确定二次函数的解析式

第18讲 二次函数的解析式的确定【学习目标】二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环．本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式．【基础知识】一、一般式2y ax bx c =++（0a ¹）（1）任何二次函数都可以整理成一般式2y ax bx c =++（0a ¹）的形式；（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．二、顶点式：()2y a x m k =++（0a ¹）（1）任何二次函数经过配方都可以整理成()2y a x m k =++（0a ¹）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（m -，k ）为抛物线的顶点坐标；（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；（3）对于任意的二次函数2y ax bx c =++，都可以配方为：22424b ac b y a x a a -æö=++ç÷èø的形式．三、交点式()()12y a x x x x =--（0a ¹）（1）交点式：()()12y a x x x x =--（0a ¹），其中x 1 ，x 2为二次函数图像与x 轴的两个交点的横坐标；（2）已知二次函数与x 轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；（3）已知二次函数与x 轴的交点坐标（x 1，0）、（x 2，0），可知其对称轴为122x x x +=；（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x 1，a ）、（x 2，a ），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为122x x x +=；（52y ax =0=时，即20ax bx c ++=，根据一元二次方程的求根公式可得：1x =2x =（6）对称式：12()()y a x x x x k =--+（0a ¹），当抛物线经过点（x 1，k ）、（x 2，k ）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式．四、二次函数2y ax bx c =++的平移（1）将二次函数2y ax bx c =++左右平移：向左平移m 个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c =++++；向右平移m 个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c =-+-+．（2）将二次函数2y ax bx c =++上下平移：向上平移n 个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =+++；向下平移n 个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =++-．（3）通常，在平移前，将二次函数2y ax bx c =++化成()2y a x m k =++的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．五、二次函数的轴对称1、关于x 轴对称：2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x m k =++关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x m k =-+-．2、关于y 轴对称：2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x m k =++关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x m k =-+六、二次函数的中心对称1、关于原点对称：2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x m k =++关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x m k =---．2、关于顶点对称：2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x m k =++关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x m k =-++．3、关于点（p ，q ）对称：()2y a x m k =++关于点（p ，q ）对称后，得到的解析式是()222y a x m p q k =---+-．【考点剖析】考点一：一般式2y ax bx c =++（0a ¹）例1．已知二次函数的图像经过点A （1-，5-）、B （0，4-）和C （1，1）．求这个二次函数的解析式．【难度】★【答案】2234y x x =+-．【解析】设二次函数为2y ax bx c =++，把A 、B 、C 代入二次函数解析式，可得：541a b c c a b c -+=-ìï=-íï++=î，解得234a b c =ìï=íï=-î．所以这个二次函数的解析式：2234y x x =+-．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组．例2．已知二次函数2y ax bx c =++图像经过点（0，3）、（3，0）、（2-，5-）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值．【难度】★★【答案】（1）223y x x =-++；（2）函数有最大值，最大值为4y =．【解析】（1）把（0，3）、（3，0）、（2-，5-）代入二次函数解析式，可得：3930425c a b c a b c =ìï++=íï-+=-î，解得123a b c =-ìï=íï=î，所以这个二次函数的解析式：223y x x =-++；（2）2223(1)4y x x x =-++=--+，则当1x =时，函数有最大值，最大值为4y =．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组．例3．已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （2，3）、B （0，3）、C （4，5-）．（1）求该抛物线的解析式；（2）当x 为何值时，3y >？【难度】★★【答案】（1）223y x x =-++；（2）03x <<．【解析】（1）把A （2，3）、B （0，3）、C （4，5-）代入二次函数解析式，可得：42331645a b c c a b c ++=ìï=íï++=-î，解得123a b c =-ìï=íï=î．所以抛物线的解析式为：223y x x =-++；方法二：也可以利用AB 关于直线1x =对称，设二次函数解析式为2(1)y a x k =-+求解．（2）利用图像性质可得，当抛物线与直线3y =交于点(03)(23)，，，，故03x <<时，3y >．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组以及根据图像求自变量范围．例4．已知二次函数的图像经过点（0，3）、（3-，0）、（2，5-），且与x 轴交于A 、B 两点．（1）试确定该二次函数的解析式；（2）判定点P （2-，3）是否在这个图像上，并说明理由；（3）求PAB D 的面积．【难度】★★【答案】（1）223y x x =--+；（2）在；（3）6．【解析】（1）设二次函数为2y ax bx c =++，把（0，3）、（3-，0）、（2，5-）代入二次函数解析式，可得：4253930a b c c a b c ++=-ìï=íï-+=î，解得123a b c =-ìï=-íï=î．所以二次函数的解析式为：223y x x =--+；（2）把2x =-代入解析式，可得：222233y =-+×+=，所以点P （2-，3）在函数图像上．