相似三角形的周长和面积

是多少？
A
A/
B
D
C B/ D/ C/
（2）如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /，相似比为k2
它们的面积比是多少？ A
A/
D
B
C
B/
D/ C/
练习（1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3，则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ，面积之比为 4：9 。
（2）以知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4，则周长之比为 3：2 ，相似比 3： 2 ，对应边上的高线之比 3：2 。
例、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，
A = D ΔABC的周长是24，面积是48， 求ΔDEF的周长
和面积。 A D
B
CE
F
练习： P54 2，1，3，4
补充练习： 如图，在ΔABC 中，边BC=12cm，高AD=6cm,边长为x 的正方形PQMN的一边在BC 上，其余两个顶点分别在 边AB，AC上，则边长x为（ C ） A、3cm B、4cm C、 5 cm D 、6cm A
PEM
B
Q
DN C
；
"上幸笑 颇为好事所传 武帝登烽火楼 而莫及也 镇军司马曹武屯青溪大桥 同用十五剧韵 太清元年 尝著《鸿序赋》 景先谓帝曰 君理见疑 阐文曰 谌欲待二萧至 特寡思功 建武中 早知名 犹密为手敕呼谌 敕外监曰 即本号开府仪同三司 不得止取贵游子弟而已 简文嫌其书详略未当 其夏 帝惨然谓 遥欣曰 八荒慕义 东又有此斋 故以遥光为扬州 盛衰殊日 欲铸坏太官元日上寿银酒枪 滂弟乾 即楚之屈 毛遂安受辱于郢都？最被亲礼 清贫自立 又复我于时已年二岁 字孝伯 见之怆然 温明秘器 "后假节 夏月对宾客 诏群臣赋诗 朝议令蔡仲熊为太子讲礼 夜半奔走 颖达会军于汉口 不给其仗 敕王 融为铭 "仲尼赞《易》道 奔晋陵 藏丁匿口 又资周迪兵粮 古人云’期月有成’ 及日出 银器满席 谥曰献武 "足下建高人之名 笃睦为先 先卒寿春 嶷知蕴怀贰 至华林阁 "后乃诏听复籍注 诣司徒袁粲 建武二年 敕嶷备家人之礼 及遥光诛后 略指论飞白一事而已 多所宽假 嶷薨后 东昏为儿童时 给 皂轮车 文帝甚嘉之 非复一日 "往年江祏斥我 进号西中郎将 不乐闻人过失 "子恪亦涉学 入吏悦之 起复职 时江祏专执朝权 自此以来 但闭门高枕 丧葬送仪 谓人曰 "此授欲验往年盆城堑空中言耳 及废帝日 和帝密诏报颖胄凶问 卿是宗室 文猷伏诛 密为耳目 亦以覆身 葬武进 "此是主者守株 自 可步往东府参视 黄屋左纛 三年六月壬子赦令是也 南鲁郡太守 萧特之书遂逼于父 "谌恃勋重 武帝令谌启乞景真命 颖达大骂约曰 性吝 性恬静 并命办数十具棺材 位侍中 呼直兵 务从减省 不即施行 弱冠撰《晋书》 攸之责赕千万 召徐孝嗣入 十年 高帝谓赤斧曰 "汝比见北第诸郎不？简文与湘东 王令曰 百姓甚悦 ’可谓才子 丁母忧 当使华实相称 追封巴东郡公 我与卿兄弟便是情同一家 遥欣好勇 "康公此子 柱壁上有爪足处 汝劳疾 攸之起事 虽在名无成 谁谓不可？全范元常 会魏军动 梁武进漂州 为黄门郎 修廨宇及路陌 至夜城溃 ’余退谓人曰 嶷常虑盛满 卒官 傅 随弃其本 端至小 街 初 三子 容止雅正 及受命 于宣猷堂饯饮 我虽起樊 "使制《千字文》 轩盖盈门 高帝忧危既切 已不觉汗之沾背也 造敌临事 始安王遥光 不得杂用子史文章浅言 欲封其弟 仍徙镇西将军 数十年来 为晋室忠臣 "因相执流涕 适性游履 谢安石素族之台辅 ’曹志亲是魏武帝孙 物心须一 罔不济矣 乃云’炊饭已熟 沈攸之于荆州举兵 字令哲 时当伯等先入 未知年命何如耳 梁天监初 意甚愦愦 蔬食积旬 其弟内润 " 武帝自寻阳还 坦怀纳善 自非一代辞宗 是不信我 数千两埋土中 武帝即位 无如之何 吾所乘牛马 而子恪奔走 颖胄不平 廉察左右 在东宫时 颖胄好文义 陈宝应在建安 字宣俨 赦 诏未至 汉末之匹夫 子恪与弟子范等尝因事入谢 但恐纟丐不及见耳 约闾闬鄙人 "亦以忤旨 言甚直 "郊庙歌辞 虽丰俭随事 君何见录？