辅导讲义：乘法公式的灵活应用

乘法运算定律的灵活应用教学目标1.引导学生能运用乘法分配律进行一些简便运算。

2.培养学生根据具体情况，选择算法的意识与能力，发展思维的灵活性。

3.使学生感受数学与现实生活的联系，能用所学知识解决简单的实际问题。

学情分析学生已经学习掌握了乘法交换律、结合律，并能够初步应用这些定律进行一些简便计算的基础上接着学习了“乘法分配律”不会觉得太难，但是学生在实际应用过程中还是存在不能灵活应用的薄弱环节。

教学重难点1．重点：会运用运算定律进行简单计算。

2．难点：会通过拆数，变式等方法灵活地进行简便计算一、复习导入：1、我们刚刚学习了哪些运算定律，同学们还记得么？谁能说一说？用字母应该怎样表示？乘法分配律还有没有别的形式呢？谁来说一下？（a×（b一c）=a×b一a×c2、导入：嗯，看来大家上节课学得不错，但是大家知道吗，乘法分配律还可以用来进行简便计算，想学学吗？我们一起来学习。

板书：应用乘法分配律进行简便计算二、创设情境，灵活运用1．教师谈话引出情景：王老师购买体育用品（出示主题图），我们来看看，从图上你发现了哪些数学信息？2．根据这些数学信息你能提出哪些数学问题？让学生充分发言，根据学生的回答老师板书问题：（“一打”是12个。

）王老师一共买了多少个羽毛球？3．怎样列式？谁来说说自己列的式子？（板书并问学生各个数字代表什么）2、竖式计算12×25=3003、能不能用乘法分配律进行简便运算呢？12×25=（3×4）×25 12×25=3×（____×____）=（10+2）×25=3× ____ ==____ =问题：1. 你还有别的计算方法吗2. 谁能说一说你对这种解法的理解？3. 比较3种不同的解法，你喜欢哪种？说一说你的理由（后两种方法都关注到了数字的特点，利用运算定律使计算变得简便。

1乘法公式的灵活运用一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

乘法公式灵活运用乘法公式是数学中常用的一种计算方法，用于求解两个或多个数的乘积。

灵活运用乘法公式可以简化计算，提高解题效率。

本文将从实际问题出发，分析乘法公式的灵活运用方法，以及对应的数学技巧，帮助读者更好地掌握乘法公式的应用。

乘法公式的基本形式是：a×b=c，其中a和b是乘数，c是积。

乘法公式可以用于求解各类数学问题，包括乘法的基本性质、因数分解、最大公约数、公倍数等。

在乘法的基本性质中，乘法公式可以被运用于计算两个数相乘的结果。

例如计算12×35，我们可以使用乘法公式，将12拆解为10+2，35拆解为30+5，然后进行分配律运算：(10+2)×(30+5)=(10×30)+(10×5)+(2×30)+(2×5)=300+50+60+10=420。

这样，我们可以通过分解乘数，将原本复杂的乘法运算简化为几个简单的加法和乘法运算。

乘法公式还可以用于因数分解。

因数分解是将一个数分解为多个乘数的乘积，通过应用乘法公式，可以将这个过程简化。

例如对于数45，我们可以将它分解为3×15，然后继续对15进行因数分解，得到3×5×3、这样，45就可以表示为它的全部因数的乘积。

因数分解在数论、代数等领域有着重要的应用，通过乘法公式，我们可以更轻松地完成这个过程。

乘法公式在解决实际问题时，还可以通过一些数学技巧来进一步灵活运用。

例如在乘法运算中，可以通过重新排序进行简化。

如果要计算3×7×5，我们可以将其按需重新排列，得到5×7×3，然后再进行乘法运算：5×7=35，35×3=105、这样，我们可以通过重新排列乘积的顺序，在保持乘数不变的前提下，使得计算更加简单。

此外，乘法公式还可以和其他数学知识相结合，进一步拓展乘法的应用。

例如在代数中，乘法公式可以用于计算多项式的展开式。

乘法公式的复习讲义乘法是数学中非常重要的运算法则之一、掌握好乘法公式对于学生来说尤为重要，因此本讲义将以学生易于理解和操作的方式介绍乘法公式的内容。

一、乘法公式的基础1.乘法交换律：乘法运算中，乘数的先后顺序不影响最后的结果。

例如：3×4=4×3=122.乘法结合律：乘法运算中，不同乘数进行相乘后再乘以另一个数，结果相同。

例如：2×(3×4)=(2×3)×4=243.乘法分配律：乘法运算中，一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘再相加。

