抛物线的解析式练习

求二次函数解析式：综合题例1 已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式．分析：本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x轴的交点，因此有更简捷的解法．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，0)．那么显然有∴x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．因此，有ax2+bx＋c=a(x-x1)(x-x2)∴抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (*)(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)我们将(*)称为抛物线的两根式．对于本例利用两根式来解则更为方便．解：∵抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x-1)又∵抛物线过M(0，1)，将x=0，y=1代入上式，解得a=-1∴函数解析式为y=-x2＋1．说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下：①三项条件确定二次函数；②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法；③二次函数的解析式有三种形式：究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定．例2 由右边图象写出二次函数的解析式．分析：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点．解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)．设解析式为y=a(x＋1)2+2∵过原点(0，0)，∴a＋2=0，a=-2．故解析式为y=-2(x+1)2+2，即y=-2x2-4x．说明：已知顶点坐标可以设顶点式．本题也可设成一般式y=ax2+bx＋c，∵过顶点(-1，2)和过原点(0，0)，本题还可以用过点(0，0)，(-2，0)而设解析式为y=a(x+2)·x再将顶点坐标(1，2)代入求出a．例3 根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)．(3)若函数当x＞-2时y随x增大而增大(x＜-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，4)在y轴上截距为-2．分析：(1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个k．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2 解：(1)设y=ax2＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)∴设a=k，b=2k，c=-3k ∵有最小值-8∴解析式y=2x2+4x-6(2)∵图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在x 轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2)，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2．(3)∵函数当x＞-2时y随x增大而增大，当x＜-2时y 随x增大而减小∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n∵过点(2，4)在y轴上截距为-2，即过点(0，-2)说明：题(3)也可设成y=ax2＋bx＋c，得：题(2)充分利用对称性可简化计算．例4 已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x=-1，因此又可以找顶点坐标为(-1，±2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一，下面分别介绍几种解法．解法(一)：∵抛物线的对称轴是x=-1，顶点M到x轴距离为2，∴顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)．故设二次函数式y=a(x＋1)2＋2或y=a(x+1)2-2又∵抛物线经过点A(-3，0)∴0=a(-3＋1)2＋2或0=a(-3＋1)2-2所求函数式是解法(二)：根据题意：设函数解析式为y=ax2＋bx＋c ∵点A(-3，0)在抛物线上∴0=9a-3b＋c ①又∵对称轴是x=-1∵顶点M到x轴的距离为2解由①，②，③组成的方程组：∴所求函数的解析式是：解法(三)：∵抛物线的对称轴是x=-1又∵图象经过点A(-3，0)∴点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)∴设函数式为y=a(x+3)(x-1)把抛物线的顶点M的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得2=a(-1＋3)(-1-1)或-2=a(-1＋3)(-1-1)解关于a的方程，得∴所求函数式为：说明：比较以上三种解法，可以看出解法(一)和解法(三)比解法(二)简便．M点到x轴的距离为2，纵坐标可以是2，也可以是-2，不要漏掉一解．例5 已知抛物线y=x2-6x＋m与x轴有两个不同的交点A 和B，以AB为直径作⊙C，(1)求圆心C的坐标．(2)是否存在实数m，使抛物线的顶点在⊙C上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．分析：(1)根据抛物线的对称性，由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点．(2)依据圆与抛物线的对称性知，抛物线的顶点是否在⊙C上，需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于⊙C的半径长，依据这个条件，列出关于m的方程，求出m值后再由已知条件做出判断．