二次根式常见题型

二次根式考试题型汇总二次根式题型一：二次根式的定义例1、（1）求自然数n的值，使得18-n是整数。

2）当x≥-1时，求式子√(x+1)+√(1-x)的值。

题型二：二次根式有意义的条件例2、当x>-1时，二次根式√(x+1)有意义。

例3、已知x、y为实数，y=√(y^2+8y+16-3xy)，求y的值。

例4、已知y=√(x-3)+3-√(x+4)，求x的值使得有意义。

题型三：二次根式的性质与化简例5、已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：化简(1/(a+3))^2-(1/(b-23))^2.例6、计算(1/(x-1))-((1-x)/(x-1)(x+1))。

已知a、b、c为正数，d为负数，化简(ab-c^2d^2)/(ab+cd)^2.例7、化简求值：1）(a^2-a+b)/((c-a)^2+b+c)；2) 11/[(2-1)/(2+1)+(2-1-√2)/(2-1+√2)]；3）若x<y<z，则x^2-2xy+y^2+z^2-2yz+xz；4）[(x-1)^2+4-(x+1)^2]/(x^2-1)；5）化简(a<0)得-1/(a)。

6）当a<0，b<0时，-a+2ab-b可变形为(a-b)^2.题型四：最简二次根式例8、下列式子中，属于最简二次根式的是9，而1/√3和√(9+x^2)都不是最简二次根式。

题型五：二次根式的乘除法例9、已知m=(3/3-2)(3/3+2-1)，则有-5<m<-4.例10、计算：1）(5-3+2)(5-3-2)；2) (a+3b)/(a+b)-(a-b)/(a+2b)；3）(a^2/n-m^2/mn+n)/(a^2b^2)；4）(a+b)/(ab+b-a)/(ab-a).a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)2013答案解析：a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)2013解析：a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)20131.求解x的值：$$\frac{x+a}{x^2+a^2}+\frac{2x-x^2+a^2}{x^2-a^2}+\frac{1}{x^2+a^2/2}$$2.若x，y为实数，且$y=1-4x+4x^{-1}+x^{-2}$，求$\frac{x+y}{y+x^2}-2\frac{y}{yx^2}$的值。

初中数学二次根式精选试题一.选择题1. （2018·湖南怀化·4分）使有意义的x的取值范围是（）A．x≤3B．x＜3 C．x≥3D．x＞3【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式.求出x 的取值范围即可．【解答】解：∵式子有意义.∴x﹣3≥0.解得x≥3．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件.熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．2.（2018•江苏宿迁•3分）若实数m、n满足.且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长.则△ABC的周长是（）A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】B【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值.再分情况讨论：①若腰为2.底为4.由三角形两边之和大于第三边.舍去；②若腰为4.底为2.再由三角形周长公式计算即可.【详解】由题意得：m-2=0.n-4=0.∴m=2.n=4.又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长.①若腰为2.底为4.此时不能构成三角形.舍去.②若腰为4.底为2.则周长为：4+4+2=10.故选B.【点睛】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质.根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.3.（2018•江苏无锡•3分）下列等式正确的是（）A．（）2=3 B．=﹣3 C．=3 D．（﹣）2=﹣3【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简.判断即可．【解答】解：（）2=3.A正确；=3.B错误；==3.C错误；（﹣）2=3.D错误；故选：A．【点评】本题考查的是二次根式的化简.掌握二次根式的性质：=|a|是解题的关键．4.（2018•江苏苏州•3分）若在实数范围内有意义.则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式.解不等式.把解集在数轴上表示即可．【解答】解：由题意得x+2≥0.解得x≥﹣2．故选：D．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件.掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．5.（2018•山东聊城市•3分）下列计算正确的是（）A．3﹣2=B．•（÷）=C．（﹣）÷=2D．﹣3=【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得．【解答】解：A.3与﹣2不是同类二次根式.不能合并.此选项错误；B.•（÷）=•==.此选项正确；C.（﹣）÷=（5﹣）÷=5﹣.此选项错误；D.﹣3=﹣2=﹣.此选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算.解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则．6．（2018•上海•4分）下列计算﹣的结果是（）A．4 B．3 C．2D．【分析】先化简.再合并同类项即可求解．【解答】解：﹣=3﹣=2．故选：C．【点评】考查了二次根式的加减法.关键是熟练掌握二次根式的加减法法则：二次根式相加减.先把各个二次根式化成最简二次根式.再把被开方数相同的二次根式进行合并.合并方法为系数相加减.根式不变．7. （2018•达州•3分）二次根式中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2【分析】根据被开方数是非负数.可得答案．【解答】解：由题意.得2x+4≥0.解得x≥﹣2.故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件.利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键.8. （2018•杭州•3分）下列计算正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【考点】二次根式的性质与化简【解析】【解答】解：AB.∵.因此A符合题意；B不符合题意；CD.∵.因此C.D不符合题意；故答案为：A【分析】根据二次根式的性质.对各选项逐一判断即可。

