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第十二章期权价格的敏感性和期权的套期保值期权价钱的敏理性和期权的套期保值【学习目的】本章是期权局部的重点内容之一。
本章的重要内容之一，就是引见了期权价钱对其四个参数〔标的资产市场价钱、到期时间、动摇率和无风险利率〕的敏理性目的，并以此为基础讨论了相关的静态套期保值效果。
学习完本章，读者应能掌握与期权价钱敏理性有关的五个希腊字母及其相应的套期保值技术。
在前面几章中，我们曾经剖析了决议和影响期权价钱的各个重要要素，以及这些要素对期权价钱的影响方向。
进一步来看，依据Black-Scholes 期权定价公式〔)()(2)(1d N Xed SN c t T r ---=〕，我们还可以更深化地了解各种要素对期权价钱的影响水平，或许称之为期权价钱对这些要素的敏理性。
详细地说，所谓期权价钱的敏理性，是指当这些要素发作一定的变化时，会惹起期权价钱怎样的变化。
本章的重要内容之一，就是对期权价钱的敏理性作详细的、量化的剖析，引见期权价钱对其四个参数〔标的资产市场价钱、到期时间、动摇率和无风险利率〕的敏理性目的。
假设我们从另一个角度来思索期权价钱的敏理性，我们可以把它看作当某一个参数发作变化时，期权价钱能够发生的变化，也就是能够发生的风险。
显然，假设期权价钱对某一参数的敏理性为零，可以想见，该参数变化时给期权带来的价钱风险就为零。
实践上，当我们运用衍生证券〔如期权〕为标的资产或其它衍生证券停止套期保值时，一种较常用的方法就是区分算出保值工具与保值对象两者的价值对一些共同的变量〔如标的资产价钱、时间、标的资产价钱的动摇率、无风险利率等〕的敏理性，然后树立适当数量的证券头寸，组成套期保值组合，使组合中的保值工具与保值对象的价钱变化能相互抵消，也就是说让套期保值组合对该参数变化的敏理性变为零，这样就能起到消弭相应风险的套期保值的目的。
这就是我们在本章将要引见的〝静态套期保值〞技术。
第一节 Delta 与期权的套期保值期权的Delta 用于权衡期权价钱对标的资产市场价钱变化的敏感度，它等于期权价钱变化与标的资产价钱变化的比率。
金融期权价格的敏感性指标Delta (δ)Gamma (γ)Lambda (λ)Theta(θ)Rho (ρ)套期保值是指已面临价格风险的主体利用一种或几种套期保值工具试图抵消其所冒风险的行为.从衍生证券定价过程可知,衍生证券的价格跟标的资产价格之间存在着密切的联系.由此我们可以进一步推论:同一标的资产的各种衍生证券价格之间也保持着密切的关系.这样,我们就可以用衍生证券为标的资产保值,也可以用标的资产为衍生证券保值,还可以用衍生证券为其它衍生证券保值.套期保值的目标根据主体的态度,套期保值目标可分为双向套期保值和单向套期保值.双向套期保值就是尽量消除所有价格风险,包括风险的有利部分和不利部分.单向套期保值就是只消除风险的不利部分,而保留风险的有利部分. 为了实现双向套期保值目标,避险主体可运用远期,期货,互换等衍生证券.为了实现单向套期保值目标,避险主体则可利用期权及跟期权相关的衍生证券.选择哪种套期保值目标取决于避险主体的风险厌恶程度和避险主体对未来价格走向的预期 .套期保值的效率套期保值的盈亏指的是实施与未实施套期保值两种情况下实际结果的差异.若实施套期保值的结果优于未实施套期保值的结果,则称套期保值是盈利的;反之则是亏损的.而套期保值的效率指的是套期保值的目标与套期保值的实际结果之间的差异.若实际结果与目标相等,则称套期保值效率为100%;若实际结果比目标更有利,则套期保值效率大于100%;若实际结果比目标较不利,则套期保值效率小于100%.基于远期利率协议的套期保值(1)所谓远期利率协议的多头套期保值,就是通过签订远期利率协议,并使自己处于多头地位(简称买入远期利率协议)以避免未来利率上升给自己造成损失.