解：(1)∵y=x2-6x＋m=(x-3)2+m-9∴抛物线的对称轴为直线x=3∵抛物线与x轴交于A和B两点，且AB是⊙C的直径，由抛物线的对称性∴圆心C的坐标为(3，0)(2)∵抛物线与x轴有两个不同交点∴△=(-b)2-4m＞0，∴m＜9设A(x1，0)，B(x2，0)∵抛物线的顶点为P(3，m-9)解得：m=8或m=9∵m＜9，∴m=9舍去∴m＝8∴当m=8时，抛物线的顶点在⊙C上．说明“存在性”问题是探索性问题的主要形式．解答这类问题的基本思路是：假设“存在”—→演绎推理—→得出结论(合理或矛盾)．例6 已知抛物线y=ax2＋bx＋c，其顶点在x轴的上方，它与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A及点B(6，0)．又知方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根平方和等于40．(1)求抛物线的解析式；(2)试问：在此抛物线上是否存在一点P，在x轴上方且使S△PAB=2S△CAB．如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．分析：求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式，通过解方程组求出系数也就得到解析式．第(2)问中问是否存在那么假设存在进行推理，从而判断存在或不存在．解：(1)由题设条件得∴抛物线顶点为(2，4)．又A点坐标为(-2，0)，而△ABC与△PAB同底，且当P点位于抛物线顶点时，△PAB面积最大．显然，S△PAB=16＜2S△ABC=2×12=24．故在x轴上方的抛物线上不存在点P使S△PAB=2S△CAB．例7 在一块底边长为a，高为h的三角形的铁板ABC上，要截出一块矩形铁板EFGH，使它的一边FG在BC边上，矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大．分析：问题问“矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大”，所以题目的目标是矩形面积(S)而自变量就是EF的长(x)，因此问题的关键就是用EF(x)表示矩形面积S，这就要用EF表示出EH．解：设内接矩形EFGH中，AM⊥BC，∵EH∥BC，设EF=x(0＜x＜h)则AN=h-x设矩形EFGH的面积为S说明：解决联系实际的问题，又与几何图形有关就应综合应用几何、代数知识，利用相似成比例列出函数式再求最值．例8 二次函数y=ax2＋bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，(1)求二次函数的解析式；(2)求原点O到直线AB的距离．分析：为直线x=3，来求系数a，b．注意根与系数关系定理的充分应用．为求原点O到直线AB的距离要充分利用三角形特征和勾股定理．解： (1)如图，由已知，有∴(x1+x2)2-2x1x2=26，∴a=-1．∴解析式为y=-x2＋6x-5=-(x-3)2＋4．(2)∵OB=5，OC=4，AC=3，∴△AOB为等腰三角形，作OD⊥AB于D，说明：有部分学生把二次函数的顶点坐标记错，也有的学生不会用“根与系数的关系”，得不出解析式．有不少学生没有发现△AOB是等腰三角形，若发现为等腰三角形，OD 是底边AB的高，利用勾股定理就迎刃而解了．发生错误的原因，没记熟抛物线的顶点坐标公式，有的学生记下来了，但与两个根如何综合使用发生了问题，有些学生求点O到直线AB的距离，没有分析出图形与数量关系，其实△AOB是等腰三角形，知道这一性质求OD的数据就方便多了．纠正错误的办法，加强抛物线顶点坐标的学习、顶点坐标与巧用“根与系数的关系”的学习；另外，也要加强寻找特殊点的学习．一般说，无论多难的题目，总是有解题规律的．在几何图形中，经过认真分析，有的题目总含等边三角形、等腰三角形、直角三角形．例9 设A，B为抛物线y=-3x2-2x＋k与x轴的两个相异交点，M为抛物线的顶点，当△MAB为等腰直角三角形时，求k的值．分析：首先按题意画出图形，再运用抛物线的对称性挖掘题中的隐含条件，来解答本题，得出解后要分析解的合理性进行取舍．解：∵抛物线与x轴有两个相异交点，故△＞0，即(-2)2-4·(-3)k＞0，解关于k的不等式，得根据题意，作出图象，如图设N为对称轴与x轴的交点，由抛物线的对称性知，N 为AB中点．∵∠AMB＝Rt∠，且MN的长即为M点的纵坐标，又设A点坐标(x1，0)，B点坐标(x2，0)，则有解关于k的方程，得∴k＝0．说明：本题有一个重要的隐含条件，即要使抛物线与x 轴有两个相异交点，应首先满足△＞0．(2)本题要求学生会运用抛物线的对称性观察图形，联想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个重要定理，找到等量关系，列出关于k的方程，如果没有这种灵活运用定理的能力，将得不到关于k的方程，难以求解．例10 某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每提价1元(每件)，日销售量就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少时，才能使每天获得的利润最大？每天的最大利润是多少？分析：此题主要涉及两个量，即售出价和每天获得的利润．而每天获得的利润是随着售出价的改变而改变的，所以要找到二者的函数关系式，应把售出价设为自变量，把每天获得的利润看作是售出价的函数．这样，再根据已知条件，就可列出二者的函数关系式．解：设该商品的售出价定为x元／件时，每天可获得y 元的利润．即每件提价(x-20)(元)，每天销售量减少10(x-20)(件)，也就是每天销售量为[100-10(x-20)](件)，每件利润(x-18)(元)根据题意，得：y＝(x-18)[100-(x-20)×10]=-10x2+480x-5400=-10(x-24)2+360．(20≤x≤30)y是x的二次函数∵a=-10＜0，20≤24≤30∴当x=24时，y有最大值为360．答：每件售出价为24元时，才能使每天获得的利润最大，每天的最大利润是360元．例11 改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点F到A 点的距离是多少？