专题01 二次根式化简的四种题型全攻略类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式例．= ）A ．1x ³B ．1x ³-C ．1x ³或1x £-D ．1x ¹±【变式训练1】已知m ，n 为实数，且3n -==________．【详解】依题意可得m -2≥0且2-m ≥0，∴m =2，∴n -3=0∴n =3，=．【变式训练2】已知a ，b ，c 是ABC V ||0b c -=ABC V 的形状是_______．A ．3x >B ．3x ³C ．3x <D ．3x £等腰三角形周长．【答案】17【详解】解：由题意得：3030a a -³ìí-³î，解得：a =3，则b =7，若c =a =3时，3+3＜7，不能构成三角形．若c =b =7，此时周长为17．类型二、利用数轴化简二次根式例．实数a b c ，，在数轴上的对应点如图所示，化简a b -+-A ．b c--B ．c b - C ．222b c -+D ．2b c ++【答案】A 【详解】解：由数轴知：00c b a ＜，＜＜，∴0b a -＜，∴原式＝a b a c----（）＝a b a c--+-＝b c --．故选：A ．【变式训练1】已知实数m n、||m n+＝_____A．2a b-+B．2a b-C．b-D．b【答案】A【解析】根据数轴上点的位置得：a＜0＜b，∴a-b＜0，则原式=|a|+|a-b|=-a+b-a= -2a+b．故选：A．【变式训练3】已知实数a、b、c．【变式训练4】如图，a ，b ，c 是数轴上三个点A 、B 、C 所对应的实数．试化简：c +．类型三、利用字母的取值范围化简二次根式例1．已知，化简：25m -<<5-=__________．【答案】23m -##32m-+A B C ．D ．【变式训练2】若35x <<+=_______；【答案】0【解析】由题意可知：3-x ≥0，∴2=3x -=33x x ---=33x x -+-=0故答案为：0．【变式训练4】7=-b .(1)求a 的值；(2)若a 、b 分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，求另一条直角边的长度.类型四、双重二次根式的化简例.阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一==1===以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1；（2（2【变式训练1】阅读理解“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法7==+设x =-，>故0x >，由22x =33=+-2=解得x -=【答案】5-【详解】解：设x=>∴0x<∴266x=--+，∴212236x=-´=，∴x=5=-，∴原式55=--=-【变式训练2】先阅读材料，然后回答问题．（1经过思考，小张解决这个问题的过程如下：=①===④在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简由于437+=，4312´=，即：227+=， =2====问题：（1=__________=____________﹔（2a ，b （a b >），使a b m +=，ab n =，即22m +=那么便有：=__________．（3（请写出化简过程）【答案】（11+（2)a b ±>；（3【详解】解：（11===+；)a b >；【变式训练4】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如(231+=，善于思考的小明进行了以下探索：设()2a m =（其中a 、b 、m 、n 均为正整数），则有222a m n =++，∴a ＝m 2+2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把部分a 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若()2a m +=+，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a ＝ ，b ＝ ；（2）若()2a m +=，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值；（3．课后作业120-=，那么这个等腰三角形的周长为（ ）A ．8B ．10C ．8或10D ．9【答案】B【详解】解：20-=∴40a -=，20b -=，解得4a =，2b =当腰长为2，底边为4时，∵224+=，不满足三角形三边条件，不符合题意；当腰长为4，底边为2时，∵2464+=>，4402-=<，满足三角形三边条件，此时等腰三角形的周长为44210++=．故选：B2．化简二次根式- ）A B C ．D ．【答案】AA ．2b c-B ．2b a -C ．2a b --D ．2c b-6．已知x、y为实数，4y+，则x y的值等于______．8a b =+．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果．．解：设24+=（a ，b 为非负有理数），则4a b +=++∴43a b ab +=ìí=î①②由①得，4b a =-，代入②得：()43a a -=，解得11a =，23a =∴13b =，21b =∴224(1+==1==请根据以上阅读理解，解决下列问题：(1)__________；(2)(3)的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c＝，d＝c d（填写＞，＜或者＝）．(2)猜想m＝n＝+(3)＝（直接写出答案）．10．（1）已知a 、b 4b =+，求a 、b 的值．（2）已知实数a 满足2021a =，求22021a -的值．。

