(完整版)二次函数解析式的确定(10种).docx

抛物线解析式的求解方法一、常见二次函数表达式（解析式） 1、一般式y=ax 2+bx+c （a ≠0）2、顶点式y=a （x-h ）2+k （a ≠0） 由此式知顶点坐标为（h k ），对称轴为x=h 3、交点式y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）其中x 1,x 2是抛物线与X 轴的交点坐标 二、二次函数解析式求法二次函数解析式的求解分以下两种情况：（一）二次函数解析式已由题目给出。

这种情况不用再设解析式。

1 、y=ax 2+bx+c 此种情况，解析式中3个系数均未知，要求出三个系数，需知道抛物线上3个点的坐标。

（一般这种类型的题目不会直接给出三点坐标，需要考生根据题目条件求出点的坐标）例1、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝31．求这个二次函数的表达式． 图 9yxO E D CB A2、y=ax 2+bx ，y=ax 2+bx+3b ，y=x 2+bx+c ，c bx x y ++=221，y=ax 2-3ax+c 此种情况，解析式中有2个系数未知数，需要知道抛物线上的2个点的坐标。

例2、在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，﹣3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．求这个二次函数的表达式．3、y=ax 2+2ax+4，y=x 2+k x+k+3，y=mx 2+(m-4)x+m-1，c x x y ++=3212，y=x 2+c ，y=ax 2-3x+6此种情况，解析式中有1个系数未知数，需要知道抛物线上的1个点的坐标。

例3、如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知A 、B 两点的坐标分别为（4，0）、（0，2），将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°后得到△OCD ，抛物线224y ax ax =-+经过点A 。

二次函数的解析式二次函数是一种以二次方项为主要组成的代数函数，其解析式可以通过一些特定的形式来表示。

在这篇文章中，我们将讨论二次函数的解析式以及如何确定它们。

一、二次函数的解析式定义二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a不等于0。

这种形式的函数图像通常为一个平滑的曲线，被称为抛物线。

二、二次函数的顶点式二次函数的顶点式是另一种常见的表示形式，它利用顶点坐标来描述函数。

顶点式的一般形式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(a, h, k)表示顶点的坐标。

1.确定顶点坐标要确定二次函数的顶点坐标，首先需要找到抛物线的对称轴。

对称轴的公式为x = -b/2a。

通过计算得到对称轴的x坐标，将其代入原始函数或者顶点式中，即可得到顶点的坐标。

2.分析顶点式形式顶点式中的a值决定了抛物线的开口方向和弯曲程度。

当a大于0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a小于0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。

顶点式中的h和k分别表示顶点的横坐标和纵坐标。

三、二次函数的标准式二次函数的标准式形式为y = ax^2 + bx + c，其中y表示函数的值。

标准式是一种简化形式，常用于计算与建模。

1.求解标准式要将二次函数转换为标准式，需要进行一些代数运算。

首先，可以使用配方法、完全平方和法等方法来将顶点式转换为标准式。

其次，可以通过因式分解或者使用求根公式等方法，将二次函数从其他形式转换为标准式。

2.分析标准式标准式中的a值决定了抛物线的开口方向和弯曲程度。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

