第3.4节 经验贝叶斯估计讲解

通俗易懂讲解贝叶斯定理转⾃：https:///sdutacm/article/details/509389570. 前⾔这是⼀篇关于贝叶斯⽅法的科普⽂，我会尽量少⽤公式，多⽤平⽩的语⾔叙述，多举实际例⼦。

更严格的公式和计算我会在相应的地⽅注明参考资料。

贝叶斯⽅法被证明是⾮常 general 且强⼤的推理框架，⽂中你会看到很多有趣的应⽤。

1. 历史托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）同学的详细⽣平在。

以下摘⼀段 wikipedia 上的简介：所谓的贝叶斯⽅法源于他⽣前为解决⼀个“逆概”问题写的⼀篇⽂章，⽽这篇⽂章是在他死后才由他的⼀位朋友发表出来的。

在贝叶斯写这篇⽂章之前，⼈们已经能够计算“正向概率”，如“假设袋⼦⾥⾯有N个⽩球，M个⿊球，你伸⼿进去摸⼀把，摸出⿊球的概率是多⼤”。

⽽⼀个⾃然⽽然的问题是反过来：“如果我们事先并不知道袋⼦⾥⾯⿊⽩球的⽐例，⽽是闭着眼睛摸出⼀个（或好⼏个）球，观察这些取出来的球的颜⾊之后，那么我们可以就此对袋⼦⾥⾯的⿊⽩球的⽐例作出什么样的推测”。

这个问题，就是所谓的逆概问题。

实际上，贝叶斯当时的论⽂只是对这个问题的⼀个直接的求解尝试，并不清楚他当时是不是已经意识到这⾥⾯包含着的深刻的思想。

然⽽后来，贝叶斯⽅法席卷了概率论，并将应⽤延伸到各个问题领域，所有需要作出概率预测的地⽅都可以见到贝叶斯⽅法的影⼦，特别地，贝叶斯是机器学习的核⼼⽅法之⼀。

这背后的深刻原因在于，现实世界本⾝就是不确定的，⼈类的观察能⼒是有局限性的（否则有很⼤⼀部分科学就没有必要做了——设想我们能够直接观察到电⼦的运⾏，还需要对原⼦模型争吵不休吗？），我们⽇常所观察到的只是事物表⾯上的结果，沿⽤刚才那个袋⼦⾥⾯取球的⽐⽅，我们往往只能知道从⾥⾯取出来的球是什么颜⾊，⽽并不能直接看到袋⼦⾥⾯实际的情况。

这个时候，我们就需要提供⼀个猜测（hypothesis，更为严格的说法是“假设”，这⾥⽤“猜测”更通俗易懂⼀点），所谓猜测，当然就是不确定的（很可能有好多种乃⾄⽆数种猜测都能满⾜⽬前的观测），但也绝对不是两眼⼀抹⿊瞎蒙——具体地说，我们需要做两件事情：1. 算出各种不同猜测的可能性⼤⼩。

概率论中的贝叶斯定理解析贝叶斯定理是概率论中非常重要的一条定理。

它可以用来更新我们对事件的估计和概率。

贝叶斯定理是一个非常强大的工具，可以在许多领域得到应用，如医学、金融、自然语言处理等。

一、贝叶斯定理是什么贝叶斯定理是指在已知某个事件发生的条件下，我们可以计算出另一个相关事件的概率。

换句话说，它可以帮助我们更新关于某个事件的概率估计。

公式：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)是事件A的先验概率，即我们在未观察到B的情况下对A的概率估计；P(B)是事件B的先验概率；而P(A|B)是在已知B发生的情况下对A的概率估计，叫做后验概率；P(B|A)是在A发生的情况下对B的概率估计，叫做似然概率。

二、贝叶斯定理的应用1.医学诊断在医学领域，贝叶斯定理被广泛应用于疾病诊断。

在医生做出病情判断之前，一般先为病人做一些检验，根据这些检验的结果再判断是否出现某种病症。

这些检验有时往往是有误差的，可能会出现假阳性或假阴性的情况。

这时贝叶斯定理可以帮助医生更好地做出诊断。

例如，对于一个病人来说，有70%的可能性是患有某种病，30%的可能性是健康的。

我们希望通过某些检测手段来确认这个病人是否真的患有这种病。

我们先假设这个测试方法的准确性是95%，即对于那些患病的人，这个测试会在95%的情况下给出正确的结果；对于那些健康的人，也有95%的概率正确地给出结果。

现在假设在这个测试中，这个病人得到了阳性结果。

那么，我们利用贝叶斯定理可以计算出这个病人患病的概率是多少？首先，我们需要计算出阳性结果的概率：P(阳性结果) = P(阳性结果|患病) * P(患病) + P(阳性结果|健康) * P(健康)P(阳性结果) = 0.95 * 0.7 + 0.05 * 0.3 = 0.665然后，我们可以利用贝叶斯定理来计算出患病的概率：P(患病|阳性结果) = P(阳性结果|患病) * P(患病) / P(阳性结果)P(患病|阳性结果) = 0.95 * 0.7 / 0.665 = 0.953即，这个病人患病的概率是95.3%。

