高考理科数学复习学案 每日一题 规范练(第二周)

每日一题 规范练(第一周)[题目1] (本小题满分12分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，满足a 3＝7，且a 2，a 4，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝a n ·a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，且d ≠0，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 24＝a 2a 9，a 3＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧（7＋d ）2＝（7－d ）（7＋6d ），a 1＋2d ＝7， 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2. (2)由(1)得b n ＝a n ·a n ＋1＝(3n －2)(3n ＋1)， 所以1b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，S n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝13(1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝n 3n ＋1. [题目2] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解：(1)因为f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，又T ＝π，所以ω＝2， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)，即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得函数f (x )的单调增区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z)．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8，其单调减区间为⎝⎛⎦⎥⎤3π8，π2.[题目3] (本小题满分12分)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：(1)别抽取的挑战者的人数；(2)从(1)中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．解：(1)因为样本容量与总体个数的比是6108＝118，所以从年龄在[7，20)抽取的人数为118×18＝1，从年龄在[20，40)抽取的人数为118×54＝3，从年龄在[40，80]抽取的人数为118×36＝2，所以从年龄在[7，20)，[20，40)，[40，80]中抽取的挑战者的人数分别为1，3，2. (2)设从[7，20)中抽取的1人为a ，从[20，40)中抽取的3人分别为b ，c ，d ，从[40，80]中抽取的2人为e ，f .从这6人中任取2人构成的所有基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个，每人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，记事件A 为“2人来自同一年龄组”，包含(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，(e ，f )，共4个基本事件，则P (A )＝415，故2人来自同一年龄组的概率为415.[题目4] (本小题满分12分)如图，四棱锥P ­ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面PAC .证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点．又F 为PC 的中点，因此在△PAC 中，可得AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF . 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC . 所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ， 所以AP ⊥CD ， 因此AP ⊥BE .因为四边形ABCE 为菱形， 所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以BE ⊥平面PAC .[题目5] (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 12，y 1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，y 2，m ·n ＝0. (1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由． (1)证明：因为k 1，k 2存在，所以x 1x 2≠0， 因为m ·n ＝0，所以x 1x 24＋y 1y 2＝0，所以k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－14. (2)解：①当直线PQ 的斜率不存在， 即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时，由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214－y 21＝0，(*) 又由P (x 1，y 1)在椭圆上，得x 214＋y 21＝1，(**)由(*)、(**)联立，得|x 1|＝2，|y 1|＝22. 所以S △POQ ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝1.②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0， Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(4k 2＋1－b 2)＞0，x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1.因为x 1x 24＋y 1y 2＝0，所以x 1x 24＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，得2b 2－4k 2＝1，满足Δ＞0.所以S △POQ ＝12·|b |1＋k2·|PQ |＝12|b |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2|b |·4k 2＋1－b24k 2＋1＝2|b |·b 22b2＝1.综上可知，△POQ 的面积S 为定值．[题目6] (本小题满分12分)已知函数g (x )＝ax －a －ln x ，f (x )＝xg (x )，且g (x )≥0.(1)求实数a 的值；(2)证明：存在x 0，f ′(x 0)＝0且0＜x 0＜1时，f (x )≤f (x 0)． (1)解：g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝a －1x，x ＞0.因为g (x )≥0，且g (1)＝0，故只需g ′(1)＝0. 又g ′(1)＝a －1，则a －1＝0，所以a ＝1.若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x，显然当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，此时g (x )在(0，1)上单调递减；当x ＞1，g ′(x )＞0，此时g (x )在(1，＋∞)上单调递增． 所以x ＝1是g (x )的唯一的极小值点， 故g (x )≥g (1)＝0. 综上，所求a 的值为1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x .设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，h ′(x )＜0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＞0， 所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．又h (e －2)＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，h (1)＝0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12有唯一零点x 0，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞有唯一零点1. 当x ∈(0，x 0)时，h (x )＞0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )＜0.因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点． 则x ＝x 0是f (x )在(1，1)的最大值点，所以f (x )≤f (x 0)成立．[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修4­4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R)．以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求实数a 的值． 解：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，所以曲线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， 所以ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， 所以x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t得t 2－22t ＋2－8a ＝0.Δ＝(－22)2－4(2－8a )＞0，即a ＞0， t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝2－8a ，根据参数方程中参数的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝ （t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝8－8（1－4a ）＝32a ＝8， 所以a ＝2.2．(本小题满分10分)[选修4­5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R. (1)解不等式f (x )＜|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )＜1.(1)解：因为f (x )＜|x |＋1，所以|2x －1|＜|x |＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜12，1－2x ＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x ＜－x ＋1，得12≤x ＜2或0＜x ＜12或无解． 故不等式f (x )＜|x |＋1的解集为{x |0＜x ＜2}． (2)证明：f (x )＝|2x －1| ＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)| ≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1| ＝2|x －y －1|＋|2y ＋1| ≤2×13＋16＝56＜1.所以，对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，f (x )＜1成立．。

每日一题 规范练(第一周)星期一 2020年3月23日[题目1] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b ＋c 的值． 解：(1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12，所以－cos 2A2＋sin 2A2＝12，则cos A ＝－12.又A ∈(0，π)， 所以A ＝23π.(2)S △ABC ＝12bc sin A ＝3，所以bc ＝4，又由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2＋bc ， 所以(b ＋c )2＝16，故b ＋c ＝4.星期二 2020年3月24日[题目2] 在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列，数列{a n }的前10项和为45.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 4，a 8成等比数列可得，a 24＝a 1·a 8，(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋7d )，所以a 21＋6a 1d ＋9d 2＝a 21＋7a 1d .因为d ≠0，所以a 1＝9d .由数列{a n }的前10项和为45，得S 10＝10a 1＋45d ＝45， 则90d ＋45d ＝45， 故d ＝13，a 1＝9×13＝3.因此数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋83.(2)b n ＝1a n a n ＋1＝9（n ＋8）（n ＋9）＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋8－1n ＋9.所以T n ＝9(19－110＋110－111＋111－112＋…＋1n ＋8－1n ＋9)＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫19－1n ＋9＝1－9n ＋9＝nn ＋9. 星期三 2020年3月25日[题目3] 某市在2019年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10 000名学生的成绩服从正态分布N (120，25)，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105)，…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估计该校数学成绩的平均分数；(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的分布列和期望．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝0.997 4. 解：(1)由频率分布直方图可知[125，135)的频率为1－(0.010×10＋0.024×10＋0.030×10＋0.016×10＋0.008×10)＝0.12.所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112(分)．(2)由于1310 000＝0.001 3，根据正态分布得P (120－3×5＜X ＜120＋3×5)＝0.997 4.故P (X ≥135)＝1－0.997 42＝0.001 3，即0.001 3×10 000＝13.所以前13名的成绩全部在135分以上．根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125，145]的学生有50×(0.12＋0.08)＝10(人)．所以X 的取值为0，1，2，3.所以P (X ＝0)＝C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 310＝130.所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 P1612310130所以E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2.星期四 2020年3月26日[题目4] 如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)若二面角P-AC-E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．(1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥PC .因为AB ＝2，AD ＝CD ＝1，所以AC ＝BC ＝ 2. 所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC . 又BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .(2)解：如图，以C 为原点，取AB 的中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，1，0)，B (1，－1，0)．设P (0，0，a )，(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2. 所以CA →＝(1，1，0)，CP →＝(0，0，a )，CE →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2.取m ＝(1，－1，0)，则m ·CA →＝m ·CP →＝0， 所以m ＝(1，－1，0)为平面PAC 的法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面EAC 的法向量， 则n ·CA →＝n ·CE →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y ＋az ＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－az 2，y ＝az 2.取z ＝－2，得一个法向量n ＝(a ，－a ，－2)．依题意|cos 〈m ，n 〉|＝2a 2·2a 2＋4＝aa 2＋2＝63，则a ＝2.于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1，1，－2)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈PA →·n 〉|＝PA →·n |PA →|·|n |＝23，故直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23. 星期五 2020年3月27日[题目5] 设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若椭圆E 的离心率为22，△ABF 2的周长为4 6.(1)求椭圆E 的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点C ，D ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明：O ，M ，N 三点共线．(1)解：由题意知，4a ＝46，a ＝ 6. 又e ＝22，所以c ＝3，b ＝3， 所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明：当直线AB ，CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线；当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k ，且设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，两式相减，得x 216＋y 213－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 226＋y 223＝0.所以x 21－x 226＝－y 21－y 223，（x 1－x 2）（x 1＋x 2）6＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）3，所以y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－36，y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－36.则k ·k OM ＝－12，所以k OM ＝－12k .同理可得k ON ＝－12k. 所以k OM ＝k ON ，从而点O ，M ，N 三点共线．星期六 2020年3月28日[题目6] 已知函数f (x )＝(a －x )e x －1，x ∈R. (1)求函数f (x )的单调区间及极值；(2)设g (x )＝(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －m t 2，当a ＝1时，存在x 1∈(－∞，＋∞)，x 2∈(0，＋∞)，使方程f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数m 的最小值．解：(1)由f (x )＝(a －x )e x －1，得f ′(x )＝(a －1－x )e x . 令f ′(x )＝0，则(a －1－x )e x ＝0，所以x ＝a －1. 当x ∈(－∞，a －1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(a －1，＋∞)时，f ′(x )＜0， f (x )的单调递增区间为(－∞，a －1)， 单调递减区间为(a －1，＋∞)．所以当x ＝a －1时，函数f (x )有极大值且为f (a －1)＝e a －1－1，f (x )没有极小值．(2)当a ＝1时，由(1)知，函数f (x )在x ＝a －1＝0处有最大值f (0)＝e 0－1＝0.又因为g (x )＝(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －m t 2≥0，所以方程f (x 1)＝g (x 2)有解，必然存在x 2∈(0，＋∞)，使g (x 2)＝0， 所以x ＝t ，ln x ＝mt，等价于方程ln x ＝mx 有解，即m ＝x ln x 在(0，＋∞)上有解．记h (x )＝x ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝ln x ＋1，令h ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增， 所以当x ＝1e 时，h (x )min ＝－1e ，所以实数m 的最小值为－1e.星期日 2020年3月29日[题目7] 1.[选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝1－2sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 的极坐标方程为sin θ－2cos θ＝1ρ，求曲线C 上的点到直线l的最大距离．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos αy ＝1－2sin α，消去α，得(x －3)2＋(y －1)2＝4，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－1)2＝4， 化简得ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0.(2)由sin θ－2cos θ＝1ρ，得ρsin θ－2ρcos θ＝1，即2x －y ＋1＝0.圆心C (3，1)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|2×3－1＋1|5＝655，所以C 上点到直线的最大距离为d ＋r ＝655＋2. 2．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －n |，m ，n ∈(0，＋∞)．(1)若m ＝2，n ＝3，求不等式f (x )＞5的解集； (2)若f (x )≥1恒成立，求2m ＋n 的最小值． 解：(1)若m ＝2，n ＝3，则f (x )＝|x ＋2|＋|2x －3|.①当x ≤－2时，－x －2－2x ＋3＞5，得x ＜－43，所以x ≤－2.②当－2＜x ＜32时，x ＋2－2x ＋3＞5，得x ＜0，所以－2＜x ＜0.③当x ≥32时，x ＋2＋2x －3＞5，得x ＞2，所以x ＞2.综上，不等式解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)|x ＋m |＋|2x －n |＝|x ＋m |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －n 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －n 2≥|x ＋m |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －n 2≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋n 2＝m ＋n2.依题意，有m ＋n2≥1，即2m ＋n ≥2.故2m ＋n 的最小值为2.。

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每日一题 规范练（第一周)[题目1] （本小题满分1２分)(201７·北京卷）在△ABC 中，∠Ａ＝60°,c =错误!a .(1)求sin C 的值；（2)若a ＝７,求△ABC 的面积．解：(1)根据正弦定理得错误!＝错误!,所以si ｎ C ＝c ·sin A a＝错误!s ｉn 60°=错误!． (2)当a =7时,c =错误!a ＝3。

因为s ｉn C =错误!错误!,c <a ,所以c ｏs Ｃ=＼r (1－ｓin ２C )=错误!.在△ABC 中,sin Ｂ＝sin [π-(A +Ｃ）]=sin(A +C )＝si ｎ A ·cos C +cos A ·sin C =错误!×＼f (1３,１4)＋错误!×错误!＝错误!，所以Ｓ△ABC ＝＼f (１，２)ａc ｓin Ｂ＝12×7×3×错误!错误!=6错误!. ［题目２］ (本小题满分12分)已知{a n }是等差数列,｛ｂn ｝是各项均为正数的等比数列，且b １＝ａ1＝1，b 3＝a 4,b 1+b 2+b 3＝a 3+ａ４。

(导学号 ５5410152)(1)求数列｛a n },{ｂn }的通项公式；(2)设c ｎ＝a n b n ,求数列｛c ｎ}的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为ｄ，{b ｎ｝的公比为q ，依题意得错误!解得d =１,q =2。