标准式中的b 和c分别表示x的系数和常数项。

四、二次函数的解析式应用二次函数的解析式在数学和实际应用中扮演重要角色。

它们可以用于描述和分析各种现象和问题，如自然科学、工程学、物理学、经济学等领域的建模和预测。

1.函数图像与性质通过二次函数的解析式，我们可以绘制出函数的图像，进而分析其性质。

十种二次函数解析式求解方法二次函数是一个形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a不为0。

解析式是一种表示函数的方式，它可以用来求解函数的性质和方程的解。

下面是十种二次函数解析式求解方法：1. 一般式：二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c。

通过将函数写成一般式，可以快速识别出a、b和c的值，进而求解一些重要的性质，如顶点、轴对称线、开口方向等。

2.标准式：二次函数的标准式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。

通过将一般式转化为标准式，可以直观地找出顶点的坐标及与x轴的交点。

3.因式分解：有时候，二次函数的解析式可以通过因式分解的方式得到。

例如，对于函数y=x^2-5x+6，我们可以将其因式分解为y=(x-2)(x-3)，从而得到x=2和x=3是方程的解。

4.完全平方：如果二次函数的解析式可以表示为一个完全平方的形式，那么我们可以通过提取出完全平方的方式得到方程的解。

例如，对于函数y=x^2-4x+4，我们可以将其写成y=(x-2)^2的形式，从而得到x=2是方程的解。

5. 配方法：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。

通过配方法，我们可以找到一个常数k使得ax^2 + bx + c = a(x + p)^2 + k，从而得到方程的解析式。

6.求导方法：通过对二次函数求导，我们可以得到函数的导数。

导数可以帮助我们找到函数的最值点和切线，进而求解其他问题。

7.顶点公式：二次函数的顶点公式为(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=f(h)。

通过顶点公式，我们可以快速找到二次函数的顶点，进而求解一些重要的性质。

8. 零点公式：二次函数的零点公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。

通过零点公式，我们可以求解二次函数的零点或解方程。

9. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac。

二次函数解析式的方法
二次函数解析式是指二次函数的一般式或顶点式的形式表达式。

一般式为：y=ax+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；顶点式为：
y=a(x-h)+k，其中(h,k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小的常数。

要得到二次函数的解析式，可以通过以下方法：
1. 根据已知点求解析式：假设已知二次函数过点(x1,y1)，
(x2,y2)，(x3,y3)，则可以列出三个方程：y1=ax1+bx1+c，
y2=ax2+bx2+c，y3=ax3+bx3+c，将x1、x2、x3代入，得到三个带有未知数a、b、c的方程组，将方程组化简，就可以得到a、b、c的值，从而得到二次函数的解析式。

2. 根据顶点和一个点求解析式：假设已知二次函数的顶点坐标为(h,k)，过另一个点(x1,y1)，则可以根据顶点式得到方程：
y=k+a(x-h)，再将(x1,y1)代入，得到一个带有未知数a的方程，将方程化简，就可以得到a的值，从而得到二次函数的解析式。

3. 根据对称轴和一个点求解析式：假设已知二次函数的对称轴为直线x=p，过点(x1,y1)，则可以根据对称性得到方程：y=a(x-p)+k，将(x1,y1)代入，得到一个带有未知数a的方程，将方程化简，就可以得到a的值，从而得到二次函数的解析式。

以上是三种求解二次函数解析式的方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。

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二次函数解析式怎么算有哪些方法函数对于同学们来说一直是个重难点，那么二次函数的相关知识是怎样的呢?下面是由编辑为大家整理的“二次函数解析式怎么算有哪些方法”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

二次函数解析式形式1.一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)，则称y为x的二次函数。

顶点坐标(-b/2a,(4ac-b2)/4a)2.顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)2+k(a,h,k为常数，a≠0)3.交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)(又叫两点式，两根式等)求二次函数解析式的方法(1)条件为已知抛物线过三个已知点，用一般式：y=ax²+bx+c,分别代入成为一个三元一次方程组，解得a、b、c的值，从而得到解析式。

(2)已知顶点坐标及另外一点，用顶点式：y=a(x-h)²+k,点坐标代入后，成为关于a的一元一次方程，得a的值，从而得到解析式。

(3)已知抛物线过三个点中，其中两点在X轴上，可用交点式(两根式)：y=a(x-x₁)(x-x₂),第三点坐标代入求a，得抛物线解析式。

拓展阅读：二次函数的性质(1)二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

(2)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线开口向上;当a<0时，抛物线开口向下。

|a|越大，则抛物线的开口越小;|a|越小，则抛物线的开口越大。

(3)一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b 同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧。

(4)常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0,c)。

二次函数解析式的确定2〈一〉三点式。

1， 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点， 求抛物线的解析式。

2， 已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。

〈二〉顶点式。

1， 已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。

2， 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。

〈三〉交点式。

1， 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。

2， 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。

〈四〉定点式。

1， 在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ， 直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。

2，抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。

3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。

〈五〉平移式。

1，把抛物线y= -2x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。

2，抛物线32-xy向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.-=x+〈六〉距离式。

1，抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m﹥0)与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。

〈七〉对称轴式。

1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。

2、已知抛物线y=-x2+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交y轴于点3OC，求此抛物线的解析式。

十种二次函数解析式求解方法1. 使用配方法：当二次函数无法直接因式分解时，可以使用配方法来求解。

假设二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c，先将常数项c移到等式的另一边，得到y=ax^2+bx=-c。