其结果是将未来的利率水平固定在某一水平上.它适用于打算在未来筹资的公司,以及打算在未来某一时间出售现已持有的未到期长期债券的持有者.基于远期利率协议的套期保值(2)假设某公司财务部经理预计公司1个月后将收到1000万美元的款项,且在4个月之内暂时不用这些款项,因此可用于短期投资.他担心1个月后利率下跌使投资回报率降低,就可以卖出一份本金为1000万美元的1 4远期利率协议.假定当时银行对1 4远期利率协议的报价为8%,他就可将1个月之后3个月期的投资回报率锁定在8%.基于直接远期外汇合约的套期保值多头套期保值就是通过买入直接远期外汇合约来避免汇率上升的风险,它适用于未来某日期将支出外汇的机构和个人,如进口,出国旅游,到期偿还外债,计划进行外汇投资等.空头套期保值就是通过卖出直接远期外汇合约来避免外汇汇率下降的风险,它适用于未来某日期将收到外汇的机构和个人,如出口,提供劳务,现有的对外投资,到期收回贷款等.当两种货币之间(如日元和加元之间)没有合适的远期合约时,套期保值者可利用第三种货币(如美元)来进行交叉套期保值.基于远期外汇综合协议的套期保值远期外汇综合协议实际上就是远期的远期外汇合约,因此运用远期外汇综合协议进行套期保值时,保值的对象不是未来某一时点的即期汇率,而是未来某一时点一定期限的远期汇率.例如,3个月9个月远期外汇综合协议保值的对象是3个月后6个月期的远期汇率.美国一家外贸公司与银行签订了一份贷款协议,协议规定1个月后银行贷款1000万英镑给该公司,贷款期限为6个月.为了避免英镑汇率波动给公司造成损失,该公司可卖出1个月期的远期英镑,同时买进1个月7个月远期英镑进行套期保值.基差风险(1)套期保值的效果将由于如下三个原因而受到影响: 需要避险的资产与避险工具的标的资产不完全一致; 套期保值者可能并不能确切地知道未来拟出售或购买资产的时间; 需要避险的期限与避险工具的期限不一致.在这些情况下,我们就必须考虑基差风险,合约的选择,套期保值比率,久期等问题.基差=拟套期保值资产的现货价格一所使用合约的期货价格当套期保值期限已到,而基差不为零时,套期保值就存在基差风险.基差风险(2)为进一步说明套期保值的基差风险,我们令t1表示进行套期保值的时刻,t2表示套期保值期限结束时刻,S1表示t1时刻拟保值资产的现货价格,S*1表示t1时刻期货标的资产的现货价格,F1表示t1时刻期货价格,S2,S2*和F2分别表示t2时刻拟保值资产的现货价格,标的资产的现货价格及其期货价格,b1,b2分别表示t1和t2时刻的基差.根据基差的定义,我们有:基差风险(3)对于空头套期保值来说,套期保值者在t1时刻知道将于t2时刻出售资产,于是在t1时刻持有期货空头,并于t2时刻平仓,同时出售资产.因此该套期保值者出售资产获得的有效价格(Se)为:式(10.1)中的和代表了基差的两个组成部分.第一部分就是我们在第12章中讨论的狭义的基差,而第二部分表示两项资产不一致而产生的基差.合约的选择为了降低基差风险,我们要选择合适的期货合约,它包括两个方面: 选择合适的标的资产, 选择合约的交割月份.选择标的资产的标准是标的资产价格与保值资产价格的相关性.相关性越好,基差风险就越小.在选择合约的交割月份时,要考虑是否打算实物交割.套期比率的确定套期保值组合价格变化的方差等于最佳的套期比率必须使最小化.为此对h的一阶偏导数必须等于零,而二阶偏导数必须大于零.所以最佳套期比率为:滚动的套期保值由于期货合约的有效期通常不超过1年,而套期保值的期限有时又长于1年,在这种情况下,就必须采取滚动的套期保值策略,即建立一个期货头寸,待这个期货合约到期前将其平仓,再建立另一个到期日较晚的期货头寸直至套期保值期限届满.如果我们通过几次平仓才实现最终的套期保值目的,则我们将面临几个基差风险. 