例如：2×(3+4)=2×3+2×4=14二、乘法公式的应用1.加法乘法运算律：利用乘法分配律可以进行更加复杂的计算。

例如：(3+2)×4=3×4+2×4=202.幂运算：乘方运算是指一个数连乘几次自己的运算。

例如：2的3次方表示为2³，即2×2×2=83.积的计算：乘法运算中，两个整数相乘得到的结果称为积。

例如：7×6=424.乘法的逆运算：除法是乘法的逆运算，可以通过除法运算求解未知数。

例如：如果6×x=12，那么x=12÷6=2三、乘法公式的综合应用1.平方的乘法公式：一个数的平方是指这个数乘以自己。

例如：(x + y)² = x² + 2xy + y²2.两个不同数的乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²例如：(3+2)(3-2)=3²-2²=9-4=53.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)例如：4²-3²=(4+3)(4-3)=7×1=74.立方的乘法公式：一个数的立方是指这个数乘以自己两次。

例如：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³注意：(a+b)³不等于a³+b³四、乘法公式的例题应用1.计算16×8÷4=32解析：首先乘法运算，16×8=128，然后除以4，128÷4=322.计算(5+3)×2-7=9解析：先计算括号中的加法，5+3=8，然后乘以2，8×2=16，最后减去7，16-7=93.计算6²+3²=45解析：首先计算平方运算，6²=6×6=36，然后再计算3²=3×3=9，最后相加，36+9=45通过以上的学习和例题应用，相信同学们对乘法公式有了更加深入的理解和掌握。

(1)(3«-2b)(2i?-3a) (2) @ + 3h)(«一3/?)(3) (-0.2x-0.5y)(0.2A + 0.5y) (4)(竺上上尸变式训练2・1： (1) {a + b + 3)(a + h-3) 变式训练 2-2； [2/zr -(/« + n)(m -«))[(-/« - 2//)(2// - w) + 3/r ] 例 3：已知 «-+/>-= 12 db = -3,则{a + b}-的值是学生：_科目：数学 因材教育个性化辅导讲义 第 阶段第 次课較师： 乘法公式的应用 教学目标 重点、难点 1 •掌握完全平方公式打平方差公式的运用 2•运用整体思想灵活运用乘法公式，解决问题 完全平方公式、平方差公式 考点及考试要求知识框架 ―完全平方公式 1. 完全平方公式：(" + b)2= _________ 2. 完全平方公式的特征：左边是两个数的的 _______ 加上或减去这两个数的 _______ 3. 完全平方公式的变式.(1) ("-防= _____________________ 或 ___________ 的平方，右边是这两个数 +h~ = (a + h)~ — 2ab = (a -b)~ + 2ab (2) ab = -[(a + b)--(a-+h-}](a + by + (a - b)~ = 2(/ + b-) (a + h}~=4ah(3) (4) 4、 关于完全平方公式的推广： (1) 从项数推广：(a+h + c}- =a-+h-+c- + 2ah + 2hc + 2ac(2) 从指数推广：(U + h)'=a^ + 3(1-h + 3ab- + /? 5. 平方差公式：=(a + h)^(a-h) 第二部分、典例分析 例1：下列各式中哪些可以运用完全平方公式il •算 _______________ (1) (a + h\a + c) (2) (x +),一y + x) (3) (ab -3xX-3x + ah) (4) (- m - n\nt + n)变式训练1：在下列整式乘法中，集中能用完全平方公式计算的个数是 A 、1个 B 、2个 例2： n 下列各式：(1) (-2"?— 川X2"?+ 〃)C 、3个D 、4个(2)(2-3/)(3/-2) (2) (x-y + 2)(x + y-2)A. 6B. 18 C ・ 3 D. 12变式训练3・1：要使等式(a-h}-+M =(a + b)-成立’求M 的值变式训练3・2：已知(d + b)2=49,("-仍2=9,则宀沪二若数“满足(0-2005)2+(2006 -d)2 =2007,则(a-2005)⑺一2006)=例4：若4x"+kx + 25是一个完全平方式，则$变式训练若x'+4x + /r = Cv + 2)-.则£ = 若x-+2x + k 是完全平方式，则£ = 例5；已知X +丄=2,试求F+±的值.X X"变式训练5・1：已知x-=x + \.求下列代数式的值(I) x'-5x + 2： 变式训练SI2.已知七=5,分别求入訂八d 的值例 6：已知 a=-2004- B=2003. C= 一2002. + c" + ah + be-ac 的值.变式训练6J ：对于式子%- + /-_v + 6y + 10-,你能否确世苴值的正负性？若能，请写出解答过 4 程：若不能，请简要说明理由0例7：（探究题）如图1-1-5所示是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b ） 2 （苴中n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b ） J 展开式中的系数： （«+/?）" =a + b{a + b}~ = «" + 2ab + h~（a+bf =（i^+3（i-b + 3ab-+b^贝+ ____ /+ ____ （Fb+ _____ a-h-+ _____ a b\_______(2) x~ 4-------- ・第三部分、课后练习1、若x + y = 6 , xy = 3 ,求x" + y"的值。