然后再在x^2的系数a前面添加一个实数k，使得ax^2+bx=-c可以表示为(ax^2+bx+k^2)-k^2=-c。

然后将等式两边进行平移，即得到(ax^2+bx+k^2)=k^2-c。

这样，原本的二次函数就可以表示为一个完全平方的形式加上一个常数。

然后可以通过完全平方公式来求解。

2.利用零点的性质：二次函数的解析式可以表示为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2分别是二次函数的两个零点。

通过求解方程a(x-x1)(x-x2)=0，即可得到这两个零点的值。

3. 利用判别式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，方程的判别式Δ=b^2-4ac可以判断方程的解的情况。

当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，但有两个共轭的复数根。

4.利用顶点的性质：二次函数的解析式可以表示为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是二次函数的顶点的坐标。

通过将方程和y=k相等，然后通过解方程(x-h)^2=(k-k)/a，可以得到x的值。

然后将x的值代入二次函数的解析式，即可得到y的值。

5. 利用对称性：二次函数的解析式可以表示为y=ax^2+bx+c。

二次函数的对称轴的方程为x=-b/2a。

通过将x=-b/2a代入二次函数的解析式，即可得到对称轴上的y的值。

6. 利用平方差公式：对于二次函数的解析式y=(x-p)^2-q，其中p 和q分别是二次函数的顶点的横坐标和纵坐标。

通过展开平方得到y=x^2-2px+p^2-q，然后将原始的二次函数的解析式和展开后的二次函数的解析式相等，即可得到p和q的值。

7.利用导数的性质：二次函数的导数为一次函数，通过求解一次函数的解析式，可以得到二次函数的极值点，即顶点。

十种二次函数解析式求解方法一、二次函数解析式的一般形式二次函数解析式一般形式为：f(x) = ax² + bx + c ，其中 a、b、c 是给定的实数，且a ≠ 0。

二、求解二次函数解析式的常见方法1.完全平方解法：将二次函数解析式表示为完全平方形式，进而求得其最简形式。

2.因式分解法：将二次函数解析式进行因式分解，得到对应的零点和轴对称线方程。

3.配凑法：变形后的二次函数解析式可以通过配凑使其变为一个完全平方式，然后用完全平方解法求解。

4.直接开方法：将二次函数解析式表示为开方形式，求出其零点和轴对称线方程另一种方法。

5.图像法：通过绘制函数图像的方法可以得到二次函数的对称轴、顶点和图像的开口方向。

6.列出方程法：通过已知条件列出关于二次函数解析式的方程，进而求解二次函数解析式。

7.求导法：通过对二次函数解析式进行求导，可以得到对应的切线方程，知道切线方程后可以求解出二次函数解析式。

8. 借助计算机软件：使用计算机软件如Mathematica、MATLAB等，在计算机中输入二次函数解析式，即可得到其解析式。

9.使用求根公式：二次函数解析式可以通过求根公式求解，即利用一元二次方程求根公式求解。

10.公式推导：根据二次函数的定义和性质，利用一些数学推导方法求解二次函数解析式。

三、各种方法的详细解释1.完全平方解法：通过完全平方公式将二次函数解析式写成完全平方的形式，然后根据完全平方公式的性质，求得其最简形式。

2.因式分解法：将二次函数解析式进行因式分解，得到对应的零点和轴对称线方程。

根据因式分解的结果可以知道解析式的特征。

3.配凑法：变形后的二次函数解析式可以通过配凑使其变为一个完全平方式，然后用完全平方解法求解。

配凑的目的是为了得到一个方便求解的二次函数形式。

4.直接开方法：将二次函数解析式表示为开方形式，通过解方程求出开方后的值，进而求得零点和轴对称线方程。

5.图像法：在坐标系中通过绘制函数图像的方法可以得到二次函数的对称轴、顶点和图像的开口方向。

二次函数解析式的确定2〈一〉三点式。

1， 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。

2， 已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。

〈二〉顶点式。

1， 已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。

2， 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。

〈三〉交点式。

1， 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。

2， 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。

〈四〉定点式。

1， 在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ， 直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。

2， 抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。

3， 抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。

〈五〉平移式。

1， 把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2+k,求此抛物线解析式。

2， 抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.〈六〉距离式。

1， 抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

2， 已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。

〈七〉对称轴式。

1、 抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物线的解析式。

待定系数法求二次函数解析式的十种类型一、 三点型----一般式 y=ax2+bx+c 即已知抛物线经过确定的三点,求其解析式.这时可以设解析式为标准形式y=ax 2+bx+c 然后将三点坐标代入解析式得三元一次方程组,求出a 、b 、c 即得解析式已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。