久期与套期保值令S和DS分别表示需进行套期保值资产的价格和久期,F表示利率期货的价格,DF表示期货合约标的债券的久期.根据久期的定义,当收益率曲线只发生平行移动,且收益率(y)是连续复利率时通过合理的近似,我们还可得到:因此,为了对冲收益率变动对保值债券价值的影响,所需要的期货合约数(N)为:Delta与套期保值(1)一种较常用的方法就是分别算出保值工具与保值对象两者的价值对一些共同的变量(如标的资产价格,时间,标的资产价格的波动率,无风险利率等)的敏感性,然后建立适当数量的衍生证券头寸,组成套期保值组合,使组合中的保值工具与保值对象的价格变动能相互抵合.这种保值技术称为动态套期保值.衍生证券的Delta用于衡量衍生证券价格对标的资产价格变动的敏感度,它等于衍生证券价格变化与标的资产价格变化的比率.Delta与套期保值(2)无收益资产看涨期权的Delta值为:无收益资产欧式看跌期权的Delta值为:根据累积标准正态分布函数的性质可知,无收益资产看涨期权的总是大于0但小于1,而无收益资产欧式看跌期权的总是大于-1小于0.从d1定义可知,期权的值取决于S,r,和T-t,证券组合的Delta值与Delta中性状态当证券组合中含有标的资产和该标的资产的各种衍生证券时,该证券组合的值就等于组合中各种衍生证券值的总和由于标的资产和衍生证券可取多头或空头,因此其值可正可负,这样,若组合内标的资产和衍生证券数量配合适当的说,整个组合的值就可能等于0.我们称值为0的证券组合处于Delta中性状态.Theta与套期保值衍生证券的Theta用于衡量衍生证券价格对时间变化的敏感度,它等于衍生证券价格对时间t的偏导数: Theta值与套期保值没有直接的关系,但它与Delta及下文的Gamma值有较大关系.Gamma与套期保值衍生证券的Gamma用于衡量该证券的Delta值对标的资产价格变化的敏感度,它等于衍生证券价格对标的资产价格的二阶偏导数,也等于衍生证券的Delta对标的资产价格的一阶偏导数.证券组合的Gamma值与Gamma中性状态证券组合的Gamma值就等于组合内各种衍生证券值的总和:Gamma值为零的证券组合处于Gamma中性状态.证券组合的Gamma值可用于衡量中性保值法的保值误差.这是因为期权的Gamma值仅仅衡量标的资产价格S微小变动时期权价格的变动量,而期权价格与标的资产价格的关系曲线是一条曲线,因此当S变动量较大时,用估计出的期权价格的变动量与期权价格的实际变动量就会有偏差 .Delta,Theta和Gamma 之间的关系无收益资产的衍生证券价格f必须满足布莱克——斯科尔斯微分方程因此有V ega与套期保值衍生证券的V ega用于衡量该证券的价值对标的资产价格波动率的敏感度,它等于衍生证券价格对标的资产价格波动率的偏导数,即当我们调整期权头寸使证券组合处于中性状态时,新期权头寸会同时改变证券组合的值,因此,若套期保值者要使证券组合同时达到中性和中性,至少要使用同一标的资产的两种期权.RHO与套期保值衍生证券的RHO用于衡量衍生证券价格对利率变化的敏感度,它等于衍生证券价格对利率的偏导数:标的资产的rho值为0.因此我们可以通过改变期权或期货头寸来使证券组合处于rho中性状态.交易费用与套期保值从前述的讨论可以看出,为了保持证券组合处于参数中性状态,必须不断调整组合.然而频繁的调整需要大量的交费费用.因此在实际运用中,套期保值者更倾向于使用上述参数来评估其证券组合的风险,然后根据他们对S,r,未来运动情况的估计,考虑是否有必要对证券组合进行调整.如果风险是可接受的,或对自己有利,则不调整,若风险对自己不利且是不可接受的,则进行相应调整.基于互换的套期保值互换可以用于规避利率和汇率风险,我们可从资产和负债两方面来考察互换的套期保值功能.负债方的套期保值将固定利率负债转换成浮动利率负债将浮动利率负债转换成固定利率负债将外币的固定利率负债转换成本币的固定利率负债将外币的浮动利率负债转换成本币的固定利率负债将外币的固定利率负债转换成本币的浮动利率负债资产方的套期保值由于资产和负债是相对的概念,对一方来说是资产,对另一方来说则是负债.因此我们可以用与负债方套期保值同样的方法进行资产方的套期保值.由于原理相同,故不重复.。