信号的参数估计一般指参数在观测时间内不随时间变化，故是静态估计。

若被估计参量是随机过程或非随机的未知过称，则称为波形估计或状态估计，波形估计或状态估计是动态估计。

3。

2贝叶斯估计贝叶斯估计是基于后验概率分布（posterior distribution)的一类估计方法，其中后验概率分布中采用了先验信息(prior information ）。

所谓先验信息，是指已知待估计参数的概率密度函数0()p θ,不管θ是随机变变量或是未知的固定常数。

而后验概率分布具有下面的形式，00()(|)(),1(|)()p c p X p c p X p d θθθθθθ*==⎰.注意两点:1，0()p θ不必满足标准化条件，即0()1p d θθ=⎰,但是0()p θ必须是非负的，并且0102()()p p θθ代表似真比（ratio of plausibility ），若0102()()1p p θθ>，则说明在1θ和2θ两个值之间我们更倾向于1θ为真值；2，()p θ*实际上就是(|)p X θ,是通过试验得到数据X 以后θ的概率密度函数,仅当()1p d θθ=⎰时有明确的含义.下面讨论中，()p θ代表0()p θ，(|)p X θ代表()p θ*。

类似于信号检测中的问题,贝叶斯估计在参数估计中对于不同的估计结果赋予了不同的代价值，然后求解平均代价最小的情况。

估计误差为θθ-，我们只关心估计误差的代价，于是代价函数()()c c θθθ-=，是估计误差的单变量函数。

典型的代价函数有三种：⑴ 平方型()2()c θθθ=-,它强调了大误差的影响 ⑵ 绝对值()c θθθ=-，给出了代价随估计误差成比例增长 ⑶ 均匀型()10c θεθεθε>⎧=⎨⎩-<<这种代价函数给出了估计误差绝对值大于某个值时，代价等于常数，而估计误差绝对值小于某个值时，代价等于零.在贝叶斯估计中，要求估计误差引起的代价的平均值最小。

贝叶斯定理解析贝叶斯定理是概率论中一项重要的理论，它可以用来计算在已知一些先验信息的情况下，某个事件的后验概率。

这个定理的应用范围非常广泛，从数据分析到机器学习，都可以看到贝叶斯定理的影子。

本文将对贝叶斯定理进行详细解析，并介绍一些其相关的应用。

一、贝叶斯定理的基本公式贝叶斯定理是基于条件概率推导而来的，它的基本公式如下所示：P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)在这个公式中，P(A|B)表示在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。

二、贝叶斯定理的应用举例为了更好地理解贝叶斯定理的应用，我们将通过一个简单的问题来说明。

假设有一家医院，该医院的1000名病人中，100人感染了某种罕见疾病。

而这种疾病的检测准确率为99％。

现在，如果一个病人的检测结果呈阳性，那么他实际上感染这种疾病的概率是多少？根据贝叶斯定理的公式，我们可以将这个问题表示为：P(感染疾病|阳性) = (P(阳性|感染疾病) * P(感染疾病)) / P(阳性)其中，P(感染疾病|阳性)表示在检测结果为阳性的条件下，病人实际上感染疾病的概率。

P(阳性|感染疾病)表示在感染疾病的条件下，检测结果为阳性的概率。

P(感染疾病)表示病人感染疾病的概率。

P(阳性)表示检测结果为阳性的概率。

根据题目中提供的信息，P(阳性|感染疾病)为0.99，P(感染疾病)为100/1000=0.1，即10%。

而P(阳性)的计算稍微复杂一些，需要考虑两种情况：检测结果为真阳性（病人实际上感染了疾病并被正确检测出来）和检测结果为假阳性（病人实际上未感染疾病但被错误地检测出来）的概率。