分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。

故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c.二、交点型----交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 即已知抛物线与X 轴的两个交点的坐标A(x 1 ,0 ) ,B(x 2, 0) 或交点间的距离及对称轴,求抛物线的解析式.这时可以设解析式为y=a(x —x 1)(x — x 2),求出a 即得解析式例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。

分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A （2，-1）。

将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21∴y=21x(x-3),即 y=xx 23212-. 三、顶点型------y=a(x-h)2+k 即已知抛物线的顶点坐标( h, k ),求其解析式.这时可设解析式为顶点形式 y=a ( x—h )2 +k ，求出a 、k 可即得解析式 。

例 3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。

怎样确定二次函数的解析式？确定二次函数的解析式一般采用待定系数法．应根据已知条件的不同特点，适当选取二次函数的一般式、顶点式或交点式，以使计算最简便为宜．（1）已知抛物线上三个点的坐标，最好选用一般式．例1 已知抛物线经过A （0，4），B （1，3）和C （2，6）三点，求二次函数的解析式．.c bx ax y 2++=设二次函数的解析式为规范解法因A 、B 、C 三点在函数的图象上，所以它们的坐标满足函数的解析式．把A 、B 、C 三点的坐标代入所设解析式，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.6c b 2a 4,3c b a ,4c 得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-==.4c ,3b ,2a 解得 .4x 3x 2y 2+-=故所求函数解析式为（2）若已知条件与抛物线的顶点有关，则用顶点式比较恰当．例2 已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函数的解析式．.n )m x (a y 2++=式为设二次函数的解析规范解法.3)2x (a y ,)3,2(2+-=得的坐标代入把顶点.3)23(a 1,)1,3(2+-=得的坐标代入再把点解得a ＝－2．.3)2x (2y 2+--=式为故所求二次函数的解析（3）已知抛物线与x 轴两个交点的坐标，选用交点式比较简便．例3 已知A （2，0），B （－1，0），C （1，－3）三个点在抛物线上，求二次函数的解析式．思路启迪由A 、B 两点的纵坐标为0知，这两点是抛物线与x 轴的交点．规范解法 设二次函数的解析式为),x x )(x x (a y 21--=).1x )(2x (a y ,1x ,2x 21+-=-==得代入把再把点C （1，-3）的坐标代入，得－3＝a （1－2）（1＋1），.23a =解得 ).1x )(2x (23y +-=故所求解析式为点评上述3个例题均可采用二次函数的一般式求解．如例2中的抛物线顶点坐标为（2，3），可以列出两个方程，即 顶点的横坐标22=-a b ， ① 顶点的纵坐标3442=-a b ac ， ②再把点（3，1）的坐标代入c bx ax y ++=2，得9a+3b+c=1③ 把方程①、②、③联立得方程组，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.5c ,8b ,2a.5x 8x 2y 2-+-=故所求解析式为显然，选用一般式解决例2的问题比用顶点式麻烦得多．因此，求二次函数的解析式，根据己知条件选取表达式是关键．例4 已知二次函数的图象经过点A （3，—2）和B （1，0），且对称轴是直线x ＝3．求这个二次函数的解析式．思路启迪一已知对称轴是直线x ＝3，因对称轴经过顶点，所以这是与顶点有关的问题．.h 3)-a(x y 12+=设二次函数的解析式为规范解法把A （3，－2），b （1，0）两点的坐标代入，得⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-.2h ,21a .0h )31(a ,2h )33(a 22解得 .2)3x (21y 2--=故所求解析式为思路启迪二由对称轴是直线x ＝3，且点A 的横坐标是3，知点A （3，—2）是抛物线的顶点，可设解析式为顶点式．