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2014年高考数学二轮专题复习名师讲义第十七讲几何证明选讲真题试做►———————————————————1．(2013·高考陕西卷)如图，AB与CD相交于点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2, 则PE＝________.2．(2013·高考湖南卷)如图，在半径为7的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，P A＝PB ＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．3．(2013·高考广东卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________．考情分析►———————————————————该部分知识为选考内容，多以填空题形式出现，考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．考点一相似三角形的判定与性质如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝4 cm，E为AD的中点，在AB 上取一点F，使△CBF∽△CDE，则AF＝__________cm.运用相似三角形性质解题的关键在于写出对应边所成的比例式，为此一定要首先认识对应角，通过对应角找出对应边．在准确写出对应边所成的比例式后，常规情况下结论也就产生了．强化训练1已知在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F，S△FCD＝5，BC＝10，则DE＝____________．考点二圆的切线的判定与性质(2013·高考重庆卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC 的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．强化训练2如图，已知两个同心圆的圆心为O，AB切大圆于B，AC切小圆于C且与大圆交于D，E，若AB＝12，AO＝15，AD＝8，则小圆的半径等于____________．考点三与圆有关的“四定理”的应用(2013·高考天津卷)如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．强化训练3 (2013·广州市调研测试)如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP ＝4，PB ＝2，则PC 的长是________．考点四 关于圆的综合应用如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB P A ＝12，PCPD＝13，则BCAD的值为________．在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．强化训练4 如图，已知两个同心圆，大圆的直径AB 交小圆于C 、D ，大圆的弦EF 切小圆于C ，ED 交小圆于G ，若小圆的半径为2，EF ＝43，则EG 的值为________．_体验真题·把脉考向_ 1．【解析】因为PE ∥BC ，所以∠C ＝∠PED .又因为∠C ＝∠A ，所以∠A ＝∠PED .又∠P＝∠P ，所以△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PEP A，即PE 2＝PD ·P A ＝2×3＝6，故PE ＝ 6.【答案】 6 2．【解析】由相交弦定理得P A ·PB ＝PC ·PD . 又P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则PC ＝4， ∴CD ＝PC ＋PD ＝5.过O 作CD 的垂线OE 交CD 于E (图略)，则E 为CD 中点，∴OE ＝ r 2－（CD 2）2＝ 7－254＝32.【答案】323．【解析】因为AB ＝3，BC ＝3，所以AC ＝32＋（3）2＝23，tan ∠BAC ＝33＝3，所以∠BAC ＝π3.在Rt △BAE 中，AE ＝AB cos π3＝32，则CE ＝23－32＝332.在△ECD 中，DE 2＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos ∠ECD ＝⎝⎛⎭⎫3322＋(3)2－2×332×3×12＝214，故DE ＝212.【答案】212_典例展示·解密高考_ 【例1】【解析】由AB ＝8 cm ，得CD ＝8 cm ；又AD ＝4 cm ，E 为AD 的中点，得DE＝2 cm ，CB ＝4 cm ，又由△CBF ∽△CDE ，得CD CB ＝DEBF ⇒BF ＝DE ·CB CD ＝2×48＝1，而AF ＝AB －BF ＝8－1＝7. 【答案】7[强化训练1]【解析】过点A 作AM ⊥BC 于M ， 由于∠B ＝∠ECD ，且∠ADC ＝∠ACD ，得△ABC 与△FCD 相似，那么S △ABC S △FCD ＝(BC CD)2＝4，又S △FCD ＝5，那么S △ABC ＝20，由于S △ABC ＝12BC ·AM ，由BC ＝10，得AM ＝4，此时BD ＝DC ＝5，M 为DC 中点，BM ＝7.5，由于DE AM ＝BD BM ＝57.5＝23⇒DE ＝83.【答案】83【例2】【解析】在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°， ∴∠ABC ＝30°.∵AB ＝20，∴AC ＝10，BC ＝10 3. ∵CD 为切线，∴∠BCD ＝∠A ＝60°. ∵∠BDC ＝90°，∴BD ＝15，CD ＝5 3. 由切割线定理得 CD 2＝DE ·DB ，即(53)2＝15DE ， ∴DE ＝5. 【答案】5[强化训练2]【解析】连结OC ，AC 切小圆于C ，得OC ⊥AC ，由于DE 是大圆的弦，于是DC ＝CE ＝12DE ，因为AB 切大圆于B ，由切割线定理有：AB 2＝AD ·AE ，又AB ＝12，AD ＝8得AE ＝18，而DE ＝AE －AD ＝10，得DC ＝12DE ＝5，那么AC ＝AD ＋DC ＝8＋5＝13.在直角三角形OAC 中，OC ＝AO 2－AC 2＝152－132＝214 【答案】214 【例3】【解析】因为AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是等腰梯形，所以BC ＝AD ＝AB ＝5.又AE 是切线，所以AE ∥BD ，AE 2＝BE ·EC ＝4(4＋5)＝36，所以AE ＝6.因为∠CDB ＝∠BAE ，∠BCD ＝∠ABE ，所以△ABE ∽△DCB ，所以AE DB ＝BEBC ，于是BD ＝5×64＝152.【答案】152[强化训练3]【解析】如图，延长CP 交⊙O 于点D ，因为PC ⊥OP ，所以P 是弦CD 的中点，由相交弦定理知P A ·PB ＝PC 2，即PC 2＝8，故PC ＝2 2.【答案】2 2【例4】【解析】因为四边形ABCD 是圆O 的内接四边形， 所以∠PBC ＝∠D ，又∠BPC ＝∠DP A ，所以△BPC ∽△DP A .于是PB PD ＝PC P A ＝BCDA.因为PB P A ＝12，PC PD ＝13，所以PB PD ·PC P A＝⎝⎛⎭⎫BC DA 2，从而PB P A ·PC PD ＝⎝⎛⎭⎫BC DA 2，于是⎝⎛⎭⎫BC DA 2＝PB P A ·PC PD ＝12·13＝16，BC AD ＝66.【答案】66[强化训练4]【解析】如图，连结GC ，则GC ⊥ED ，由于EF 切小圆于C ，得EF ⊥CD ，EC ＝12EF ＝23，又CD ＝4，那么在直角△ECD 中有ED ＝EC 2＋CD 2 ＝（23）2＋42＝27，因为EC 2＝EG ·ED ，得EG ＝EC 2ED ＝（23）227＝677.【答案】EG ＝677。