（3）(30)(10)A B -，、，，可得144362ABP AB S D ==´´=，．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组和简单数形结合三角形面积求解．考点二：顶点式：()2y a x m k =++（0a ¹）例1．抛物线22y x bx c =++的顶点坐标是（1，2-），则b = ______，c = ______．【难度】★【答案】-4；0．【解析】设抛物线解析式为22()y x m k =++，因为顶点坐标为（1，2-），所以12m k =-=-，， 所以222(1)2240y x x x =--=-+．故b = -4，c = 0．【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．例2．已知抛物线的顶点坐标为（4，1-），与y 轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式．【难度】★【答案】21234y x x =-+．【解析】设抛物线解析式为2()y a x m k =++，因为顶点坐标为（4，1-），所以41m k =-=-，，所以2(4)1y a x =--，再把（0，3）代入，即得14a =．所以抛物线的解析式为：21234y x x =-+．【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．例3．如果0a >，0b >，0c >，240b ac ->，那么抛物线2y ax bx c =++经过第__________象限．【难度】★★【答案】一二四．【解析】根据0a >，可得开口向上；根据0b >，可得对称轴在y 轴左侧，根据0c >，可得与y 轴交于正半轴，由240b ac ->，可得与x 轴有两个交点，所以大致图像如下：【总结】考查学生根据顶点式以及系数与0大小关系判断图像．例4．已知二次函数的图像过点（1，5），且当x =2时，函数有最小值3，求该二次函数的解析式．【难度】★★【答案】22811y x x =-+．【解析】∵当x = 2时，函数有最小值3，∴设二次函数解析式为2(2)3y a x =-+，把（1，5）代入函数解析式可得2a =．∴二次函数的解析式为：22811y x x =-+．【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．例5．已知二次函数的图像的顶点坐标为A （2，1）且图像与x 轴的两个交点为B 、C （点B 在点C 的左侧），若ABC D 是等腰直角三角形，求这个二次函数的解析式．【难度】★★【答案】243y x x =-+-．【解析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，可得AH =1，∵ABC D 是等腰直角三角形，∴BH =AH =CH =1，即得B （1，0），C （3，0）；∵二次函数的图像的顶点坐标为A （2，1），∴设2(2)1y a x =-+， 把B 或C 代入可得1a =-．所以二次函数的解析式为：243y x x =-+-．【总结】考查学生利用几何知识求解顶点坐标，再根据顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．考点三：交点式()()12y a x x x x =--（0a ¹）例1．已知二次函数的图像经过点（2-，0）、（1，0），且与y 轴的交点的纵坐标为3，求这个二次函数的解析式．【难度】★【答案】233322y x x ==--+．【解析】∵二次函数的图像经过点（2-，0）、（1，0），∴设二次函数解析式为(2)(1)y a x x =+-，把（0，3）代入，可得32a =-．∴这个二次函数的解析式为：233322y x x ==--+．【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．例2．已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点M （1-，0）、N （4，0）、P （1，12-）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】2268y x x =--．【解析】∵二次函数的图像经过点M （1-，0）、N （4，0），∴设二次函数解析式为(1)(4)y a x x =+-，把P （1，12-）代入，可得2a =．∴这个二次函数的解析式为：2268y x x =--．【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．例3．已知二次函数的图形与x 轴的交点坐标是（1，0），（3，0），且函数有最小值5-，求二次函数的解析式．【难度】★★【答案】252015y x x =-+．【解析】∵二次函数的图形与x 轴的交点坐标是（1，0），（3，0）， ∴设二次函数解析式为(1)(3)y a x x =--， ∵（1，0），（3，0）关于直线2x =对称， ∴函数顶点为(2,5)-，∴把(2,5)-代入，可得5a =．方法二：也可以使用顶点公式2(2)5y a x =--，把（1，0），（3，0）代入．【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．例4．已知抛物线，当x=3时，抛物线有最高点，最高点的纵坐标为1，且图像与x轴的两个交点之间的距离为2，求这个抛物线的解析式．【难度】★★【答案】268y x x =-+-．【解析】∵当x = 3时，抛物线最高点的纵坐标为1，∴顶点坐标为(3,1)， 又∵图像与x 轴的两个交点之间的距离为2，∴与x 轴的交点为(2,0)(4,0)， ∴设二次函数解析式为(2)(4)y a x x =--，∴把(3,1)代入，可得1a =-． 方法二：也可设顶点式．【总结】考查学生如何求出与x 轴交点坐标，然后利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．例5．抛物线2y ax bx c =++经过（0，3）、（12，3），其顶点的纵坐标为6，求这个抛物线的解析式．【答案】21312y x x =-++．【解析】∵抛物线2y ax bx c =++经过（0，3）、（12，3），∴对称轴为直线6x =，∵顶点的纵坐标为6，∴顶点坐标为(6,6)，∴设二次函数解析式为2(6)6y a x =-+， ∴把（0，3）代入，可得112a =-．所以抛物线的解析式为：21312y x x =-++． 方法二：也可把解析式设成(0)(12)3y a x x =--+的形式再求解．【总结】考查学生根据交点式的特点，利用平移的特点设交点式求解二次函数解析式，以及解方程．考点四：二次函数2y ax bx c =++的平移例1．把抛物线2y ax bx c =++向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为212y x =-，求原来抛物线的解析式．【难度】★★【答案】21422y x x =---．【解析】根据平移法则即可，注意题目求的是原函数解析式，∴21(4)62y x =-++．【总结】主要考查二次函数的平移，注意看清楚谁是由谁平移的．例2．怎样平移抛物线234y x =-，才能使它经过点M （1-，2）和N （1，1-）两点？【难度】★★【答案】先向左平移1个单位，再向上平移2个单位．【解析】设抛物线向左平移m 个单位，向上k 个单位，可得解析式为23()4y x m k=-++把点M （1-，2）和N （1，1-）代入可得：2232(1)431(1)4m k m kì=--++ïïíï-=-++ïî，解得：12m k =ìí=î．【总结】主要考查二次函数的平移，综合性较强，注意审题．例3．已知二次函数的图象的顶点坐标为A （1，4-），且经过点（2，3-）．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数的图象向左平移几个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点？并求平移后图象对应的二次函数的解析式．