23)-a(x y 22-=设二次函数的解析式为规范解法21a ,02)31(a ,)0,1(B 2==--解得得的坐标代入把点.2)3x (21y 2--=故所求解析式为思路启迪三由对称轴是直线x ＝3，可得关于a 、b 的一个方程.3a 2b =-又知图象经过两定点，可设解析式为一般式，.c bx ax y 32++=设二次函数的解析式为规范解法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++=-.0c b a 2c b 3a 9,3a 2b ,得根据题意 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==.25,3,21c b a .25x 3x 21y 2+-=故所求析式为思路启迪四由点B （1，0）的纵坐标是0知，它是抛物线与x 轴的交点，若能求出抛物线与x 轴的另一个交点，即点B 关于对称轴x ＝3的对称点．则可设解析式为交点式．.5m ,32m 1(m,0),B 3x B(1,0) 4==+'=解得则的对称点关于直线设点规范解法)0,5(B 的坐标为所以点' 设二次函数的解析式为y ＝a （x －1）（x －5）．得代入的坐标把点,)2,3(A -a （3－1）（3－5）＝－2，.21a =解得).5x )(1x (21y --=故所求解析式为思路启迪五同解法4得到B′（5，0），就具备了图象过三个定点，可设其解析式为一般式．规范解法5 同解法4，求得点B （1，0）关于对称轴x ＝3的对称点B '（5，0），设二次函数的解析式为.c bx ax y 2++=),2,3(A 0c bx ax 5x ,1x 2-=++==的两根及图象过点是一元二次方程由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+++=+=-.25c ,3b ,21a .2c b 3a 9,51a c ,51a b 解得得.25x 3x 21y 2+-=故所求解析式为点评 例4各解法中以解法2最佳．它体现在对点A （3，—2）是所求抛物线的顶点这一隐含条件挖掘得好．因此，我们在解题过程中既要学会一题多思，一题多解，拓开思路；更要注意寻求合理的解题途径，选好突破口．注 本题还可直接把A 、B 、B′三点坐标代入所设一般式，求a 、b 、c 的值．29．如何利用“抛物线x 轴交点间的距离”求二次函数的解析式？已知抛物线与x 轴两交点间的距离，求二次函数的解析式，一般有下列两种情况：例1 已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4．求二次函数的解析式．思路启迪在已知抛物线与x 轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，－2）的条件，易知其对称轴为x ＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x 轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）． 此时，可随意使用二次函数的一般式或交点式，得二次函数的解析式为.25x 3x 21y 2+-=点评 同一个题目使用不同的方法求解后，应进一步比较分析它们的优缺点，才能不断提高解题水平，求得最简捷的解法．例2 已知二次函数的图象经过⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,0A 和)6,1(--B 两点，且图象与x 轴的两个交点间的距离为4．求二次函数的解析式．思路启迪已知抛物线与x 轴的两个交点间的距离，不知道它的对称轴，情况就比上述问题要复杂得多．利用A 、B 两点的坐标可以确定两个方程，即.6c b a 25c -=+--=和根据待定系数法的要求，必须设法找到第三个方程，才能利用二次函数的一般式求得a 、b 、c 的值．确定第三个方程的思路有二． 规范解法1 因为抛物线与x 轴交点的横坐标是一元二次方程0c bx ax2=++的两个根.x ,x 21方程的求根公式为 ,a 2ac 4b b x 22,1-±-=.4|x x |21=-可列方程即.4a 2ac 4b b a 2ac 4b b 22=-----+-.4a ac 4b 2=-化简得 两边平方，得.16422=-a ac b.a 16ac 4b 22=-∴.,0c b a 25c 得方程组即可求解联立和把这个方程与程=+--=规范解法2 根据一元二次方程根与系数的关系，,16x x ,a b x x 2121=-=+,16)x x (,,4|x x |22121=-=-得两边平方把.16x x 4)x x (21221=-+即.a 16ac 4b ,a c x x ,a b x x 222121=-=-=+得代入并整理把点评以上两种变形方法都应熟练掌握，它们对解决“已知抛物线与x 轴的两个交点间的距离，求二次函数解析式”的问题大有益处．30．怎样求二次函数的最大（小）值？求二次函数的最大值和最小值的问题，有着广泛的应用．求二次函数c bx ax y 2++=的最值，有下面三种方法： （1）公式法．由二次函数c bx ax y 2++=的图象看出，当a>0时，抛物线的开口向上，它的顶点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a 4b ac 4,a 2b 2在最低处．