第五章 系统模型与模型化

系统工程哈尔滨工业大学管理学院张庆普第五章 系统模型与模型化5.1概述模型及模型化的定义¾模型是现实系统的理想化抽象或简洁表示，应反映系统的主要组成部分、各部分之间的相互作用。

建立模型不仅需要科学理论和工程技术知识，也需要实践的经验和技艺。

模型研究具有经济、快速和可重复的特点。

¾模型有三个特征：①它是现实世界部分的抽象或模仿；②它是由那些与分析的问题有关的因素构成的；③它表明了有关因素间的相互关系。

¾模型反映实际，又应高于实际。

一个好的模型要兼顾到现实性和易处理性。

模型必须包含现实系统中的主要因素，还要采取一些理想化的办法，对一些过程合理简化。

¾模型化就是为描述系统的构成和行为，对实体系统的各种因素进行适当筛选，用一定方式（数学、图像等）表达系统实体的方法。

简言之就是构模的过程。

模型化的本质、作用及地位¾本质。

利用模型与原型之间某方面的相似关系，在研究过程中用模型来代替原型，研究得到关于原型的一些信息。

¾作用。

①模型本身是人们对客体系统一定程度研究结果的表达。

这种表达是简洁的、形式化的。

②模型提供了脱离具体内容的逻辑演绎和计算的基础，这会导致对科学规律、理论、原理的发现。

③利用模型可以进行“思想”试验。

¾地位。

只有在和对客体系统内容研究相配合时，模型的作用才能充分发挥。

由模型得到的结果，必须再拿到现实中去检验。

模型的分类一般分类如下：¾概念模型是通过人们的经验、知识和直觉形成的。

它们在形式上可以是思维的、字句的或描述的。

（思维模型、字句模型、描述性模型）¾符号模型用符号来代表系统的各种因素和它们间的相互关系。

这种模型是抽象模型。

它通常采用图示或数学形式，一般分为结构模型和数学模型。

¾形象模型是把现实的东西的尺寸进行改变（如放大或缩小）后的表示。

这种模型有物理模型和图像模型。

¾类比模型和实际系统的作用相同。

这种模型利用一组参数来表示实际系统的另一组参数。

¾仿真模型是用计算机对系统进行仿真时所用的模型。

构造模型的一般原则¾建立方框图工厂系统方框图例子。

图中将每个车间（子系统）用一个方框来表示。

每个方框有自己的输入和输出。

图4-3清楚地表明了工厂系统的各个子系统的相互关系。

¾考虑信息相关性模型中只应包括系统中与研究目的有关的那些信息。

¾考虑准确性建模时，对所收集的用以构模的信息应考虑其准确性。

¾考虑结集性建模的基本步骤基本步骤如下：(1)明确建模的目的和要求，使模型满足实际要求。

(2)对系统进行一般语言描述。

(3)弄清系统中的主要因素（变量）及其相互关系。

(4)确定模型的结构。

(5)估计模型的参数。

(6)实验研究。

对模型进行实验研究，进行真实性检验，以检验模型与实际系统的符合性。

(7)必要修改。

根据实验结果，对模型作必要的修改。

模型化的基本方法主要靠观察、分析、综合、归纳、演绎、创新性思考等。

¾分析方法分析解剖问题，深入研究客体系统内部细节（如结构形式、函数关系等）。

利用逻辑演绎方法，从公理、定律导出系统模型。

对于实验结果的观察、分析，利用逻辑归纳法导出系统模型。

数理模型方法是典型代表。

¾综合法既重视实验数据又承认理论价值，将实验数据与理论推导统一于建模之中。

通常利用演绎方法从已知定理导出模型，对于某些不详之处，则利用实验方法来补充，再利用归纳法从实验数据中搞清关系，建立模型。

例如，从经济理论得知，由劳动力A和资本投入P可以得出产值Y，因此可知Y=f（A，P）这一步即是由理论推出模型结构。

假设是相加（广义）关系，则这里都是未知系数，利用统计数据就可以得出值来，得到一个Cobb-Douglas生产函数模型。

¾老手法（主要有Delphi法）对于复杂的系统，特别是有人参与的系统，要利用以上方法建模是十分困难的。

其原因就在于人们对于这样的系统认识不足，因此就必须采用Delphi等方法。

通过专家们之间启发式的讨论，逐步完善对系统的认识，构造出模型来。

这种方法的本质在于集中了专家们对于系统的认识（包括直觉、印象等不肯定因素）及经验。

¾辩证法其基本的观点是：系统是一个对立统一体，是由矛盾的两方面构成的。

因此必须构成两个相反的分析模型。

相同数据可以通过两个模型来解释。

这样关于未来的描述和预测是两个对立模型解释的辩证发展的结果。

因此可以防止片面性，最终结果优于单方面的结果。

模型的简化（1)减少变量，减去次要变量。

（2)改变变量性质。

(3) 合并变量（集结)。

(4) 改变函数关系。

（5）改变约束条件。

5.2系统结构模型化技术系统结构模型化基础z结构分析的概念和意义¾结构模型是定性表示系统构成要素以及它们之间存在着的本质上相互依赖、相互制约和关联情况的模型。

¾结构模型化即建立系统结构模型的过程。

该过程注重表现系统要素之间相互作用的性质，是系统认识、准确把握复杂问题，并对问题建立数学模型、进行定量分析的基础。

¾层性是大规模复杂系统的基本特性，在结构模型化过程中，对递阶结构的研究是一项重要工作。

¾结构分析是一个实现系统结构模型化并加以解释的过程。

其具体内容包括：对系统目的－功能的认识；系统构成要素的选取；对要素间的联系及其层次关系的分析；系统整体结构的确定及其解释。

系统结构模型化是结构分析的基本内容。