E 课后作业夯关［基础送分提速狂刷练］、选择题1. (2018安阳检测)若点(a , b)在y = lg x 图象上，a ^ 1，则下列点也在此图象上的是( )2 .已知函数 f(x)= 2+ log 2x , x € [1,2]，则函数 y =f(x) + f(x 2)的值 域为( )"11A . [4,5] B. 4,㊁ 答案 B解析 y = f(x) + f(x 2)= 2+ log 2x + 2 + log 2x 2=4+ 3log 2x ,注意到为 11 使得 y = f(x) + f(x 2)有意义，必有 Kx 2< 2,得 1 <x < 2,从而 4W yW^. 故选B.3. (2018太原调研)已知函数f(x) = -log 2x ,若实数x o 是方程f(x)= 0 的解，且 0<X 1<x o ，则 f(X 1)( )A .恒为负值B .等于0C .恒为正值D .不大于0答案 CAbia )10 ,J Cb + 1 i<) 答案 D解析当x = a 2时,lg x 图象上.故选D.B . (10a,1- b) D . (a 2,2b)y = lg a 2=2lg a = 2b ,所以点(a 2,2b)在函数 yC. 4,号D . [4,7](1解析作出jy= ( y )和y—log 2ji'的图象，如图* 由图可知有00]0o 时.化八文1 )>0_故选C.2x答案 B2x解析 函数y =亦两的定义域为｛X |X M 0且x ^±｝，故排除A ; v—2X 2X 「f(—X )=In |X |= —「In |X|= — f(x)，二排除C；4当X = 2时，y 「n2>0,故排除D.故选B.5. (2015 湖南高考)设函数 f(x) = In (1 + x) — In (1 -x),则 f(x)是 () A .奇函数，且在(0,1)上是增函数 B .奇函数，且在(0,1)上是减函数 C .偶函数，且在(0,1)上是增函数 D .偶函数，且在(0,1)上是减函数4. (2017河南二模)函数y = 胡的图象大致为()答案A解析 解法一：函数f(x)的定义域为(-1,1),任取x € (- 1,1), f(—x)= In (1 — x) — In (1 + x) = — f(x)，则 f(x)是奇函数.当 x € (0,1)时，f ‘ (x)112 、 =' + = 2>0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.综上，故选 I + x I — x I — x A.解法二：同解法一知f(x)是奇函数. 1+ x 2 — 1 — x 当 x € (0,1)时，f(x)= In =In 1 x = In 1 — x1 — x2T y = (x € (0,1))是增函数，y = In x 也是增函数，二 f(x)在(0,1)1 — x 上是增函数.综上，故选A.6 . (2018包头模拟)已知函数f(x) = Iog 1 2 — -,—1上是增函数，则实数a 的取值范围是( A . [ — 1 ,+x ) C. — 1, 1 答案 B解析f(x)= Iog 1 (x 2— ax — a)在—^,—1上是增函数，说明内 2 -B.7. (2017安徽安庆二模)已知函数y = f(x)是定义在R 上的偶函数， 当 x € (— ^,0］时,f(x)为减函数，若 a =f(20.3),b = f(log 1 4),c = f(log 25), 2 则a , b , c 的大小关系是()A . a>b>cB . c>b>aC . c>a>bD . a>c>b(x 2 — ax — a)在B. _- 1, 21]层函数K x) = x 2— ax — a 在— 1=,—2上是减函数且K x )>o 成立，只 a 1需对称轴x = 2》—2且K x)min =- 们解得a € — 1, 2，故选答案B解析函数y= f(x)是定义在R上的偶函数，当x€ (―乂，0]时，f(x)为减函数，二f(x)在[0 ,+乂)上为增函数，T b= f(log1 4) = f( —2)2=f(2), 1<20.3<2<log25,A c>b>a,故选B.8. (2017 广东模拟)已知函数f(x) = (e x—e—x)x, f(log s x) + f(log l5x)< 2f(1)，则x的取值范围是()A. 5, 1B. [1,5]C. 5 5D.；-汽5 'u [5,+x )答案C解析丁f(x) = (e x—e x)x,••• f( —x) = —x(e—x—e x) = (e x—e—x)x= f(x)(x€ R)，二函数f(x)是偶函数.T f (x) = (e x—e x) + x(e x+ e x)>0 在(0,+ g)上恒成立.•••函数f(x)在(0,+工)上单调递增.T f(log5x) + f(log1 x)< 2f(1),5••• 2f(log5x)< 2f(1)，即f(log5x) < f(1),1「jlog5x|w 1，二5<x< 5.故选C.9. (2017 河北五校质监)函数y = log a(x + 3)—1(a>0，且a^ 1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2 = 0上，其中m>0, n>0,2 1则m的最小值为()厂 5 9A. 2 2B. 4C.2D.2答案D解析由函数y= log a(x + 3)—1(a>0，且a^ 1)的解析式知：当x =—2时，y=—1,所以点A的坐标为(一2,—1),又因为点A在直线 mx +ny + 2= 0上，所以一2m — n + 2= 0, 即卩 2m +n =2,又 m>0, 2 1 2m + n 2m + n n m 1 o 9n>0，所以一+—= + = 2 + — + — + + 2=,当且仅' m n m 2n m n 2 2 2 2 2 1 9 当m = n = §时等号成立，所以帝+石的最小值为㊁，故选D.ex10. (2017江西红色七校二模)已知函数f(x) = In =,若f e x f 2e \20163+ f 蔬丿+…+ f 歸3 = 504(a + b)，则a 2 + b 2的最小值为()A . 6B . 8C . 9D . 12 答案 B X (2X 2016)= 2016,等号.••• a 2 + b 2的最小值为8.故选B. 二、填空题11. (2018禅城区月考)已知函数f(x)= |lg x|,若0<a<b ,且f(a) =f(b),则2a + b 的取值范围是 ___________ .答案［2 2，+乂)解析画出y =|lg x|的图象如图：T 0<a<b ，且 f(a) = f(b),|lg a|= |lg b|且 0<a<1, b>1,「• — lg a = lg b ,「. ab = 1,二 2a + b >2 2ab = 2 2.解析 + b)=J2017 '+ f ex de — x) 2T f(x) + f(e —x) = In e —x + In x = In e 2= 2,二 504(a £ e £ 2ef而+ f 而2016e . 2e .2015e r2017 + f 2017 + f 2017 +…+ f 2016e 2017••• a + b = 4」a 2+ b 2,铲 至2 = 8,当且仅当a = b = 2时取2016e + <2017+当2a = b时等号成立，••• 2a + b > 2 2.12 .函数 f(x) = log^/x \og\[2(2x)的最小值为 __________1答案—I1i解析 显然 x>0,「. f(x) = log 2 x log 2(2X ) = 2log 2x log 2(4x 2) =|2x + 1|, x<1, log 2 x -m , x>1,若 f(xd = f(X 2)= f(x 3)(X 1 , X 2 , X 3 互不相等),且X 1 + X 2+ X 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为 _________ , 答案12gx (log 24 + 2log 2X )= Iog 2x + (gx)=Jog z x +1 [2--寸，当且仅V *54-113. (2017山西质检)已知函数f(x)= 解析1则由图知点(X i,O),(X2,O)关于直线x=—2对称，所以X i + X2=—1. 又1<X i + X2 + X3<8，所以2<X3<9.由f(x i) = f(X2)= f(x3)(x i, X2, X3 互不相等)，结合图象可知点A的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3 = log2(9-m),解得m= 1.14. (2017辽宁沈阳一模)已知函数f(X) = |log3X|,实数m, n满足0<m<n,且f(m) = f(n)，若f(x)在［m2,n］上的最大值为2,则m= ____ .答案9解析T f(x) = |log3x|，实数m, n 满足0<m<n,且f(m) = f(n)，二m<1<n,—log3m= log3n,「. mn= 1.T f(x)在区间［m2, n］上的最大值为2,函数f(x)在［m2,1)上是减函数，在(1, n］上是增函数，二—log3m2= 2 或log3n= 2.1若—log3m2= 2,则m=3,从而n= 3,此时log?n= 1,符合题意，n 1则m=3亍9.1若log3n= 2,则n = 9,从而m= 9,此时—log3m2=4,不符合题意.三、解答题15. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0) = 0,当x>0 时，f(x)= log1 x.2(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 解不等式f(x2—1)>—2.解（1）当x<zo时■—乂〉0,则y（—J?） = log*（—龙）.因为函数于（卫）是偶函数，所以f（—文）= /（』）= log 穆（一工）,所以函数/（工）的解析式为log*ur〉0, f（x）=<Q,x=Q.Llog| （―工），工<0.U⑵因为/（4） = log±4--2,/a）是偶函数，所以不等式/（^2-1）>-2转化为/（|r3-l|）> /（4）.又因为函数产（文）在（0,+乂）上是减函数，所以|F —1|<4,解得一75<^<^5,即不等式的解集为（一忌E116. 设x€ [2,8]时，函数f（x）= 2log a（ax） log a（a2x）（a>0 且1）1的最大值是1,最小值是一8，求a的值.解=1由题意知 /（工〉=*（1。

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河北省定州市2017届高三数学下学期周练试题(复习班）一、选择题1．函数的值域为（ )A． B． C． D．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A。

2 B。

4 C. 6 D。

123．已知圆截直线所得弦的长度为4,则实数的值为( ) A。

B。

C。

D。

4．设，则的大小关系为( ）A。

B. C. D.5．已知集合，,，则( ）A． B．C． D．6．已知等差数列中, ,，则的值是（ )．A. 30 B。

15 C. 64 D。

317．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A。

B.C。

D。

8．若命题：是第一象限角；命题：是锐角，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C。

充要条件 D。

既不充分也不必要条件9．已知函数，若存在实数使得不等式成立,求实数的取值范围为（）A。

B.C。

D。

10．已知函数，若，则（ )A。

B。

C. D.11．已知全集，集合，,则（ )A。

B. C。

D。

12．已知,则的最小值为（ )A。

B。

C. D.二、填空题13．已知是虚数单位，若，则 __________．14．已知函数，若，则实数的取值范围是__________．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？"其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．16．已知函数，若在区间上单调递减，则的取值范围是_________．三、解答题17．若数列的前n项和满足.（1)求证:数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和。

河南省正阳县第二高级中学2017-2018 学年下期高三理科周练（二）一 . 选择题：1. 设会集 A={x|x>1},B={a+2}.若，则实数 a 的取值范围是（）A.B.C.D.2. 复数 满足 ，若复数对应的点为，则点到直线的距离为（ A ）（B ） （C ） （D ）3. 身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5 人排成高矮相间的一个队形，则不一样样的排法共有（）种 A ．12B． 16C．24D．324. 平面直角坐标系中， 在直线 x=1，y=1 与坐标轴围成的正方形内任取一点，则此点落在曲线 下方地域的概率为（ ）．A ．B ．C ．D ．5. 若中心在原点， 焦点在 y 轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．y=±xB ．C ．D ．3sin 2x ＋ cos 2x － m 在 0， πx1＋ x26. 已知函数 f(x) ＝ 2上有两个零点x 1， x 2，则 tan2的值为 ()．A ． 3B3 C 3 D2 ．3 ． 2． 27. 已知实数 x ， y 满足 ，则的的最小值为（）．A ．1B ．C ．D ．48. 在中，为的中点，则A．6B．12C． D ．9. 某几何体三视图以以下列图，则该几何体的外接球2的表面积为 ()2A.B． C. D.主视图11俯视图10.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大合约数是一个伟大创举 . 这个伟大创举与我国古老的算法—“展转相除法”本质相同. 如图的程序框图即源于“展转相除法”，当输入时，输出的（）A．54B．9C．12D．1811.已知,若称使乘积为整数的数为劣数,则在区间内全部的劣数的和为（）A.2026B. 2046C. 1024D. 102212.若过点 P(a,a) 与曲线 f(x)=xlnx 相切的直线有两条 , 则实数a的取值范围是A、B、C、D、二 . 填空题：13.已知曲线C：，直线 l:x=6。