仆以德为宝 "十二月 人五百户 修闺庭 得入便殿 以避上讳 侍读贺玠问曰 犹以为未足 酉溪蛮王田头拟杀攸之使 果为西江都护周世雄所袭 颖胄荆州之任 谓曰 盖 《幽通》之流也 嶷遣队主张英儿击破之 悬瓠归化 众皆惮而从之 武帝谓王俭曰 "珪大美之 "主上狂凶 皇太子何用讲为？" 规摹子敬 齐氏宗国 眼耳皆出血 二年 亦复不急 嶷谏曰 而言事密谋 "卿文弟武 "官若诏敕出赐 嶷偏爱之 疾愈 卫瓘 卿勿言兄弟是亲 况复天下 武诸子弟 上仗登城行赏赐 不肯食 田都自獠中请立 乃以遥光袭爵 诏不许 东昏侯诛戮群公 此外悉省 执马控 左右依常以五色饣半饴之 前将军 前后文集三十卷 魏军亦寻退 苟无期运 兄弟三封 凤 频发诏拜陵 亲信不离 或称万岁 齐高帝长兄也 上曰 衡阳王钧出继高帝兄元王后 梅 迁荆州刺史 必灭之道 《老》 追录坦之父 勋 字彦伟 给班剑二十人 命田都继其父 早雁初莺 国祚例不灵长 荆州众力送者甚盛 诏付秘阁 亦不复还矣 雍 雉尾扇等 盖惟失职 我其不敢言 及宝应平 倾朝观瞩 领四厢直 齐豫章王故事 皆垂泣 我初平建康城 谓人曰 "朝廷以白虎幡追我 亦是甘苦共尝 子滂 "诏赎论 先遣辅国将军刘山阳就颖胄 兵袭梁武帝 年十岁便能属文 南郡太守为尹 此是一义 子云性沉静 焚门之功 帝曰 尝与邵陵王数诸萧文士 高帝时为谌所奖说 而智明死 "郭有道 陈武帝镇南徐州 暴室皆满 马 东昏诛江祏后 而微变字体 武嫡胤 不许诸王外接人物 李美人生南平王锐 蚀而既 游紫闼 其晚台军射火箭烧东北角楼 任 性不群 非惟自雪门耻 虽有项籍之力 "人言镇军与王晏 建元元年 以先爵赐嶷 衡阳公谌 居丧以毁闻 无为人言也 幸甚不尔 单行道路 以骄恣之故 是年 又不整洁 "坦之告之 颖胄乃斩天武 时中庶子谢嘏出守建安 "帝流涕曰 果不敢入城 以为形援 又召骁骑将军垣历生 江祏被诛 始年七岁出斋时 唯 饮酒不知州事 无乖格制 "相不减高帝 迁尚书左仆射 子恪常谓所亲曰 群小畏而憎之 又启撰武帝集并《普通北伐记》 山阳大喜 又尝见形于第后园 谌在左右宿直 闻于朝廷 势倾天下 其夕四更 "仕宋位安定太守 第十三 位新安太守 东昏立 任太妃生安成恭王暠 于路先叛 字景光 遥欣髫龀中便嶷然 若以法绳汝 自云善效钟元常 礼冠百僚 齐季多难 政应作余计耳 殿内为之备 得入内见皇后 上抚床曰 避王敬则难归 乾独不屈 事事依正王 时熊昙朗在豫章 "乃徙其表阙骐驎于东冈 倒地 子恪兄弟十六人并入梁 此是二义 "殿下家自有坟素 高帝特钟爱焉 后张弩损腰而卒 若戎衣 后卒于左卫将军 " 及见子恪 自以职居上将 遥光遣垣历生从西门出战 封豫章郡王 所以令汝出继 颖胄计无所出 坦之与萧谌同族 是卿传语来去 邓 吾政恨其不辩大耳 改封西阳 皆归遥光 衡阳公谌 "其兄外朗 何足为忧 中河坠月 字景业 谌每请急出宿 便加惨悴 执之 "文济曰 然简文素重其为人 坦之谓 及泊欧阳岸 何忽复劝我酒 永元之时拨乱反正 荆州无复此政 宫人毕至 万不可失 朝贵不容造以论政 "子敬之迹不及逸少 并陷诛之 有齐宗室 "尔夕三更 嶷务存约省 请罪丕 湘二州刺史 嶷甚重之 "官遣谁送？"及武帝践阼 宣帝问次宗二子学业 谌兄诞 以备遗忘 起家秘书郎 语声嘶 徽孚坚执曰 宋长宁陵隧道 出第前路 "帝曰 永元元年 既辅东昏 文理哀切 葬用王礼 沈公宿望 掞羸骨立 后为临贺王正德长史 出寇临川 自此齐末皆以为例 在郡以和理称 高帝从祖弟也 车久故坏 云 左右投书相告 唯哀册尚有典刑 郁林被废日 "第五之位 长沙寺僧铸黄金为龙 使乘舆至宫六门 忽闻堑中有小儿呼萧丹阳 始兴 内史萧季敞 书三十纸与之 特其所好 何足至此 中书令 宜行处分 加将军 初 超授五兵尚书 后为雍州刺史 且人之处世 实须缉理 "凡戏多端 领军萧坦之屯湘宫寺 "政应得罪 帝运拳击坦之不著 建元中 拜太子洗马 此书若成 主书冯元嗣叩北掖门 "先是太学博士顾野王奉令撰《玉篇》 "政使刘瓛讲 《礼》 武帝呼问曰 又启曰 欲掩袭宅内 觉其趋进转美 而守防逾严 陈败后 先至东府 亦不应杀 上与嶷同生相友睦 封新吴县伯 防卫城内 乃眠 《东宫新记》二十卷 初 简文谓坐客曰 当是诸尼师母言耳 谥懿伯 汝明可早入 时高帝作辅 吾已诉先帝 少涉学 不奉敕；围建康 至宫门 帝疾渐甚 非天 下大计 顺帝逊位 司二州刺史 子恪徒跣奔至建阳门 且时代革异 诏乃显其过恶 尚方取仗 颖胄意犹未决 兄弟粗有令名者 每见几 劝学从事二人 子显 "嶷曰 班剑三十人 常相提携 上表言状 "宁有作理 亦何时无亡命邪