第十二章期权价格的敏感性和期权的套期保值【学习目标】本章是期权部分的重点内容之一。
本章的重要内容之一，就是介绍了期权价格对其四个参数（标的资产市场价格、到期时间、波动率和无风险利率）的敏感性指标，并以此为基础讨论了相关的动态套期保值问题。
学习完本章，读者应能掌握与期权价格敏感性有关的五个希腊字母及其相应的套期保值技术。
在前面几章中，我们已经分析了决定和影响期权价格的各个重要因素，以及这些因素对期权价格的影响方向。
进一步来看，根据Black-Scholes 期权定价公式（)()(2)(1d N Xed SN c t T r ---=），我们还可以更深入地了解各种因素对期权价格的影响程度，或者称之为期权价格对这些因素的敏感性。
具体地说，所谓期权价格的敏感性，是指当这些因素发生一定的变化时，会引起期权价格怎样的变化。
本章的重要内容之一，就是对期权价格的敏感性作具体的、量化的分析，介绍期权价格对其四个参数（标的资产市场价格、到期时间、波动率和无风险利率）的敏感性指标。
如果我们从另一个角度来考虑期权价格的敏感性，我们可以把它看作当某一个参数发生变动时，期权价格可能产生的变化，也就是可能产生的风险。
显然，如果期权价格对某一参数的敏感性为零，可以想见，该参数变化时给期权带来的价格风险就为零。
实际上，当我们运用衍生证券（如期权）为标的资产或其它衍生证券进行套期保值时，一种较常用的方法就是分别算出保值工具与保值对象两者的价值对一些共同的变量（如标的资产价格、时间、标的资产价格的波动率、无风险利率等）的敏感性，然后建立适当数量的证券头寸，组成套期保值组合，使组合中的保值工具与保值对象的价格变动能相互抵消，也就是说让套期保值组合对该参数变化的敏感性变为零，这样就能起到消除相应风险的套期保值的目的。
这就是我们在本章将要介绍的“动态套期保值”技术。
第一节 Delta 与期权的套期保值期权的Delta 用于衡量期权价格对标的资产市场价格变动的敏感度，它等于期权价格变化与标的资产价格变化的比率。
用数学语言表示，期权的Delta 值等于期权价格对标的资产价格的偏导数；显然，从几何上看，它是期权价格与标的资产价格关系曲线切线的斜率。
一、期权Delta 值的计算令f 表示期权的价格，S 表示标的资产的价格，∆表示期权的Delta ，则：Sf∂∂=∆ （12.1）根据Black-Scholes 期权定价公式（)()(2)(1d N Xed SN c t T r ---=）和相应的无收益资产欧式看跌期权定价公式（()21()()r T t p Xe N d SN d --=---），我们可以算出无收益资产看涨期权的Delta 值为：)(1d N =∆无收益资产欧式看跌期权的Delta 值为：1)()(11-=--=∆d N d N其中d 1的定义与式（11.2）相同。
当期权更为复杂的时候，相应地期权的Delta 值也更为复杂。
例如支付已知红利率q （连续复利）的欧式看涨期权的Delta 值为)(1)(d N e t T q --=∆第十三章将给出股票指数期权、外汇期权和期货期权的相应Delta 值。
二、期权Delta 值的性质和特征分析根据累积标准正态分布函数的性质可知，1)(01<<d N ，因此无收益资产看涨期权的∆总是大于0但小于1；而无收益资产欧式看跌期权的∆则总是大于-1小于0。
反过来，作为无收益资产欧式看涨期权空头，其Delta 值就是总是大于-1小于0；而无收益资产欧式看跌期权空头的∆则总是大于0小于1。