二次根式专项练习附答案(共6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1、已知，为实数，且，求的值．2、若的整数部分为，小数部分为，求的值.3、.4、阅读下列解题过程：，，请回答下列回题：（1）观察上面的解答过程，请直接写出=﹣；（2）根据上面的解法，请化简：．5、数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：．6、使有意义的的取值范围是．7、若x，y为实数，且y=4++，则y﹣x的值是．8、当x时，二次根式在实数范围内有意义．9、方程：的解是 .10、若代数式有意义，则的取值范围为__________．11、若，则的值为．12、比较大小：；13、若+有意义，则=14、已知xy＝3，那么的值为_________．15、把根号外的因式移到根号内：＝ .16、已知a，b，c为三角形的三边，则= .17、________．18、计算．19、计算；20、;21、）;22、计算：23、计算：；24、25、计算：26、若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( ).≥2 B. x≤2 ≥-2 ≤-227、若二次根式有意义,则的取值范围是【】A. B. C. D.28、若, 则的值为（）A. C. 9 D.29、不改变根式的大小，把中根号外的因式移到根号内正确的结果是 A ． B ． C ．－ D ．30、为使有意义，x的取值范围是（）A．x＞B．x≥C ．x≠D ．x≥且x≠31、下列二次根式中，化简后能与合并的是( )A. B． C． D．32、已知则与的关系为（）33、下列计算正确的是（）A. B.+C. D.34、下列计算或化简正确的是（）A．B．C．D．35、下列二次根式中属于最简二次根式的是【】A ．B ．C ．D ．36、如果，那么（A ）；（B ）；（C ）；（D ）．37、下列二次根式中，最简二次根式是（）.A. B. C. D.38、已知，则a的取值范围是…………【】A．a≤0；B．a＜0； C．0＜a≤1； D．a＞039、式子（＞0）化简的结果是（）A. B. C. D.40、式子成立的条件是（）A.≥3B.≤1 ≤≤3 ＜≤3参考答案一、简答题1、解：由题意，得，且，∴，∴．∴.2、解:可知，，则.3、4、考点：分母有理化．专题：计算题．分析：（1）根据题目提供的信息，最后结果等于分母的有理化因式；（2）先把每一项都分母有理化，然后相加减即可得解．解答：解：（1）=﹣；（2）+++…++，=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣，=﹣1，=10﹣1，=9．故答案为：（1）﹣，（2）9．点评：本题考查了分母有理化，读懂题目信息，得出每一个分式化简的最后结果等于分母的有理化因式是解题的关键．5、考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴．.专题：常规题型．分析：根据数轴判断出a、b的取值范围，然后判断出a+1，b﹣1，a﹣b的正负情况，再根据二次根式的性质去掉根号，进行计算即可得解．解答：解：根据图形可得，﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，所以﹣1＜a+1＜0，0＜b﹣1＜1，a﹣b＜0，所以，=﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b），=﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b，=﹣2．点评：本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴．根据图形判断出a、b的取值范围，是解题的关键．二、填空题6、解析：由4x-1≥0，得.7、考点：二次根式有意义的条件．.分析：根据二次根式的意义，被开方数大于或等于0，列不等式组求解．解答：解：根据二次根式的意义得，解得x=5．则y=4，∴y﹣x=4﹣5=﹣1．点评：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．8、【答案】9、答案：x=1010、答案：且a≠111、答案：712、＜13、1．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的被开方数是非负数得到x=0，由此可以求得的值．解答：解：由题意，得，解得x=0，则==1．故答案是：1．点评：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14、15、16、解析:根据三角形的三边关系，可知，，，从而化简二次根式可得结果.17、三、计算题18、原式=﹣3+3=019、原式=2﹣3=﹣120、21、22、解：原式=1+3—3—1 （4分）=0 （ 2分）23、=024、解：（1）原式=2﹣2+=．25、四、选择题26、A27、D28、A 解析：所以，所以所以.29、C30、考点：二次根式有意义的条件．.专题：常规题型．分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可求解．解答：解：根据题意得，2x+3≥0且3x﹣2≠0，解得x≥﹣且x≠．故选D．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．31、A 解析：因为所以只有A 项化简后能与合并.32、D 解析：∵，∴33、C 解析：B 中的二次根式的被开方数不同，不能合并；C项正确；D 项34、答案：A35、C 36、答案：D37、C38、答案：C39、A 解析:因为＞0，，所以＜0，所以.40、D 解析:根据二次根式的定义，式子成立的条件为，－1，即1＜.。

二次根式精选练习题及答案二次根式是高中数学中的一个重点内容，也是历年高考的常考题型。

掌握好二次根式的运算方法不仅有助于提高数学成绩，更能为今后学习更高深的数学知识打下坚实的基础。

下面是一些二次根式的精选练习题及其答案，供大家参考。

1.将下列二次根式合并为一个二次根式：$\sqrt{7}+\sqrt{3}-\sqrt{28}$解：$\sqrt{7}+\sqrt{3}-\sqrt{28}=\sqrt{7}+\sqrt{3}-2\sqrt{7}=-\sqrt{7}+\sqrt{3}$2.将下列二次根式化为最简形式：$\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+3\sqrt{5}}$解：$\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+3\sqrt{5}}=\frac{(2\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-3\sqrt{5})}{3-45}=\frac{-16\sqrt{5}+6\sqrt{6}}{-42}=\frac{8\sqrt{5}-3\sqrt{6}}{21}$3.将下列二次根式化为最简形式：$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$解：设$\sqrt{5-2\sqrt{6}}=a\pm b\sqrt{6}$，则有$a^2+6b^2=5$和$2ab=-2$。