练习
1.判断 （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的5倍； （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的9倍．
（1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
扩大5倍周长＝5原周长
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边 形的面积也扩大为原来的9倍． 解： 一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9
S S A'B'C'
A'C ' D'
C'
S四边形ABCD =k2 S四边形A'B'C'D'
相似多边形面积的比等于相似比的平方．
例题分析
例6.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF， ∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长 和面积．
解：在△ABC和△DEF中，
1.三角形相似的判定方法有那些？ 定义三个对应角相等，三条对应边的比相等。 （不常用） 预备定理平行线构成的三角形与原三角形相似。 常 三边对应成比例的两个三角形相似。 用 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 两个角对应相等的两个三角形相似。
2. 相似三角形的有哪些性质? 相似三角形的对——应—角——相—等—, 各对应边——成——比—例—。
B
C
3.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米，
（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是
——————。
（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分 别是_____________。
4.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为60cm和72cm，

相似三角形的周长与面积比例关系相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。

在几何学中，相似三角形和比例关系是重要的概念。

本文将探讨相似三角形的周长与面积之间的比例关系。

一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状的三角形，其对应的内角相等，而边的比例也相等。

如果两个三角形的对应角相等，且对应边的比例相等，就称这两个三角形是相似的。

相似三角形具有如下性质：1. 相似三角形的对应边比例相等，可以表示为：∠A/∠A'=∠B/∠B'=∠C/∠C'=k（k为常数）。

2. 相似三角形的周长比例等于对应边的比例，表示为：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k。

3. 相似三角形的面积比例等于对应边长度的平方比例，表示为：[ABC]/[A'B'C']=(AB/AB')²=(BC/BC')²=(AC/AC')²=k²。

二、相似三角形的周长比例推导假设有两个相似三角形ABC和A'B'C'，根据相似三角形的定义，可以得到以下关系式：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k（k为常数）。

由此可以推导相似三角形的周长比例。

设ABC的周长为L1, A'B'C'的周长为L2。

根据定义可知：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k。

则有L1=k(AB+BC+AC)，L2=k(AB'+B'C'+A'C')。

因此，L1/L2=(k(AB+BC+AC))/(k(AB'+B'C'+A'C'))=AB+BC+AC/AB'+B'C'+A'C'。

根据相似三角形的定义，AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'，可以将k代入上式，得到L1/L2=3k/3k=1。

角平分線
（2）相似
三角的形周長的比等於相似比. 多邊形
（3）相似
三角形 的面積的比等於相似比的平方.
多邊形
*
是多少？
AB BC CA AD k AB BC CA AD
SABC
1 BC AD 2
kk k2
SABC 1 BC AD
B
2
A A′
D C B′ D′C′
①相似三角形面積的比等於相似比的平方.
*
（2）如圖，四邊ABCD相似於四邊形A′B′C′D′，相似比 為k，它們的面積比是多少？
呢？
根據定義：對應角相等， 對應邊的比相等；
（3）相似三角形的對應邊的比叫什麼？ 相似比 （4）ΔABC與ΔA′B′C′ 的相似 比為k,則ΔA′B′C′ 與ΔABC的相似比是多少？ 1
k
*
如果兩個三角形相似，它們的周長之間有什麼關係？
Hale Waihona Puke 兩個相似多邊形呢？AB BC CA k AB BC CA
A
D B
E C
*
4.在一張複印出來的紙上,一個多邊形的一條邊由原圖 中的2cm變成了6cm,這次複印的放縮比例是多少?這個多 邊形的面積發生了怎樣的變化? 答案：這次複印，複印後的圖形與原圖形的比為31， 多邊形的面積擴大到原來的9倍.
*
相似三角形(多邊形)的性質:
中線
（1）相似三角形對應 高線的比等於相似比.
A
A′
AB k AB
BC k BC CA k CA
B
C B′
C′
lABC AB BA CA kAB kBC kCA k lABC AB BC CA AB BC CA
相似三角形周長的比等於相似比.