【难度】★★【答案】（1）223y x x =--，（2）左平移3个单位，24y x x =+．【解析】（1）设抛物线解析式为2()y a x m k =++，因为顶点坐标为（1，4-），所以14m k =-=-，，所以2(1)4y a x =--，把（2，3-）代入，可得1a =．所以二次函数解析式为：223y x x =--． （2）图像经过坐标原点，设向左平移距离为d （d>0），2(1)4y x d =-+-经过（0，0），所以把原点代入可得3d =或1d =-（舍去）．【总结】主要考查顶点式求解析式，利用平移关系，待定系数法的运用．考点五：二次函数的轴对称例1．如果二次函数的图象与已知二次函数22y x x =-的图象关于y 轴对称，那么这个二次函数的解析式是（ ）A ．22y x x =-+B ．22y x x=+C ．22y x x=--D ．212y x x=-【难度】★★【答案】B【解析】开口方向不变，对称轴关于y 轴对称后为直线1x =-且与y 轴交点为原点．【总结】考查图像的对称变换．例2．二次函数()2231y mx m m x m =--+-的图象关于y 轴对称，则m 的值为（ ）A ．0B ．3C ．1D ．0或3【难度】★★【答案】B【解析】∵二次函数的图象关于y 轴对称，∴230m m -=，0m =（舍去），3m =．【总结】考查图像的对称变换．例3．已知一个二次函数23y x bx =-++的图象经过点A （1，4）．（1）求b 的值；（2）求抛物线关于x 轴对称的抛物线的解析式．【难度】★★【答案】（1）2b =；（2）223y x x =--．【解析】（1）∵二次函数的图象经过点A （1，4），∴把点A 代入可得2b =．（2）∵2(1)4y x =--+的顶点为点A （1，4），关于x 轴对称可得（1，-4），开口方向向上大小不变，∴2(1)4y x =--．【总结】代入求解解析式以及图像的对称变换．例4．已知二次函数()()13y x x =--与()()y x a x b =++的图象关于y 轴对称，求()()2211a b +++的值．【难度】★★【答案】20．【解析】二次函数()()13y x x =--与x 轴交于点（1，0）（3，0）， 其关于y 轴对称点为（-1，0）（-3，0），∴对称后的二次函数解析式为(1)(3)y x x =++， ∴13a b ==，；∴()()221120a b +++=．【总结】利用对称的特性求解点坐标，交点式的运用．考点六：二次函数的中心对称例1．函数2y x =与2y x =-的图象关于______轴对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象绕______旋转______得到的．【难度】★【答案】x 轴；原点；180°．【解析】如右图所示．【总结】利用图像对称的特征．例2．二次函数223y x x =--的图象关于原点O 对称的图象的解析式是__________．【难度】★★【答案】223y x x =--+．【解析】先配方成顶点式2(1)4y x =--可得顶点为(14)-，，其关于原点对称点为(14)-，，所以开口相反，大小不变可得223y x x =--+．【总结】利用点对称的特征，再根据顶点情况求解析式．例3．抛物线232y x x =++的图象关于其顶点对称的抛物线的解析式是__________．【难度】★★【答案】2532y x x =---．【解析】先配方成顶点式231(24y x =+-可得顶点为31(,24--，其关于顶点仍然为31(,)24--，所以开口相反，大小不变可得231(24y x =-+-．【总结】利用点对称的特征，再根据顶点情况求解析式．例4．二次函数21y x x =++的图象关于点A （2，0）对称的图象的解析式是_________．【难度】★★【答案】2921y x x =-+-．【解析】先配方成顶点式213(24y x =++，可得顶点坐标为13(24-，，其关于点A （2，0）对称为93()24-，，所以开口相反，大小不变可得293(24y x =---．【总结】利用点对称的特征，再根据顶点情况求解析式．【过关检测】一、单选题1．（2021·上海九年级专题练习）已知二次函数()221y x =--，那么该二次函数图像的对称轴是（ ）A ．直线2x =B ．直线2x =-C ．直线1x =D ．直线1x =-【答案】A【分析】根据顶点式坐标直接得到二次函数图象的对称轴．【详解】解：∵二次函数的顶点式是()221y x =--，∴函数图象的对称轴是直线2x =．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象对称轴的求解方法．2．（2021·上海九年级专题练习）将抛物线22(1)y x =+先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）A ．22(2)2y x =--B ．22(2)2y x =-+C ．22(4)2y x =+-D ．22(4)2y x =++【答案】A 【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得．【详解】将抛物线22(1)y x =+先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的表达式是22(13)2y x =+--，即22(2)2y x =--，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．3．（2021·上海九年级专题练习）把二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图像先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到二次函数2231y x x =++，则a b c 、、的值分别为（ ）A ．2,1,2a b c ===B ．2=12a b c =-=,,C ．2,1,2a b c =-==-D ．212a b c =-=-=-，，【答案】B【分析】将新抛物线2231y x x =++向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到原抛物线的顶点式解析式，再化为一般式即可得出结论．【详解】解：∵将新二次函数2231y x x =++向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的解析式为()()2213112y x x =-+-++=222x x -+，则a ，b ，c 的值分别为a =2，b =-1，c =2，故选B ．【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．4．（2021·上海九年级专题练习）二次函数y ＝x 2+6x +1图象的对称轴是（ ）A ．x ＝6B ．x ＝﹣6C ．x ＝﹣3D ．x ＝42【答案】C【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数图象的对称轴．【详解】解：∵y =x 2+6x +1=（x +3）2-8，∴该函数图象的对称轴是直线x =-3，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，解题关键是熟练运用配方法把二次函数解析式化为顶点式．5．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）抛物线2(1)(3)y x x =+-的顶点坐标是（ ）A ．(-1，8)B ．(1，-8)C ．(-1，-3)D ．(1，3)【答案】B【分析】根据题意可得抛物线与x 轴的交点坐标，进而可得抛物线的对称轴，然后代入抛物线解析式即可得顶点坐标．【详解】Q 2(1)(3)y x x =+-\抛物线的图像与x 轴的交点是()30，、()0-1，\对称轴是直线x=1，\当x=1时，y=-8，顶点坐标是()1，-8．故选B ．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像与性质，关键是根据题意得到抛物线的对称轴，然后由对称轴得到抛物线的顶点坐标．