分析：要求点F到A点的距离，也就是求A、F两点横坐标的差．又A点横坐标为0，所以只需求出F点横坐标．F 点在抛物线上是抛物线与x轴的交点，所以要根据已知条件，求出抛物线的解析式．解：过C点作CD⊥Ox于D，BE⊥CD于E，则有CE=BE ＝2，AB=DE=1.5，则B(0，1.5)，C(2，3.5)．∵C为抛物线的最高点，例12 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图．地导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米(即图中E点)．(1)若导弹运行轨道为一抛物线，求抛物线的解析式；(2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由．分析：题中的实际条件转化成数学意义就是已知抛物线的顶点E，而且过点D求抛物线的解析式以及判断C是否在曲线上．解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3(2)设C(x0，y0)，过C点作CB⊥Ox，垂足为B．在Rt△OBC 和Rt△ABC中，OA=1，例13 已知函数y1=-x2+b1x+c1与x轴相交于原点O(0，0)和点A(4，0)，若函数y2=-x2+b2x+c2，(b1≠b2)也经过点A，且y1与y2的顶点所在直线平行于x轴．(1)求两个函数的解析式．(2)当x为何值时，y1＜y2．分析：解答第(1)题的关键是求y2的解析式，由题意可知a1=a2=-1，因此可以判断两条抛物线的形状和开口方向都相同，再利用y1与y2的顶点所在直线平行于x轴，可判断出y1和y2在x轴上截得的线段长相等，从而求出y2与x轴另一个交点B(8，0)，由A，B点都是抛物线与x轴交点，可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)形式解：(1)∵y1=-x2+b1x+c1过点O(0，0)，A(4，0)∴0=0＋0＋c1 ∴c1=00=-16+4b1+0 ∴b1=4∴函数y1=-x2+4x∵a1=a2=-1∴两条抛物线的形状，开口方向相同．又∵y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等∵b1≠b2，y1与y2都经过A(4，0)点∴y2与x轴的另一个交点是点B(8，0)y2=-(x-4)(x-8)=-x2＋12x-32注：以上求y2的解析式是采用数、形结合的方法，进行推理得到的，此外，也可用计算方法求到b2和c2，然后写出y2的解析式，具体解法如下：∵y1的顶点是(2，4)y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等，y2又过点A(4，0)∵b1=4，而b1≠b2 ∴b′2=4(舍去)∴y2=-x2+12x-32解：(2)若要使y1＜y2只要使-x2+4x＜-x2+12x-32即可解不等式，得x＞4∴当x＞4时，y1＜y2例14 m是怎样的数值时，二次函数y＝(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．分析：二次函数的图象与x轴的负方向交于两个不同点的条件是二次项系数不为零，判别式大于零，两根之和小于零，两根之积大于0．(所谓两根是这个函数对应的一元二次方程的两根)解：设二次函数与x轴两交点的横坐标为x1，x2．要使它的图象与x轴两交点都在x轴的负方向上，应满足不等式组：解得1＜m＜2．答：当1＜m＜2时，二次函数y=(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．对二次函数式中的m不知代表什么，也无从下手求m．当抛物线与x轴相交时，y=0，两个交点的横标即为方程的两个根，两个根在原点的左方，列不出算式，不知道列出这种算式与“根与系数的关系”有关．总之有不少学生没有掌握二次函数与一元二次方程的内在联系而解题失败．发生错误的原因，不知道在一元二次函数式中的m其实质是参数．一元二次方程的根在直角坐标系x轴上的分布理论如何表达，许多学生不清楚．解不等式功底不深厚也会发生错误．纠正错误的办法，加强一元二次函数式的学习，m属于实数，任给m一个数值，就存在一条具体数值的抛物线，给出m的数值是无穷的，随着m值的不同也产生了不同的抛物线，可用“抛物线族”这个名词去表达本题的一元二次函数表达式所勾勒的抛物线是无穷无尽的．另外也要加强方程理论、根与系数关系、根的判别式的学习．例15 已知抛物线l：y=x2-(k-2)x+(k+1)2．(1)证明：不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2＋12x＋9上；(2)要使抛物线y=x2-(k-2)x＋(k＋1)2和x轴有两个不同的交点A，B，求k的取值范围；(3)当(2)中的A，B间距离取得最大值时，设这条抛物线顶点为C，求此时的k值和∠ACB的度数．分析：把l的顶点坐标用k的代数式表示分别代入y=3x2+12x+9的左、右后能使两边相等说明顶点在抛物线y=3x2+12x+9上．抛物线与x轴交点的情况就是相应一元二次方程有无实根的情况．AB间距离又可列出反的二次函数．解：∴左边=右边，所以不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y＝3x2+12x+9上．(2)欲使抛物线l与x轴有两个交点，则△＞0，即△=[-(k-2)]2-4(k+1)2=-3k2-12k＞0，解之，-4＜k＜0．(3)当-4＜k＜0时，抛物线l与x轴有两个不同的交点A，B，设A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＞x2，x1＋x2＝k-2，x1x2＝(k＋1)2，说明：不明白“不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2+12x+9”上这句话的意思，实质上就是方程与曲线的关系，点在曲线上，即点的坐标满足曲线的方程；将抛物线顶点坐标的表达式代入抛物线函数式左右相等，即达到(1)提问；不知道抛物线与x轴相交，是△＞0，无法运算而失败；不知道用“根与系数的关系”以及截距公式，不会巧用“根与系数的关系”，求不出最大值，因而求不出y=ax2＋bx＋c(a≠0)的a，b，c，使该题后面的提问无法进行；在x轴与抛物线顶点所构造出的三角形中，求边长时没有绝对值的概念、正切函数值不熟悉而求不出∠ACB=60°．发生错误的原因，本题是综合题，而且是中考的考题，要顺利而正确地回答出本题所有答案，从初一至初三所学的数学知识应该牢固掌握，第一问求出抛物线顶点坐标表达式，将表达式代入(1)的函数式，若相等，即满足了函数式的要求，按初中阶段属于验根的手段，按高中就是曲线与方程的关系了．这个不难的问题为什么学生束手无策呢？只是用文字表示了顶点坐标，很抽象，不易理解．本题的难度之一是出现了“k”，这个“k”其本质起到了参数作用．有些精品文档。