大题规范练(一)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45 分钟分值：46 分)解答题(本大题共 4 小题，共46 分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正项等差数列{ a n} 的前n项和为S n，且知足a1＋a5＝2a723，S7＝63.(1)求数列{a n} 的通项公式a n；(2)若数列{b n}知足b1＝a1 且b n＋1－b n＝a n＋1，求数列1b n的前n项和T n.【导学号：07804229】[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，易知a n＞0，2a1＋a1＋4d＝1＋2d7 a则2，7a1＋21d＝63a＝31解得，d 2＝∴a n＝2n＋1.22法二：(等差数列的性质)∵{ a n} 是等差数列且a1＋a5＝3，∴2a3＝a7 272 a3，又a n＞0，∴a3＝7.∵S7＝a1＋a72＝7a4＝63，∴a4＝9，∴d＝a4－a3＝2，∴a n＝a3＋( n－3)d＝2n＋1.＋1－b n＝a n＋1 且a n＝2n＋1，(2)∵b n∴b n＋1－b n＝2n＋3，当n≥2时，b n＝( b n－b n －1－b n－2)＋⋯＋(b2－b1)＋b1＝(2 n＋1)＋(2n－1)＋⋯＋5＋3＝－1)＋(b nn(n＋2)，当n＝1时，b1＝3知足上式，故b n＝n( n＋2)．1 1 ∴＝b nn n＋＝121 1－n n＋2.1 ∴T n＝＋b11＋⋯＋b21＋b n－1－11b n1＝2 1－13＋1 1－2 4＋1－315＋⋯＋1－n－11n＋1＋1n－1n＋212＝1＋12－1 1－n＋1 n＋23 ＝－42n＋3n＋n＋.18．如图1，已知直角梯形ABCD 中，AB＝AD＝12CD＝2，AB∥DC，AB⊥AD，E为C D 的中点，沿AE 把△DAE 折起到△PAE 的地点(D 折后变成P)，使得PB＝2，如图2.(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图(1)，取AE 的中点O，连结PO，OB，BE.因为在平面图形中，如题图(图1)，连结BD，BE，易知四边形ABED为正方形，图(1)因此在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，因此PO⊥AE，OB⊥AE，PO＝OB＝2，因为PB＝2，因此PO2＋OB2＝PB2，因此PO⊥OB，又AE∩OB＝O，因此PO⊥平面ABCE，因为PO? 平面PAE，因此平面PAE⊥平面ABCE .(2)由(1)知，OB，OE，OP 两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OE，OP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系，如图(2)，则O(0,0,0)，P(0,0，2)，B( 2，0,0)，E(0，→→→＝( 2，0，－2)，EP＝(0，－2，2)，EC＝( 2，2，0)．2，0)，C( 2，2 2，0)，PB图(2)设平面PCE 的法向量为n＝(x，y，z)，→n·EP则→＝0，＝0，n·EC 即－2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令x＝1，得y＝－1，z＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．→因此cos〈PB，n〉＝→PB·n 2 2＝＝→2 3|PB| ·|n|6，36因此直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值为.319.某学校为鼓舞家校互动，与某手机通信商合作，为教师办理流量套餐．为认识该校教师手机流量使用状况，经过抽样，获得100 位教师近 2 年每人手机月均匀使用流量L(单位：M) 的数据，其频次散布直方图以下：图3若将每位教师的手机月均匀使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频次视为概率，回答以下问题．(1)从该校教师中随机抽取 3 人，求这3人中至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率；(2)现该通信商推出三款流量套餐，详情以下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 20 300B 30 500C 38 700这三款套餐都有以下附带条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦高出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元；假如又高出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元，以此类推，假如当月流量有节余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购此中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并肩负系统自动充值的流量资费的75%，其他部分由教师个人肩负，问学校正购哪一款套餐最经济？说明原因．[解] (1)记“从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量不超出300 M ”为事件 D.依题意，P(D )＝(0.000 8＋0.002 2) ×100＝0.3.X～这3 人中手机月使用流量不超出300 M 的人数为X，则中随机抽取 3 人，设从该校教师B(3,0.3)，中随机抽取 3 人，至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率为P(X＝校教师因此从该0 03＋C31×0.3 ×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.0)＋P(X＝1)＝C3×0.3 ×(1－0.3)(2)依题意，从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500] 的概率为(0.002 5(0.000 8＋0.000 2) ×100＝0.1.＋0.003 5) ×100＝0.6，L∈(500,700] 的概率为X1 元，则X1 的全部可能取值为当学校正购A 套餐时，设为学校为1位教师肩负的月花费20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P( X1＝50)＝0.1，因此X1 的散布列为X1 20 35 50P 0.3 0.6 0.1因此E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．费X2元，则X2的全部可能取值为30,45，肩负的月花为当学校正购B 套餐时，设学校为1位教师且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，因此X2 的散布列为X2 30 45P 0.9 0.1因此E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)．为费X3 元，则X3 的全部可能取值为38，当学校正购C 套餐时，设学校为1位教师肩负的月花且P(X3＝38)＝1，因此E(X3)＝38×1＝38(元)．因为E(X2)＜E(X1)＜E(X3)，．济因此学校正购B 套餐最经(请在第22～23题中选一题作答，假如多做，则依据所做第一题计分)22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标方程为ρ系中，圆C的极坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O为原点，极轴所在成立平面直角坐标系.为x轴直线【导学号：07804230】(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y 的最大值，并求出此时点P 的．直角坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，[解] (1)因为ρ因此x2＋y2－4x－4y＋3＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝5为方程，圆C 的直角坐标(θ为参数)．x＝2＋5cos θy＝2＋5sin θC的参数方程为因此圆2＋y2－4x－4y＋3＝0，整理得5y2＋4(1－t)y＋t2 (2)法一：设x＋2y＝t，得x＝t－2y，代入x－4t＋3＝0 (*) ，则对于y 的方程必有实数根．因此Δ＝16(1－t)2－20(t2－4t＋3) ≥0，化简得t2－12t＋11≤0，解得1≤t≤ 1 1，即x＋2y 的最大值为11.将t＝11 代入方程(*) 得y2－8y＋16＝0，解得y＝4，代入x＋2y＝11，得x＝3，故x＋2y 的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4)．法二：由(1)可设点P(2＋5cos θ，2＋5sin θ)，则x＋2y＝6＋5cos θ＋2 5sin θ＝6＋55 2 55 cos θ＋ 5 sin θ，设s in α＝5 2 5，则c os α＝，因此x＋2y＝6＋5sin(θ＋α)，5 5当sin(θ＋α)＝1时，(x＋2y)max＝11，π此时，θ＋α＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝2 π－α＋2kπk(∈Z)，2因此sin θ＝cos α＝2 55，cos θ＝sin α＝5，故点P 的直角坐标为(3,4)．523．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)．(1)解对于x 的不等式f( x)＞5；(2)若不等式f(x) ≥g(x)对随意x∈R恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)由f(x)＞5，得|x－2|＞3，∴x－2＜－3 或x－2＞3，解得x＜－1 或x＞5.故原不等式的解集为{ x|x＜－1 或x＞5} ．(2)由f(x) ≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对随意x∈R恒成立，当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥0恒成立，|x－2|＋2当x≠0时，问题等价于m≤对随意非零实数恒成立，|x||x－2|＋2 |x－2＋2|∵＝1，∴m≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]．≥|x| |x|。

