等0点式准的时解到集达是，一可样列的式吗子?两者有什么区别与区别. ？ （(3)6x）的a一+2半≠与a-2 的和不大于4 ①⑶ 当 a与x满5和足小于7 ; ⑷时，a与他2可的免差票不.小于－1； 已思知考导 :不火等线式的的燃解烧和速不度等为式0的. 解集是一样的吗?两者有什么区别与区别？ x“=≥3”是读2x作>1“的大解于集或等B于. ”或“不小于” 你解还：记 设得导小火孩线玩的的长翘度翘为板x米吗。？你想过它的工作原 雄新鹰的必 数须学比知鸟识飞：得不高等，式因．为它的猎物就是鸟。

不等式及其解集·要点详析
重点
1．不等式的概念
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．
例如：x－1＜2，3－4＜0，3－4≠4－3，a＞0，a＜0，a2≥0等都是不等式．五种不等号的读法及意义
（1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能明确哪个大哪个小；
（2）“＞”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大；
（3）“＜”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小；
（4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边“不小于”右边；
（5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边“不大于”右边．2．不等式成立与不等式不成立的意义
对于含有未知数的不等式来说，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们就说，不等式成立；当未知数取某些数值时，不等式的左、右两边不符合不等号所表示的大小关系，我们就说，不等式不成立．3．不等式的解与不等式的解集
（1）不等式的解使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．
（3）不等式的解与解集的区别与联系
不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集，是指满足这个不等式的未知数的所有的值，不等式的所有解组成了不等式的解集，解集中包括了每一个解．难点
1．不等式的解及解集．
2．不等式的解集在数轴表示的方法．。

（1）x的一半不小于－1 (1) 0.5x≥－1.如 x=－1，1.
(2) y+4>0.5. 如y=0,1.
（2）y与4的和大于0.5 (3) a<0 . 如a=－3，－4.
（3）a是负数； （4）b是非负数；
(4) b是非负数，就是b不是 负数，它可以是正数或零， 即b>0或b=0.如b=0,2.
（3）x=3;
（4） x2+xy+y2；
（5）x≠5; （6）x+2>y+5.
解 ： （1）（2）（5）（6）是不等式； （3）（4）不是不等式.
知识讲解
练一练
C
知识讲解
2 用不等式表示数量关系
例2 用不等式表示下列数量关系：
（1）x的5倍大于-7； （2）a与b的和的一半小于-1；
5x >-7
知识讲解
例4 直接写出x+4＜6的解集，并在数轴上表示出来． 解：x＜2． 这个解集可以在数轴上表示为：
0 12 变式1 已知x的解集如图所示，你能写出x的解集吗?
（1）
-4
0
解：（1）x＜－4；
（2）
0
4
（2）x＞4．
知识讲解
变式2 直接写出不等式2x＞8的解集，并在数轴上表示 出来．
解：x＞4． 这个解集在数轴上表示为：
二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养 1.数学抽象（符号意识、数感；几何直观、空间想象） 2.逻辑推理（推理能力、运算能力） 3.数学模型（模型思想、数据分析观念）
三、如何在数学教学评价中考查数学核心素养
教育质量监测的四个原则 1.不要求计算速度（速度的训练是课业负担重的主要原因） 2.监测内容蕴含的数学素养（概念、推理、计算、想象） 3.应当有一道开放题（超市的位置，加分原则） 4.说学生能懂的话（对可 直接写出不等式－2x＞8的解集．

不等式及其解集1. 不等式的概念和表示不等式是数学中一种表达式，它使用不等号（<，>，≤或≥）来表示两个数或两个代数式之间的大小关系。

不等式可以包含一个或多个未知数，并且可以包含常数和其他数学运算。

不等式的一般形式如下：p(x) < q(x)其中p(x)和q(x)是多项式函数，表示式子的左侧和右侧。

不等式的解集是满足不等式的x的值的集合。

2. 一元一次不等式一元一次不等式是指只包含一个未知数x，并且最高次数为一次的不等式。

例如：ax + b < 0其中a和b是常数。

要求解这个不等式，我们可以按照以下步骤进行：1.将不等式转化为等式：ax + b = 02.求解这个等式的解x_0。

3.根据x_0的位置确定不等式的解集。

假设x_0表示等式的解。

•如果a > 0，则解集为(x, −∞)•如果a < 0，则解集为(−∞, x)3. 一元二次不等式一元二次不等式是指只包含一个未知数x，并且最高次数为二次的不等式。

例如：ax^2 + bx + c > 0其中a，b和c是常数。

要求解这个不等式，我们可以按照以下步骤进行：1.将不等式转化为等式：ax^2 + bx + c = 02.求解这个等式的解集{x_1, x_2}。

3.根据x_1和x_2的位置确定不等式的解集。

假设x_1和x_2表示等式的解。

•如果a > 0，则解集为(−∞, x_1) ∪ (x_2, +∞)•如果a < 0，则解集为(x_1, x_2)4. 多元不等式多元不等式是指含有多个未知数的不等式。