求抛物线的解析式1（2011龙东五市）已知：抛物线与直线y=x+3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点A和点C，且抛物线的对称轴为直线x=－2。

（1）求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标。

（2）试确定抛物线的解析式。

2.（2011鸡西、绥化，齐齐哈尔）已知：二次函数y=43x²+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，–49）. （1）求此二次函数的解析式.注：二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=－ab2.3.如图，抛物线y=x2+bx+c经过A(－1，O)，B(4，5)两点，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；4已知抛物线2y ax bx=+经过点(33)A--，和点P （t，0），且t ≠ 0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；xyoACB-2①、25（2009年重庆市江津区）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式； .3.如图，已知抛物线经过定点．．A （1，0），它的顶点P 是y 轴正半轴上的一个动点．．，P 点关于x 轴的对称点为P′，过P′ 作x 轴的平行线交抛物线于B 、D 两点（B 点在y 轴右侧），直线BA 交y 轴于C 点．按从特殊到一般的规律探究线段CA 与CB 的比值：（1）当P 点坐标为（0，1）时，写出抛的解析式.4如图已知抛物线23233y x x =-++与x 轴的两个交点为A B 、，与y 轴交于点C ． （1）求A B C ，，三点的坐标；xyB A'P P 1OCD... . . . AO P xy- 3 - 3ABC5如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D .（1）写出h k 、的值；（2）判断ACD △的形状，并说明理由；.6 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请专题三（省2012中考展望1如图，抛物线y ＝12x 2－x ＋a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y ＝－2x 上．第25题图A BCO xy（1）求a的值；（2）求A，B的坐标；（3）以AC，CB为一组邻边作□ACBD，则点D关于x轴的对称点D′ 是否在该抛物线上？请说明理由．2.已知二次函数y = -12x2-x +32.（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y ＜0时，x的取值范围；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．3.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若抛物线cxxy+--=22经过点A。

第七讲 抛物线A 组基础巩固一、选择题1．(2021·某某某某质检)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点M (2，m )满足|MF |＝6，则抛物线C 的方程为( D )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝16x[解析]设抛物线的准线为l ，作MM ′⊥直线l 于点M ′，交y 轴于M ″，由抛物线的定义可得：MM ′＝MF ＝6，结合x M ＝2可知：M ′M ″＝6－2＝4，即p2＝4，∴2p ＝16，据此可知抛物线的方程为：y 2＝16x .选D ．2．(理)(2021·某某皖南八校联考)已知双曲线y 2a2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，且焦距为26，则抛物线y 2＝2bx 的准线方程为( B )A ．x ＝－3B ．x ＝－32 C ．y ＝－3D ．y ＝－32(文)(2021·某某某某期末)抛物线y ＝4x 2的准线方程是( A ) A ．y ＝－116B ．y ＝116C ．x ＝1D ．x ＝－1[解析](理)由题意a 2＝b 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2622＝3，∴b ＝3.∴抛物线y 2＝2bx 的准线方程为x ＝－32.故选B ．(文)抛物线标准方程为x 2＝14y ，∴p ＝18，∴准线方程为y ＝－p 2，即y ＝－116，故选A ．3．(2021·某某八校联考)斜率为33的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，若直线l 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝4相切，则p ＝( A )A ．12B ．8C ．10D ．6 [解析]抛笔线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 直线l 的方程为3y ＝x －p2，又直线l 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝4相切，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－p 23＋1＝2，解得p ＝12，故选A ．