解得$a=1,b=-\frac{1}{\sqrt{6}}$或$a=-1,b=\frac{1}{\sqrt{6}}$，因此$\sqrt{5-2\sqrt{6}}=1-\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{6-2\sqrt{6}}=1-\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{(1-\sqrt{2})(1-\sqrt{3})}=\boxed{\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}}$4.将下列二次根式化为最简形式：$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$解：同上题，设$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=a+b\sqrt{3}$，则有$a^2+3b^2=7$和$2ab=4$。

（带答案）人教版初中数学二次根式常考题型例题（文末附答案）单选题1、下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A ．√18B ．√13C ．√27D ．√122、下列等式中成立的是（ ）A ．(−3x 2y )3=−9x 6y 3B ．x 2=(x+12)2−(x−12)2 C ．√2÷(√2√3)=2+√6D ．1(x+1)(x+2)=1x+1−1x+2 3、下列计算正确的是（ ）A ．√8÷√2=2√2B ．√9=±3C ．√(−3)2=3D ．√24=√2 4、已知m=（﹣√33）×（﹣2√21），则有（ ）A ．5.0＜m ＜5.1B ．5.1＜m ＜5.2C ．5.2＜m ＜5.3D ．5.3＜m ＜5.45、式子√a+1a−2有意义，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≥-1B ．a ≠2C ．a ≥-1且a ≠2D ．a ＞2 6、(√24-3√15+√223)×√2的值是 ( )A ．163√3-3√30B ．3√30-23 √3C ．2√30-23 √3D ．203√3- √307、√2的相反数是【 】A ．√2B ．√22C ．−√2D ．−√22 8、下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A ．√12B ．√0.3C ．√8D ．√6填空题9、已知√a −b +|b −1|=0，则a +1=__．10、若二次根式√1x−1有意义，则x 的取值范围是__________．11、比较大小：√22 __________12（填写“＞”或“＜”或“＝”）． 12、已知x ﹣2＝√2，则代数式（x ＋1）2﹣6（x ＋1）＋9的值为_____．13、计算：(√5-2)2018(√5+2)2019的结果是_____.解答题 14、观察下列等式： √2+1=√2(√2+1)(√2−1)=√2−1 √3+√2=√3√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2 √4+√3=√4√3(√4+√3)(√4−√3)=√4−√3 解答下列问题：（1）写出一个无理数，使它与3−√2的积为有理数； （2）利用你观察的规律，化简2√3+√11； （3）计算：1+√2√2+√3+⋯…3+√10．15、已知x =2+√3，y =2-√3．试求代数式x y +y x 的值．（带答案）人教版初中数学二次根式_003参考答案1、答案：B解析：根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．A 、√18=3√2不是最简二次根式，错误；B 、√13是最简二次根式，正确；C 、√27=3√3不是最简二次根式，错误；D 、√12=2√3不是最简二次根式，错误，故选B ．小提示：本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2、答案：D解析：根据幂的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则计算即可．解：A 、(−3x 2y )3=−27x 6y 3，故选项A 错误；B 、(x+12)2−(x−12)2=x 2+2x+14−x 2−2x+14=x 2+2x +1−x 2+2x −14=x ，故选项B 错误；C 、√2÷(√2√3)=√2÷(√3√2⋅√3√2√2⋅√3) =√2√3+√2√6=√2√6√3+√2=√3√3√2)(√3+√2)(√3−√2) =6−2√6，故选项C 错误；D 、1x+1−1x+2=x+2(x+1)(x+2)−x+1(x+1)(x+2)=x +2−x −1(x +1)(x +2) =1(x+1)(x+2)，故选项D 正确，故选：D ．小提示：本题考查了的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．3、答案：C解析：根据二次根式的乘除运算法则以及利用二次根式的性质化简，逐项计算，即可判断．A、√8÷√2=√4=2，故此选项错误；B、√9=3，故此选项错误；C、√(−3)2=3，正确；D、√2×4=√22×4=2√2，故此选项错误；故选：C．