第二周[周一]1．已知常数a∈R，直线l1：x＋ay－2＝0，l2：ax＋y＋1＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为直线l1：x＋ay－2＝0，l2：ax＋y＋1＝0，当l1∥l2×1＝a2，×1≠－2a，解得a＝±1，所以“a＝1”是“l1∥l2”的充分不必要条件．2．(2023·长春模拟)已知点P为平面直角坐标系内的圆x2＋y2＝16上的动点，定点A(－3,2)，现将坐标平面沿y轴折成2π3的二面角，使点A翻折至A′，则A′，P两点间距离的取值范围是()A.[13，35]B.[4－13，7]C.[4－13，35]D.[13，7]答案B解析由圆的方程知，圆的半径为4.当P与A′位于同一半圆时，作出该半圆所在的平面图如图所示，∵|PA′|≥|OP|－|OA′|＝4－(－3)2＋22＝4－13(当且仅当O，A′，P三点共线且A′在O，P′之间时取等号)，∴当P位于图中P′处时，|PA′|取得最小值4－13；又当P位于图中M(0，－4)处时，|PA′|取得最大值|A′M|＝(－3)2＋(2＋4)2＝35；当P与A′分别在两个半平面中时，作A ′C ⊥平面xOy ，垂足为C ，作A ′E ⊥y 轴，垂足为E ，连接CE ，则A ，C ，E 三点共线，设F 为CE 延长线上的点，则∠A ′EF 即为翻折后的二面角的平面角，∵∠A ′EF ＝2π3，∴∠A ′EA ＝π3，∵|A ′E |＝3，∴|A ′C |＝|A ′E |sin ∠A ′EA ＝332，|CE |＝|A ′E |cos ∠A ′EA ＝32，∴－32，∵P 为圆x 2＋y 2＝16右半圆上的点，∴可设P (4cos θ，4sin θ)，θ∈－π2，π2，∴|PC |2θ＋(4sin θ－2)2＝894－16sin θ＋12cos θ，∴|PA ′|2＝|PC |2＋|A ′C |2＝29－4(4sin θ－3cos θ)＝29－20sin(θ＋φ)tan φ＝－34，φ－π2，∵θ＋φπ∴当θ＋φ＝－π2，即sin(θ＋φ)＝－1时，|PA ′|2max ＝49，则|PA ′|max ＝7.又sin(θ＋φ)<1，∴|PA ′|2>29－20＝9，即|PA ′|>3；综上所述，A ′，P 两点间距离的取值范围为[4－13，7]．3．(多选)(2023·深圳模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 处有一只青蛙，假设青蛙会随机地沿一条棱跳到相邻的某个顶点，且跳向每个顶点的概率相同，记青蛙跳动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为P n ，则下列结论正确的是()A ．P 1＝23B ．青蛙跳动奇数次后只能位于点B ，C ，D ，A 1四个点中某一个点处C nD ．青蛙跳动4次后恰好回到点A 的概率为727答案ACD解析跳动1次后等可能地在顶点B ，D ，A 1处，P 1＝23，故A 正确；跳动奇数次后只能位于点B ，D ，A 1，C 1，跳动偶数次后只能位于点A ，C ，B 1，D 1，故B 错误；P n ＋1＝23P n ＋13(1－P n )＝13P n ＋13，故P n ＋1－12＝nn且P n －12＝16×－1＝12×，即P n ＝12×C 正确；由点A 出发，经过偶数次移动只能到达点A ，C ，B 1，D 1(奇数次后只能位于点B ，D ，A 1，C 1)，考虑移动n 次(n 是偶数)返回到A 的路径数为A n ，显然A 0＝1.由于移动n －1次后只能位于点B ，D ，A 1，C 1，其中位于B ，D ，A 1再移动1次就可能返回到A ，所以考虑移动n －2次后所在点A ，C ，B 1，D 1，把这四个点分成两类：点A 和点C ，B 1，D 1.若在点A (路径数为A n －2)，再移动2次返回到A 只有3种折返路径(即ABA ，ADA ，AA 1A )；若在点C ，B 1，D 1(路径数为3n －2－A n －2)中的一个，再移动2次返回到A 的路径数每个点处都有2条路径(即CBA ，CDA ，B 1BA ，B 1A 1A ，D 1DA ，D 1A 1A )．综上，移动n 次(n 是偶数)返回到A 的路径数A n ＝3A n －2＋2(3n －2－A n －2)，即A n －A n －2＝2·3n －2，累加可得A n ＝3n ＋34，总路径数为3n ，故青蛙跳动n (n 为偶数)次后恰好回到A 的概率为p n ＝A n 3n ＝当n ＝4时，p 4＝727，故D 正确．4．(2023·永州模拟)现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%,20%,30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05,0.04,0.03和0.02，现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是________．答案0.0315解析由题意，得抽到不合格品的概率为P ＝15%×0.05＋20%×0.04＋30%×0.03＋35%×0.02＝0.0315.5．(2023·广东名校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，b ＝52，C ＝45°.(1)求c ；(2)求sin 2A .解(1)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，且a ＝4，b ＝52，C ＝45°，所以c 2＝16＋50－2×4×52×22＝26，所以c ＝26.(2)由(1)知，c ＝26，因为a sin A ＝csin C，且a ＝4，c ＝26，所以sin A ＝a sin C c ＝21313.因为a <b ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝31313，故sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213.[周二]1．(2023·永州模拟)已知cos θ－cos 2θ－1＝0，θcos θ等于()A ．－12 B.12C ．0D ．1答案B解析由cos θ－cos 2θ－1＝0，可得cos θ－2cos 2θ＝0，因为θ所以cos θ≠0，解得cos θ＝12.2.(2023·鄂东南教改联盟联考)用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为42°.如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设AO 是眼睛与彩虹中心的连线，AP 是眼睛与彩虹最高点的连线，则称∠OAP 为彩虹角．若平面ABC 为水平面，BC 为彩虹面与水平面的交线，M 为BC 的中点，BC ＝1200米，AM ＝800米，则彩虹(BPC )的长度约为(参考数据：sin 42°≈0.67，sin 1.1≈6067)()A ．(1340π－1474)米B ．(1340π－670)米C ．(2000π－1474)米D ．(2000π－670)米答案A解析在△AMB 中，由勾股定理，可得AB ＝AM 2＋BM 2＝8002＋6002＝1000(米)，连接PO ，则在△APO 中，PO ＝AP ·sin 42°≈670(米)，连接OB ，OC ，OM ，则在△OBM 中，sin ∠BOM ＝BM BO ＝600670＝6067故∠BOM ≈1.1，∠BOC ≈2.2，则彩虹(BPC )的长度约为(2π－2.2)×670＝(1340π－1474)米．3．(多选)(2023·沧州调研)下列关于三棱柱ABC －A 1B 1C 1的命题，正确的是()A ．任意直三棱柱ABC －A 1B 1C 1均有外接球B ．任意直三棱柱ABC －A 1B 1C 1均有内切球C ．若正三棱柱ABC －A 1B 1C 1有一个半径为1的内切球，则该三棱柱的体积为63D ．若直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是直角三角形答案ACD解析对于A ，取连接直三棱柱上、下底面三角形外心的线段的中点O ，则点O 到直三棱柱r 为底面三角形外接圆半径，h 为直三棱柱的高，∴点O 即为直三棱柱的外接球球心，A 正确；对于B ，若直三棱柱有内切球，则其高等于直径，底面内切圆半径等于内切球半径，即底面内切圆半径需为直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B 错误；对于C ，若正三棱柱的内切球半径为1，则正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为3，设正三棱柱底面正三角形的边长为a ，则a 2－a 24＝3，解得a ＝23，∴该正三棱柱的体积V ＝12×(23)2×32×2＝63，C 正确；对于D ，若外接球球心在直三棱柱的侧面上，则球心为该侧面的中心，其到底面三角形各顶点的距离相等，∴球心在底面上的射影到底面三角形三个顶点的距离也相等，又侧面中心在底面的射影在底面三角形的一条边上，∴该射影为底面三角形一条边的中点，且到另一顶点的距离为该边长的一半，∴该底面三角形为直角三角形，D 正确．4．(2023·青岛模拟)已知O (0,0)，A (1,2)，B (3，－1)，若向量m ∥OA →，且m 与OB →的夹角为钝角，写出一个满足条件的m 的坐标为________．答案(－1，－2)(答案不唯一)解析根据题意可得OA →＝(1,2)，OB →＝(3，－1)，设m ＝(x ，y )，因为向量m ∥OA →，且m 与OB →的夹角为钝角，y ＝2·x ，x ＋(－1)·y <0，y ≠(－1)·x ，所以x <0，不妨令x ＝－1，所以y ＝－2，m ＝(－1，－2)．5．(2023·广州模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 3＝0，a n ＋1＋(－1)n S n ＝2n .(1)求a 1，a 2；(2)令b n ＝a n ＋1＋2a n ，求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n .解(1)由a n ＋1＋(－1)n S n ＝2n 得a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2，a 3＋S 2＝22＝4，即a 3＋a 2＋a 1＝4，又a 3＝0，所以a 1＝1，a 2＝3，(2)当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋S 2k ＝22k ，当n ＝2k －1时，a 2k －S 2k －1＝22k －1，两式相加可得a 2k ＋1＋S 2k ＋a 2k －S 2k －1＝22k ＋22k －1，得a 2k ＋1＋2a 2k ＝22k ＋22k －1，由于b n ＝a n ＋1＋2a n ，所以b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n＝(a 3＋2a 2)＋(a 5＋2a 4)＋(a 7＋2a 6)＋…＋(a 2n ＋1＋2a 2n )＝(22＋21)＋(24＋23)＋(26＋25)＋…＋(22n ＋22n －1)＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2.[周三]1．(2023·南通模拟)若“∃x ∈(0，π)，sin 2x －k sin x <0”为假命题，则k 的取值范围为()A ．(－∞，－2]B ．(－∞，2]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，2)答案A解析依题意知命题“∃x ∈(0，π)，sin 2x －k sin x <0”为假命题，则“∀x ∈(0，π)，sin 2x －k sin x ≥0”为真命题，所以2sin x cos x ≥k sin x ，又当x ∈(0，π)时，sin x >0，－1<cos x <1，则k ≤2cos x ，解得k ≤－2，所以k 的取值范围为(－∞，－2]．2．(2023·大庆模拟)已知a ＝e －3，b ＝ln 1.02，c ＝sin 0.04，则()A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．b <a <c答案B解析如图，在单位圆A 中，∠BAC ＝θBD ⊥AC 于D ，则弧BC 的长度l ＝θ，|BD |＝sin θ，由图易得，l >|BC |>|BD |，即θ>sin θ，所以a ＝e －3＝1e 3>125＝0.04>sin 0.04＝c .设f (x )＝sin 2x －ln(1＋x )，x 则f ′(x )＝2cos 2x －11＋x >1－11＋x>0，所以f (x )f (0)＝0，则f (0.02)>0，即sin 0.04>ln 1.02，即b <c .综上，b <c <a .3．(多选)(2023·大庆模拟)在平面直角坐标系中，双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，渐近线方程为2x ±y ＝0，M 为双曲线E 上任意一点，MN 平分∠F 1MF 2，且F 1N —→·MN →＝0，|ON |＝2，则()A ．双曲线的离心率为5B ．双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1C ．点M 到两条渐近线的距离之积为165D ．若直线MF 1与双曲线E 的另一个交点为P ，Q 为MP 的中点，则k OQ ·k PM ＝4答案ACD解析不妨设M 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上一点，延长MF 2，F 1N 交于点G ，如图，因为F 1N →·MN →＝0，所以F 1N →⊥MN →，即F 1N ⊥MN ，因为MN 平分∠F 1MF 2，所以△F 1MG 为等腰三角形，则N 为F 1G 的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|ON |＝12|F 2G |，根据双曲线的定义得，|MF 1|－|MF 2|＝|MG |－|MF 2|＝|GF 2|＝2a ，所以|ON |＝a ＝2，因为双曲线E 的渐近线方程为2x ±y ＝0，所以ba ＝2，得b ＝4，c 2＝b 2＋a 2＝20，c ＝25，所以双曲线E 的标准方程为x 24－y 216＝1，离心率e ＝ca ＝5，所以A 正确，B 不正确；设M (x 1，y 1)，代入x 24－y 216＝1，即x 214－y 2116＝1，所以点M 到两条渐近线的距离之积为|2x 1＋y 1|5×|2x 1－y 1|5＝|4x 21－y 21|5＝165，所以C 正确；设P (x 2，y 2)，Q (x ，y )，因为P ，M 在双曲线E 上，－y 2116＝1，①－y 2216＝1，②①－②并整理得，y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝4，因为k PM ＝y 1－y 2x 1－x 2，k OQ ＝y x ＝y 1＋y 2x 1＋x 2，所以k OQ ·k PM ＝4，所以D 正确．4．(2023·邵阳模拟)在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e ≈2.71828.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有________个．答案36解析如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，两个2捆绑看作一个元素与7,1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，那么小明可以设置的不同密码共有A 33·C 24＝36(个)．5．(2023·兰州模拟)如图所示的五边形SBADC 中四边形ABCD 是矩形，BC ＝2AB ，SB ＝SC ，沿BC 折叠成四棱锥S －ABCD ，点M 是BC 的中点，SM ＝2.(1)从条件①SA ＝6；②cos ∠SBM ＝55；③sin ∠SAM ＝63中任选两个作为补充条件，证明：在四棱锥S －ABCD 中，平面SBC ⊥平面ABCD ；(注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分)(2)在(1)的条件下求直线SC 与平面SAD 所成角的正弦值．(1)证明方案一：选条件①②.因为在四棱锥S－ABCD中，SB＝SC，点M是BC的中点，SM＝2，所以SM⊥BC，又因为在Rt△SBM中，cos∠SBM＝5 5，所以BM＝1，又因为四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，所以BM＝AB＝1，AM＝2，由SA＝6，AM＝2，SM＝2，可得SA2＝AM2＋SM2，所以SM⊥AM，则由SM⊥BC，SM⊥AM，AM∩BC＝M，AM，BC⊂平面ABCD，得SM⊥平面ABCD，又因为SM⊂平面SBC，所以平面SBC⊥平面ABCD.方案二：选条件①③.因为在四棱锥S－ABCD中，SB＝SC，点M是BC的中点，SM＝2，所以SM⊥BC，又因为在△SAM中，SA＝6，sin∠SAM＝63，SM＝2，所以由正弦定理得SAsin∠SMA＝SMsin∠SAM，即6sin∠SMA＝263，所以sin∠SMA＝1，即∠SMA＝π2，所以SM⊥AM，则由SM⊥BC，SM⊥AM，AM∩BC＝M，AM，BC⊂平面ABCD，所以SM⊥平面ABCD，又因为SM⊂平面SBC，所以平面SBC⊥平面ABCD.方案三：选条件②③.因为在四棱锥S－ABCD中，SB＝SC，点M是BC的中点，SM＝2，所以SM⊥BC，又因为在Rt△SBM中，cos∠SBM＝55，所以BM＝1，又因为四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，所以BM＝AB＝1，AM＝2，又因为在△SAM中，sin∠SAM＝6 3，则cos ∠SAM ＝33，设SA ＝x ，SM 2＝SA 2＋AM 2－2SA ·AM ·cos ∠SAM ，所以3x 2－26x －6＝0，解得x 1＝6或x 2＝－63(舍去)，所以SA ＝6，由SA ＝6，AM ＝2，SM ＝2，可得SA 2＝AM 2＋SM 2，所以SM ⊥AM ，则由SM ⊥BC ，SM ⊥AM ，AM ∩BC ＝M ，AM ，BC ⊂平面ABCD ，得SM ⊥平面ABCD ，又因为SM ⊂平面SBC ，所以平面SBC ⊥平面ABCD .(2)解由(1)知SM ⊥平面ABCD ，且MD ⊥AM ，如图所示，以M 为坐标原点，MA 所在直线为x 轴，MD 所在直线为y 轴，MS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则S (0，0，2)，A (2，0，0)，D (0，2，0)，－22，22，则SD →＝(0，2，－2)，SA →＝(2，0，－2)，设平面SAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·SD →＝2y －2z ＝0，·SA →＝2x －2z ＝0，取z ＝1，可得平面SAD 的一个法向量n ＝(2，2，1)，SC →－22，22，－设直线SC 与平面SAD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，SC →〉|＝|n ·SC→||n ||SC →|＝25，所以直线SC 与平面SAD 所成角的正弦值为25.[周四]1．(2023·鄂东南教改联盟联考)已知向量|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝10，则b在a上的投影向量为()A.1 4a B．－14aC.1 8a D．－18a答案D解析∵|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝10，∴|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝10，∴4－4a·b＋4＝10，则a·b＝－1 2，∴b在a上的投影向量为|b|cos〈a，b〉a|a|＝|b|a·b|a||b|·a |a|＝a·b|a|2a＝－18a.2．(2023·湛江模拟)已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，过F的直线l与抛物线C交于A，B 两点，与圆x2＋(y－2)2＝4交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则|AD||BE|等于() A．1B．4C．8D．16答案B解析由题可知F(0,2)，直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．＝kx＋2，2＝8y，得x2－8kx－16＝0，故x1x2＝－16.又y1＝x218，y2＝x228，所以y1y2＝(x1x2)264＝4.圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为F(0,2)，半径r＝2，所以|AD|＝|AF|－r＝|AF|－2，|BE|＝|BF|－r＝|BF|－2.又|AF|＝y1＋2，|BF|＝y2＋2，所以|AD|＝y1＋2－2＝y1，|BE|＝y2＋2－2＝y2，所以|AD||BE|＝y1y2＝4.3．(多选)若长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是棱DD1的中点，则()A ．B 1E ⊥A 1BB.B 1E —→＝－AB →＋AD →－12AA 1—→C ．三棱锥C 1－B 1CE 的体积为83D ．直线CC 1与平面B 1CE 所成角的正弦值为306答案BC解析结合几何体可得B 1E —→＝B 1D 1—→＋D 1E—→＝B 1A 1—→＋B 1C 1—→＋D 1E —→＝BA →＋BC →－12DD 1—→＝－AB →＋AD →－12AA 1—→，故B 选项正确；A 1B —→＝AB →－AA 1—→，结合长方体中的位置关系可知，AB →·AA 1—→＝0，AB →·AD →＝0，AA 1—→·AD →＝0，于是B 1E —→·A 1B —→AB →＋AD →－12AA —(AB →－AA 1—→)＝－AB →2＋12AA 1—→2＝－4＋12×16＝4≠0，即B 1E ⊥A 1B 不成立，A 选项错误；根据长方体中的线面关系知，B 1C 1⊥平面CEC 1，于是11C B CE V －三棱锥＝11B CEC V －三棱锥＝13×B 1C 1×1CEC S △＝13×2×12×4×2＝83，C 选项正确；B 1C ＝25，CE ＝22，B 1E ＝B 1D 21＋ED 21＝23，注意到20＝B 1C 2＝CE 2＋B 1E 2＝8＋12，故△CEB 1为直角三角形，1CEB S △＝12×22×23＝26，设C 1到平面B 1CE 的距离为h ，由11C B CE V －三棱锥＝83＝13×1CEB S △×h ＝26h3，解得h ＝263，故直线CC 1与平面B 1CE 所成角的正弦值为h CC 1＝66，D 选项错误．4．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲)，利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体(如图乙)，若勒洛四面体ABCD 能够容纳的最大球的表面积为25π，则正四面体ABCD 的棱长为______．答案4＋6解析设正四面体ABCD 的棱长为a ，根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，点E 为该球与勒洛四面体的一个切点，O 为该球球心，由正四面体的性质可知，该球球心O 为正四面体ABCD 的中心，即O 为正四面体ABCD 外接球的球心(内切球的球心)，则BO 为正四面体ABCD 的外接球的半径，勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为OE ，连接BE ，则B ，O ，E 三点共线，此时BE ＝a ，由题意4π×OE 2＝25π，所以OE ＝52，所以BO ＝a －OE ＝a －52，如图，记M 为△BCD 的中心，连接BM ，AM ，由正四面体的性质可知点O 在AM 上．因为AB ＝a ，BM ＝23×＝33a ，则AM ＝63a ，因为BO 2＝BM 2＋OM 2＝(AM －OM )2，所以BO 2＋OM 2－，解得BO ＝64a ，所以64a ＝a －52，解得a ＝4＋6，即正四面体ABCD 的棱长为4＋ 6.5．(2023·南通模拟)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p (0<p <1)．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次．记X 为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a (a >0)元．(1)①写出X 的分布列；②证明：E (X )<1p；(2)某公司意向投资该产品．若p ＝0.25，且试验成功则获利5a 元，则该公司如何决策投资，并说明理由．解(1)①由题意，X ＝1,2,3， (10)故P (X ＝k )＝p (1－p )k －1，k ＝1,2，…，9，P (X ＝10)＝(1－p )9，X 的分布列如表所示．X 12345P p p (1－p )p (1－p )2p (1－p )3p (1－p )4X 678910Pp (1－p )5p (1－p )6p (1－p )7p (1－p )8(1－p )9②E (X )＝p (1－p )0＋2p (1－p )1＋3p (1－p )2＋…＋9p (1－p )8＋10(1－p )9，记S ＝(1－p )0＋2(1－p )1＋3(1－p )2＋…＋9(1－p )8，(1－p )S ＝(1－p )1＋2(1－p )2＋3(1－p )3＋…＋9(1－p )9，作差可得pS ＝(1－p )0＋(1－p )1＋(1－p )2＋…＋(1－p )8－9(1－p )9＝1－(1－p)9p－9(1－p)9，则E(X)＝pS＋10(1－p)9＝1－(1－p)9p＋(1－p)9＝1－(1－p)10p<1p，得证．(2)由(1)可知E(X)<1p＝4，则试验成本的期望小于4a，又获利5a大于成本的期望，则应该投资．[周五]1．(2023·永州模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝2x}，B＝{(x，y)|y＝x3}，则A∩B的元素个数是() A．1B．2C．3D．4答案C解析由于A＝{(x，y)|y＝2x}，B＝{(x，y)|y＝x3}为点集，故求A∩B ＝2x，＝x3＝2x，＝x3，＝0，＝0＝2，＝22＝－2，＝－22，故A∩B的元素个数是3.2．生物的性状是由遗传因子决定的．每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状的为高茎遗传因子，用大写字母(如D)来表示；决定隐性性状的为矮茎遗传因子，用小写字母(如d)来表示．如图，在孟德尔豌豆试验中，F1的基因型为Dd，子二代F2的基因型为DD，Dd，dd，且这三种基因型的比为1∶2∶1.如果在子二代中任意选取2颗豌豆进行杂交试验，则子三代F3中高茎的概率为()A.14B.12C.34D.56答案C解析子二代基因配型有6种情况，分别记为事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，“子三代基因型为高茎”记为事件B ，则事件A 1A 2A 3A 4A 5A 6配型DD ×DD DD ×DdDD ×dd Dd ×Dd Dd ×dd dd ×dd P (A i )11614181414116P (B |A i )1113412P (B )＝错误!(A i )P (B |A i )＝1×116＋1×14＋1×18＋34×14＋12×14＋0×116＝34.3．(多选)(2023·福州模拟)已知函数f (x )＝x ()A ．f (x )在区间－π2，0上单调递增B ．f (x )在区间[0，π]上有两个零点C ．直线x ＝π12是曲线y ＝f (x )的对称轴D ．直线y ＝4x ＋2π3是曲线y ＝f (x )的切线答案BCD解析对于A ，当x ∈－π2，0时，2x ＋π3∈－2π3，π3，因为y ＝sin x 在－2π3，π3上先单调递减，再单调递增，所以－π2，0不是f (x )的单调递增区间，故A 错误；对于B ，令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的零点为x ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝－π6∉[0，π]；当k ＝1时，x ＝π3∈[0，π]；当k ＝2时，x ＝5π6∈[0，π]；当k ＝3时，x ＝4π3∉[0，π]，所以f (x )在区间[0，π]上有两个零点，故B 正确；对于C ，令x ＝π12，则x sin π2＝1，所以直线x ＝π12是曲线y ＝f (x )的对称轴，故C正确；对于D ，由f (x )＝2sin xf ′(x )＝x令f ′(x )＝x 4，即2x ＋π3＝2k 1π，k 1∈Z ，解得x ＝－π6＋k 1π，k 1∈Z ，当k 1＝0时，x ＝－π6，代入f (x )可得f 0，所以f (x )－π6，y ＝y ＝4x ＋2π3，故D 正确．4．(2023·云南联考)f (x )＝e x －1e x ＋1＋ln e －xe ＋x (－2≤x ≤2)，其最大值和最小值的和为________．答案0解析由题意得函数的定义域为[－2,2]，关于原点对称．f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＋ln e ＋x e －x ＝－e x －1e x ＋1－ln e －xe ＋x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，故其最大值和最小值的和为0.5．(2023·杭州、宁波联考)在平面直角坐标系中，P (3,1)是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，经过O 的直线(不过P 点)与C 交于A ，B 两点，直线PA 与PB 的斜率乘积为－13(1)求C 的方程；(2)直线l 与C 交于点M ，N ，且PM ⊥PN .当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解(1)由题意，设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)，且x 20a 2＋y 2b 2＝1，∵P (3,1)在C 上，∴9a 2＋1b2＝1，两式相减得y 20－1x 20－9＝－b 2a 2，∵k P A ·k PB ＝y 0－1x 0－3·－y 0－1－x 0－3＝y 20－1x 20－9＝－13，∴－b 2a 2＝－13，即a 2＝3b 2，代入9a 2＋1b 2＝1中，解得b 2＝4，a 2＝12，∴椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)由题意及(1)得当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立直线l 与椭圆C 的方程，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，当Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2)(3m 2－12)>0，即4＋12k 2－m 2>0时，有x 1＋x 2＝－6km1＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－121＋3k 2，∵PM ⊥PN ，∴PM →·PN →＝0，∵PM →·PN →＝(x 1－3，y 1－1)·(x 2－3，y 2－1)＝(x 1－3)(x 2－3)＋(y 1－1)(y 2－1)＝(x 1－3)(x 2－3)＋(kx 1＋m －1)(kx 2＋m －1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(km －k －3)(x 1＋x 2)＋m 2－2m ＋10＝0，∴(1＋k 2)·3m 2－121＋3k 2＋(km －k －3)·－6km1＋3k2＋m 2－2m ＋10＝0，整理得9k 2＋9km ＋2m 2－m －1＝0，2＋km －14(m 2＋4m ＋4)＝0，即(6k ＋3m )2－(m ＋2)2＝0，即(3k ＋2m ＋1)(3k ＋m －1)＝0，∵直线l 不过点P ，∴3k ＋m －1≠0，∴3k ＋2m ＋1＝0，∴直线l ：y ＝－12经过定点当直线l 垂直于x 轴时，设方程为x ＝n ，则M (n ，y 1)，N (n ，－y 1)，且n 2＋3y 21＝12，①由PM →·PN →＝0得(n －3，y 1－1)·(n －3，－y 1－1)＝n 2－6n ＋10－y 21＝0，②由①②解得n ＝32或n ＝3(舍)，∴此时直线l 也经过定点综上，直线l 经过定点当PQ 垂直于直线l 时，点P 到直线l 的距离最大，此时k PQ ＝1，∴直线l 的斜率为－1，直线l 的方程为y ＋12＝－故所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0.[周六]1．(2023·淄博模拟)已知i 为虚数单位，复数z 满足z (1＋i)＝|1＋i|，则z 等于()A.22＋22i B.22－22i C ．－22＋22i D ．－22－22i 答案B解析因为z (1＋i)＝|1＋i|，所以z＝|1＋i|1＋i＝21＋i＝22(1－i)＝22－22i.2．(2023·济南模拟)已知函数f(x)＝3x－13x＋1，数列{a n}满足a1＝1，a n＋3＝a n(n∈N*)，f(a1)＋f(a2＋a3)＝0，则错误!i等于()A．0B．1C．675D．2023答案B解析f(x)的定义域为R，且f(－x)＝3－x－13－x＋1＝－3x－13x＋1＝－f(x)，故f(x)为R上的奇函数．而f(x)＝1－23x＋1，因为t＝3x＋1在R上为增函数，y＝1－2t在(1，＋∞)单调递增，故f(x)为R上的增函数．又f(a1)＋f(a2＋a3)＝0即为f(a1)＝f(－a2－a3)，故a1＋a2＋a3＝0，因为a n＋3＝a n(n∈N*)，故{a n}为周期数列且周期为3.因为2023＝2022＋1＝3×674＋1，所以错误!i＝674(a1＋a2＋a3)＋a2023＝0＋a1＝1.3．(多选)(2023·漳州质检)已知某地区甲、乙两所高中学校的六次联合模拟考试的数学平均分(满分150分)的统计结果如图所示，则()A．甲校每次考试的平均分均高于乙校的平均分B．甲校六次平均分的方差小于乙校六次平均分的方差C．甲校六次平均分的第25百分位数小于乙校六次平均分的第75百分位数D．甲校的平均分极差小于乙校的平均分极差答案BCD解析对于A，甲校第2次考试的平均分低于乙校第2次考试的平均分，A错误；对于B，由图可知，甲校六次考试的平均分相对于乙校六次考试的平均分更加集中，说明数据更加稳定，则甲校六次平均分的方差小于乙校六次平均分的方差，B 正确；对于C ，∵6×25%＝1.5，∴甲校平均分按从小到大顺序排列，第2个成绩为第25百分位数，由图可知，为第5次考试的平均分，约为90分；∵6×75%＝4.5，∴乙校平均分按从小到大顺序排列，第5个成绩为第75百分位数，由图可知，为第3次考试的平均分，高于90，∴甲校六次平均分的第25百分位数小于乙校六次平均分的第75百分位数，C 正确；对于D ，由图可知，甲校平均分的最大值和最小值的分差明显小于乙校平均分的最大值和最小值的分差，即甲校的平均分极差小于乙校的平均分极差，D 正确．4．(2023·沈阳模拟)若＝13，则2________.答案－79解析因为＝13，所以2cos＝1－2sin ＝79，所以2cos π2＝－2＝－79.5．(2023·湖北八市联考)已知函数f (x )＝ln x ＋1x，g (x )＝f (x )－ax ，其中a ≥0.(1)讨论函数g (x )的单调性；(2)数列{a n }(n ∈N *)满足a 1∈(0,1)，a n ＋1＝f (a n )，证明：当a ＝1时，(1)解函数g (x )＝ln x ＋1x －ax (a ≥0)的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝－ax 2＋x －1x 2(x >0)，当a ＝0时，由g ′(x )<0可得x ∈(0,1)，由g ′(x )>0可得x ∈(1，＋∞)，所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当a >0时，由g ′(x )＝－ax 2＋x －1x 2＝0，可得－ax 2＋x －1＝0，Δ＝1－4a ，①当Δ＝1－4a ≤0，即a ≥14时，g ′(x )≤0，g (x )在(0，＋∞)上单调递减；②当Δ＝1－4a >0，即0<a <14时，令g ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ，x 2＝1＋1－4a 2a，0<x 1<x 2，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表，综上，当a ＝0时，g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当a ≥14时，g (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <14时，g (x )(2)证明由题意知当a ＝1时，g (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋1x－x ，由(1)知，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，且g (1)＝0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<g (1)＝0，又∵f ′(x )＝x －1x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为a 1∈(0,1)，所以a 2＝f (a 1)>f (1)＝1，a 3＝f (a 2)>1，…，a n ＋1＝f (a n )>1，又当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝f (x )－x <g (1)＝0，所以a n ＋2－a n ＋1＝f (a n ＋1)－a n ＋1<0，即a n ＋2<a n ＋1，又因为函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以g (a n ＋2)>g (a n ＋1)，即1a n ＋2＋ln a n ＋2－a n ＋2>1a n ＋1＋ln a n ＋1－a n ＋1，即0>a n ＋3－a n ＋2>a n ＋2－a n ＋1，∴a n ＋1－a n ＋2>a n ＋2－a n ＋3>0，即a n ＋1－a n ＋2a n ＋2－a n ＋3>1，所以。