由此可得：当a>0且a 2b x -=时，函数达到最小值，这个最小值就是抛物线顶点的纵坐标，即.a 4b ac 4y 2-=最小当a<0且a 2b x -=时，函数达到最大值，这个最大值就是抛物线顶点的纵坐标，即.a 4b ac 4y 2-=最大 例1 求函数322--=x x y 的最大值或最小值.规范解法 由a=1>0知抛物线开口向上 故当,122a 2b x 时=--=-= .44412a 4b ac 4y 2-=--=-=最小（2）配方法．变形为利用配方法把二次函数c bx ax y 2++=.a 4b ac 4a 2b x a y 22-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.0a 2b x ,x 2≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+则有对任意实数 ,a 4b ac 4y ,a 2b x 0a 2-=-=>最小时当若.a 4b ac 4y ,a 2b x 0a 2-=-=<最大时当若例2 求二次函数25-2x y 2-+=x 的最大值或最小值.规范解法.8945x 2 1x 25x 22x 5x 2y 222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+-= ∵,045,022≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-=x a.89y ,45x ==∴最大时当点评利用公式法与配方法求二次函数的最值时，应根据具体情况，选用恰当的方法．（3）判别式法．所谓“判别式法”就是利用一元二次方程根的判别式ac 4b 2-来求二次函数的最值的方法．例3 求函数232--=x x y 的最大值或最小值. .0)2y (x 32x 2=+--把解析式变形为规范解法.0)2y (24)3(,0ac 4b ,x 22≥+⨯+-≥-即必有判别式为实数因.825y ,-≥得解这个不等式.8252x 3x 2y 2---=的最小值为故函数 点评用“判别式法”求二次函数的最大值或最小值，有时比公式法和配方法更为简便，它不仅可用来求二次函数的最值，还可求更为广泛的一类函数的最值．31．怎样利用二次函数的最值求得其他函数的最值？利用二次函数的最值，可以进一步研究其他一些函数的最值问题．举例如下．例1 求函数22122+--=x x y 的最大值或最小值.思路启迪在函数的解析式中，含有二次三项式,2x 2x 2+-故可构造关于x 的二次函数,2x 2x t 2+-=，先求出其最值，再通过不等式运算求出函数2x 2x 12y 2+--=的最值． .2x 2x t 2+-=令规范解法.11)-(x t ,2+=得配方得两边同加上,2,0t 11<-≤-22x 2x 12y 1,2t 1212<+--=≤<-≤即.2x 2x 12y 2只有最小值显然函数+--=.1y ,1x ==最小时故当例2 求函数322+--=x x y 的最大值或最小值. 思路启迪在函数解析式中，含有关于x 的二次三项式,3x 2x 2+--可构造二次函数2x t -=,3x 2+-通过求二次函数的最值，求得3x 2x y 2+--=的最值．.4)1x (t ,,3x 2-x t 22++-=+-=得配方令规范解法.1x 3x ,03x 2x 2≤≤-≥++-的取值范围是得由当x ＝－1时，∵a＝－1<0， ∴t 有最大值4，即t≤4，从而y≤2． 又∵,0322≥+--x x 当x=1时取“=”号，∴y≥0，综上0≤y≤2． 故函数3x 2x y 2+--=既有最大值，又有最小值．当x ＝－1时，;2y =最大当x ＝1时，.0y =最小注 ①以上两例，都是根据已知函数的特征，构造出一个二次函数，先求出二次函数的最值，再通过不等式的运算求得已知函数的最值．②求函数的最值应先考虑自变量的取值范围．如二次函数c bx ax y 2++=的自变量取值范围是全体实数．再如例1中，因2x 2x 12y ,01)1x (2x 2x 222+--=≠+-=+-故的自变量取值范围也是全体实数，在解题过程中可以不作叙述．但例2中，应限制被开方数,03x 2x 2≥+--所得自变量的取值范围不再是全体实数，而是－3≤x≤1，必须加以明确．因为函数的最值一定是自变量取某一确定值时函数的对应值，如果你所求的函数最值，在自变量的取值范围内找不到确定的值，使它对应的函数值就是这个“最值”，那么表明你所求的连函数值都不是，更谈不上是函数的最值了．所以，求自变量的取值范围是求函数最值不可缺少的步骤．例3 已知x 、y 为实数，且x+y=2，求22xy +的最小值.思路启迪在x 、y 满足一定条件的前提下，求函数22y x +的最值，叫做求函数的条件最值．求条件最值最基本的方法是通过代入消元，把表达式转化为只含有一个自变量的一元二次函数的形式，再利用二次函数的最值求解．.x 2y 2y x -==+解出由代入①，得.442)2(222+-=-+=x x x x t .2)1x (2t ,2+-=得配平方.2y x 22的最小值是故+例4 设，|x －y|＝2求xy 的最小值．思路启迪要想把式子xy 转化为只含有一个未知数，比如只含有x 的式子，就需对，|x －y|＝2分类讨论去绝对值符号，从中解出y ，再代入消元．