小提示：本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则以及二次根式的性质化简是解题的关键．4、答案：C解析：直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而得出m的取值范围．∵m=(−√33)×(−2√21)=2√7=√28，5.22=27.4,5.32=28.09，∴5.2<m<5.3.故选C.小提示：考查二次根式的乘除法，估算无理数的大小，掌握无理数的估算方法是解题的关键.5、答案：C解析：根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可.解：由题意得，a+1≥0,a≠2解得，a≥-1且a≠2，所以答案是：C.小提示：本题考查的知识点是根据分式有意义的条件确定字母的取值范围，属于基础题目，比较容易掌握.6、答案：A解析：解：原式=√48−3√30+√163=4√3−3√30+4√33=16√33−3√30．故选A．7、答案：C解析：相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此√2的相反数是−√2．故选C．8、答案：D解析：检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．A、被开方数含分母，故A不符合题意；B、被开方数0.3=310，含分母，故B不符合题意；C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C不符合题意；D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D符合题意.故选：D．小提示：本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．9、答案：2．解析：利用非负数的性质结合绝对值与二次根式的性质即可求出a，b的值，进而即可得出答案．∵√a−b+|b﹣1|=0，又∵√a−b≥0，|b−1|≥0，∴a﹣b=0且b﹣1=0，解得：a=b=1，∴a+1=2.故答案为2．小提示：本题主要考查了非负数的性质以及绝对值与二次根式的性质，根据几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0得到关于a、b的方程是解题的关键．10、答案：x>1解析：概念二次根式被开方数大于或等于0，分母不为0求解即可．解：二次根式√1x−1有意义，则1x−1≥0且x−1≠0，解得，x>1，所以答案是：x>1．小提示：本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是熟记二次根式和分式有意义的条件，列出不等式．11、答案：＞解析：直接用√22−12，结果大于0，则√22大；结果小于0，则12大．解：√22−12=√2−12＞0，∴√22＞12，所以答案是：＞．小提示：本题主要考查实数的大小比较，常用的比较大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确理解和记忆方法背后的知识点是解题关键．12、答案：2解析：利用完全平方公式得到原式＝（x﹣2）2，然后利用整体代入的方法计算．解：（x＋1）2﹣6（x＋1）＋9＝[（x＋1）﹣3]2＝（x﹣2）2，∵x﹣2＝√2，∴原式＝（√2）2＝2，故答案为2．小提示：本题考查应用完全平方公式进行因式分解，进而利用整体代入法求代数式的值，灵活应用公式进行因式分解是关键．13、答案：√5+2解析：逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.(√5-2)2018(√5+2)2019=(√5-2)2018×(√5+2)2018×(√5+2)=[(√5-2)×(√5+2)]2018×(√5+2)=(5-4)2018×(√5+2)=√5+2，故答案为√5+2.小提示：本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.14、答案：（1）3+√2；（2）2√3−√11；（3）√10−1．解析：（1）由平方差的运算法则，即可得到答案；（2）找出题目中的规律，把分母有理化，即可得到答案；（3）先把分母有理化，然后进行化简，即可得到答案．解：（1）∵(3−√2)(3+√2)=9−2=7，∴这个无理数为：3+√2；（2）2√3+√11=√3−√11)(2√3+√11)(2√3−√11)=2√3−√1112−11=2√3−√11；（3）1+√2√2+√3+⋯…+3+√10=√2−1+√3−√2+⋯+√10−√9=√10−1．小提示：本题考查了二次根式的运算法则，分母有理化，平方差运算，熟练掌握运算法则，正确的发现题目中的规律是解题关键．15、答案：14解析：先计算出x+y、xy的值，再代入原式=x 2+y2xy=(x+y)2−2xyxy计算可得．解：∵x=2+√3，y=2−√3，∴x+y=2+√3+2−√3=4，xy=(2+√3)×(2−√3)=1，则原式=x 2+y2xy=(x+y)2−2xyxy=42−2×11=14．小提示：本题主要考查分母有理化与分式的加减运算，解题的关键是掌握分式加减运算法则、完全平方公式与平方差公式及二次根式的运算法则．11。