4．(2020·)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( B )A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP[解析]由抛物线定义知|PQ |＝|PF |，∴FQ 的垂直平分线必过P ，故选B ．5．(2021·某某某某一中调研)已知F 为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 为C 上一点，且|MF |＝4，则M 到x 轴的距离为( A )A ．4B ．4 2C ．8D ．16[解析]设M (x 1，y 1)，由抛物线性质得：x 1＝4－2＝2，∴y 21＝8·2＝16⇒|y 1|＝4，故M 到x 的距离为4，故选A ．6．(2021·某某某某模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点M (x 0，y 0)在抛物线C 上，若|MF |＝4，则( C )A ．x 0＝5B ．y 0＝23C ．|OM |＝21D ．F 的坐标为(0,1)[解析]由题可知F (1,0)，由|MF |＝x 0＋1，所以x 0＝3，y 20＝12，|OM |＝x 20＋y 20＝9＋12＝21.故选C ．7．(2021·某某某某质检)已知点A 在圆(x －2)2＋y 2＝1上，点B 在抛物线y 2＝8x 上，则|AB |的最小值为( A )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析]由题得圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，半径为1. 抛物线y 2＝8x 的焦点C (2,0)， 则|BC |＝x －22＋y 2＝x －22＋8x ＝x ＋2，∴|BC |min ＝2，∴|AB |min ＝2－1＝1，故选A ．8．(2021·某某某某统测)抛物线方程为x 2＝4y ，动点P 的坐标为(1，t )，若过P 点可以作直线与抛物线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则直线AB 的斜率为( A )A ．12B ．－12C ．2D ．－2[解析]设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝4y 1x 22＝4y 2，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝4(y 1－y 2)， 所以k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝12，故选A ．9．(2021·某某高邮一中检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (3,23)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF ||FM |等于( B )A ．1 2B ．1 3C ．14 D ．13[解析]∵F (1,0)，∴k l ＝23－03－1＝3，∴l ：y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝3x －1解得x N ＝13，x M ＝3，∴|NF ||FM |＝13＋13＋1＝13.故选B ． 10．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( D )A ．34B ．32C ．1D ．2[解析]如图F 为抛物线的焦点，则|FA |＋|FB |≥|AB |＝6(当且仅当A 、F 、B 共线时取等号)， 即y A ＋y B ＋2≥6，∴y A ＋y B2≥2，故选D ．11．(2021·某某某某期末改编)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，点P 在l 上的射影为P 1，则下列结论错误的是( D )A ．若x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝8B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设M (0,1)，则|PM |＋|PP 1|≥2D ．过点M (0,1)与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条[解析]对于选项A ，因为p ＝2，所以x 1＋x 2＋2＝|PQ |，则|PQ |＝8，故A 正确；对于选项B ，设N 为PQ 中点，设点N 在l 上的射影为N 1，点Q 在l 上的射影为Q 1，则由梯形性质可得NN 1＝PP 1＋QQ 12＝PF ＋QF 2＝PQ2，故B 正确；对于选项C ，因为F (1,0)，所以|PM |＋|PP 1|＝|PM |＋|PF |≥|MF |＝2，故C 正确；对于选项D ，显然直线x ＝0，y ＝1与抛物线只有一个公共点，设过M 的直线为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1y 2＝4x，可得k 2x 2＋(2k－4)x ＋1＝0，令Δ＝0，则k ＝1，所以直线y ＝x ＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D 错误；故选D ．二、填空题12．(2020·某某)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝163.[解析]由题意可得抛物线焦点F (1,0)， 直线l 的方程为y ＝3(x －1)，代入y 2＝4x 并化简得3x 2－10x ＋3＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163.13．