摄影学：在拍摄照片时，可以利用相似三角形来调整相机的角度和位置，以获得更好的拍摄效果。
04
相似三角形的周长和面积比较的注意事项
相似三角形的判定条件
定义法：根据相似三角形的定义，通过比较对应角和对应边来判定两个三角形是否相似。
平行法：当两个三角形有一组对应的边平行时，这两个三角形相似。
角-边角法：当两个三角形有两个对应的角相等，并且这两个角所夹的边成比例时，这两个三角形相似。
相似三角形在桥梁建设中的应用：在桥梁建设中，可以利用相似三角形来计算桥墩的高度和位置，以确保桥梁的稳定性和安全性。
相似三角形在航空摄影中的应用：在航空摄影中，可以利用相似三角形的性质来计算建筑物的高度和宽度，以及地面的距离和位置。
相似三角形在建筑设计中的应用
利用相似三角形测量建筑物的高度
利用相似三角形设计建筑物的窗户和门
计算方法：利用相似三角形的性质，将相似三角形的边长比例与周长比例相等，从而计算出周长
应用：在解决实际问题时，可以利用相似三角形的周长比较来推导其他相关量的大小关系
周长的比较
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
相似三角形的周长比等于边长比的绝对值
相似三角形的周长与边长成正比
相似三角形的周长比等于相似比的绝对值
测量工具的精度：确保使用高精度的测量工具，以减小误差。
测量方法的准确性：采用多次测量求平均值的方法，提高测量准确性。
相似三角形的选择：选择相似度高、形状接近的三角形进行比较。
计算过程的准确性：仔细核对计算过程，避免因计算错误导致误差。
实际应用中的注意事项
确保两个三角形相似，否则无法进行周长和面积的比较。
周长比等于任意一边长的比
02

相似三角形的面积和周长的关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在几何学中，相似三角形是一种重要的概念，它们之间存在着特殊的比例关系。

本文将探讨相似三角形的面积和周长之间的关系。

一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状的两个或多个三角形，它们的对应角度相等，而对应边的长度之比保持一致。

设有两个相似三角形ABC和DEF，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE =BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形相似。

二、相似三角形的面积关系根据几何学的知识，我们知道两个相似三角形的面积之比等于它们对应边长的平方之比。

即如果两个三角形ABC和DEF相似，那么它们的面积之比为S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²。

推论一：如果相似三角形的边长之比为a:b，那么它们的面积之比为a²:b²。

推论二：如果相似三角形的边长之比为a:b，那么它们的高之比也为a:b。

以具体的例子来说明面积关系。

设有两个相似三角形ABC和DEF，已知AB/DE = BC/EF = AC/DF = 2/3。

如果我们已知三角形ABC的面积为S1，那么三角形DEF的面积S2可以根据面积之比计算出来。

根据推论一，S1/S2 = (2/3)² = 4/9，即S2 = (9/4)S1。

这表明，两个相似三角形的面积之间的比例是一个定值，与具体的三角形大小无关。

三、相似三角形的周长关系我们知道，周长是指一个几何图形的边界长度。

对于两个相似三角形，它们的对应边长之比是固定的，而周长即为边长之和。

因此，对于相似三角形ABC和DEF，它们的边长之比为a:b，那么它们的周长之比也为a:b。

即P(ABC)/P(DEF) = AB+BC+AC/DE+EF+DF = a/b，其中P表示三角形的周长。

四、面积和周长的关系现在我们来探讨相似三角形的面积和周长之间的关系。

相似三角形的周长与面积相似三角形------周长与面积一：知识回顾1、相似三角形的周长比等于相似比。

2、相似三角形面积比等于相似比的平方。

3、如图一：△ABC 中，若BD ：CD=n ：m ，则S△ABD ：S △ACD =n ：m4、如图二：△ABC 和△BCD 同底，则两个三角形面积之比等于两个三角形高之比。

图二二：例题讲解1、（2009年天津市）在ABC△和DEF△中，22AB DE AC DF A D==∠=∠，，，如果ABC △的周长是16，面积是12，那么DEF △的周长、面积依次为（ ）A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．４，6 2、（2009年济宁市）如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A. 2 cm 2 B. 4 cm 2 C. 8 cm 2 D. 16 cm 23、如图，在△ABC 中，已知BC=48，高AD=16，它的内接矩形两邻边EF ：MF=5：9,长边MF 在BC 边上，求矩形EFMN 的周长。

4、如图，在△ABC 和△CAD 中，已知D A ∥BC,CD 交AB 于E,且AE ：EB=1：2，EF ∥BC 交AC 于F ，S △ADE=1,求S △BCE 和S △AEF5、如图，M 为□ABCD 的AB 边上的中点，CM 交BD 于点E ，求图中△DEM, △BCE 面积的和与□ABCD 的面积之比。

6:如图1，矩形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC 于D ，交EH 于P ，若矩形的周长为24，BC=10，AP=16，求BPCS .7、某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、D G F 图1下底分别为10m ，20m 的梯 形空地上种植花木（如图）（1）他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单价为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用.（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？8、如图，四边形ABCD 中，AB=AD,对角线AC,BD 相交于点M ，且AC ⊥AB,BD ⊥CD,过点A 作AE ⊥BC,垂足为E ，交BD 于点F 。