一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

） 题型一：判断二次根式 （1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x≥0，y ≥0）． （2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个（3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7-B. 32mC. 21a +D. a b题型二：判断二次根式有没有意义1、写出下列各式有意义的条件:（1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x 1-2、21x x --有意义，则 ；3、若x x x x --=--3232成立，则x 满足_____________。

练习：1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。

A 、3-；B 、x ；C 、12+x ；D 、1-x2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

（1）（2）121+-x （3） .（5）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是（6）若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。

3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。

5. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足329922-+-+-=m m m n ，则mn = 。

7. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是8.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ）A 、10<<mB 、2≥mC 、2<mD 、2≤m二．利用二次根式的性质2a =|a |=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ）A.x ≤0B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤02.．已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -3.若化简|1-x |-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ）A 、x 为任意实数B 、1≤x ≤4C 、x ≥1D 、x ≤44.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=5. 当-3<x<5时，化简25109622+-+++x x x x = 。

专题1.1 二次根式-重难点题型【题型1 判断二次根式的个数】【例1】（2021春•林州市月考）在式子√π，√a 2+b 2，√a +5，√−3y （y ≤0），√m 2−1和√ab （a ＜0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【变式1-1】（2020秋•遂宁期末）下列式子中二次根式的个数有（ ）（1）√13；（2）√−3；（3）−√x 2+1；（4）√83；（5）√(−13)2；（6）√1−x （x ＞1）；（7）√7．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【变式1-2】（2020秋•沈丘县期末）在式子√x 2(x ＞0)，√2，√y +1(y =−2)，√−2x(x ＜0)，√33，√x 2+1，x +y中，二次根式有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【变式1-3】（2020春•文登区期中）在式子，√x 2（x ＞0），√2，√y +1（y ＝﹣2），√−2x （x ＞0），√33，√x 2+1，x +y 中，二次根式有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】【例2】（2021春•河西区期中）已知√96n 是整数，正整数n 的最小值为（ ）A ．96B ．6C ．24D ．2【变式2-1】（2020秋•偃师市期中）已知n 是正整数，√5n −1是整数，则n 的值可以是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．10【变式2-2】（2020春•青山区期中）已知n 是正整数，√117n 是整数，则n 的最小值为 ．【变式2-3】（2020春•南昌期中）若√12−x 是正整数，则x 的最大值是 ．【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】【例3】（2021•宁波模拟）使代数式√2x−13−x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠3 B ．x ≥12 C ．x ≥12且x ≠3D ．x ≠12 【变式3-1】（2020春•历城区校级月考）若式子1x 2−4+√x +2有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＞﹣2 B ．x ≥﹣2，且x ≠2 C ．x ≥﹣2D ．x ＞﹣2，且x ≠2 【变式3-2】（2021•怀化模拟）使√x+1x 2−1有意义的x 的取值范围为 ． 【变式3-3】（2021春•海淀区校级月考）求√a +4+1|a|−2√3−a 有意义的a 的整数值： ．【题型4 根据二次根式有意义条件求值】【例4】（2021春•蜀山区校级期中）已知y=√x−2+√2−x−√3，则（x+y）2000（x﹣y）2001的值为（）A．2−√3B．2+√3C．﹣1D．1【变式4-1】（2021春•淮北月考）已知|2020﹣a|+√a−2021=a，则4a﹣40402的值为（）A．8084B．6063C．4042D．2021【变式4-2】（2021•石家庄模拟）若a、b为实数，且b=√a2−1+√1−a2a+7，则a+b＝．【变式4-3】（2021春•雨花区校级月考）已知实数x、y为实数，是否存在实数m满足关系式√3x+5y−2−m+√2x+3y−m=√x−100+y⋅√100−x−y？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．【题型5 利用二次根式的性质化简】【例5】（2021春•柯桥区月考）已知在数轴上的位置如图所示，化简：√n2+√(m−n)2+√(m+1)2=．【变式5-1】（2021春•江油市月考）已知0＜a＜1，化简得√(a+1a)2−4+√(a−1a)2+4=．【变式5-2】（2021春•合肥期中）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简√c2+4−4c−√14c2−4c+16．【变式5-3】（2021春•龙口市期中）阅读下列解题过程例：若代数式√(a−1)2+√(a−3)2的值是2，求a的取值范围．解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）所以，a的取值范围是1≤a≤3上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题（1）当2≤a≤5时，化简：√(a−2)2+√(a−5)2=；（2）若等式√(3−a)2+√(a−7)2=4成立，则a的取值范围是；（3）若√(a+1)2+√(a−5)2=8，求a的取值．【题型6 化简复合二次根式】【例6】（2020秋•雨城区校级期中）有这样一类题目：将√a±2√b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn=√b，则a±2√b将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使√a±2√b得以化简．例如，因为5+2√6=3+2+2√6=（√3）2+（√2）2+2√2×√3=（√3+√2）2，所以√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2．请仿照上面的例子化简下列根式：（1）√4+2√3；（2）√9−4√5．【变式6-1】（2020秋•武侯区校级期中）阅读材料：把根式√x±2√y进行化简，若能找到两个数m，n，使m2+n2＝x且mn=√y，则把x±2√y变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得√x±2√y化简．例如：化简√3+2√2．解：∵3+2√2=1+2+2√2=12+（√2）2+2×1×√2=（1+√2）2，∴√3+2√2=√(1+√2)2=1+√2．请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）√7+4√3；（2）√5−2√6．【变式6-2】（2020秋•济南期中）先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如√a±2√b，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且mn=√b，则√a±2√b可变形为√m2+n2±2mn=√(m±n)2=|m±n|，从而达到化去一层根号的目的．例如：√3−2√2=√1+2−2√2=√12+(√2)2−2×1×√2=√(1−√2)2=|1−√2|=√2−1仿照上例完成下面各题：①填上适当的数：√13−2√42=√6+7−2×√6×√7=√()2=||＝；②试将√8+2√15化简．【变式6-3】（2020秋•漳浦县期中）阅读下面例题：化简√7+2√10解：∵(√2)2+(√5)2=2+5＝7，2√2×√5=2√10；7+2√10=2+2√10+5=(√2)2+2×√2×√5+(√5)2=(√2+√5)2∴√7+2√10=√(√2+√5)2=√2+√5由上述例题的方法化简：（1）√5−2√6；（2）√2+√3；（3）√4−√10+2√5√4+√10+2√5．。