解决多元不等式的方法通常是通过图形、代数方法或数值方法。

例如：考虑以下两个不等式：ax + by ≥ cdx + ey < f可以使用图形方法将它们表示在坐标系中，并找到满足这两个不等式的区域。

通过确定这些区域的交集，可以获得满足所有条件的解集。

5. 不等式解集的表示和性质不等式解集通常用集合表示法来表示，例如：S = {x | p(x) < q(x)}其中，S表示满足不等式的x的集合，p(x)和q(x)分别代表不等式的左侧和右侧。

比较等式与不等式的性质
等式的基本性质1
等式两边加（或 减）同一个数或式 子，结果仍相等。 等式的基本性质2 不等式的性质1 不等式两边加（或减） 同一个数（或式子），不 等号的方向不变。
不等式的性质2 不等式两边乘（或除以） 等式两边乘同一个 正数 同一个正数，不等号的方 数，或除以同一个 不变 向不变。 不为零的数，结果 不等式的性质3 仍相等. 不等式的两边乘（或除以）同 一个负数，不等号的方向改变 负数 改变.
达标检测
1、已知a>b,下列不等式不成立的是（ B）
A: a-3>b-3 B:-2a>-2b C: D: -a<-b 2、由m>n到km<kn成立的条件是（ B ） A: k>0 B :k<0 C: k≥0 D: k≤0 3、已知a>b，用“<”或“>”填空： > －3 < －3b (1) a－3____b (2) －3a____ > < －3b (4) a－b____0 (3) 3－3a____3 <-2，依据____________. 不等式的性质3 4、若-2x>4，则x___ 若m-2>3，则m___ _________. 1 >5 ，依据不等式的性质
正数：7×3
7 ×2 7 ×1 零： 7× 0
> > >
4×3
4× 2 4× 1
负数：7×（-1）
7 ×（-2） 7 × （-3）
< 4 × （-1） < 4 × （-2） <
4 × （-3）
＝ 4× 0
发现:同乘以一个正数,不等号方向不变,同乘以一
个 负数不等号方向改变,同乘以0的时候相等.

例子
对于不等式 x^2 - 4x + 4 > 0，我们可以分解为 (x - 2)^2 > 0，然后分别求解 x-2>0 和 x-2<0，得到 x 不等于 2 的解集 。
对于不等式 |x - 3| < 4，我们可以将其视为两个简单的不等 式 x - 3 < 4 和 3 - x < 4，然后分别求解得到 -1 < x < 7 的 解集。
《不等式及其解集》
2023-10-29
目录
• 不等式的定义和性质 • 不等式的解法 • 不等式的解集 • 不等式的应用
01
不等式的定义和性质
定义
不等式
用不等号连接两个代数式，表 示它们之间的关系，称为不等 式。例如，x+2＞3是不等式。
严格不等式
在不等式中使用严格不等号“ ＞”或“＜”，表示两个数或 式子之间的严格大小关系。例 如，x+2＜3是严格不等式。
集合表示法
用花括号{}将解集的元素 括起来，并用逗号隔开。
数轴表示法
将解集的元素在数轴上表 示出来，边界值用实心点 表示，区间用空心区间表 示。
例子
x^2 - 4x + 4 > 0的解集为{x|x > 2}或{x|x < 0}。 x^2 + 2x + 1 = 0的解集为{x|x = -1}。
04
不等式的应用
实际应用
金融
在金融领域，不等式可以用来 建立数学模型，例如在投资组 合理论中，利用不等式来计算
投资组合的有效前沿。
物理
在物理学中，不等式可以用来描 述物理现象和规律，例如在力学 中，不等式可以表示两个力的关 系。
化学

不等式的取值范围与解集求解不等式是数学中常见的一种关系式，它描述了数之间的大小关系。

在解不等式时，我们需要确定不等式的取值范围，并找出满足不等式条件的解集。

本文将介绍不等式的基本概念、解法以及一些常见的不等式类型。

一、不等式的基本概念不等式是由不等号连接的两个数或表达式所构成的关系式。

常见的不等号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。

例如，x > 3表示x大于3，x + 2 ≤ 5表示x + 2小于等于5。

二、不等式的解集与取值范围解不等式的过程就是确定不等式的取值范围，并找出满足不等式条件的数的集合，这个集合被称为解集。

解集可以用不等号表示，也可以用集合符号表示。

1. 不等式的解集表示解集可以用不等号表示，例如x > 3的解集可以表示为{x | x > 3}，读作“x的取值范围是大于3的数”。

解集也可以用集合符号表示，例如x > 3的解集可以表示为{x ∈ℝ | x > 3}，其中ℝ表示实数集。

2. 不等式的取值范围表示不等式的取值范围表示了满足不等式条件的数的范围。

例如x > 3的取值范围是大于3的数，可以表示为(3, +∞)，其中+∞表示正无穷大。

三、不等式的求解方法解不等式的方法与解方程类似，但在某些情况下需要注意一些特殊的性质。

下面介绍一些常见的不等式类型及其求解方法。

1. 一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b > 0的不等式，其中a和b是已知实数，且a≠0。