根据提供的信息，病人实际上感染疾病的概率为100/1000=0.1，即10%。

而检测结果为真阳性的概率为 P(真阳性) = P(感染疾病) * P(阳性|感染疾病) = 0.1 * 0.99 = 0.099。

高中数学的解析概率与统计中的贝叶斯定理解析概率与统计是高中数学中的一个重要内容，其中涉及了许多概率和统计的概念和方法。

而在解析概率与统计的学习中，贝叶斯定理是一个非常关键的概念。

本文将对贝叶斯定理的原理和应用进行详细阐述。

一、贝叶斯定理的基本概念与原理贝叶斯定理是基于条件概率的一种计算方法，其基本概念和原理可以通过以下公式来表示：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。

贝叶斯定理的原理可以通过以下推导来理解：假设已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率为P(B|A)，而事件A发生的概率为P(A)；同时，根据全概率公式，事件B的概率可以表示为P(B) = P(A) * P(B|A) + P(A') * P(B|A')，其中A'表示事件A不发生的情况下；那么，根据条件概率的定义，可以得到P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。

二、贝叶斯定理的应用举例贝叶斯定理在实际问题中有着广泛的应用，下面将通过一个实例来说明其应用过程。

假设某地区的患某种疾病的发病率为1%，并且医生利用一种新的检测方法对该疾病进行检测。

据统计，如果一个人患该疾病，那么该检测方法能够正确识别的概率为99%；而对于一个健康人来说，该检测方法误判为患病的概率为5%。

现在有一个人通过该检测方法得出阳性结果，请问这个人患该疾病的概率是多少？解答：设事件A表示该人患该疾病，事件B表示该人通过检测方法得到阳性结果。

已知P(A) = 1%，P(B|A) = 99%，P(B|A') = 5%。

根据贝叶斯定理，可以计算该人患该病的概率P(A|B) = P(B|A) *P(A) / (P(B|A) * P(A) + P(B|A') * P(A'))= 0.99 * 0.01 / (0.99 * 0.01 + 0.05 * 0.99)≈ 0.99 * 0.01 / (0.99 * 0.01 + 0.05 * 0.99)≈ 0.99 * 0.01 / (0.99 * 0.01 + 0.0495)≈ 0.99 * 0.01 / 0.0995≈ 0.0099 / 0.0995≈ 0.099≈ 9.90%因此，通过该检测方法得到阳性结果的人患该疾病的概率约为9.90%。

贝叶斯估计方法引言：贝叶斯估计方法是一种常用的统计学方法，用于通过已知的先验概率和观测到的证据来计算后验概率。

它在概率推理、机器学习、人工智能等领域都有广泛的应用。

本文将介绍贝叶斯估计方法的原理、应用场景以及常见的算法。

一、贝叶斯估计方法的原理贝叶斯估计方法基于贝叶斯定理，根据先验概率和观测到的证据来计算后验概率。

其基本思想是将不确定性表示为概率分布，并通过观测数据来更新这个分布。

具体而言，贝叶斯估计方法可以分为两个步骤：1. 先验概率的选择：根据领域知识或经验，选择合适的先验概率分布。

先验概率可以是均匀分布、正态分布等。

2. 观测数据的更新：根据观测到的证据，通过贝叶斯定理更新先验概率分布，得到后验概率分布。

二、贝叶斯估计方法的应用场景贝叶斯估计方法在各个领域都有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 文本分类：在文本分类中，可以使用贝叶斯估计方法来计算给定文本属于某个类别的概率。

通过观测到的文本特征，可以更新先验概率分布，从而得到后验概率分布，进而进行分类。

2. 信号处理：在信号处理中，可以使用贝叶斯估计方法来估计信号的参数。

通过观测到的信号样本，可以更新先验概率分布，从而得到后验概率分布，进而估计信号的参数。

3. 异常检测：在异常检测中，可以使用贝叶斯估计方法来判断观测数据是否属于正常情况。

通过观测到的数据，可以更新先验概率分布，从而得到后验概率分布，进而进行异常检测。

三、常见的贝叶斯估计算法1. 最大似然估计法（MLE）：最大似然估计法是贝叶斯估计方法的一种常见算法。

它通过最大化观测数据的似然函数，来估计参数的值。

最大似然估计法通常在先验概率分布为均匀分布时使用。

2. 最大后验估计法（MAP）：最大后验估计法是贝叶斯估计方法的另一种常见算法。

它通过最大化后验概率函数，来估计参数的值。

最大后验估计法通常在先验概率分布为正态分布时使用。

3. 贝叶斯网络：贝叶斯网络是一种图模型，用于表示变量之间的依赖关系。