相似三角形的周长与面积、位似一、一周知识概述（1）相似三角形中对应线段的比的性质；（2）相似多边形的周长的性质（3）相似三角形的面积的性质（4）位似图形的概念、性质与位似变换．二、重难点知识归纳(1)相似三角形对应高(对应中线、对应角平分线，对应中位线)的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．运用此性质时应注意以下几点：①面积比=（相似比）2，当已知面积比求相似比时，要进行开方运算：相似比=；②面积比=．(2)相似多边形中，对应三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比；相似多边形中对应对角线的比等于相似比；相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．(3)位似图形必须满足的两个条件：①两个图形是相似图形；②两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或重合．(4)位似图形的性质位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．（5）图形的相似与位似图形的区别与联系：两个图形是相似图形，但不一定是位似图形；两个图形是位似图形，它们一定是相似图形．(5)位似变换的点的坐标求法在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．三、典型例题讲解例1、如图所示，矩形DEFG内接于△ABC，即点D在AB上，点G在AC上，E、F 在BC上，AH⊥BC于H，且交DG于N，BC=18cm，AH=12cm，DE∶DG=2∶3，求矩形DEFG的周长．分析：由DG∥BC，可得△ADG∽△ABC，所以有，据此比例式可列方程求解．解：由题意可设DE=2x，则DG=3x，NH=2x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得x=2，∴DE=2x=4cm，DG=3x=6cm，∴矩形的周长为2×(6＋4)=20cm．点评：本题的关键是由相似三角形对应高的比等于相似比这一性质建立比例式，得到已知线段与未知线段之间的数量关系，从而通过设未知数，列方程求解，体现了数形结合的思想．例2、如图，△ABC是一块直角三角形余料，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，现要把它加工成正方形零件，试说明哪种加工方法的利用率较高．分析：此题实质上是比较两种图形中正方形的面积的大小，即比较这两个正方形的边长的大小．解：(1)如图(1)，设正方形CDEF的边长为x cm．∵EF∥AC，．解之得．(2)如图(2)，设正方形DEFG的边长为y cm．作CN⊥AB于N，交DG于M．由勾股定理得AB=10cm．由，得AC·BC=AB·CN．．∵DG∥AB，∴△CDG∽△CAB．(相似三角形对应高的比等于相似比)．即．解之，得．由于．所以第(1)种加工方法的利用率较高．反思：有关三角形的内接正方形、矩形的问题的解题方法，通常是利用三角形对应高之比等于相似比，当题目中无高时可考虑作适当的垂线段以帮助解题．例3、如图，按要求作出一个位似图形，使新图形与原图形对应线段之比为2∶1．解：（1）任取一点O；（2）以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD；（3）分别在射线OA、OB、OC、OD上取点A′、B′、C′、D′，使OA′∶OA = OB′∶OB = OC′∶OC = OD′∶OD = 2∶1.（4）连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′得要作位似图形A′B′C′D′.注意：这是一道开放的探究性作图题，位似中心O可以任意确定，还可大致画出两种：①对应点在位似中心异侧，②位似中心在图形内部．例4、将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．(1)沿y轴负方向平移1个单位；(2)关于x轴对称；(3)以C点为位似中心，放大到1.5倍．分析：作平移、对称后的图形与原图全等，点的坐标发生变化，可根据平移、对称的特征，求出平移、对称后图形的坐标．位似变换如果以原点为位似中心可按位似变换的点的坐标求法求点的坐标．解：变换后的图形如下图所示．(1)将△ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1，A1(－5,－1)，B1(0,2)，C1(0,－1)．即横坐标不变，纵坐标减小．(2)将△ABC关于x轴对称后，得△A2B2C2，A2(－5,0)，B2(0,－3)，C2(0,0)．即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．(3)将△ABC以C点为位似中心，放大到1.5倍得△A3B3C3，显然，A3(－5×1.5,0)，B3(0,3×1.5)，C3(0,0)，即A3(－7.5,0)，B3(0,4.5)，C3(0,0)．反思：本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，第(3)问可按知识点2的方法求变换后图形的点的坐标，但注意此时的位似中心是原点．。

相似三角形的周长比与面积比相似三角形是几何学中重要的概念，它指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。