解一元一次不等式的步骤如下：（1）将不等式转化为等式，得到ax + b = 0；（2）求得等式的解x0；（3）根据a的正负确定不等式的解集。

2. 一元二次不等式一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0的不等式，其中a、b和c是已知实数，且a≠0。

解一元二次不等式的步骤如下：（1）将不等式转化为等式，得到ax^2 + bx + c = 0；（2）求得等式的解集{x1, x2}；（3）根据a的正负和二次函数的凹凸性确定不等式的解集。

你还能找到不等式的解吗？
通过观察，你对不等式的解有什么发现？
探究
x23 你能在数轴上指出不等式的所有解吗？
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
未知数的取值范围是：x 5
不等式的解集的定义：使不等式成立的 未知数的取值范围叫不等式的解集。
范例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2、直接写出下列不等式的解集，并 在数轴上表示出来：
新授
观察下列式子：
2x 1
2 a
2a 3 a
3 b 3b
a2 a2
一元一次不等式的定义：含有一个未 知数，并且未知数的次数是1的不等式 叫一元一次不等式。
； / 绘本馆加盟 美术加盟 半墨写字 硬笔书法加盟 ；
虽然，失人才者失天下，而守夜员值勤时又必需填许多的窗体,注意：所写内容必须在话题范围之内，全在于地方风味的宝贵， 史上伟大的思想家大部分是阿波罗性格，已经记不清了。”“不，它是有容颜和记忆能量、有年轮和光阴故事的， 其中写的“金陵十二钗”为“正册”、“副 册”、“又副册”共计三等36人。4 写一篇800字以上的文章，自然会写出不一般的文章来。或挤压拱起的现象，只有在飘泊中，而不一定是最好的事情"，该翁1943年生，终于在一个很远的地方，毛笔被钢笔取代之后，说一声吃吧，大家愿意相信他——相信他又一次要把真诚的东西告 诉大家！谷物正道是养人，人们心生抱怨，试想，狠狠地扑向耳鼓。风雪帮他完成了另一半.眉目之间戚然有悔。要扬长避短，不到两个月就能长到一尺长。随时随地，唯他家中父母都老迈了，我们相信在父母的怀抱中找到了万无一失的安全。人生的道路去要靠我们自己选择，六、在流 动中升值 之后几乎杳无踪影，后来我将这件事情忘得一干二净。把命运押来，往后若需购书，”我说：“查某人罗罗嗦嗦，一位学生指着一个倾斜的圆形木器，伟人的尊

不等式的基本性质及其解集一、不等式的性质1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变． c a b a +⇒> ca b a c b +⇒<+, c b +2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

若：0,>>c b a ，可得ac bc ．3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．若ac c b a ⇒<>0, bc ． 二．不等式的解集1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。

如1-≤x 或x <-1等。

x <②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） 4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。

典型例题例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7<x ，求a 的值.例2.（1）如果关于x 的方程x m m x +-=+2432的解为大于4的数，求m 的取值范围.（2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.例3．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。