¾结构分析是系统分析的重要内容，是系统优化分析、设计与管理的基础。

尤其是在分析与解决社会经济系统问题时，对系统结构的正确认识与描述更具有数学模型和定量分析所无法替代的作用。

z系统结构的基本表达方式系统的要素及其关系形成系统的特定结构。

在通常情况下，可采用集合、有向图和矩阵等三种相互对应的方式来表达系统的某种结构。

1.系统结构的集合表达设系统由个要素所组成，其集合为S，则有：系统的诸多要素有机地联系在一起，并且一般都是以两个要素之间的二元关系为基础的。

所谓二元关系，是根据系统的性质和研究的目的所约定的一种需要讨论的、存在于系统中的两个要素之间的关系Rij（简记为R）。

通常有影响关系、因果关系、包含关系、隶属关系以及各种比较关系（如大小、先后、轻重、优劣等）。

二元关系是结构分析中所要讨论的系统构成要素间的基本关系，一般有以下三种情形：（1）Si与Sj间有某种二元关系R，即（2）Si与Sj间无某种二元关系R，即（3） Si与Sj 间的某种二元关系R不明，即在通常情况下，二元关系具有传递性，即：，传递性二元关系反映两个要素的间接联系，可记作Rt (t为传递次数），如将有时，对系统的任意构成要素 Si 和Sj来说，既有，这种相互关联的二元关系叫强连接关系。

具有强连接关系的各要素之间存在替换性。

以系统要素集合S及二元关系的概念为基础，为便于表达所有要素间的关联方式，我们把系统构成要素中满足某种二元关系R的要素Si, Sj 的要素对（Si，Sj）的集合，称为S上的二元关系集合，记作Rb，即有：且在一般情况下，表示不同的要素对。

这样，“要素Si和Sj之间是否具有某种二元关系R”，也就等价于“要素对（Si，Sj）是否属于S上的二元关系集合Rb”。

至此，我们就可以用系统的构成要素集合S和在S上确定的某种二元关系集合Rb来共同表示系统的某种基本结构。

例4一1某系统由七个要素（S1, S2,…，S7）组成。

经过两两判断认为：S2影响S1、S3影响S4、S4影响S5、S7影响S2、S4和S6相互影响。

这样，该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系集合Rb来表达，其中：2．系统结构的有向图表达有向图（D）是由节点和连接各节点的有向弧（箭线）组成的，可用来表达系统的结构。

具体方法是：用节点表示系统的各构成要素，用有向弧表示要素之间的二元关系。

从节点的最小（少）的有向弧数称为D中节点间的通路长度（路长），也即要素Si与Sj间二元关系的传递次数。

在有向图中，从某节点出发，沿着有向弧通过其他某些节点各一次可回到该节点时，形成回路。

呈强连接关系的要素节点间具有双向回路。

例5一1给出的系统要素及其二元关系的有向图如图5一5所示。

其中S3到S5, S3到S6和S7到S1的路长均为2。

另外，S4和S6具有强连接关系，S4和S6相互到达，在其间形成双向回路。

3．系统结构的矩阵表达(1)邻接矩阵邻接矩阵(A)是表示系统要素间基本二元关系或直接联系情况的方阵。

若，则其定义式为：有了表达系统结构的集合（S, Rb）或有向图（D），就可以很容易地将A写出，反之亦然。

与例5一1和图5一5对应的邻接矩阵如下：很明显，A中“1”的个数与例5一1中Rb所包含的要素对数目和图5一5中有向弧的条数相等，均为6。

在邻接矩阵中，若有一列（如第j列）元素全为0，则Sj是系统的输入要素（只输出，没有输入），如图5一5中的S3和S7；若有一行（如第i 行）元素全为0，则Si是系统的输出要素（只有输入，没有输出），如图5一5中的S1和S5。

(2)可达矩阵。

若在要素Si和Sj间存在着某种传递性二元关系，或在有向图上存在着由节点i至j的有向通路时，则称Si是可以到达Sj的，或者说Sj是Si可以到达的。

所谓可达矩阵(M),就是表示系统要素之间任意次传递性二元关系或有向图上两个节点之间通过任意长的路径可以到达情况的方阵。

若M＝，且在无回路条件下的最大路长或传递次数为r，即有则可达矩阵的定义式为：当t=1时，表示基本的二元关系，M即为A；当t=0时，表示Si自身到达，或也称反射性二元关系；当时，表示传递性二元关系。

矩阵A和M的元素均为“1”或“0”，是n x n阶0-1矩阵，且符合布尔代数的运算规则，即：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝1，0x0＝0，0x1＝0，1x0=0，1x1＝1。

通过对邻接矩阵A的运算，可求出系统要素的可达矩阵M，其计算公式为：其中I为与A同阶次的单位矩阵（即其主对角线元素全为“1”，其余元素为“0”，反映要素自身到达；最大传递次数（路长）r根据下式确定：(5-2) 以与例5一1和图5一5对应的邻接矩阵为例有：其中主对角线上的“1”表示诸要素通过零步（自身）到达情况（单位矩阵1），其余的“1”表示要素间通过一步（直接）到达情况（邻接矩阵A）。

其中带圆圈的“1”表示要素间通过两步（间接）到达情况（矩阵）。

按照前述布尔代数的运算规则，在原式的展开中利用了A ＋A＝A的关系。

进一步计算发现：由式（5-2）即有r=2。

这样，根据式（5-1),与例5-1和图5-5对应的可达矩阵为：(3)其他矩阵。

在邻接矩阵和可达矩阵的基础上，还有其他表达系统结构并有助于实现系统结构模型化的矩阵形式，如缩减矩阵、骨架矩阵等。