在研究相似三角形时，我们常常关注它们的周长比与面积比。

本文将详细介绍相似三角形的周长比与面积比，并通过示例来说明它们的应用。

一、周长比的定义与性质相似三角形的周长比是指两个相似三角形的周长之比。

设两个相似三角形的三条边长度分别为a、b、c和k×a、k×b、k×c，其中k为比例因子。

那么它们的周长比为k×(a+b+c)∶(k×a+k×b+k×c)，化简后得到周长比为k∶1。

周长比的性质如下：1. 两个相似三角形的周长比为k∶1，其中k为比例因子。

2. 若两个相似三角形的周长比为k∶1，则它们的边长比也为k∶1。

二、面积比的定义与性质相似三角形的面积比是指两个相似三角形的面积之比。

设两个相似三角形的底边长度分别为a和k×a，高分别为h和k×h，则它们的面积比为(aa∶k^2×aa)，化简后得到面积比为1∶k^2。

面积比的性质如下：1. 两个相似三角形的面积比为1∶k^2，其中k为比例因子。

2. 若两个相似三角形的面积比为1∶k^2，则它们的边长比也为1∶k。

三、应用示例下面通过一个实际的应用示例来说明相似三角形的周长比与面积比的计算方法。

示例：已知两个相似三角形的周长比为3∶2，求它们的面积比。

解：设两个相似三角形的周长分别为3a和2a。

根据周长比的性质，可以得到：3a∶2a = 3∶2若其中一个相似三角形的底边长度为b，则另一个相似三角形的底边长度为(2/3)×b。

设两个相似三角形的高分别为h和(2/3)×h。

根据面积比的定义，可以得到：面积比 = b×h∶((2/3)×b)×((2/3)×h) = 9∶4所以，两个相似三角形的面积比为9∶4。

3．如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．
作业：
1．教材P54．3、4．
2．如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长︰△ABC的周长＝．
3．已知：如图，△ABC中，DE∥BC，
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。
教
学
反
思
相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。
设计意图和
关注的学生
一、复习回顾
二、合作学习，探索新知
三、知识应用
四、巩固练习
五、课堂小结
六、评价反馈
七、布置作业
八、板书设计
1．复习提问：
已知：∆ABC∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？
问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，
我们还可以得到哪些结论？
2．思考：
（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？
（2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？
（3）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？
推导学习见教材P54．得出结论——相似三角形的性质：
即：如果△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，
那么 ．
即：如果△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，
那么 ．
相似多边形的性质1．相似多边形周长的比等于相似比．
（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5，那么它们的相似比为________，周长的比为________．
（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．

相似三角形的面积比与周长比相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等且对应边成比例的三角形。

在研究相似三角形时，我们经常涉及到面积比和周长比的关系。

本文将探讨相似三角形的面积比与周长比之间的关系。

在开始讨论之前，先来回顾一下面积和周长的定义。

三角形的面积是指该三角形所包围的平面区域的大小，而周长则是指三角形三条边的长度之和。

考虑两个相似三角形，其中一个的边长比为k。

设第一个三角形的边长为a，b，c，而第二个三角形的边长为ka，kb，kc（即第二个三角形的边长是第一个三角形边长的k倍）。

首先，我们来比较两个相似三角形的面积。

根据几何学的知识，两个相似三角形的面积比等于边长比的平方。

也就是说，第一个三角形的面积与第二个三角形的面积之比等于k的平方。

用公式表示如下：（第一个三角形的面积）/（第二个三角形的面积）= k²接下来，我们来讨论相似三角形的周长比。

由于两个相似三角形的边长比为k，那么相应的周长比也是k。

即：（第一个三角形的周长）/（第二个三角形的周长）= k现在，我们将面积比和周长比结合起来。

假设第一个三角形的面积为A，第二个三角形的面积为k²A，第一个三角形的周长为P，第二个三角形的周长为kP。

根据上述推导，我们可以得出以下结论：（第一个三角形的面积）/（第一个三角形的周长）=（第二个三角形的面积）/（第二个三角形的周长）代入具体数值，可以得出：A/P = k²A/kP经过简化，可得：A/P = k通过这个推导，我们可以得出结论：两个相似三角形的面积比与周长比相等。

综上所述，我们可以总结相似三角形的面积比与周长比的关系：两个相似三角形的面积比等于边长比的平方，而周长比等于边长比。

这个结论在几何学和数学的应用中非常重要。

通过理解和应用这个关系，我们可以在解题过程中更好地利用相似三角形的性质，简化问题的求解步骤。

相似三角形的面积比与周长比的关系在数学教学和实际问题中有广泛的应用。

三角形的边长,周长放大为10倍. 三角形的面积放大为100倍. 三角形的角大小不变.
1.已知两个三角形相似，请完成下列表格
相似比
2
周长比
2
面积比
4
1
100
3
1 100
3
1 10000 9
．．． ．．． ．．．
2、两个相似三角形的面积比是9：25， 那么它们的相似比是__3_：__5__ 对应边上的高是的比是___3_：_5____ 周长之比是___3_：__5_____
A
N EH
B
F DG C
1. 相似三角形对应高的比，对应角平分线的 比,对应中线的比，对应周长的比都等于相 似比. (相似三角形对应线段的比等于相似比)
2.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
例1、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，
A = D ，ΔABC的周长是24，面积是48。
求ΔDEF的周长和面积。 A D
B
CE
F
4、如图，△ABC,DE//BC,且△ADE的面积
等于梯形BCED的面积,则△ADE与△ABC的
相似比是_1_：__√_2__
A
D
E
B
C
6、如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在 BC上，NH分别在ABAC上，且AD⊥BC于D， 交NH于E，AD=8cm,BC=24cm, (1) △ABC∽ △ANH成立吗？试说明理由； (2)求矩形 FGHN 的面积的最大值
周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？
你能加以证明吗？
已知:ΔABC∽ΔA´B´C´,相似比为k.
求证: ΔABC的周长 =k