(2021·某某某某质检)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)，线段FA 与抛物线交于点B ，且FB →＝2BA →，则|BF |9[解析]由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，又A (0,2)，且FB →＝2BA →，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 6，43，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2p ·p 6，解得p＝433，∴|BF |＝p 6＋p 2＝2p 3＝839.14．(2021·某某调研改编)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则__②③④__. ①|BF |＝3②△ABF 是等边三角形 ③点F 到准线的距离为3 ④抛物线C 的方程为y 2＝6x[解析]如图，由题意知|AB |＝2|FH |＝2p ，∴x A ＝3p2，从而y A ＝3p ，又S △ABF ＝12|AB |·y A ＝3p 2＝93，∴p ＝3，∴C 的方程为y 2＝6x ，④正确，③正确， ∴|BF |＝|AF |＝3p 2＋p2＝2p ＝6，①错，又|AB |＝2p ＝6，∴△ABF 为等边三角形， ∴②正确，故答案为②③④. 三、解答题15．(2021·某某某某部分示X 高中协作体联考)如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若直线PA 和PB 的倾斜角互补，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． [解析](1)设抛物线解析式为y 2＝2px ， 把(1,2)的坐标代入得p ＝2，∴抛物线解析式为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. (2)∵直线PA 和PB 的倾斜角互补， ∴k PA ＋k PB ＝0， ∴y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝y 1－2y 214－1＋y 2－2y 224－1＝0，∴1y 1＋2＋1y 2＋2＝0，∴y 1＋y 2＝－4，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝4y 2＋y 1＝－1.16．已知动点P 到定直线l ：x ＝－2的距离比到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离大32. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(3)过点D (2,0)的直线交轨迹C 于A ，B 两点，直线OA ，OB 分别交直线l 于点M ，N ，证明以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值，并求出此定值．[解析](1)解法一：设点P 的坐标为(x ，y )，因为定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在定直线l ：x ＝－2的右侧，且动点P 到定直线l ：x ＝－2的距离比到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离大32，所以x >－2且⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝|x ＋2|－32，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝x ＋12，即y 2＝2x ，∴轨迹C 的方程为y 2＝2x .解法二：由题意可知动点P 到直线l ′：x ＝－12的距离与到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离相等，∴轨迹C 是以F 为焦点l ′为准线的抛物线，显然p 2＝12，即p ＝1，∴轨迹C 的方程为y 2＝2x . (2)证明：设A (2t 21，2t 1)，B (2t 22，2t 2)(t ·t 2≠0)， 则DA →＝(2t 21－2,2t 1)，DB →＝(2t 22－2,2t 2)． ∵A ，D ，B 三点共线，∴2t 2(2t 21－2)＝2t 1(2t 22－2)，∴(t 1－t 2)(t 1t 2＋1)＝0， 又t 1≠t 2，∴t 1t 2＝－1，直线OA 的方程为y ＝1t 1x ，令x ＝－2，得M (－2，－2t 1)．同理，可得N ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－2t 2.所以以MN 为直径的圆的方程为(x ＋2)(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2t 2＝0，即(x ＋2)2＋y 2＋2×t 1＋t 2t 1t 2＋4t 1t 2＝0.将t 1t 2＝－1代入上式，可得(x ＋2)2＋y 2－2(t 1＋t 2)y －4＝0， 令y ＝0，得x ＝0或x ＝－4，故以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值4.B 组能力提升1．(2021·某某某某一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( D )A ．2512 mB ．256 mC ．95 mD ．185m[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的解析式为x 2＝－2py (p >0)，∵抛物线过点(6，－5)，∴36＝10p ，可得p ＝185，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m ，故选D ．2．(2021·某某适应性考试)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线l ：x －y －2＝0对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为( A )A ．(1，－1)B ．