6．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）二次函数(2)(4)y x x =+-的对称轴是 （ ）A ．直线x=-2B ．直线x=-4C ．直线x=1D ．直线x=-1【答案】C【分析】先根据抛物线的解析式求出此抛物线与x 轴的交点，再根据两交点关于对称轴对称即可得出其对称轴．【详解】解：∵抛物线的解析式为：y ＝（x ＋2）（x−4），∴此抛物线与x 轴的交点为，（−2，0），（4，0）∴其对称轴为：直线x ＝242-+＝1．故选：C ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，熟知抛物线与x 轴的两交点坐标关于对称轴对称是解答此题的关键．二、填空题7．（2021·上海九年级一模）已知二次函数图像经过点()3,4和()7,4，那么该二次函数图像的对称轴是直线________．【答案】x=5【分析】根据抛物线的对称性可知：点()3,4和()7,4关于抛物线的对称轴对称，从而求出结论．【详解】解：∵二次函数图像经过点()3,4和()7,4，∴该二次函数图像的对称轴是直线x=3+72=5故答案为：x=5．【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，求抛物线对称轴是解题关键．8．（2021·上海九年级专题练习）已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y 轴左侧的部分，图像上升，在y 轴右侧的部分，图像下降；试写出一个符合要求的抛物线的表达式：______．【答案】2y x =-（答案不唯一）【分析】设出符合条件的函数解析式，再根据二次函数的图象在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的可知该函数图象的开口向下，对称轴为y 轴，即0a <，0b =，再把()0,0A 代入，得出符合条件的函数解析式即可．【详解】解：设出符合条件的函数解析式为：()20y ax bx c a =++¹，∵二次函数的图象在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的，∴该函数图象的开口向下，对称轴为y 轴，即0a <，0b =，∵函数图象经过()0,0A ，∴0c =，∴符合条件的二次函数解析式可以为：2y x =-（答案不唯一）．故答案为：2y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，先根据题意设出函数解析式，再根据二次函数的性质判断出a 的符号及对称轴是解答此题的关键，此题属开放性题目，答案不唯一．9．（2021·上海九年级专题练习）二次函数24y x x =+图像的对称轴是直线__________．【答案】2x =-【分析】根据二次函数对称轴的公式可直接求解出结果．【详解】二次函数的对称轴为直线2b x a=-，14a b ==Q ，，\对称轴为直线4221x =-=-´，故答案为：2x =-．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，属于基础题，熟练掌握二次函数对称轴的公式是解题的关键．10．（2020·上海九年级专题练习）抛物线2(0)y ax a =¹沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线2y x =沿直线y x =时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是_____．【答案】()211y x =-+【分析】沿直线y=x 则相当于抛物线y=ax 2(a≠0)向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．【详解】解:∵抛物线2y x =沿直线y x =，相当于抛物线()2y axa 0=¹向右平移1个单位，向上平移1个单位，∴根据平移的规律得到:“同簇抛物线”的表达式是()2y x 11=-+．故答案为:()2y x 11=-+．【点睛】本题考查了二次函数的几何变换:由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．11．（2021·上海九年级二模）抛物线y ＝ax 2+ax +2（a ≠0）的对称轴是直线_____．【答案】12x =-【分析】依据抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴方程x ＝2b a-，可以得出结论．【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴方程x ＝2b a-，∴抛物线y ＝ax 2+ax +2（a ≠0）的对称轴是x ＝1=22a a --．即对称轴是x ＝12- ．故答案为：x ＝12-．【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴的求法是解题的关键．12．（2021·上海九年级专题练习）二次函数y ＝x 2－4x ＋1图象的对称轴是直线______________．【答案】2x =【分析】根据抛物线的对称轴公式可求出对称轴方程．【详解】解：由抛物线的解析式可得对称轴为：4222b x a -=-=-=，故答案为：2x =．【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数()20y ax bx c a =++¹的对称轴为直线2b x a=-是解题的关键．13．（2021·上海九年级专题练习）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移得到新抛物线2C ，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线2C 的表达式为______．【答案】()25 1.y x =--【分析】先求抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移k （k ＞0）个单位的函数解析式，再把()3,3代入平移后的解析式，求解k 即可得到答案．【详解】解：抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移k （k ＞0）个单位可得：2C ：()211,y x k =---把()3,3代入()211,y x k =---()23311,k \=---()224,k \-=22k \-=或22,k -=- 0k \=或4,k =经检验：0k =不合题意，取 4.k =()225 1.C y x \=--：故答案为：()25 1.y x =--【点睛】本题考查的是抛物线的平移，抛物线上的点的坐标特点，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题14．（2021·上海九年级专题练习）已知一个二次函数2y x bx c =++的图像经过点（4，1）和（1-，6）．求这个二次函数的解析式．【答案】241y x x =-+【分析】利用待定系数法确定二次函数的解析式．【详解】解：由题意，得()224+411(1)6b c b c ì×+=ïí-+×-+=ïî 解这个方程组，得41b c =-ìí=î∴所求二次函数的解析式是241y x x =-+．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式．解答该题的方程组时，采用了“加减消元法”来解方程组．15．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知抛物线y ＝－x 2＋4x ＋m 与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝2，与y 轴交于点C ．（1） 求抛物线的解析式；（2） 若P 为对称轴上一点，要使PA ＋PC 最小，求点P 的坐标．