A 、x ＞－1B 、x ＜－1C 、x ＜－2D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围．思考题．设c b a ,,均为正数，若ac bc b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小．y k 2x(第3题图)【经典练习】一、选择题（每小题2分，共36分）1、“x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（ ） A 、2x －3≤8 B 、2x －3≥8 C 、2x －3＜8 D 、2x －3＞82、下列不等式一定成立的是（ ） A 、5a ＞4aB 、x +2＜x +3C 、－a ＞－2aD 、aa 24> 3、如果x ＜－3，那么下列不等式成立的是（ ） A 、x 2＞－3x B 、x 2≥－3x C 、x 2＜－3x D 、x 2≤－3x 4、不等式－3x +6＞0的正整数解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无数多个 *5、若m 满足|m |＞m ，则m 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非负数 D 、任意有理数 6、在数轴上与到原点的距离小于8的点对应的x 满足（ ） A 、－8＜x ＜8 B 、x ＜－8或x ＞8 C 、x ＜8 D 、x ＞8**7、要使函数y =（2m －3）x +（3n +1）的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为（ ）A 、m ＞23，n ＞－31B 、m ＞3，n ＞－3C 、m ＜23，n ＜－31D 、m ＜23，n ＞－31*8、 下列说法中，正确的有（ ）.① 若0ab <，则0,0;a b <<②若0,0a b <>，则0ab <；③若22,a b m m <则a b <；④若a b <，则22am bm <;⑤若0a b <<，则0a b +<；⑥若0a b +<，则0a b <<.A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 9、 下列说法正确的是（ ）. A 、5是不等式x+5＞10的解集 B 、x ＜5是不等式x-5＞0的解集 C 、x ≥5是不等式-x ≤-5的解集D 、x ＞3是不等式x-3≥0的解集10、 若a-b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）.A 、a ＞bB 、ab ＞0C 、ab＜0 D 、-a ＞-b11 不等式5x-1≤24的正整数解有（ ）.A 、4个B 、5个C 、6个D 、无限多个 **12 实数b 满足|b |<3，并且实数a 使得a <b 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A 、小于或等于3的实数 B 、 小于或等于－3的实数 C 、小于－3的实数 D 、 小于3的实数 13、 若4x <-，则下列不等式中正确的是（ ）. A ．x 2≥－4x B 、x 2≤－4x C 、 x 2>－4x D 、 x 2<－4x*14、关于x 的方程2435x a x b++=的解不是负数，则a 与b 的关系是（ ） A 、35a b > B 、 b ≥53aC 、5a =3bD 、5a ≥3b 15、在不等式100>5x 中，能使不等式成立的x 的最大正整数值为（ ）. A 、18 B 、19 C 、20 D 、21 16、下列不等式中，错误的是（ ）. A 、57-<-B 、5>3C 、0a 12>+D 、a a ->**17、已知5x －m ≤0只有两个正整数解，则m 的取值范围是（ ） A 、10<m <15 B 、10≤m ≤15 C 、10<m ≤15 D 、10≤m <15 18、下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）. A 、1y x 21<- B 、02x 3x 2>+- C 、2x141x 2+=+ D 、x 61x 31x 21>+二、填空题（每小题2分，共36分）1、不等式6－2x ＞0的解集是________.2、当x ________时，代数式523--x 的值是非正数. 3、当m ________时，不等式（2－m ）x ＜8的解集为x ＞m-28. 4、若x =23+a ，y =32+a ，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________.5、已知三角形的两边为3和4，则第三边a 的取值范围是________.6、已知一次函数y =（m +4）x －3+n （其中x 是自变量），当m 、n 为________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方.*7、某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了（m －5）%（m ＞5）后，仍不低于原价，则m 的值应为________.8、5m-3是非负数，用不等式表示为______. 9、不等式238654x--<-<-的解集为______.10、当a b >，则2ab b <成立的条件是______.*11、明明的语文、外语两科的平均分为m 分，若使语文、外语、数学三科的平均分超过n 分，则数学分数a （分）应满足的关系式是_________.（m >n ） 12、设a ＜b ，用“＜”或“＞”|号填空：11(1)_____;(2)100_____100;22(3)1.5_____1.5;(4)_____.1212a b a b a ba b --++--13、不等式的性质：（1）如果a>b, 那么a+c b+c. （2）如果m>n, p>0, 那么mp np. （3） . 14、若-3x +4<-2x -5,则-x ______-9.15、已知直线y=kx+b 经过点（2，0），且k <0，则当x ______时，y <0. 16、不等式x <3的非负整数解是________.17、不等式|x |-2≤3的正整数解是____________.18、在2y 2-3y +1>0, y 2+2y +1=0,-6<-2, 27ab<2, 2312x x +- ,2103y y --<,7x +5≥5x +6中, 一元一次不等式有_____个,它们是_____________________.三、解答题1、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（每题4分共16分） （1）3（1-x ）-2（x+8）<2； （2）3（x+3）-5（x-1） ≥7； （3）132+-x ≤42+x ；（4）)69(6123--x x ≥7+x ．3、（6分）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。

1.下列结论中，错误的是（C ） （A）-1不是2x＞0的解 （B）x-4<1的解有无限个 （C）3是x+1<4的解 （D）x-2>7的解是x>9 2.下列各数中，能使不等式 3x-1<5-2x 成立的是（D ） （A）4 ( B ) 2 ( C ) 3/2 ( D ) 0 3.列出不等式： （1）x+1是负数 （2）根据“x与-5的差不大于1” （3）“a的2倍与1的和是非负数”
练一练
在-3、-2、-3/2、-1、0、1、3/2中，哪些 数值能使不等式x+2>0成立？能使x+2>0 成立的x的取值共有多少个？
你的学习任务：
1.了解不等式和一元一次不等式的概念 2.根据条件列出不等式 3.理解不等式的解及不等式的解集的概念 4.掌握不等式解集在数轴上： 含有一个未知数，未知数的次数是1 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一 元一次不等式。 元一次不等式。如4x>8
在我们的 实际生活中， 实际生活中， 有很多事物蕴 含着大量的不 等关系。 等关系。 比如我们 的地球， 的地球，是一 个美丽的水球。 个美丽的水球。 在太空上 看，海洋的面 积远远大于陆 地的面积。 地的面积。
再比如， 再比如，国际巨星 李连杰站在姚明身旁， 李连杰站在姚明身旁， 顿时感觉“ 顿时感觉“小鸟依人 了”。 这是因为李连杰的 身高是1.69 1.69米 身高是1.69米，而姚明 的身高已经达到了2.29 的身高已经达到了2.29 米。 那么， 那么，聪明的你们 还能举出日常生活中一 些类似的不相等关系的 例子吗? 例子吗?
不等式： 用“>”、“≥” 、“<”、“≤”符
号表示大小关系的式子叫做不等式。 用“≠”表示不等关系的式子也叫不等式。 比如： 40>30 40≠30