专题16.3二次根式的加减【十大题型】【人教版】【题型1判断同类二次根式】 (1)【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】 (3)【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】 (5)【题型4比较二次根式的大小】 (8)【题型5已知字母的取值化简求值】 (10)【题型6已知条件式化简求值】 (12)【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】 (14)【题型8二次根式混合运算的实际应用】 (16)【题型9二次根式的新定义类问题】 (19)【题型10二次根式的阅读理解类问题】 (24)【知识点1同类二次根式】把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【题型1判断同类二次根式】【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？(1)24，48，(2)4，33o<0)，−2B3(<0)．【答案】(1)不是(2)不是【分析】根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．【详解】（1）解：∵24=26；48=43；12=6∴24，48，12（2）解：4J2；33=−3B(<0)；−2B3=2B(<0)；∴4，33，−2B3不是同类二次根式．【点睛】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键．【变式1-1】（2023春·四川宜宾·）A．216B．125C．48D．32【答案】C【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断．=，216=66，125=55，48=43，32=42，是同类二次根式的是48，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（）A．B与B2B．2与2C．3与D．与3【答案】C【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】A、B与B2=的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B、2与2的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；C、3与D、3是三次根式；故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与−−273不是同类二次根式的是（）A．273B C．D【答案】A【分析】同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方式相同的二次根式.【详解】解：−−273=-−3x⋅(3p2=-3x−3选项A：273=3δ(3x)2=3x3；选项B选项C：选项D−3.B、C、D中都含有−3，是同类二次根式，A不是，故选A.【点睛】本题考查了同类二次根式的概念.【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若5+8与7是同类二次根式，求的最小正整数？【答案】=4【分析】5+8不一定是最简二次根式，从而由同类二次根式定义列出方程求解即可得到答案．【详解】解：由题意得：5+8=2×7（为正整数），∵2>0，则5+8>0，∴当=1时，5+8=7，解得=−0.2，不是正整数，舍去；当=2时，5+8=28，解得=4，符合题意，即的最小正整数为4．【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，根据题意列出方程求解是解决问题的关键．【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)若最简二次根式3与﹣8是同类二次根式；(2)若二次根式3与﹣8是同类二次根式．【答案】(1)=23(2)=223【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案；（2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案．【详解】（1）∵﹣8＝﹣22，最简二次根式3与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2，解得=23．（2）∵二次根式3与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2n2，解得a＝223．【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式2+1与r47+可以合并成一个二次根式，则−=．【答案】−8【分析】最简二次根式2+1与r47+能合并成一个二次根式，则两个二次根式的被开方数相等，即可求得a，b值，代入即可求解．【详解】解：根据题意得：2+1=7+s+4=2，则=−2，=6，所以−=−2−6=−8，故答案是：−8．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．如果、是正整数，且162+和KK1+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求、的值．解：∵162+和KK1+7可以合并，∴−−1=2162+=+7，即−=331+16=7，解得=5547=8647．∵、是正整数，∴此题无解．问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？（2）给出正确的解答过程．【答案】（1）不正确，原因是没有把162+转化为最简二次根式；（2）见解析【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同．（2）先把162+转化为最简二次根式，然后再根据两个二根式能合并列出相应方程组进行求解即可．【详解】解：（1）不正确，原因是没有把162+转化为最简二次根式；（2）正确解答过程如下：∵162+=42+，162+和KK1+7可以合并，∴−−1=22+=+7，解得：=5=2，经检验=5，=2符合题意，∴=5，=2．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【知识点2二次根式的加减法则】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算(1)412−+48÷23(2)26+3×26−3−(33−2)2+【答案】(1)143(2)−8+76+2【分析】（1）先计算括号里，再计算除法；（2）先运用平方差公式和完全平方公式、分母有理化进行计算，再相加减即可【详解】（1）原式=83−+43÷23=3÷23=143=143（2）原式=24−3−27−66+2+=21−29+66+6+2=−8+76+2【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键．【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：27+6+36−3−42−36÷22+1【分析】先化简二次根式，同步计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可．【详解】解：27+6+36−3−42−36÷22=33+6−3−2+=+1．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：(1)48÷3+×12−24(2)(7+43)(7−43)−(35−1)2【答案】(1)4−6(2)65−45【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．【详解】（1）解：原式=48÷3+−26=16+6−26=4−6（2）解：原式=49−48−(45−65+1)=1−46+65=65−45【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：(1)3×−÷2(2)212−+348；(3)2+32−5+25−2；(4)2−32022×2+32023−2−−−20．