【答案】（1）243y x x =-+-；（2）P 点坐标为（2，－1）【分析】（1）设点A 的坐标为()1,0x ，点B 的坐标为()2,0x ，然后根据AB=2及抛物线的对称轴可求解A 、B 的坐标，进而抛物线解析式可求；（2）连接BC ，交直线x ＝2于点P ，则PA ＝PB ，则有PA ＋PC ＝PB ＋PC ＝BC ，所以此时PA ＋PC 最小，然后求出直线BC 的解析式，进而问题可求．【详解】解：（1）设点A 的坐标为()1,0x ，点B 的坐标为()2,0x ，2121222x x x x +ì=ïíï-=î，∴1213x x =ìí=î， 把点A 的坐标（1，0）代入24y x x m =-++得3m =-，所以抛物线的解析式为243y x x =-+-；（2）解：连接BC ，交直线x ＝2于点P ，则PA ＝PB ，如图所示：∴PA ＋PC ＝PB ＋PC ＝BC ，∴此时PA ＋PC 最小，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把C （0，－3），B （3，0）代入得330b k b =-ìí+=î，解得31b k =-ìí=î，∴直线BC 的解析式为y ＝x －3，当x ＝2时，y ＝x －3＝2－3＝－1，∴P 点坐标为（2，－1）．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知函数()()27322m y m x m -=-++-是二次函数．（1）求m 的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】（1）-3；（2）()2625y x =-+-，开口方向向下，对称轴是直线2x =-，顶点坐标是（-2，-5）【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为2，可以求出m 的值，再结合二次项系数不等于0，即可最终确定m 的值；（2）将m 代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据a 的正负，对称轴为直线x=-h 以及顶点坐标为（-h ，k ），即可解决本题．【详解】解：（1）∵ 272m -=∴3m =±∵30m -¹∴m≠3∴3m =-（2）将m=-3代入解析式中，得二次函数的解析式为()2625y x =-+-∵a=-6＜0∴开口方向向下∴对称轴是直线2x =-，顶点坐标是（-2，-5）．【点睛】本题主要考查了二次函数的概念以及二次函数的顶点式，熟练其概念以及顶点式的性质是解决本题的关键．17．（2018·上海格致中学九年级月考）把二次函数2'45y x x =---这个图像上下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y x =-的图像上，求平移后二次函数的解析式【答案】2(2)2y x =-++【分析】把这个二次函数的图象上、下平移，顶点恰好落在正比例函数y=-x 的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，而平移时，顶点的横坐标不变，即可求得函数解析式．【详解】∵22'45(2)1y x x x =---=-+-，∴顶点坐标为(-2，-1)∵这个二次函数的图象只上、下平移，且顶点恰好落在正比例函数y x =-的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，∴顶点的横坐标不变为-2，纵坐标为2，∴顶点坐标为(-2，2)，∴函数解析式是：2(2)2y x =-++．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律，上下平移时，点的横坐标不变；左右平移时，点的纵坐标不变．同时考查了二次函数的性质，正比例函数y=-x 的图象上点的坐标特征．18．（2020·崇明县大同中学九年级月考）如图已知在直角坐标系中，一条抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中B （3，0），C （0，4），点A 在x 轴的负半轴上，OC ＝4OA ．（1）求点A 坐标；（2）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标．【答案】（1）点A 的坐标为（﹣1，0）；（2）y ＝24833x x -++4，顶点坐标是（1，163）．【分析】（1）根据B （3，0），C （0，4），点A 在x 轴的负半轴上，OC ＝4OA ，可以求得OA 的长，从而可以得到点A 的坐标；（2）根据点A 和点B 的坐标可以设出该抛物线的解析式，然后根据抛物线经过点C 可以求得该抛物线的解析式，再将解析式化成顶点式可得抛物线的顶点坐标．【详解】解：（1）∵B （3，0），C （0，4），点A 在x 轴的负半轴上，OC ＝4OA ，∴OC ＝4，∴OA ＝1，∴点A 的坐标为（﹣1，0）；（2）设这条抛物线的解析式为y ＝a （x+1）（x ﹣3），∵点C （0，4）在此抛物线上，∴4＝a （0+1）（0﹣3），解得，a ＝﹣43，∴y ＝﹣43（x+1）（x ﹣3）＝24833x x -++4＝﹣2416(1)33x -+，∴该抛物线的顶点坐标为（1，163），即这条抛物线的解析式为y ＝24833x x -++4，它的顶点坐标是（1，163）．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19．（2020·上海）已知：抛物线2y x bx c =-++，经过点A(-1,-2)，B(0,1).（1）求抛物线的关系式及顶点P 的坐标.（2）若点B′与点B 关于x 轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m 个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′.①求∠P′B B′的大小.②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M 处，设点N 在（1）中的抛物线上，当△MNB′的面积等于时，求点N 的坐标.【答案】（1）221y x x =-++，顶点坐标()12P ，；（2）①120P BB ¢¢Ð=o ，②当MNB S ¢D =时，点N 的坐标为()47N -，或()27N --，.【分析】（1）把点A （-1，-2）B （0,1）代入2y x bx c =-++即可求出解析式；（2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)即可求出m ，得出顶点坐标()2P ¢，连结P B ¢，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得P H ¢=,HB=1，P’B=2求出tan P H P BH BHÐ=¢=¢得60P BH Ð=¢o ,故可得P BB Т¢的度数②根据题意作出图形，根据旋转的性质与MNB S ¢D =，解得三角形的高6h =；故设()7N a -，或()5N a ，分别代入221y x x =-++即可求出N 的坐标.【详解】（1）把点A （-1，-2）B （0,1）代入2y x bx c =-++得2=11b c c---+ìí=î解得=21b c ìí=î∴抛物线的关系式为：221y x x =-++，得y=-(x-1)2+2；∴顶点坐标为()12P ，.（2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)得，-1=-(m-1)2+2解得11m =+，21m =+（舍去）；∴(212y x =-++，得顶点()2P ¢连结P B ¢，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得P H ¢=,HB=1，=2∵tan P HP BH BH Ð=¢=¢,∴60P BH Ð=¢o ,∴18060120P BB o o o Ð=-=¢¢.②∵2BB ¢=,2P B ¢=即BB P B ¢=¢,∴30BP B P B B ¢¢¢¢Ð=Ð=o ;∵线段P B ¢¢以点B ¢为旋转中心顺时针旋转120o ，点P ¢落在点M 处;∴90OB M Ð=¢o ,B M B P ¢=¢¢∴//MB x ¢轴，B M B P ¢¢=¢=。