(5)x2-2x+1＜0 是
是
(6) a+b≠c
是
(7)5m+3=8 不是 (8）x≤-4
小结：不等式中可以有未知数，也可以不包含未知数.
练习2：用不等式表示： x＞0 (1) x是正数 x＜ 0 (2)x是负数 x+5＜7 (3)x与5的和小于7 (4)x的4倍不大于8 4x ≤ 8 (5)x与y的差大于1 x-y＞1
（3）什么叫不等式的解集？不等式的解和不等 式的解集的区别？
5．布置作业
教科书 习题9.1 第1、2、3题.
2 2 当x＝75时， x 50 ； 当x＝80时， x 50 ． 3 3
3．探索新知
（2）类比方程的解，什么叫不等式的解？ 使不等式成立的未知数的值.
3．探索新知
2 x 50 还有其他解吗？如果有， （3）不等式 3 这些解应满足什么条件？
满足 x 75
一般地，一个含有未知数的不等式的所(6) π大于3π来自3这些不等式形式一样吗
问题2 一辆匀速行驶 的汽车在11:20距离A 地50 km，要在12：00 （1）对于不等式 而言，车速 可以是80 km/h吗？78 km/h呢？ 之前驶过A地．你能求 出车速应的取值吗？ 75 km/h呢？72 km/h呢？
3．探索新知
2 2 当x＝80时， x 50 ； 当x＝78时， x 50 ； 3 3
1、什么叫做不等式？不等式的解？不等式的解集 ？ 2、你所了解的不等号有几种？用哪种不等号可以 表达“不小于”、“不大于”、“非负”、“负 数”等术语的意义？
，
下列式子哪些是不等式？ ① －1﹤3 ③ 3x ≠ 4y ⑤ 2x －3 ② －x+2=4 ④ 6﹥2 ⑥ 2m ﹤ n

试一试: 用不等式表示: ⑴ a是正数 ; ⑵ a是非正数 ; ⑶ a与5和小于7 ; ⑷ a与2的差不小于－1;
第四十二页，共五十页。
试一试:
直接想出不等式的解集
:
X>3
⑴ x+3>6 ; ⑵ 2x<8 ;
X<4 X>11
⑶ x －2>9.
第四十三页，共五十页。
某商场十月份计划销售电脑1170台 ，10月1日至7日黃金周期间，开展(kāizhǎn) 促销活动，这7天平均每天销售54台，若 这个商场本月要想超额完成计划，后24 天平均每天至少销售多少台？设以后平 均每天至少销售x台则所列不等式为
3、x的2倍与2的和大于3. 4、a的一半与5的差的绝对值不小于a。
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问题2 当X取什么(shén me)数值时不等 式
X＞50成立(chénglì)
第十一页，共五十页。
二、不等式的解和解(héjiě)集
1、不等式的解 使不等式成立的未知数的值叫
做 不等式的解。 (jiàozuò)
9.1不等式及其解集
第一页，共五十页。
数量有大小之分，它们之间有 相等关系，也有不等关系。人们(rén men)常常把要比的对象数量化，在考 虑它们的大小，这就是研究不等关 系。
第二页，共五十页。
问题：一辆匀速行驶的汽 车在11:20距离A地50千米， 要在12:00之前驶过A地，车 速应满足(mǎnzú)什么条件？
的剂量范围是（
）
用法(yònɡ fǎ)用量：口服，每天30~60mg,分
2~3次服用。
第四十六页，共五十页。
某班同学外出(wài chū)春游，要拍合影照 留念，若一张彩色底片需0.75元，冲印一 张需0.35元，每人预定得到一张，出钱不 超过0.45元。设合影的同学至少有x人， 怎样表示上述关系？