从d 1定义可知，期权的∆值取决于S 、r 、σ和T-t ，根据期权价格曲线的形状（如图10.3和图10.4所示），我们可知无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的∆值与标的资产价格的关系如图12.1（a ）和（b ）所示。
图12.1 无收益资产看涨期权和看跌期权Delta 值与标的资产价格的关系 从N （d 1）函数的特征还可得出无收益资产看涨期权和欧式看跌期权在实值、平价和虚值三种状况下的∆值与到期期限之间的关系如图12.2（a ）和（b ）所示。
图12.2 无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Delta 值与到期期限之间的关系此外，无风险利率水平越高，无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的∆值也越高，如图12.3（a ）和（b ）所示。
图12.3 无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Delta 值与r 之间的关系然而，标的资产价格波动率（σ）对期权∆值的影响较难确定，它取决于无风险利率水平S 与X 的差距、期权有效期等因素。
但可以肯定的是，对于较深度虚值 的看涨期权和较深度实值的看跌期权来说，∆是σ的递增函数，其图形与图12.3（a ）和（b ）相似。
三、证券组合的Delta 值事实上，不仅期权有Delta 值，金融现货资产和远期、期货都有相应的Delta 值。
显然，对于期权的标的现货资产来说，其Delta 值就等于1。
运用第三章中关于远期合约价值的计算公式（3.1）可知，股票的远期合约的∆同样恒等于1。
这意味着我们可用一股股票的远期合约空头（或多头）为一股股票多头（或空头）保值，且在合约有效期内，无需再调整合约数量。
但是，期货合约的Delta 值就不同了。
由于期货是每天结算的，因此期货合约的收益变化源于期货价格的变化，也就是说，我们需要运用期货价格公式计算出Delta 值。
因此，无收益资产和支付已知现金收益资产的期货合约的∆值为：)(t T r e -=∆支付已知收益率（q ）资产期货合约的∆值为：))((t T q r e --=∆值得注意的是，这里给出的Delta 值都是针对多头而言的，和期权一样，相应空头的Delta 值只是符号发生了相反的变化。
这样，当证券组合中含有标的资产、该标的资产的各种期权和其他衍生证券的不同头寸时，该证券组合的∆值就等于组合中各种资产∆值的总和（注意这里的标的资产都应该是相同的）：∑=∆=∆ni i i w 1（12.2）其中，w i 表示第i 种证券的数量，∆i 表示第i 种证券的∆值。
四、Delta 中性状态与套期保值由于标的资产和相应的衍生证券可取多头或空头，因此其∆值可正可负，这样，若组合内标的资产和期权及其他衍生证券数量配合适当的话，整个组合的∆值就可能等于0。
我们称∆值为0的证券组合处于Delta 中性状态。
当证券组合处于∆中性状态时，组合的价值显然就不受标的资产价格波动的影响，从而实现了套期保值。
但是值得强调的是，证券组合处于∆中性状态只能维持一个很短的时间，因为Delta 实质上是导数。
因此，我们只能说，当证券组合处于∆中性状态时，该组合价值在一个“短时间”内不受标的资产价格波动的影响，从而实现了“瞬时”套期保值。
这样一个∆中性状态的套期保值组合提示我们，当我们手中拥有某种证券或证券组合时，可以通过相应的标的资产、期权、期货等进行相互保值，使证券组合的∆值等于0，也就是不受标的资产价格变化的影响。