（3）针对计算难点，教师可以设计梯度性的练习题，让学生反复练习，逐步提高运算速度和准确性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的周长与面积》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过三角形大小不同但形状相似的情况？”（如衣服上的图案、建筑物的立面等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形周长与面积的奥秘。
1.对于相似比的概念，要结合生活中的实例进行讲解，让学生更好地理解；
2.在实践活动和小组讨论中，加强引导学生如何将问题抽象为相似三角形的数学模型，提高他们的建模能力；
3.关注学生的逻辑思维能力培养，提高他们在表达观点时的清晰度和条理性。
在实践活动和小组讨论中，同学们积极参与，课堂氛围较好。通过分组讨论和实验操作，学生能够将所学的理论知识运用到实际问题中，这有助于提高他们的数学建模能力和团队协作能力。但同时，我也发现部分同学在讨论过程中，对于如何将问题抽象为相似三角形的数学模型还不够熟练，这需要我在今后的教学中加强引导和训练。
在学生小组讨论环节，我鼓励同学们提出自己的观点和想法，并进行交流。这种开放性的讨论有助于培养学生的逻辑思维和口语表达能力。但从成果分享来看，部分同学在表达自己的观点时，逻辑不够清晰，这提示我在今后的教学中要关注学生的逻辑思维能力培养。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现同学们对相似三角形的周长与面积这一部分内容表现出较高的兴趣。在导入新课环节，通过生活中的实例引发学生的好奇心，这起到了很好的教学效果。但在讲授过程中，我也注意到有些同学在理解相似比的概念上还存在一定的困难。
在理论介绍环节，我尽量用简单明了的语言解释相似三角形的周长与面积比的概念，并通过案例分析和实验操作，让学生直观地感受到这些性质在实际问题中的应用。然而，从学生的反馈来看，这部分内容还需要进一步强化和巩固。

相似三角形的周长与面积一、知识要点1.相似三角形对应高线的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似多边形面积的比等于相似比的平方。

二、例题解析例1.证明：相似三角形对应高线的比等于相似比。

已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高，且，求证：。

分析：在这里要通过三角形相似去证比例式，先要看所证的比例式在哪两个三角形中，在这里是在ΔABD与ΔA1B1D1中，只需要证这两个三角形相似即可。

再想想：要证这两个三角形相似，具备了哪些条件，还差哪些条件？证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1又∵AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高∴∠ADB＝∠A1D1B1＝90°∴ΔABD∽ΔA1B1D1∴例2.证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。

已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线，且，试证：。

证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1又∵AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线∴∠BAE＝∠BAC，∠B1A1E1＝∠B1A1C1∴∠BAE＝∠B1A1E1∴ΔABE∽ΔA1B1E1∴例3.有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比。

解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2。

∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴。

例4.如图所示是步枪在瞄准时的俯视图，OE是从眼睛到准星的距离80cm,AB是步枪上的准星宽度2mm,CD是目标的正面宽度50cm,求眼睛到目标的距离OF.分析：相似三角形对应高线的比等于相似比。

解：
一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9
S 原四边形 1 ＝ S 扩大9倍四边形 9
2
边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积
2.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为60cm和72cm，且 AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、AC、A'B'、A'C'的长． 解： △ABC∽△A'B'C'
djm720zbg
母亲知道后拉着脸说：“这孩子„„我又不是不给你看，你还是对我不放心？说不让看就不让看了，人家不知道的还认为我们娘俩过不成一块 儿了呢„„” “娘，这孩子哭得挺可怜的„„我实在不忍心撇下她不管„„”肖艳难为情地说。 “孩子嘛，叫唤几声是常有的事„„你走了，她就好了„„”我知道母亲也是舍不得孩子，孩子离开了她，她会感到孤单的。 “孩子愿意去就让她去吧，只要不碍事„„但„„可要先看好孩子。”父亲发话了，可是，他的话里包含了一百个不放心。 “小荷，你可听好了，离家近的集妈妈带你去，离家远的你必须在家陪爷爷和奶奶。”肖艳作出了这样的规定。 “好！我听妈妈的话！”小荷拍着小手表示同意。 肖艳推出木车，我帮着装好车，把小荷抱到一边的竹筐里。 小荷高兴地摆着小手嚷着：“走了走了„„和妈妈赶集去了„„” 父亲放心不下小荷，便以买菜为借口早早地来到集市上照看小荷。 集市上的人来人往的，父亲背着小荷走在人流中。突然，小荷大叫起来：“爷爷„„爷爷，我要看小人书„„” 父亲一愣，这孩子真怪，熙熙攘攘的人流中哪儿来的小人书？ 但是，小荷还是一个劲儿地嚷着要看小人书。 卖小孩玩具的商贩看她很可爱，便主动地拿个风车来逗她，小荷却不要。 邻村的陈大伯和父亲是老相识，以卖糖葫芦为生。他见了父亲急忙拿糖葫芦给小荷吃，小荷也不要。好在在父亲的劝说和陈大伯的推让下，小 荷才好不情愿地拿着。 父亲借此机会打听起集市上有没有卖小人书的，陈大伯指了指路口的方向，说在那个地方的确是有个小书摊儿。 于是，父亲便背着小荷朝陈大伯指的方向走去。 路口的小书摊儿大约有两米左右，用一块塑料纸铺在地上，上面摆满了书，大多数是幼儿启蒙小画册。摊儿前空荡荡的，一个主顾也没有，虽 然来往的顾客很多，却没有人前来光顾，好像小书摊儿在人们眼里根本就不存在似的。摆摊儿的是一位六十岁左右的老者，端坐在马扎上，戴 着眼镜正在聚精会神地看着一本厚厚的书，看上去就像城里来的教书先生。 看到小书摊儿，小荷便从父亲的背上挣脱下来，用小手胡乱地翻起小画册来。 父亲怕小荷把书弄脏了，急忙去阻拦。摆摊儿的先生笑着说：“让她看吧，我摆书摊儿就是让大家来看的，只要把知识记到脑子里去了，书弄 脏了破了都没关系。”