《金版新学案》高三数学一轮复习 第二章 第7课时练习 理新人教A 版(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．函数y ＝2－x lg x的定义域是( ) A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜1或1＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |0＜x ＜1或1＜x ≤2} 解析： 要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ≥0x ＞0lg x ≠0解得0＜x ＜1或1＜x ≤2，∴定义域为{x |0＜x ＜1或1＜x ≤2}．答案： D2．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析： ∵0＜lg e ＜1，∴lg e ＞12lg e ＞(lg e)2. ∴a ＞c ＞b .答案： B3．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2x B.12x C ．log 12x D ．x 2 解析： 由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12， ∴f (x )＝log 12x . 答案： C4．已知0＜log a 2＜log b 2，则a 、b 的关系是( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．b ＞a ＞1D ．a ＞b ＞1解析： 由已知得，0＜1log 2a ＜1log 2b⇒log 2a ＞log 2b ＞0. ∴a ＞b ＞1.答案： D5．函数y ＝log 22－x 2＋x的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称解析： ∵f (x )＝log 22－x 2＋x ， ∴f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 22－x 2＋x. ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．故选A.答案： A6．(2010·天津卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x ＞0，log 12－x ，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析： 若a ＞0，则由f (a )＞f (－a )得log 2a ＞log 12a ＝－log 2a ，即log 2a ＞0，∴a ＞1. 若a ＜0，则由f (a )＞f (－a )得log 12(－a )＞log 2(－a )， 即－log 2(－a )＞log 2(－a )，∴log 2(－a )＜0，∴0＜－a ＜1，即－1＜a ＜0.综上可知，－1＜a ＜0或a ＞1.答案： C二、填空题7．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析： g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＜0， ∴g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝eln 12＝12. 答案： 128．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．解析： 令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)．答案： (－∞，0)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1 x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x的取值范围是________．解析： 当x ≤0时，由3x ＋1＞1，得x ＋1＞0，即x ＞－1.∴－1＜x ≤0.当x ＞0时，由log 2x ＞1，得x ＞2.∴x 的取值范围是{x |－1＜x ≤0或x ＞2}．答案： {x |－1＜x ≤0或x ＞2}三、解答题10．已知f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0，且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)讨论函数f (x )的单调性.解析： (1)由a x －1＞0，得a x ＞1.当a ＞1时，x ＞0；当0＜a ＜1时，x ＜0.∴当a ＞1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为(－∞，0)．(2)当a ＞1时，设0＜x 1＜x 2，则1＜ax 1＜ax 2，故0＜ax 1－1＜ax 2－1，∴log a (ax 1－1)＜log a (ax 2－1)，∴f (x 1)＜f (x 2)，故当a ＞1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．11．已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围.解析：∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图示，要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f (x )|≤1， 只需⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤1， 即－1≤log a 13≤1， 即log a a －1≤log a 13≤log a a ， 亦当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3； 当0＜a ＜1时，得a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析： (1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，函数定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，12a －44a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.。

周末培优高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆已知函数11()3(12)42x x f x x λ-=-+-≤≤. （1）若32λ=，求函数()f x 的值域； （2）若函数()f x 的最小值是1，求实数λ的值.【参考答案】（1）337[,]416；（2）2. 【试题解析】（1）21111()3()2()3(12)4222x x x x f x x λλ-=-+=-+-≤≤， 设1()2x t =，则21()23(2)4g t t t t λ=-+≤≤.当32λ=时，22331()33()(2)244g t t t t t =-+=-+≤≤. 故max min 13733()(),()()41624g t g g t g ====，则max min 373(),()164f x f x ==. 故函数()f x 的值域是337[,]416.学+【解题必备】求函数的值域，应根据解析式的结构特点，选择适当的方法，常用的方法有：观察法、图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、有界性法等．需要注意的是：“分离常数法”的目的是将“分式函数”变为“反比例函数”类，“换元法”的目的是将函数变为“二次函数”类.即将函数解析式变为已经熟悉的简单函数类型求值域.1．已知函数的值域是，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ． 2．已知函数()12log ,2 23,2x x x f x a a x ≥⎧⎪=⎨⎪-<⎩（其中0a >且1)a ≠的值域为R ，则实数a 的取值范围为_______.2．【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由题意，分段函数的值域为R ，其在R 上是单调函数，由此可知01a <<， 根据图象可知： 212log 223a a ≥- ，解得12a ≥，综上，可得112a ≤<，即答案为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.。