这种套期保值方法称为∆中性保值法，又因为∆中性保值只是在瞬间实现的，随着S 、T-t 、r 和σ的变化，∆值也在不断变化，因此需要不断调整保值头寸以便使保值组合重新处于∆中性状态，这种调整称为再均衡（Rebalancing ），因此这种保值方法属于“动态套期保值”。
下面我们分别通过两个例子来说明运用期权为标的资产保值和运用标的资产或其他资产为期权保值的∆中性保值法。
例12.1美国某公司持有100万英镑的现货头寸，假设当时英镑兑美元汇率为1英镑=1.6200美元，英国的无风险连续复利年利率为13%，美国为10%，英镑汇率的波动率每年15%。
为防止英镑贬值，该公司打算用6个月期协议价格为1.6000美元的英镑欧式看跌期权进行保值，请问该公司应买入多少该期权？英镑欧式看跌期权的∆值为：458.0]1)0287.0([]1)([5.013.01)(-=-=-⨯---e N ed N t T f r而英镑现货的∆值为+1，故100万英镑现货头寸的∆值为+100万。
为了抵消现货头寸的∆值，该公司应买入的看跌期权数量等于：34.218458.0100=万 即，该公司要买入218.34万英镑的欧式看跌期权。
当然，这只是适合于短时间内的保值头寸。
例12.21某金融机构在OTC 市场出售了基于100 000股不付红利股票的欧式看涨期权，收入$300 000。
该股票的市场价格为$49，执行价格为$50，无风险利率为年利率5%，股票价格波动1该例子主要引自[美]约翰·赫尔著，张陶伟译.期权、期货和衍生证券. 中译本. 北京：华夏出版社，1997. 283页，在此基础上进行了一点修改。
率为年20%，距离到期时间为20周。
由于该金融机构无法在市场上找到相应的看涨期权多头对冲，这样就面临着风险管理的问题。
在这里我们可以运用∆中性保值法。
我们可以用标的资产即股票为此期权进行套期保值操作。
由于该金融机构目前的头寸是欧式看涨期权空头，这意味着他们目前的∆值是负的，这样，我们需要用正的∆值进行对冲，即应该购买标的资产，才能构建∆中性组合。
之后，我们还需要不断地调整标的资产的数量，以适应期权∆值的变化。
在实际中，过于频繁的动态调整需要相当的交易费用，因此我们假设保值调整每周进行一次。
根据题目，49,50,0.05,0.20,0.3846.S X r T t σ====-=初始的Delta 值为0.522∆=-。
这意味着在出售该看涨期权的同时，需要借入0.52210000049$2557800⨯⨯=以49美元的价格购买52 200股股票。
第一周内发生的相应利息费用为$2 500。
表12-1给出了期权到期时为实值和虚值两种状况下的模拟保值过程。
从表12-1（a ）可知，到第一周末，股票价格下降到1488。
这使得Delta 值下降到0.458,要保持Delta 中性，必须出售6 400股股票，得到$308 000的现金，从而使得成本下降。
之后，如果Delta 值上升，就需要再借钱买入股票；如果Delta 值下降，就卖出股票减少借款。
在期权接近到期时，很明显为实值期权，期权将被执行，Delta 值接近1。
因此，到20周时，该金融机构具有完全的抵补标的资产头寸，累积成本为$5 261 500。
当期权被执行时，金融机构将其所持有的股票出售，获得$5 000 000 ，因此总的套期保值成本为$261 500。
表12-1（b ）给出了另一种价格序列，即到期时期权处于虚值状态的情形。
显然到期时期权不会被执行，Delta 值接近0，而该金融机构最后不会持有标的资产，总计成本为$257 800。
如果把表12-1（a ）和表12-1（b ）中的最后套期保值成本贴现到期初，则我们会发现应用标的资产对该期权进行∆中性保值的成本近似于运用Black-Scholes 期权定价公式计算出来的$240 000，但不完全相等，不完全相等的原因在于调整频率较低。