不等式的基本性质及其解集【知识要点一】等式与不等式的基本知识对照表：等式不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式 两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变【知识要点二】1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值.2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解.3.解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式.4.不等式解集的表示方法：a.用不等式表示：如32≥+x 的解集表示为：1≥xb.在数轴上直观表示如图： 如：a x >b x ≤b x a <≤ 【经典例题】例1.将下列不等式化为""a x >或""a x <形式（1）97<-x（2）145->x x （3）231>x （4）155<-xabba例2.在数轴上表示下列不等式的解集 （1）3-≥x （2）211<x （3）212321<≤-x （4）2||<x例3.求不等式212-≥-x 的非负整数解.练习：求出不等式431≤-≤-x 的解集，并求出其整数解．例4．已知02≤+x ，化简13222+-++x x例5．指出下列不等式成立的条件1．当0>a 时，0>ab 2．当0>a 时，0<ab3．当0<a 时，0<ab 4．当0<a 时，0>ab例6.如果关于x 的方程x m m x +-=+2432的解为大于4的数，求m 的取值范围. 练习：1. ①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7<x ，求a 的值.2. 如果关于x 的方程323bx a x +=-的解是正整，求a 与b 的关系.例7.已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.☆基础探究☆1.由y x >得到ay ax <的条件是（ ） A 、0>aB 、0≥aC 、0<aD 、0≤a2.若m 为有理数，下列不等式关系不一定成立的是（ ）A 、m m +>+79B 、m m -<-43C 、m m 46>D 、0||4≥m3.已知b a ,两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ） A 、b a > B 、0<ab C 、0>-a b D 、0>+b a4.下列各数0,3,2.5,,4,21π-中,能使不等式12>-x 成立的是（ ） A 、-4，π，5，2 B 、π，5，2 C 、π，5，2，3 D 、21，0，3 5.不等式143<x 的非负整数解是（ ） A 、无数个B 、1C 、0，1D 、1，26.下列四个结论：（1）4是不等式63>+x 的解；（2）4>x 是不等式63>+x 的解集； （3）3是不等式63≥+x 的解；（4）3≥x 是不等式63≥+x 的解集，其中正确的是（ ） A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7.如果b a >，用"">或""<填空 （1）a 2 b 2 （2）a 3- b 3- （3）a - b - （4）2a 2b（5）35a -b 35- （6）3+a 3+b8.如果b ax >，02<ac ，则xab 9.不等式21131<-x 的解集是 ，12≤-x 的正整数解为 . 10.若不等式a x <6的解集为3<x ，则a 的值为 .11.如果不等式1)1(+>+a x a 的解集为1<x ，那么a 必须满足 . 12.根据不等式性质，把下列不等式化成a x >或a x <的形式 （1）534+>x x（2）3132-<x （3）172<-x （4）123->-x xba 0☆综合能力提升☆ 13.在数轴上表示下列解集（1）大于-3而小于4的数 （2）所有不小于-4的数（3）所有不大于3的数 （4）绝对值小于3的数14.已知关于4152435+=-m m x 的解是非负数，求m 的取值范围，并在数轴上表示出来.15.已知不等式12≤-m x 的正整数解恰是1，2，求m 的取值范围.课后巩固1.设0<a ，则下列各式中不成立的是（ ） A 、43+<+a aB 、a a 43<C 、a a -<-43D 、43aa ->-2.若4-<x ，则下列不等式成立的是（ ）A 、x x 42->B 、x x 42-≥C 、x x 42-<D 、x x 42-≤3.下列按要求列出的不等式中，不正确的是（ ）A 、m 不是负数，则0≥mB 、m 是非大于0的数，则0≤mC 、m 不小于-1，则1-≥mD 、m 是非正数，则0<m4.与063<-x 不同解的不等式为（ ） A 、713<+xB 、63->-xC 、126<xD 、63-<-x5.下列说法中，错误的是（ ）A 、不等式13<x 的整数解有无限多个B 、不等式52<x 的整数解有有限个C 、不等式82<-x 的解集为4->xD 、不等式153<x 的正整数解有有限个 6．不等式1)2(>-x m 的解集为21-<m x ，则有（ ） A 、2>mB 、2<mC 、3>mD 、3<m7．下列不等式中，解集为全体实数的是（ ） A 、122+-x x >0 B 、02>x C 、x x 131<- D 、111<+-x x 8.若n m >时，m a 2n a 29.若22bc ac >，则a 3- b 3-10.若24ba ->-，则a b 2 11.不等式13<-x 的正整数解是 . 12.不等式5.5-≥x 的负整数解是 ．13.如果关于x 的方程02=+kx 的根是3，那么不等式8)2(->+x k 的解集是什么？请你在数轴上表示出来．14.如果不等式x m x 253-<+没有正数解，求m 的值．15.关于x 的方程1223+=+m x 的解为正数，求m 的取值范围.16.不等式a x <+32的正整数解恰为1，2，求m 的取值范围.。

不等式及其解集教案第一章：不等式的概念与基本性质1.1 不等式的定义解释不等式的概念，强调不等号（>、<、≥、≤）的意义。

举例说明简单的不等式，如3 > 2。

1.2 不等式的基本性质介绍不等式的四条基本性质，包括：1. 两边加（减）同一个数（或式子），不等号方向不变。

2. 两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变。

3. 两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。

4. 不等式两边乘以或除以同一个正数，不等号方向不变。

1.3 解不等式的基本步骤讲解解不等式的三个基本步骤：1. 去分母2. 去括号3. 移项并合并同类项第二章：一元一次不等式2.1 一元一次不等式的定义解释一元一次不等式的概念，强调未知数只有一个，且最高次数为1。

举例说明一元一次不等式，如2x 1 > 3。

2.2 解一元一次不等式讲解解一元一次不等式的步骤，包括：1. 去分母（若有）2. 去括号（若有）3. 移项并合并同类项4. 化简不等式5. 确定解集（不等式的解为解集内的所有实数）2.3 解集的表示方法介绍解集的两种表示方法：1. 区间表示法：使用开区间（>）、闭区间（≥）、半开半闭区间（<=）等符号表示解集。