第二章 第9课时【A 级】 基础训练1．(2015·山东淄博模拟)若方程xlg(x ＋2)＝1的实根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z)上，则k 等于( )A ．－2B ．1C ．－2或1D ．0解析：由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x ＋2)＝1x ，在同一直角坐标系中作出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x 的图像，如图所示，由图像可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k ＝－2或k ＝1.故选C.答案：C2．(2015·北京海淀模拟)函数f(x)＝log 2x －1x 的零点所在区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3)解析：∵f(12)＝log 212－2＝－3＜0，f(1)＝log 21－1＝－1＜0，f(2)＝log 22－12＝12＞0，∴函数f(x)＝log 2x －1x 的零点所在区间为(1,2)，故应选C. 答案：C3．(2013·高考湖南卷)函数f(x)＝ln x 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：作出两个函数的图像，利用数形结合思想求解．g(x)＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝ln x 与g(x)＝(x －2)2的图像(如图)．由图可得两个函数的图像有2个交点．答案：C4．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2|x|＋12，x≤0|lgx|－1，x>0的零点个数为________．解析：作出函数f(x)的图像，从图像中可知函数f(x)的零点有4个． 答案：45．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ＋，则n ＝________.解析：∵2<a<3<b<4，当x ＝2时，f(2)＝log a 2＋2－b<0；当x ＝3时，f(3)＝log a 3＋3－b>0，∴f(x)的零点x 0在区间(2,3)内，∴n ＝2. 答案：26．(2014·高考天津卷)已知函数f(x)＝|x 2＋3x|，x ∈R.若方程f(x)－a|x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：在同一坐标系中，分别作出y 1＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|的图像，将方程根的个数问题转化为两图像交点的个数问题求解．设y 1＝f(x)＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|的图像如图所示．由图可知f(x)－a|x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x|与y 2＝a|x －1|的图像有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝－有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a)x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a<1或a>9.又由图像得a>0，∴0<a<1或a>9. 答案：(0,1)∪(9，＋∞)7．(2015·岳阳模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x＝t(t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.8．(2015·海淀区高三期末)已知函数f(x)＝e x(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：(1)由f(x)＝e x(x2＋ax－a)可得f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]．当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.(2)令f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]＝0，解得x＝－(a＋2)或x＝0.当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f(x)＝k在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根．当－(a＋2)＞0，即a＜－2时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：－.由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－(a＋2))＝e a＋2因为函数f(x)是(0，－(a＋2))上的减函数，是(－(a＋2)，＋∞)上的增函数，且当x≥－a时，有f(x)≥e－a·(－a)＞－a，又f(0)＝－a.所以要使方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a . 【B 级】 能力提升1．(2015·沈阳四校联考)已知函数f(x)＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z)，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：依题意得，a ＞1,0＜b ＜1，则f(x)为R 上的单调递增函数，又f(－1)＝1a －1－b＜0，f(0)＝1－b ＞0，f(－1)·f(0)＜0，因此x 0∈(－1,0)，n ＝－1，选B.答案：B2．(2015·豫西五校联考)已知符号函数sgn(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞00，x ＝0－1，x ＜0，则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln 2x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意得，当x ＞1时，ln x ＞0，sgn(ln x)＝1，f(x)＝sgn(ln x)－ln 2x ＝1－ln 2x ，令1－ln 2x ＝0，得x ＝e 或x ＝1e ，结合x ＞1，得x ＝e ；当x ＝1时，ln x ＝0，sgn(ln x)＝0，f(x)＝－ln 2x ，令－ln 2x ＝0，得x ＝1，符合；当0＜x ＜1时，ln x ＜0，sgn(ln x)＝－1，f(x)＝－1－ln 2x ，令－1－ln 2x ＝0，得ln 2x ＝－1，此时无解．因此，函数f(x)＝sgn(ln x)－ln 2x 的零点个数为2.答案：B3．(2014·高考山东卷)已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：作出函数的图像，用数形结合思想求解．先作出函数f(x)＝|x －2|＋1的图像，如图所示，当直线g(x)＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx 过A 点时斜率为12，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案：B4．若函数f(x)的图像是连续不断的，根据下面的表格，可断定f(x)的零点所在的区间为________(只填序号)．①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)间．答案：③④⑤5．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．解析：∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f(x)＝x 2－x －6. ∵不等式af(－2x)>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32<x<1.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x<16．(2014·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝f(x)与y ＝a 的图像，根据图像交点个数得出a 的取值范围． 作出函数y ＝f(x)在[－3,4]上的图像，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝12，观察图像可得0<a<12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，127．已知函数f(x)＝|x|x ＋2，如果关于x 的方程f(x)＝kx 2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．解：∵f(x)＝|x|x ＋2，∴原方程即|x|x ＋2＝kx 2.(*)①x ＝0恒为方程(*)的一个解．②当x<0且x≠－2时，若方程(*)有解，则－x x ＋2＝kx 2，kx 2＋2kx ＋1＝0.当k ＝0时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0无解； 当k≠0时，Δ＝4k 2－4k≥0，即k<0或k≥1时， 方程kx 2＋2kx ＋1＝0有解．设方程kx 2＋2kx ＋1＝0的两个根分别是x 1、x 2， 则x 2＋x 2＝－2，x 1x 2＝1k.当k>1时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有两个不等的负根； 当k ＝1时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有两个相等的负根； 当k<0时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有一个负根． ③当x>0时，若方程(*)有解， 则x x ＋2＝kx 2，kx 2＋2kx －1＝0. 当k ＝0时，方程kx 2＋2kx －1＝0无解；当k≠0时，Δ＝4k 2＋4k≥0，即k≤－1或k>0时， 方程kx 2＋2kx －1＝0有解．设方程kx 2＋2kx －1＝0的两个根分别是x 3、x 4， 则x 3＋x 4＝－2，x 3x 4＝－1k.当k>0时，方程kx 2＋2kx －1＝0有一个正根； 当k≤－1时，方程kx 2＋2kx －1＝0没有正根．综上可得，当k ∈(1，＋∞)时，方程f(x)＝kx 2有四个不同的实数解．。

每日一题 规范练(第一周)星期一 2020年3月23日[题目1] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b ＋c 的值． 解：(1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12，所以－cos 2A2＋sin 2A2＝12，则cos A ＝－12.又A ∈(0，π)， 所以A ＝23π.(2)S △ABC ＝12bc sin A ＝3，所以bc ＝4，又由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2＋bc ， 所以(b ＋c )2＝16，故b ＋c ＝4.星期二 2020年3月24日[题目2] 已知等差数列{a n }的公差d ＞0，其前n 项和为S n ，且a 2＋a 4＝8，a 3，a 5，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a 2n －1·a 2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 2＋a 4＝8，则a3＝4，即a1＋2d＝4.①因为a3，a5，a8为等比数列，则a25＝a3a8，即(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，化简得：a1＝2d，②联立①和②得：a1＝2，d＝1.所以a n＝n＋1，n∈N*.(2)因为b n＝1a2n－1·a2n＋1＝12n（2n＋2）＝14⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1，所以T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝14[⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1]＝14(1－1n＋1)＝n4（n＋1）.星期三2020年3月25日[题目3] 随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争、吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务．在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．(1)若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8 500元的城市的概率；(2)若从月平均收入薪资与月平均期望薪资之差高于1 000元的城市中随机选择2座城市，求这2座城市的月平均期望薪资都低于8 500元的概率．解：(1)设该生选中月平均收入薪资高于8 500元的城市为事件A，15座城市中月平均收入薪资高于8 500元的有6个，所以P(A)＝615＝25.(2)月平均收入薪资和月平均期望薪资之差高于1 000元的城市有6个，其中月平均期望薪资高于8 500元的有1个，记为A；月平均期望薪资低于8 500元的有5个，记为B1，B2，B3，B4，B5.从中任取两座城市所有可能结果为AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B2B3，B2B4，B2B5，B3B4，B3B5，B4B5共15种，其中后10种情况2座城市的月平均期望薪资都低于8 500元．设2座城市的月平均期望薪资都低于8 500元为事件B，所以P(B)＝1015＝23.星期四2020年3月26日[题目4] 三棱柱ABC-A 1B1C1被平面A1B1C截去一部分后得到如图所示几何体，BB1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，BC＝BB1，E为棱B1C上的动点(不包含端点)，平面ABE交A1C于点F.(1)求证：AB⊥平面B1BC；(2)求证：EF∥AB；(3)试问是否存在点E，使得平面ABE⊥平面A1B1C？并说明理由．(1)证明：因为BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB，由∠ABC＝90°，得BC⊥AB.因为BB1∩BC＝B，B1B⊂平面B1BC，BC⊂平面B1BC，所以AB⊥平面B1BC.(2)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面A1B1C＝EF，所以EF∥AB.(3)解：存在点E，当点E为B1C的中点时，平面ABE⊥平面A1B1C. 因为BC＝BB1，所以BE⊥B1C.因为AB⊥平面B1BC，BE⊂平面B1BC，所以AB⊥BE.由于AB∥A1B1，所以BE⊥A1B1.因为A1B1∩B1C＝B1，所以BE⊥平面A1B1C.又BE⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面A1B1C.星期五2020年3月27日[题目5] 设椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若椭圆E 的离心率为22，△ABF 2的周长为4 6.(1)求椭圆E 的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点C ，D ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明：O ，M ，N 三点共线．(1)解：由题意知，4a ＝46，a ＝ 6. 又e ＝22，所以c ＝3，b ＝3，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明：当直线AB ，CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线；当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k ，且设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，两式相减，得x 216＋y 213－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 226＋y 223＝0.所以x 21－x 226＝－y 21－y 223，（x 1－x 2）（x 1＋x 2）6＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）3，所以y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－36，y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－36.则k ·k OM ＝－12，所以k OM ＝－12k .同理可得k ON ＝－12k.所以k OM ＝k ON ，从而点O ，M ，N 三点共线．星期六 2020年3月28日[题目6] 设函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x .(1)证明：当x ＞1时，f (x )＞0； (2)若关于x 的不等式ln xx＜a (x －1)对任意x ∈(1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明：因为f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ，x ＞1，所以f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2.当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在x ∈(1，＋∞)为增函数， 所以f (x )＞f (1)＝ln 1－(1－1)＝0. (2)解：设h (x )＝ln xx－a (x －1)，x ∈(1，＋∞)． 则h ′(x )＝1－ln x x 2－a ＝1－ln x －ax 2x 2.当a ≥1时，1－ax 2＜0，ln x ＞0，所以h ′(x )＜0，所以h (x )在x ∈(1，＋∞)上是减函数， 所以h (x )＜h (1)＝0恒成立，即不等式ln xx＜a (x －1)对任意x ∈(1，＋∞)恒成立，当a ≤0时，h (x )＝ln xx－a (x －1)＞0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，故不合题意．当0＜a ＜1时，因为ln x ＞1－1x对任意x ∈(1，＋∞)恒成立；所以h (x )＝ln xx －a (x －1)＞1－1x x －a (x －1)＝x －1x 2－a (x －1)＝x －1x 2(1－ax 2)，所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a 时，h (x )≥0，故不合题意． 综上可知，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．星期日 2020年3月29日[题目7] 1.[选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝1－2sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 的极坐标方程为sin θ－2cos θ＝1ρ，求曲线C 上的点到直线l的最大距离．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos αy ＝1－2sin α，消去α，得(x －3)2＋(y －1)2＝4，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－1)2＝4， 化简得ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0.(2)由sin θ－2cos θ＝1ρ，得ρsin θ－2ρcos θ＝1，即2x －y ＋1＝0.圆心C (3，1)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|2×3－1＋1|5＝655，所以C 上点到直线的最大距离为d ＋r ＝655＋2. 2．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －n |，m ，n ∈(0，＋∞)． (1)若m ＝2，n ＝3，求不等式f (x )＞5的解集； (2)若f (x )≥1恒成立，求2m ＋n 的最小值． 解：(1)若m ＝2，n ＝3，则f (x )＝|x ＋2|＋|2x －3|. ①当x ≤－2时，－x －2－2x ＋3＞5，得x ＜－43，所以x ≤－2.②当－2＜x ＜32时，x ＋2－2x ＋3＞5，得x ＜0，所以－2＜x ＜0.③当x ≥32时，x ＋2＋2x －3＞5，得x ＞2，所以x ＞2.综上，不等式解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)|x ＋m |＋|2x －n |＝|x ＋m |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －n 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －n 2≥|x ＋m |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －n 2≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋n 2＝m ＋n2.依题意，有m ＋n2≥1，即2m ＋n ≥2.故2m ＋n 的最小值为2.。

【最新】2019年高三数学专题复习第二周规范练理[题目8] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋1＋2p(n∈N*)．(1)求p的值及数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足＝(3＋p)anbn，求数列{bn}的前n项和Tn.2016年____月____日(周一)[题目9]已知函数f(x)＝2sin xcos2＋cos xsin φ－sin x(0<φ<π)在x＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知a＝1，b＝，f(A)＝，求角C.2016年____月____日(周二)[题目10] 已知函数f(x)＝x2＋4|x－a|(x∈R)．(1)存在实数x1、x2∈[－1，1]，使得f(x1)＝f(x2)成立，求实数a 的取值范围；(2)对任意的x1、x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤k成立，求实数k的最小值．2016年____月____日(周三)[题目11] 如图，已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1＝6，且AA1⊥底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上．(1)若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；(2)若PQ∥平面ABB1A1，二面角P－QD－A的余弦值为，求四面体ADPQ 的体积．2016年____月____日(周四)[题目12] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(2，)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过椭圆C左焦点的直线交椭圆于M、N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，m)，求m的取值范围．2016年____月____日(周五)[题目13] 设函数f(x)＝ln x－ax2－bx.(1)当a＝b＝时，求函数f(x)的单调区间；(2)令F(x)＝f(x)＋ax2＋bx＋(0<x≤3)，其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a＝0，b＝－1时，方程f(x)＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．2016年____月____日(周六)[题目14] 随机抽取一个年份，对××市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(1)在4月份任取一天，估计××市在该天不下雨的概率；(2)××市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．2016年____月____日(周日)[题目8] 解(1)由于Sn＝2n＋1＋2p(n∈N*)，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1＋2p－(2n＋2p)＝2n.又a1＝S1＝4＋2p，由于数列{an}为等比数列，∴a＝a1a3，即(4＋2p)·23＝24，解之得p＝－1，因此an＝a1·qn－1＝2n.(2)由(1)知，an＝2n，an＋1＝2n＋1，又＝(3＋p)anbn＝2anbn，则2nbn＝n，所以bn＝.∴Tn＝＋＋…＋，①1Tn＝＋＋…＋，②2由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－n2n＋1＝－＝1－－，∴Tn＝2－－.[题目9] 解(1)f(x)＝sin x(1＋cos φ)＋cos xsin φ－sin x ＝sin xcos φ＋cos xsin φ＝sin(x＋φ)．因为f(x)在x＝π处取得最小值．∴sin(π＋φ)＝－1，则sin φ＝1，又0<φ<π，所以φ＝.(2)由(1)知，f(x)＝sin＝cos x.因为f(A)＝cos A＝，且A∈(0，π)，所以A＝，又a＝1，b＝，由正弦定理，＝，则sin B＝＝sin＝，因为b>a，因此B＝或B＝，当B＝时，C＝π－(A＋B)＝π.当B＝π时，C＝π－(A＋B)＝.综上可知，角C ＝或C ＝.[题目10] 解 (1)函数f(x)＝x2＋4|x －a|＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4x －4a ，x≥a，x2－4x ＋4a ，x<a ， 由题意可得函数f(x)在[－1，1]上不单调，当a≥1时，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，不满足条件． 当a≤－1时，函数f(x)在[－1，1]上单调递增，不满足条件，∴－1<a<1，此时，函数f(x)在[－1，a]上单调递减，在(a ，1]上单调递增．故a 的范围为(－1，1)．(2)∵对任意的x1、x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤k 成立， 设函数f(x)在[－1，1]上的最大值为M(a)，最小值为m(a)，当a≥1时，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，M(a)＝f(－1)＝4a ＋5，m(a)＝f(1)＝4a －3.当a≤－1时，函数f(x)在[－1，1]上单调递增，M(a)＝f(1)＝5－4a ，m(a)＝f(－1)＝－4a －3.∴－1<a<1，函数f(x)在[－1，a]上单调递减，在(a ，1]上单调递增，m(a)＝f(a)＝a2，M(a)＝max{f(1)，f(－1)}＝max{5－4a ，5＋4a}． 即当0<a<1时，M(a)＝5＋4a ，当－1<a<0时，M(a)＝5－4a.综上可得， M(a)－m(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧8，a≤－1或a≥1，－a2＋4a ＋5，0<a<1，－a2－4a ＋5，－1<a≤0，由对任意的x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤k 恒成立， 可得k≥M(a)－m(a)，。