确定二次函数的解析式一、一般方法（1）已知抛物线上三个点的坐标，最好选用一般式．例1已知抛物线经过A（0，4），B（1，3）和C（2，6）三点，求二次函数的解析式．（2）若已知条件与抛物线的顶点有关，则用顶点式比较恰当．例2已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函数的解析式．（3）已知抛物线与x轴两个交点的坐标，选用交点式比较简便．例3已知A（2，0），B（－1，0），C（1，－3）三个点在抛物线上，求二次函数的解析式．例4已知二次函数的图象经过点A（3，—2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式．二、利用抛物线与x轴交点间的距离求二次函数的解析式例1 已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距离为4．求二次函数的解析式．例2 已知二次函数的图象经过⎪⎭⎫⎝⎛-25,0A和)6,1(--B两点，且图象与x轴的两个交点间的距离为4．求二次函数的解析式．三、其它已知条件，灵活运用不同方法求解1、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－7x+12形状相同，顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为3，求此抛物线解析式2、.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，有最大值2，其图象在x轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

3、.如图，抛物线y=ax 2+bx+c(a>0)与x 轴交于A(1,0),B(5,0)两点，与y 轴交于M ，抛物线顶点为P ，且PB=25（1）求这条抛物线的顶点P 的坐标和它的解析式（2）△MOP （O 为坐标原点）的面积。