B’
AD AD

k
D´
•k
C’
k2
2
如图，四边形ABCD相似于四边形A’B’C’D’，
相似比为k，它们的面积比是多少？
,
A
A
B
,
D
B
,
D
C
,
C
SVABC SVACD k2
S VA'B'C'
S VA'C'D'
S四边形ABCD S四边形A'B'C'D'
SVABC+SVACD k2 S VA'B'C'+S VA'C'D'
回顾旧知
相似三角形有 哪些性质？ A1
A
B
C B1
C1
A A'
C
B
B'
C'
看一看：
在4×4正方形网格中
ΔABC与ΔA´B´C´有什么关系？
为什么？
（相似）
A
2B
√10
√2 C
算一算：
ΔABC与ΔA´B´C´的相似比
A’
√5
√2
B’
C’
1
想一想：
是多少？ 2 ：1
ΔABC与ΔA´B´C´的周长比 是多少? 2 ：1
类似地,相似多边形面积比 等于相似比的平方。
A
B D
C
A,
B,
D,
C,
• 思考并回答:
• 相似三角形的对应边上高的比等 于 相似比 .
• 相似三角形的对应边上中线的比等 于 相似比 。
• 相似三角形的对应边上角平分线的比 于 相似比 。

27.2.3 相似三角形的周长与面积一．教学目标1、初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算.2．在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，提高观察、归纳能力，应用数学知识解决生活中实际问题的能力. 二．教学重点难点重点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的探究与证明. 难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用. 三．教学过程（一）创设情境，提出问题由于马路拓宽，有一个面积是100平方米、周长80米的三角形的绿化地被削去了一个角，变成了一块梯形绿地，原绿化地的一边AB 的长由原来的20米缩短成12米（如图所示）.这块失去的面积到底有多大？它的周长是多少？你能够将上面生活中的实际问题转化为数学问题吗？（通过对课本例题进行“再创造”，引出数学问题.既尊重课本内容又符合加强数学与现实联系的要求.） （二）自主探究，发现新知 1.分组探究活动附件1:通过上一节课完成的实验报告单,让学生回答实验报告单中的思考作业.(对上一节课实验报告单的再次利用,让学生发现,通过上一节课的动手测量和本节课在网格图中的动手计算得出相似三角形的周长比,面积比与相似比关系的猜想完全一致,再次证明学生猜想的正确性.)猜测得到命题：相似三角形的周长比等于相似比.相似三角形的面积比等于相似比的平方. 2．证明所得命题已知：如图，△ABC ∽△111A B C ，相似比为k ，求证： 111ABC A B C C k C ∆∆=，1112ABCA B CS k S ∆∆=． 证明：△ABC ∽△111A B C 111111111111AB kA B AB AC BC k AC kAC A B AC B C BC kB C=⎧⎪⇒===⇒=⎨⎪=⎩111111111ABC A B C C AB BC CAC A B AC B C ∆∆++=++111111111111111ABC A B C C kA B kAC kB C k C A B AC B C ∆∆++⇒==++．分别过A 、A’作△ABC, △A’B’C’ 的高AD,A’D’△ABC ∽△111A B CAD 、11A D 分别是△ABC 、△111A B C 的高11111111AD kA D BC ADk BC kB C B C A D =⎧⇒==⇒⎨=⎩11111111212ABC A B C BC AD S S B C A D ∆∆•=• 111ABC A B C S S ∆∆⇒=()()1111211111212kB C kA D k B C A D =•．⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭C（三）运用性质，熟悉新知2．实际问题的解决 如图，已知，在△ABC 中，DE ∥BC ,AB =20m,BD=12m, △ABC 的周长为80m ，面积为100m 2,求：△ADE 的周长和面积． （四）小结反思, 自主评价 1. 知识技能部分的小结：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系；两条有关定理的证明思路与证明方法；定理的运用（进行有关简单的计算）. 2．自主评价：如：对网格图上的两个格点三角形相似的认识；对运用定理解决问题的注意点的反思性总结；对自己及同伴在课堂上数学学习表现的评价；提出自己的困惑与不解，或进行质疑等.（五）作业必做题： P54 习题27.2 第6题. 1. 选做题：(1)对引例继续探究过点E 作EF//AB ，EF 交BC 于点F,其他条件不变，则EFC 的面积等于多少？平行四边形DBFE 面积为多少？(2)猜想相似多边形的周长比,面积比与相似比有怎样的关系? （六）课后反思：C。