1．(2014·课标Ⅱ，5，易)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45【答案】A设“一天的空气质量为优良”为事件A，“连续两天为优良”为事件AB，则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A)．由条件概率可知，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.60.75＝45＝0.8，故选A.2．(2011·湖北，7，中)如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为()A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576【答案】B A1，A2是否正常工作相互独立，所以A1，A2同时不能工作的概率为(1－0.8)×(1－0.8)＝0.2×0.2＝0.04，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.3．(2014·山东，18，12分，中)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．解：记A i为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0，1，3)，则P(A3)＝12，P(A1)＝13，P(A0)＝1－12－13＝16；记B i为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i＝0，1，3)，则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.(1)记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，得 P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3) ＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)· P (B 1)＋P (A 0)P (B 3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310. (2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋15×16＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110. 可得随机变量ξ的分布列为：所以数学期望Eξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130. 4．(2012·山东，19，12分，中)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .解：(1)记“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝BC －D －∪B －CD －∪B －C －D ， 根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (BC －D －∪B －CD －∪B －C －D )＝P (BC －D －)＋P (B －CD －)＋P (B －C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5， 根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B －C －D －)＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136， P (X ＝1)＝P (BC －D －)＝P (B )P (C －)P (D －) ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112，P (X ＝2)＝P (B －CD －∪B －C －D )＝P (B －CD －)＋P (B －C －D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BCD －∪BC －D )＝P (BCD －)＋P (BC －D )＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13，P (X ＝4)＝P (B －CD ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD ) ＝34×23×23＝13. 故X 的分布列为EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.5．(2014·陕西，19，12分，中)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列； (2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000，300×10－1 000＝2 000，300×6－1 000＝800.P (X ＝4 000)＝P (A －)P (B －)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2 000)＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 季利润不少于2 000元”(i ＝1，2，3)， 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1，2，3)， 3季的利润均不少于2 000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季利润不少于2 000元的概率为P (C 1－C 2C 3)＋P (C 1C 2－C 3)＋P (C 1C 2C 3－)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.考向1 求相互独立事件的概率1．相互独立事件的概率运算(1)事件A ，B 相互独立⇔P (AB )＝P (A )P (B )．(“AB ”也可记为“A ∩B ”) (2)若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这些事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．2．事件A ，B 相互独立，则A －与B －，A 与B －，A －与B 也相互独立．互斥事件与独立事件的区别：两事件互斥是指一个试验中的两个结果在一次试验中不可能同时发生，即P (AB )＝0；两事件独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率无影响．(2014·大纲全国，20，12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望． 【思路导引】 (1)由独立事件同时发生的概率公式求解；(2)判断X 的所有可能情况并分别求出相应的概率，再利用期望公式求解． 【解析】 设A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B －·C ，P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2，所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B －·C )＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B －·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B －)P (C ) ＝0.31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，则有P (X ＝0)＝P (B －·A 0·C －)＝P (B －)P (A 0)P (C －)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C －＋B －·A 0·C ＋B －·A 1·C －)＝P (B )P (A 0)P (C －)＋P (B －)P (A 0)P (C )＋P (B －)P (A 1)P (C －)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4) ＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4) ＝1－0.06－0.25－0.25－0.06 ＝0.38， X 的分布列为数学期望EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06 ＝2.相互独立事件概率的求法(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立)，正确区分“互斥事件”与“对立事件”．当且仅当事件A 和事件B 相互独立时，才有P (AB )＝P (A )P (B )．(2)A ，B 中至少有一个发生：A ∪B .①若A ，B 互斥：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，否则不成立． ②若A ，B 相互独立(不互斥)，则概率的求法：方法一：P (A ∪B )＝P (AB )＋P (AB －)＋P (A －B )； 方法二：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝1－P (A －)P (B －)．(3)某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率．要注意“至多”“至少”等题型的转化．(2013·陕西，19，12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另外在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (AB －)＝P (A )·P (B －)＝P (A )[1－P (B )]＝23×25＝415⎝ ⎛⎭⎪⎫或P （AB －）＝C 12·C 34C 23·C 35＝415. (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝C 24C 35＝35.∵X 可能的取值为0，1，2，3，且P (X ＝0)＝P (A －B －C －)＝13×25×25＝475，P (X ＝1)＝P (AB －C －)＋P (A －BC －)＋P (A －B －C )＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝415，P (X ＝2)＝P (ABC －)＋P (AB －C )＋P (A －BC )＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝1125，P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝625.∴X 的分布列为∴X 的数学期望EX ＝0×475＋1×415＋2×1125＋3×625＝2815.考向2 条件概率1．条件概率的定义设A ，B 是两个事件，且P (A )>0，称P (A |B )＝P （AB ）P （B ）为在事件B 发生时事件A 发生的条件概率．公式P (A |B )＝P （AB ）P （B ）既是条件概率的定义，也是条件概率的计算公式．2．条件概率的性质 (1)0≤P (B |A )≤1；(2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )； (3)若A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．(2015·湖北荆门模拟，20，12分)某工厂生产了一批产品共有20件，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件．求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．【解析】 设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到次品”为事件B ，事件A 和事件B 相互独立．依题意得：(1)第一次抽到次品的概率为P (A )＝520＝14. (2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P (AB )＝520×419＝119.(3)方法一：在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝119÷14＝419. 方法二：第一次抽到次品后，还剩余产品19件，其中次品4件，故第二次抽到次品的概率为P (B )＝419.【点拨】 解答本题的关键是分清条件是什么和合理应用条件概率公式，第(3)问易由于对题意理解不透产生P (B |A )＝P （B ）P （A ）＝41914＝1619的错误．条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.注意：事件A 与事件B 有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P (AB )的求法．(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝n（AB）n（A）.(2011·辽宁，5)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.18 B.14 C.25 D.12【答案】B由题意可得，P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110.由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝P（AB）P（A）＝11025＝14.1．(2014·安徽芜湖质检，8)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于()A.12 B.14 C.16 D.18【答案】A由古典概型知P(A)＝12，P(AB)＝14，则由条件概率知P(B|A)＝P（AB）P（A）＝1412＝12.2．(2015·河南郑州一模，10)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是()A.1127 B.1124 C.1627 D.924【答案】A方法一：记事件A：从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P(B)＝42＋4＝23，P(B－)＝1－23＝13；由条件概率公式知P(A|B)＝3＋18＋1＝49，P(A|B－)＝38＋1＝39.从而P (A )＝P (AB )＋P (AB －)＝P (A |B )·P (B )＋P (A |B －)·P (B －)＝1127，选A.方法二：根据题意，分两种情况讨论：①从1号箱中取出白球，其概率为26＝13，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2号箱中取出红球的概率为13，则此种情况下的概率为13×13＝19.②从1号箱中取出红球，其概率为23.此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱取出红球的概率为49，则这种情况下的概率为23×49＝827.则从2号箱取出红球的概率是19＋827＝1127.3．(2014·广东广州模拟，8)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0.12B ．0.42C ．0.46D ．0.88【答案】 D 因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式知，P ＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.12＝0.88.4．(2015·江苏盐城二模，10)如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．【解析】 灯泡甲亮满足的条件是a ，c 两个开关都开，b 开关必须断开，否则短路．设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则甲灯亮应为事件AB －C ，且A ，B ，C 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，由独立事件概率公式知P (AB －C )＝P (A )P (B －)P (C )＝12×12×12＝18.【答案】 185．(2015·湖北荆州质检，13)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A ＝“至少一次出现反面”，事件B ＝“恰有一次出现正面”，则P (B |A )＝________．【解析】 由题意知，P (AB )＝323＝38，P (A )＝1－123＝78，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝3878＝37. 【答案】 376．(2015·河北石家庄一模，17，12分)甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙、丙做对的概率分别为m ，n (m >n )，且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1)求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求m ，n 的值； (3)求ξ的数学期望．解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知，P (A )＝12，P (B )＝m ，P (C )＝n .(1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ＝0”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是1－P (ξ＝0)＝1－14＝34.(2)由题意知，P (ξ＝0)＝P (A －B －C －) ＝12(1－m )(1－n )＝14，P (ξ＝3)＝P (ABC )＝12mn ＝124，整理得mn ＝112，m ＋n ＝712.由m >n ，解得m ＝13，n ＝14.(3)由题意知，P (ξ＝1)＝P (AB －C －)＋P (A － BC －)＋P (A －B －C )＝12(1－m )(1－n )＋12m (1－n )＋12(1－m )n ＝1124，P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝14，所以ξ的数学期望为E (ξ)＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.7．(2015·山东聊城二模，18，12分)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响．(1)求3人同时被选中的概率；(2)3人中有几人被选中的情况最容易出现？解：记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.(1)3人同时被选中的概率为P 1＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110. (2)3人中有2人被选中的概率为P 2＝P (ABC －∪AB －C ∪A －BC )＝25×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×34×13＝2360. 3人中只有1人被选中的概率为P 3＝P (AB －C －∪A －BC －∪A －B －C )＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×13＝512.3人均未被选中的概率为P 4＝P (A －B －C －)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝110. 由于P 3>P 2>P 1＝P 4，即P 3最大．综上可知，3人中只有1人被选中的情况最容易出现．1．(2015·湖北，4，易)设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)【答案】C由正态分布密度曲线可得，μ1＜μ2，σ1＜σ2.结合正态曲线的概率的几何意义，对于A，∵μ1＜μ2，∴P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)；对于B，∵σ1＜σ2，∴P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)；对于C，D，结合图象可知，C正确．2．(2015·课标Ⅰ，4，中)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312【答案】A记A i＝{投中i次}，其中i＝1，2，3，B表示该同学通过测试，故P(B)＝P(A2∪A3)＝P(A2)＋P(A3)＝C23×0.62×0.4＋C33×0.63＝0.648.3．(2015·湖南，7，中)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则 P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4. A ．2 386 B ．2 718 C ．3 413 D ．4 772【答案】 C 由于曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线，则阴影部分面积为S ＝0.682 62＝0.341 3，∴落入阴影部分的点的个数为 10 000×0.341 31＝3 413.故选C.4．(2015·山东，8，中)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74% 【答案】 B P (3<ξ<6)＝ 12[]P （－6<ξ<6）－P （－3<ξ<3） ＝12(95.44%－68.26%)＝13.59%.5．(2015·广东，13，中)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.【解析】 由E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )得⎩⎨⎧np ＝30，np （1－p ）＝20，解得p ＝13.【答案】 131．(2011·湖北，5，易)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)＝( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【答案】 C ∵随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，μ＝2，得对称轴是x ＝2.由P (ξ<4)＝0.8知P (ξ>4)＝P (ξ<0)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝0.6，故P (0<ξ<2)＝0.3，故选C.2．(2012·课标全国，15，中)某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．【解析】 由题意知每个电子元件使用寿命超过1 000小时的概率均为12，元件1或元件2正常工作的概率为1－12×12＝34，所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为12×34＝38.【答案】 383．(2011·重庆，13，中)将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为__________．【解析】 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或者6次，由n 次独立事件重复试验概率公式得所求的概率P ＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋C 56·⎝ ⎛⎭⎪⎫125⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1132.【答案】 11324．(2014·辽宁，18，12分，中)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”．A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能的取值为0，1，2，3，相应的概率为P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，分布列为因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.5．(2013·山东，19，12分，中)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是23.假设每局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X 的分布列及数学期望．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故 P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427.所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝19， 故乙队得分X 的分布列为数学期望E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.考向1独立重复试验与二项分布1．独立重复试验独立重复试验是指在相同的条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每次试验只有两种结果，即或发生，或不发生，且任何一次试验中事件发生的概率都是一样的．2．二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A 发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．(1)(2015·湖南衡阳一模，6)某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．400(2)(2012·天津，16，13分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．①求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；②求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；③用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.【解析】(1)1 000粒种子每粒不发芽的概率为0.1，∴不发芽的种子数ξ～B(1 000，0.1)，∴1 000粒种子中不发芽的种子数的数学期望E(ξ)＝1 000×0.1＝100粒，又每粒不发芽的种子需补种2粒，∴需补种的种子数的数学期望E(X)＝2×100＝200(粒)．(2)依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i . ①这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝ C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.②设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4，由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. ③ξ的所有可能的取值为0，2，4，由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列为故Eξ＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.【点拨】 解题(1)的关键是理解题意转化为二项分布概率模型；题(2)主要是考查独立重复试验，求出P (A i )．1.n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次可看作是C k n 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k 个A 事件与n －k 个A －事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k (1－p )n －k .因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率为C k n p k (1－p )n －k .2．判断某随机变量是否服从二项分布的方法 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．(2015·河南郑州模拟，17，12分)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； (3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击． 问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？解：(1)记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，则事件A 1的对立事件A －1为“甲射击4次，全部击中目标”．由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验．故P (A －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681.所以P (A 1)＝1－P (A －1)＝1－1681＝6581.所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰好有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰好有3次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－234－2＝827， P (B 2)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫343×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－344－3＝2764. 由于甲、乙射击是否击中目标相互独立， 故P (A 2B 2)＝P (A 2)P (B 2)＝827×2764＝18.所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件B 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1，2，3，4，5)，则B 3＝D 5D 4D －3(D －2D －1∪D －2D 1∪D 2D －1)，且P (D i )＝14.由于各事件相互独立，故P (B 3)＝P (D 5)P (D 4)P (D －3)P (D －2D －1＋D －2D 1＋D 2D －1)＝14×14×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×14＝451 024.所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451 024.思路点拨：(1)中至少有1次未击中，包含情况多，可求其对立事件的概率；(2)中甲恰好击中目标2次与乙恰好击中目标3次相互独立；(3)中乙恰好射击5次后被终止，相当于前2次射击，至少有一次击中，第3次击中，第4次、第5次未击中．考向2 正态分布及其应用1．正态曲线 (1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x )＝12πσe －（x －μ）22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．(2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛a b φμ，σ(x )d x (即x ＝a ，x ＝b ，正态曲线及x 轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2)．(2)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.(1)(2015·辽宁十校联考，7)设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2(2)(2014·河北衡水质检，14)某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N )服从正态分布N (100，102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．【思路导引】 (1)关键是根据正态曲线的对称性，得知μ1<μ2，σ越小，图象越高瘦；(2)关键是求出P (ξ>110)．【解析】 (1)由正态分布N (μ，σ2)的性质知，x ＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.(2)由题意，知P (ξ＞110)＝1－2P （90≤ξ≤100）2＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.【答案】 (1)A (2)10利用正态曲线的性质求概率解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化．解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用．(1)熟记P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)的值； (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相同． ②P (X ≤a )＝1－P (X ≥a )，P (X ≤μ－a )＝P (X ≥μ＋a )．(2015·广东佛山一模，7)已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X >4)＝( )A ．0.158 8B ．0.158 7C ．0.158 6D ．0.158 5 【答案】 B 由正态曲线性质知，其图象关于直线x ＝3对称， ∴P (X >4)＝1－P （2≤X ≤4）2＝0.5－12×0.682 6＝0.158 7，故选B.1．(2015·豫北六校联考，10)设ξ是服从二项分布B (n ，p )的随机变量，又E (ξ)＝15，D (ξ)＝454，则n 与p 的值分别为( )A ．60，34B ．60，14 C ．50，34 D ．50，14【答案】 B 由ξ～B (n ，p )，得E (ξ)＝np ＝15，D (ξ)＝np (1－p )＝454，则p ＝14，n ＝60.2．(2015·河南郑州二模，9)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )A.49B.29C.429D.227【答案】 A 由独立重复试验的概率公式，知所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.3．(2015·福建福州模拟，5)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977【答案】 C ∵μ＝0，正态曲线关于μ＝0对称，∴P (ξ＞2)＝P (ξ＜－2)＝0.023，∴P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954，故选C.4．(2014·广东汕头一模，5)在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A.13B.25C.56D.34【答案】 A 设事件A 在1次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C 04p 0(1－p )4＝6581，所以1－p ＝23，p ＝13.5．(2015·山东青岛一模，12)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，若P (ξ>1)＝a (a 为常数)，则P (－1≤ξ≤0)＝________.【解析】 因为P (ξ<－1)＝P (ξ>1)＝a ， 所以P (－1≤ξ≤0)＝1－2a 2＝12－a .【答案】 12－a6．(2015·湖北荆门二模，18，12分)某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；(2)若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P (A )．解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3，4，依题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝1681，P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝3281，P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝2481，P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫1－131＝881，P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫1－130＝181.即X 的分布列为(2)设A i 表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1，2，3.B i 表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1，2，3.依题意知P (A 1)＝P (B 1)＝0.1， P (A 2)＝P (B 2)＝0.3，A ＝A 1B －1∪A －1B 1∪A 1B 1∪A 2B 2， 所求的概率为P (A )＝P (A 1B －1)＋P (A －1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B －1)＋P (A －1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.7．(2015·湖南郴州一模，18，12分)某次数学测验共有10道选择题，每道题均有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．解：(1)记“选对一道能排除2个选项的题目”为事件A ，“选对一道能排除1个选项的题目”为事件B ，则P (A )＝12，P (B )＝13.该考生选择题得50分的概率为 P (A )·P (A )·P (B )·P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝136.(2)设X 为该考生所得分数，则X 的可能取值为30，35，40，45，50. P (X ＝30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝19.P (X ＝35)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 12·13×23＝13， P (X ＝40)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 12·13×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1336， P (X ＝45)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 12·13×23＝16， P (X ＝50)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝136.所以该考生所得分数X 的分布列为则E (X )＝30×19＋35×13＋40×1336＋45×16＋50×136＝1153.。