4、已知抛物线y=x 2－(2m －1)x+m 2－m －2 （重要提示：三角形的高要加绝对值）（1）证明抛物线与x 轴有两个不同的交点（2）分别求出抛物线与x 轴的交点A 、B 的横坐标x A ,x B ,以及与y 轴的交点C 的纵坐标y C （用含m 的代数式表示）（3）设△ABC 的面积为6，且A 、B 两点在y 轴的同侧，求抛物线的解析式。

二次函数三种解析式的求法二次函数是高中数学中的重要概念，它的解析式有三种常见的求法。

本文将分别介绍这三种求法，并且给出相应的例题加以说明。

第一种求法是通过顶点坐标和另一点坐标来确定二次函数的解析式。

二次函数的标准形式为f(x) = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。

假设已知顶点坐标为(h,k)，另一个已知点的坐标为(x₁,y₁)，我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式，得到两个方程：k = a(x-h)²y₁ = a(x₁-h)² + k通过解方程组，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。

例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，我们可以代入上述方程组进行求解。

将顶点坐标代入第一个方程，可得：3 = a(2-(-1))²解得a = 1/3。

然后将a的值代入第二个方程，可得：5 = (1/3)(2-(-1))² + 3化简后得到二次函数的解析式为f(x) = (1/3)(x+1)² + 3。

第二种求法是通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离来确定二次函数的解析式。

对称轴与顶点的距离等于顶点的纵坐标的绝对值，即|k|。

假设已知顶点坐标为(h,k)，对称轴与顶点的距离为|k|，我们可以将这些信息代入二次函数的标准形式，得到方程：f(x) = a(x-h)² + k代入|k|，可得：f(x) = a(x-h)² + |k|通过解这个方程，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。

例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，对称轴与顶点的距离为3。

我们可以代入上述方程进行求解。

将顶点坐标代入方程，可得：5 = a(2-(-1))² + 3化简后得到a = 1/3。

然后将a的值代入方程，可得：f(x) = (1/3)(x+1)² + 3这就是二次函数的解析式。

二次函数解析式的确定待定系数法（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠如果已知二次函数的图像上的三点坐标（或称函数的三对对应值）()11x y ，、()22x y ，、()33x y ，，那么方程组211122222333y ax bx cy ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩就可以唯一确定a 、b 、c ，从而求得函数解析式2y ax bx c =++．温馨提示：已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式． （2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠由于222424b ac b y ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，所以当已知二次函数图像的顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，时，就可以设二次函数形如22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，从而利用其他条件，容易求得此函数的解析式．这里直线2bx a=-又称为二次函数图像的对称轴． 温馨提示：已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式． （3）交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠我们知道，()()22212424b ac b y ax bx c a x a x x x x a a -⎛⎫=++=++=-- ⎪⎝⎭，这里12x x ，分别是方程20ax bx c ++=的两根．当已知二次函数的图像与x 轴有交点（或者说方程20ax bx c ++=有实根）时，就可以令函数解析式为()()12y a x x x x =--，从而求得此函数的解析式． 温馨提示：已知抛物线与x 的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式． （4）对称式：12()()(0)y a x x x x k a =--+≠温馨提示：当抛物线经过点1(,)x k 、2(,)x k 时，可以用对称式来求二次函数的解析式． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化【例1】 已知二次函数图象经过点()13A ，、()02B ，、()53C ，三点，求此二次函数解析式．【巩固】已知一个二次函数过()00，、()111-，、()19，三点，求二次函数的解析式． 已知抛物线经过三点A （0，2），B （1，0），C （-2，3），求二次函数的解析式。

二次函数的解析式的确定二次函数解析式的确定二次函数的研究必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环。