(2,0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32D ．(1,1)[解析]因为焦点到准线的距离为p ，则p ＝1， 所以y 2＝2x .设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2x 1y 22＝2x 2，则(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2(x 1－x 2)，∴k PQ ＝2y 1＋y 2，又∵P ，Q 关于直线l 对称．∴k PQ ＝－1，即y 1＋y 2＝－2，∴y 1＋y 22＝－1，又∵PQ 的中点一定在直线l 上， ∴x 1＋x 22＝y 1＋y 22＋2＝1.∴线段PQ 的中点坐标为(1，－1)．故选：A ．3．(2021·某某师大附中月考)如图所示，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值X 围是( C )A ．(2,6)B ．(6,8)C ．(8,12)D ．(10,14)[解析]抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)，由抛物线定义可得|AF |＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，∴三角形FAB 的周长为|AF |＋|AB |＋|BF |＝(x A ＋2)＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，则x B ∈(2,6)，所以6＋x B ∈(8,12)，故选C ．4．(2021·某某、某某调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( C )A ．5B ．6C ．163D ．203[解析]如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.故选C ．另解：因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.故选C ．5．(2021·某某省某某市期末)如图，已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，|MN |＝16.(1)求抛物线C 的方程；(2)试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析](1)当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1， ∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，∴l 的方程为y ＝x －p 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得x 2－3px ＋p 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ，∴|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝16, p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)假设满足条件的点P 存在，设P (a,0)，由(1)知F (2,0)，①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， Δ＝(4k 2＋8)2－4·k 2·4k 2＝64k 2＋64>0，x 1＋x 2＝4k 2＋8k2，x 1x 2＝4. ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称，∴k PM ＋k PN ＝0，k PM ＝k x 1－2x 1－a ，k PN ＝k x 2－2x 2－a .∴k (x 1－2)(x 2－a )＋k (x 2－2)(x 1－a )＝k [2x 1x 2－(a ＋2)(x 1＋x 2)＋4a ]＝－8a ＋2k ＝0，∴a ＝－2时，此时P (－2,0)．②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可．综上，存在唯一的点P(－2,0)，使直线PM，PN关于x轴对称．。

三桥橘子郡初三数学二次函数解析式专练
第 1 页 共 1 页 求抛物线解析式常用的三种方法：
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为_______________________（一般式）
2、已知抛物线顶点坐标（m, k ），通常设抛物线解析式为______________________（顶点式）
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为____________________
（交点式或两根式）
根据下列条件求y 关于x 的二次函数的解析式：
1.已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。

2、已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－2）。

3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3,并且经过点(6,0)和(2,12)
4.图象过点（0，－2）、（1，2），且对称轴为直线
5.图象经过（0，1）、（1，0）、（3，0）．
6.当x ＝3时，y 最小值＝－1，且图象过（0，7）
7.抛物线顶点坐标为（－1，－2），且过点（1，10）
8. 已知二次函数y=x2+bx+c 的顶点坐标（1，-2），求b ，c 的值
9. 已知二次函数y=x2+4x+c 的顶点坐标在x 轴上，求c 的值
10. 已知二次函数y=x2+4x+c 的顶点坐标在直线y=2x+1上，求c 的值
32x y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-m)2+k(a≠0) y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)。