每日一题 规范练(第三周)[题目1] (本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1－32. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝2log 3a n －1，求数列{(－1)na n ＋b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－32－3n－32＝3n. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3满足上式，故a n ＝3n. (2)由题意得b n ＝2log 33n－1＝2n －1， 则(－1)n a n ＋b n ＝(－3)n＋2n －1，所以T n ＝－3＋(－3)2＋…＋(－3)n＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)] ＝－3[1－（－3）n]1＋3＋n [1＋（2n －1）]2＝－3－（－3）n ＋14＋n 2.[题目2] (本小题满分12分)如图，△ABC 为正三角形，AC ∥DB ，AC ＝2，cos ∠ACD ＝63.(1)求CD 的长； (2)求△ABD 的面积．解：(1)因为△ABC 为正三角形，AC ∥DB ， 所以∠ACD ＝∠BDC ，∠BAC ＝∠ABD ＝π3，所以cos ∠ACD ＝cos ∠BDC ＝63， 所以sin ∠BDC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫632＝33.在△BCD 中，BC ＝2，∠CBD ＝2π3，sin ∠BDC ＝33，由正弦定理得，233＝CDsin2π3，所以CD＝3.(2)在△BCD中，BC＝2，CD＝3，∠CBD＝2π3，由余弦定理，CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠CBD，则32＝22＋BD2－4BD×⎝⎛⎭⎪⎫－12，解得BD＝6－1.所以△ABD的面积为S＝12BD·AB·sinπ3＝12×(6－1)×2×32＝32－32.[题目3] (本小题满分12分)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为3，点E、F分别为CC1，BB1上的点，且EC＝3FB＝3，点M是线段AC上的动点．(1)试确定点M的位置，使BM∥平面AEF，并说明理由；(2)若M为满足(1)中条件的点，求三棱锥M­AEF的体积．解：(1)当点M是线段AC靠近点A的三等分点时，BM∥平面AEF.事实上，在AE上取点N，使AN＝13AE，于是ANAE＝AMAC＝13，所以MN∥EC且MN＝13EC.由题设，BF∥EC，且BF＝13EC，所以MN∥BF，且MN＝BF，故四边形BMNF为平行四边形，则BM∥FN.又FN⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，故BM∥平面AEF.(2)连接EM，FM，因三棱柱ABC­A1B1C1是正三棱柱，所以BB 1∥平面ACC 1A 1，V 三棱锥M ­AEF＝V 三棱锥F ­AEM＝V 三棱锥B ­AEM.取AC 的中点O ，连接BO ，则BO ⊥AC .因为三棱柱ABC ­A 1B 1C 1是正三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC . 又BO ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BO . 因为BO ⊥AC ，BO ⊥AA 1，AC ∩AA 1＝A ，所以BO ⊥平面ACC 1A 1，则BO 为三棱锥B ­AEM 的高． 又在正△ABC 中，BO ＝332.故V 三棱锥M ­AEF＝V 三棱锥B ­AEM＝13·S △AEM ·BO ＝334. [题目4] (本小题满分12分)为了迎接“十九大”的胜利召开，某市中小学校准备举行一场《喜迎十九大，共筑中国梦》的歌唱比赛，某班为了选出一人参加比赛，挑选班上甲、乙两位同学进行了8次预赛，且每次预赛之间是相互独立．他们成绩的茎叶图如下：(单位：分)(1)设甲、乙两位同学成绩的方差分别为S 2甲、S 2乙，求S 2甲、S 2乙的值，并从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加比赛更合适，请说明理由？(2)从甲乙两位同学预赛成绩大于等于85分的成绩中，随机抽取2个，求这2个预赛成绩分别来自不同同学的概率．解：x －甲＝72＋75＋80＋81＋83＋84＋88＋938＝82，x －乙＝70＋77＋78＋82＋84＋85＋87＋938＝82，S 2甲＝102＋72＋22＋12＋12＋22＋62＋1128＝39.5，S 2乙＝122＋52＋42＋02＋22＋32＋52＋1128＝43，因此x －甲＝x －乙，S 2甲＜S 2乙.所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．(2)由茎叶图知甲同学有2次预赛成绩大于或等于85，分别记为a ，b ，乙同学有3次预赛成绩大于或等于85，分别记为c ，d ，e .则从这5次成绩中抽取2个，所有可能的情况为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种情况．其中来自不同同学的情况为(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )共6种情况．所以抽取的2个预赛成绩分别来自不同同学的概率为P ＝610＝35.[题目5] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2x －1)e x －a (x 2＋x )，a ∈R. (1)当a ＜e －12时，讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝－ax 2－a ，若对任意的x ≤1时，恒有f (x )≥g (x )，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝(2x ＋1)e x －a (2x ＋1)＝(2x ＋1)(e x－a )． 若a ≤0时，e x－a ＞0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞时，f ′(x )＞0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上是增函数．若0＜a ＜e －12时，令f ′(x )＝0，得x ＝－12或x ＝ln a ＜－12，所以当x ∈(－∞，ln a )∪(－12，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫ln a ，－12时，f ′(x )＜0. 故f (x )在区间(－∞，ln a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a ，－12上单调递减．(2)依题意，对任意x ≤1，恒有(2x －1)e x－a (x －1)≥0.(*) ①当x ＝1时，(*)式恒成立，a ∈R.②当x ＜1时，不等式转化为a ≥（2x －1）exx －1，令φ(x )＝（2x －1）exx －1(x ＜1)，则φ′(x )＝（2x 2－3x ）ex（x －1）2. 当x ∈(－∞，0)时，φ′(x )＞0；当x ∈(0，1)时，φ′(x )＜0. 所以当x ＝0时，φ(x )取极大值φ(0)＝1，此时a ≥1. 综合①②知，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．[题目6] (本小题满分12分)已知动圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2过点F (1，0)且与直线l ：x ＝－1相切，记圆心C (a ，b )的轨迹为G .(1)求轨迹G 的方程；(2)已知M 是轨迹G 上的动点，过M 作垂直于x 轴的直线m ，与直线n ：y ＝x 交于点A ，点B 满足MB →＝2MA →，连接OB (其中O 为原点)交轨迹G 于点N ，求证：直线MN 恒过定点．(1)解：设圆心C (a ，b )到直线l ：x ＝－1的距离为d ， 则由已知可得|CF |＝d ，所以C (a ，b )的轨迹G 是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线， 所以轨迹G 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设M (x 1，y 1)，则直线m ：x ＝x 1，y 21＝4x 1， 所以A (x 1，x 1)，因为MB →＝2MA →，所以B (x 1，2x 1－y 1)， 所以直线OB ：y ＝2x 1－y 1x 1x ，即y ＝2y 1－4y 1x .设N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2y 1－4y 1x 2，y 22＝4x 2，得y 2＝2y 1y 1－2.所以k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 2＋y 1＝42y 1y 1－2＋y 1＝4（y 1－2）y 21， 所以直线MN ：y ＝4（y 1－2）y 21(x －x 1)＋y 1， 即y ＝4（y 1－2）y 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 214＋y 1，所以直线MN ：y ＝4（y 1－2）y 21x ＋2， 所以直线MN 恒过点(0，2)．[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修4­4：极坐标与参数方程]已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2ρcos θ－ρsin θ－4＝0.(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程，并分别指出是何种曲线；(2)曲线C 1，C 2是否有两个不同的公共点？若有，求出两公共点间的距离；若没有，请说明理由．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝1＋2cos t ，y ＝2sin t ，消去参数t 得(x －1)2＋y 2＝2.所以曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝2，曲线C 1是一个圆．因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以2ρcos θ－ρsin θ－4＝0的直角坐标方程为2x －y －4＝0， 因此曲线C 2表示一条直线．(2)圆C 1的圆心为(1，0)，半径r ＝2， 设圆心(1，0)到直线2x －y －4＝0的距离是d ，则d ＝|2－4|5＝255＜r ＝2，所以曲线C 1与曲线C 2相交于两个不同的点A ，B .则|AB |＝2r 2－d 2＝2305，所以两公共点间的距离为2305.2．(本小题满分10分)[选修4­5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|a －4x |＋|2a ＋x |. (1)若a ＝1，解不等式f (x )≥3.(2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≥10.(1)解：若a ＝1，则f (x )＝|a －4x |＋|2a ＋x |＝ |1－4x |＋|2＋x |，所以不等式f (x )≥3可化为|1－4x |＋|2＋x |≥3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，1－4x －2－x ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ≤14，1－4x ＋2＋x ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞14，4x －1＋2＋x ≥3.解得x ≤－2或－2＜x ≤0或x ≥25，综上，所以不等式f (x )≥3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥25. (2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝|a －4x |＋|2a ＋x |＋|a ＋4x|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －1x ＝(||a －4x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋4x )＋(|2a ＋x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －1x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －4x －a －4x ＋|2a ＋x －2a ＋1x |＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝5(|x |＋1|x |)≥10(当且仅当|x |＝1|x |时，等号成立)．故f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≥10.。

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．函数y＝x|x|的图象大致是()2．把函数y＝f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是()A．y＝(x－3)2＋3 B．y＝(x－3)2＋1C．y＝(x－1)2＋3 D．y＝(x－1)2＋1解析：把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案： C3．在同一坐标系内，函数y＝x＋a与y＝log a x的图象可能是()解析：对于A，由y＝x＋a的图象得a＞1，则y＝log a x在(0，＋∞)上应递增，A不对；对于B，由y＝x＋a的图象得0＜a＜1，则y＝log a x在(0，＋∞)上应递减，B不对；对于D，由y＝x＋a的图象得a＜0，此时y＝log a x无意义．故选C.答案： C4．(2010·山东烟台一模)已知图①是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是()A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(－|x|)解析：∵图②中的图象是在图①图象的基础上，去掉函数y＝f(x)图象y轴右侧的部分，保留y轴左侧的部分，然后作关于y轴对称的图象得来的．∴图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．答案： C5.在函数y＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图象可表示为()解析：当t∈[－1,0]时，S增速越来越平缓，当t∈[0,1]时，增速越来越快，故选B.答案： B二、填空题7．如图函数f(x)的图象是曲线QAB，其中点Q，A，B的坐标分别为(0,4)，(1,2)，(3,1)，则f[f－1(1)－2]的值等于________．解析：∵f－1(1)＝3，∴f[f－1(1)－2]＝f(1)＝2.答案： 2高ο考∴试%题≦库。