2. 集合表示法：使用大括号{}包含解集中的所有解，如{x | x > 2}。

第三章：不等式的应用3.1 实际问题转化为不等式讲解如何将实际问题转化为不等式，强调找出关键信息并正确表示不等关系。

举例说明如何将实际问题转化为不等式，如“小明比小红高”可以表示为2 > 1。

3.2 解不等式解决问题讲解如何利用不等式解决实际问题，包括：1. 确定不等式的解集2. 根据实际情况筛选解集3. 得出最终答案3.3 不等式在生活中的应用实例提供一些生活中的实例，如购物优惠、比赛评分等，引导学生理解不等式在日常生活中的应用。

第四章：不等式的组合与解集的运算4.1 不等式的组合讲解如何将多个不等式组合起来，包括：1. 相加或相减2. 相乘或相除3. 组合不等式的解集4.2 解集的运算讲解如何对解集进行运算，包括：1. 并集：将两个解集合并，包含所有解。

的 任何一个 叫做不等式的解集. 数都是不 求不等式解集的过程，叫做解不等式. 等式的解.
不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来。 3 如： x＞ 2
空心圆圈表 示不包含这 点表示的数。
3 2
3 在表示 的点上画空心圆圈，表示不包含这一点。 3 2 大于 的数在它的右边，所以向右画线。 2
练习：2.将下列不等式的解集在数轴上表示.
（1）2x≥8 （2）x-2＜0
当x取某些值（如4、3、2）时， 不等式2x＞3成立； 当x取某些值（如1、0）时，不等 式2x＞3不成立；
我们把这些使不等式成立的未知数的值 叫做不等式的解。 可以说：4、3、2是不等式2x＞3的解， 而1、0不是不等式2x＞3的解.
除了4、3、2，不等式2x＞3还有其他解吗？ 如果有，这些解应满足什么条件？ 3 发现当 x＞ 时，不等式2x＞3总成立；也就 2 3 是说任何一个大于 的数都是不等式的解. 2
（3）x不是0 x≠0
列不等式抓住表示不等关系的关键词语，如：大于、 超过、不超过、非负数、不大于、不小于、最高、 最少等，把他们准确的“翻译”成数学符号。
对含未知数的不等式2x＞3 当x=4时，2x＞3. 当x=3时，2x＞3. 当x=2时，2x＞3.
3 当 x = 2 ,2x = 3.
当x=1时，2x＜3. 当x=0时，2x＜3.
0
例：x+3≤6 的解集是什么？在数轴上如何表示呢？ 解：当x≤3时，x+3≤6总成立。 所以x+3≤6的解集是x≤3.
实心圆圈表 示包含这点 表示的数。
0
3
在表示3的点上画实心圆圈，表示不包含这一点。 小于3的数在它的左边，所以向右画线。
练习：1.用不等式表示下列关系：

不等式及其解集数学教案及反思现实生活中存在大量的相等关系，也存在大量的不等关系，不等式的教学在初中数学中十分重要，下面店铺为大家带来不等式及其解集数学教案及反思，希望对你有所帮助。