规范解法 由|x －y|＝2知x≠y，有以下两种情况：①当x>y 时，x －y ＝2，解得y ＝x －2．.1)1x (x 2x )2x (x xy 22--=-=-=∴.1xy ,1x -=有最小值时当.1)1x (x 2x )2x (x xy 22-+=+=+=∴.1xy ,1x --=有最小值时当再从①、②中比较出最小值，才是所求的最小值．由于两种情况下的最小值都是－1，故当x ＝±1时，xy 达到最小值－1．32．解二次函数最值的应用题的方法步骤是什么？解二次函数最值应用题的基本方法，是设法把关于最值的实际问题，转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解．其一般步骤是：（1）利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式；（2）把关系式转化为二次函数的解析式；（3）求二次函数的最大值或最小值．例1 用12米长的木料做成如图13—20所示的矩形窗框（包括中间的十字形），问当长、宽各是多少时，矩形窗框的面积最大?最大的面积是多少?规范解法 设窗框长为x 米，.3x 312米则窗框的宽为-.x 4x 3x 312x y 2+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=矩形窑框的面积为.4)2x (y ,2+--=得配平方).(4y ,)(2x 平方米时米当最大==).(2243x 312,米此时=-=-答：当窗框的长、宽各为2米时，窗框的面积最大，最大的面积是4平方米．例2 已知三角形的两边和为20cm ，这两边的夹角为120°（图13—21）．求它的面积的最大值；当面积最大时，这两边的长各是多少?思路启迪已知三角形两边之和为20cm ，应设其中一边为x cm ，并将这条边上的高用x 表示，即可把该三角形的面积表示为x 的函数．规范解法 在如图13—21所示的△AB C 中，设BC 边的长为xcm ，则AB ＝（20－x ）cm ．过A 作BC 边上的高AD ，与CB 的延长线交于点D ．∵∠ABD＝180°－120°＝60°，.cm )x 20(23AD -=∴).x 20(23x 21y ABC -⋅=∆∴的面积为 .043a .x 35x 43y 2<-=+-=这里即).cm (325434)35(y ,)cm (1043235x 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=有最大值时当 此时20－x ＝10（cm ）．.cm 10,;cm 325:2三角形两边的长各为当面积最大时是这个三角形的最大面积答 例3 快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，航行路线互相垂直．如图13—22．快艇的速度为40千米／小时，轮船的速度是15千米／小时，A 、C 两地间的距离是120千米．问经过多少时间，快艇和轮船的距离最小?（精确到0.1小时）思路启迪设经过t 小时后，快艇和轮船间的距离最小，此时快艇在图13—22所示的B 点位置，轮船在D 点位置．因连结两点以线段最短，故快艇和轮船间的最短距离，就是线段BD 的长．∵快艇速度为40千米／小时，轮船速度为15千米／小时，AC ＝120千米，∴BC＝120－40t ；CD ＝15t ．在Rt△BCD 中，由勾股定理，得即大约经过2.6小时，快艇和轮船间的距离最小．例4某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销路，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）某商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?思路启迪商场所获的利润是由售出的商品数量和这件商品的利润相乘而得到的．如果每件衬衫降价x元，则盈利为（40－x）元，则可多售出2x件衬衫，即每天可售出（20＋2x）件衬衫，从而可求出每天的利润．由于这个关系式是一个二次项系数为负数的二次函数，所以可求出盈利的最大值，规范解法（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意，得（40－x）（20＋2x）＝1200．整理，得.0200302=+-xx20x,10x,21==解这个方程即当降价10元或20元时，由于销售量不同，都可获利1200元．但“为了扩大销售”，“尽快减少库存”可降价20元，每天销售量将增加，符合题中要求．（2）设商场平均每天盈利y元，则.1250)15x(2)x220)(x40(y2+--=+-=即每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，达到1250元．答：若商场平均每天盈利1200元时，每件衬衫应降价10元或20元；每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，达到1250元．点评通过解答上述的几个实际问题，会使我们感觉到数学的美在于它源于实践，用于实践．我们从生产、生活的实践中发现和总结规律，进而能根据客观规律指导实践，解决生产、生活中的一些实际问题．初中数学中的一次函数、二次函数问题是与实际问题联。