本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法。

重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确地确定二次函数的解析式。

一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)任何二次函数都可以整理成一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)的形式。

如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式。

模块一：一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)例1：已知二次函数的图像经过点A（-1，-5）、B（0，-4）和C（1，1）。

求这个二次函数的解析式。

解析：设二次函数为y=ax^2+bx+c，把A、B、C代入二次函数解析式，可得：a-b+c=-5a+b+c=-4a+b+c=1解得a=2，b=3，c=-4.所以这个二次函数的解析式：y=2x^2+3x-4.例2：已知二次函数y=ax^2+bx+c图像经过点（1，3）、（3，-5）和（-2，-5）。

1）求这个二次函数的解析式；2）求这个二次函数的最值。

解析：（1）把（1，3）、（3，-5）和（-2，-5）代入二次函数解析式，可得：a-b+c=39a+3b+c=-54a-2b+c=-5解得a=-1，b=2，c=3.所以这个二次函数的解析式：y=-x^2+2x+3；2）y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4，则当x=1时，函数有最大值，最大值为y=4.例3：已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点A（2，3）、B（0，3）和C（4，-5）。

1）求该抛物线的解析式；2）当x为何值时，y>3？解析：（1）把A（2，3）、B（0，3）和C（4，-5）代入二次函数解析式，可得：a+b+c=3c=316a+4b+c=-5解得a=-1，b=2，c=3.所以这个二次函数的解析式：y=-x^2+2x+3；2）将y>3代入解析式，得到-x^2+2x>0，解得13.已知二次函数的图像经过点（0，3）、（-3，-5）、（2，-3），且与x轴交于A、B两点。

二次函数解析式的确定 本讲例题及随堂练习待定系数法求函数解析式二次函数的三种表达式一般式：y=c bx ax ++2（a ，b ，c 为常数，a ≠0）顶点式：y=k h x a +-2)( [抛物线的顶点P （h ，k ）] 交点式：y=a(x-x ₁)(x-2x ) [仅限于与x 轴有交点A （x ₁ ，0）和 B （x ₂，0）的抛物线一般式：例1、已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。

练习、已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。

求这个二次函数的解析式。

顶点式：例2、已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。

练习1：已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。

练习2： 已知抛物线对称轴是直线x ＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

练习3：已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。

练习4：一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，。

求这条抛物线的解析式。

两点式：例3、已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.求它的解析式。

练习： 已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1=－3，x 2=1，且与y 轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。

结论:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;•如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与x 轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2).例4、 根据下列条件，求抛物线的解析式．（1）经过点（0，-1），（1，12-），（-2，-5）； （2）经过点（-3，2），顶点是（-2，3）；（3）与x 轴两交点坐标分别为（-2，0），（2，0）并且与y 轴交于点（0，-2）．例5、已知函数y=x 2＋bx ＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x ＞0时，求使y ≥2的x 的取值范围．例6、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大．（4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？例7、如图所示，求二次函数的关系式。

确定二次函数解析式的常用方法求二次函数的解析式是初中函数学习的重点,其常用方法就是待定系数法,选择什么样形式的解析式来求解,要根据题目的条件而定,下面介绍求二次函数解析式的三种常用方法：一、已知三点坐标，通常选择一般式：y=ax2+bx+c：例1、已知二次函数的图象经过三点（1，1），（-1，7），（2，4），求其解析式。

解：设二次函数的解析式y=ax2+bx+c,把三点坐标代入得：a+b+c=1 a=2a-b+c=7 解得 b=-34a+2b+c=4 c=2∴二次函数的解析式为：y=2x2-3x+2。

二、已知顶点和另一点，通常选择顶点式：y=a(x-h)2+k。

例2、已知抛物线的顶点为（-1，-3），与y轴交点为（0，-5），求此抛物线的解析式。

解：∵抛物线的顶点为(-1,-3)。

∴设其解析式为y=a(x+1)2-3。

把(0,-5)代入上式得：-5=a-3, 则a =-2∴抛物线的解析式为y=-2(x+1)2-3即：y=-2x2-4x-5，（最后要化为一般式）三、已知抛物线与x轴的两个交点A（x1,0）,B(x2,0) 和另一条件时，通常选用交点式：y=a(x-x1)(x-x2)。

例3、已知抛物线与y轴交于点A（0，3），与X轴分别交于B（1，0），C（5，0）两点，求此抛物线的解析式。

解：∵点B（1，0），C（5，0）是抛物线与X轴的交点。

∴可设其解析式为y=a(x-1)(x-5)。

把点A（0，3）坐标代入上式得：3=a(0-1)(0-5), 解得a=3/5∴所求抛物线的解析式为y=3/5（x-1 ）（x-5）即：y=3/5 x2-18/5 x+3，（最后要化为一般式）由此可以看出，求二次函数的解析式要根据题目不同条件，灵活的采用不同类型的分析式作为解题模型，这样才能提高解题效率，另外所求的解析式最后要化为一般式。