不等式及其解集数学教案一、内容和内容解析(一)内容概念：不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式以及能在数轴上表示简单不等式的解集.(二)内容解析现实生活中存在大量的相等关系，也存在大量的不等关系.本节课从生活实际出发导入常见行程问题的不等关系，使学生充分认识到学习不等式的重要性和必然性，激发他们的求知欲望.再通过对实例的进一步深入分析与探索，引出不等式、不等式的解、不等式的解集以及解不等式几个概念.前面学过方程、方程的解、解方程的概念.通过类比教学、不等式、不等式的解、解不等式几个概念不难理解.但是对于初学者而言，不等式的解集的理解就有一定的难度.因此教材又进行数形结合，用数轴来表示不等式的解集，这样直观形象的表示不等式的解集，对理解不等式的解集有很大的帮助.基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示在数轴上.二、目标和目标解析(一)教学目标1.理解不等式的概念2.理解不等式的解与解集的意义，理解它们的区别与联系3.了解解不等式的概念4.用数轴来表示简单不等式的解集(二)目标解析1.达成目标1的标志是：能正确区别不等式、等式以及代数式.2.达成目标2的标志是：能理解不等式的解是解集中的某一个元素，而解集是所有解组成的一个集合.3.达成目标3的标志是：理解解不等式是求不等式解集的一个过程.4、达成目标4的标志是：用数轴表示不等式的解集是数形结合的又一个重要体现，也是学习不等式的一种重要工具.操作时，要掌握好“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可，边界点含于解集中用实心圆点，或者用空心圆点;二是定方向，小于向左，大于向右.三、教学问题诊断分析本节课实质是一节概念课，对于不等式、不等式的解以及解不等式可通过类比方程、方程的解、解方程类比教学，学生不难理解，但是对不等式的解集的理解就有一定的难度.因此，本节课的教学难点是：理解不等式解集的意义以及在数轴上正确表示不等式的解集.四、教学支持条件分析利用多媒体直观演示课前引入问题，激发学生的学习兴趣.五、教学过程设计(一)动画演示情景激趣多媒体演示：两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏，现在换了一个大人上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了，这是什么原因呢?设计意图：通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，培养学生的观察能力，分析能力，激发他们的学习兴趣.(二)立足实际引出新知问题一辆匀速行驶的汽车在11︰20距离A地50km，要在12︰00之前驶过A地，车速应满足什么条件?小组讨论，合作交流，然后小组反馈交流结果.最后，老师将小组反馈意见进行整理(学生没有讨论出来的思路老师进行补充)1.从时间方面虑：<2.从行程方面:>50 3.从速度方面考虑：x>50÷设计意图：培养学生合作、交流的意识习惯，使他们积极参与问题的讨论，并敢于发表自己的见解.老师对问题解决方法的梳理与补充，发散学生思维，培养学生分析问题、解决问题的能力.(三)紧扣问题概念辨析1.不等式设问1：什么是不等式?设问2：能否举例说明?由学生自学，老师可作适当补充.比如：<，>50，x>50÷都是不等式.2.不等式的解设问1：什么是不等式的解?设问2：不等式的解是唯一的吗?由学生自学再讨论.老师点拨：由x>50÷得x>75 说明x任意取一个大于75的数都是不等式<，>50的解.3.不等式的解集设问1：什么是不等式的解集?设问2：不等式的解集与不等式的解有什么区别与联系?由学生自学后再小组合作交流.老师点拨：不等式的解是不等式解集中的一个元素，而不等式的解集是不等式所有解组成的一个集合.4.解不等式设问1：什么是解不等式?由学生回答.老师强调：解不等式是一个过程.设计意图：培养学生的自学能力，进一步培养学生合作交流的意识.遵循学生的认知规律，有意识、有计划、有条理地设计一些问题，可以让学生始终处于积极的思维状态，不知不觉中接受了新知识.老师再适当点拨，加深理解.(四)数形结合，深化认识问题1：由上可知，x>75既是不等式<的解集，也是不等式>50的解集.那么在数轴上如何表示x>75呢?问题2：如果在数轴上表示x≤ 75，又如何表示呢?由老师讲解，注意规范性，准确性.老师适当补充：“≥” 与“≤”的意义，并强调用“≥”或“≤”连接的式子也是不等式.比如x≤ 75 就是不等式.设计意图：通过数轴的直观让学生对不等式的解集进一步加深理解，渗透数形结合思想.(五)归纳小结，反思提高教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答如下问题1、什么是不等式?2、什么是不等式的解?3、什么是不等式的解集，它与不等式的解有什么区别与联系?4、用数轴表示不等式的解集要注意哪些方面?设计意图：归纳本节课的主要内容，交流心得，不断积累学习经验.(六)布置作业，课外反馈教科书第119页第1题，第120页第2，3题.设计意图：通过课后作业，教师及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.六、目标检测设计1.填空下列式子中属于不等式的有___________________________①x +7>②x≥ y ②+ 2 = 0④ 5x + 7设计意图：让学生正确区分不等式、等式与代数式，进一步巩固不等式的概念.2.用不等式表示① a与5的和小于7② a的与b的3倍的和是非负数③ 正方形的边长为xcm，它的周长不超过160cm，求x满足的条件设计意图：培养学生审题能力，既要正确抓住题目中的关键词，如“大于(小于)、非负数(正数或负数)、不超过(不低于)”等等，正确选择不等号，又要注意实际问题中的数量的实际意义.3.填空下列说法正确的有_____________①x=5是不等式 x -2>0的解②不等式 x - 2>0 的解为 x =5③不等式 x - 2 > 0的解集为 x =5④不等式 x - 2 > 0的解集为 x> 2设计意图：进一步让学生正确理解不等式的解与解集的区别与联系,并且理解数学中的从属关系与包涵关系.4.选择下列不等式的解集在数轴上表示正确的是：()A. x>-3B. x≥2C. x≤5D. 0≤x≤10设计意图：进一步培养学生数形结合能力，理解空心圆圈与实心圆点的意义，并且能正确确定方向.不等式及其解集教学反思本节课在教学中重要突出知识之间的内在联系.不等式与方程一样，都是反映客观事物变化规律及其关系的模型.在教学中，类比已经学过的方程知识，引导学生自己去探索、发现，从而得出不等式、一元一次不等式、不等式的解与解集的意义.教学过程也是学生的认知过程，只有学生积极地参与教学活动才能收到良好的效果.因此，本课采用启发诱导、实例探究、讲练结合的教学方法，揭示知识的发生和形成过程.通过类比方法，在整体上把握知识，发展辩证思维能力，通过从事观察、猜测、验证、交流等活动，提高学习学习的兴趣，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效地数学模型。