【答案】(1)−154(2)143(3)4+26(4)1【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式计算；（4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可．【详解】（1）解：原式=3×−×2×=3×−×2×5=−154；（2）原式=43−23+123=143；（3）原式=2+26+3−5−4=2+26+3−1=4+26；（4）原式=2−32+32022×2+3−3−1=12022×2+3−3−1=1×2+3−3−1=2+3−3−1=1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．【题型4比较二次根式的大小】【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（）A．5＜7B．35＋2＜82﹣1C6D．|1－3|＞3－1【答案】D【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．【详解】A、由于5<7，则5＜7，故正确；B、由于35＋2<6+2=8，而8=9-1<82－1，则35＋2＜82﹣1，故正确；C、由于−23>−5>−7−5=−6，故正确；D、由于1−=3−1，故1>3−1错误．故选：D【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．【变式4-1】（2023春·江苏·从小到大排列．<<【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可．【详解】2=15，2=16，2=17，∵1117，<<<【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．平方法是比较二次根式的大小常用的方法．【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：=2−1，==3−2，==4−3，…从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：…·2021+1；(2)设===，，的大小关系．【答案】(1)2020(2)>>【分析】（1）根据题意将式子先化简，再运用平方差公式求解即可；（2）根据题意将a，b，c求出来，再进行二次根式的大小比较即可．【详解】（1）根据题意可得，原式=2−1+3−2+…+2021−2020·2021+1=2021−1·2021+1=2021−1=2020；（2）根据题意可得，==3+2，==2+3，==5+2，∵2<2，∴3+2<2+3，即<，∵5>3，∴2+3<2+5，即<，∴>>．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和平方差公式，正确的理解题意是解决本题的关键．<<m的个数是．【变式4-3】（2023春·【答案】7【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数．【详解】解：∵2≈1.414，5≈2.236，=（2-1（2-1）≈3.312=3+5）8×（3+5）4=2（3+5）≈10.472，m∴3.312<m<10.472，∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，∴整数m的个数是7，故答案为：7．【点睛】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的估值，解题的关键是熟练化简二次根式．【题型5已知字母的取值化简求值】【例5】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）若x＝3＋22，y＝3－22，求−【答案】0【分析】先运用平方差及完全平方公式进行因式分解，再约分，将分式化到最简即可．−r−K=−−+=0．故当x＝3+22，y＝3−22时，原式=0．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值．运用公式将分子因式分解可使运算简便．由于所求代数式化简之后是一个常数0，与字母取值无关．因而无论x、y取何值，原式都等于0．【变式5-1】（2023春·四川自贡·八年级统考期末）已知=2+1，求代数式3−222+2−1−2的值.【答案】0【分析】把x值带入后，利用完全平方公式和平方差公式计算即可.【详解】当x=2+1时，原式=3−222+12+2−12+1−2=3−223+22+2−12+1−2=32−(22)2+22−1−2=9-8+2-1-2=0【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，解题的关键是把x代入求值时利用公式，比较简单．【变式5-2】（2023春·山东临沂·八年级校考期末）已知=2+1，求2K1−−1的值.【分析】根据分式的运算法则将2K1−−1化简，然后将=2+1代入计算即可求出答案．【详解】解：2K1−−1=2−1−(+1)=2−(2−1)−1=1−1当=2+1时，==原式=【点睛】本题考查分式的运算，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．⋅B，再求当==.【变式5-3】（2023春·上海·【答案】xy；1【分析】分子中先提出公因式B进行因式分解，分子分母约去公因式后再利用二次根式乘法进行化简，然后代入数值进行求解即可.⋅Br B=B⋅B=B，=当=【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确确定运算顺序以及运算方法是解题的关键.【题型6已知条件式化简求值】【例6】（2023春·贵州毕节·八年级校考期末）若，为实数，且=1−4+4−1+12．【答案】22【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵=1−4+4−1+12要有意义，∴1−4≥04−1≥0，∴14≤≤14即=14，∴=1−4+4−1+12=12，∴1，=2++=22．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，正确求出x、y的值是解题的关键．【变式6-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知a、b满足4−+1+−12−9=0，求代数式⋅+−÷−−的值．【答案】3+1【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵4−+1+−12−9=0，4−+1≥0，−12−9≥0，∴4−+1=0，−12−9=0∴4−+1=0−12−9=0．解得=−1=−3．⋅÷−−=−3−1×−3−1−−3÷−−1−−3=3×33+−1+3÷1+3=3+2÷2=3+1．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，解二元一次方程组，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式6-2】（2023春•肥城市期中）已知=为奇数，求(+【答案】43【分析】由二次根式的非负性可确定的取值范围，再根据为奇数可确定的值，然后对原式先化简再代入求值．【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得−6≥09−>0，解得6≤<9，且为奇数，∴=7，∴原式=(+=(+1)+1=(+1)(−1)=(7+1)×(7−1)=43．【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解．【变式6-3】（2023·八年级单元测试）若=2+4++1的值.【答案】2.【分析】已知条件比较复杂，将已知条件变形得出所求式子的结构求值即可.【详解】∵+=，∴2+=∴2=−∴4++1=−2++1=∵>0，∴2+4++1=−++3=2．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件.【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】【例7】（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考阶段练习）若=5+1，=5−1，求下列代数式的值．(1)2+B(2)2−2【答案】(1)85(2)45【分析】（1）先求解+=25，B=5+15−1=5−1=4，再结合因式分解求解代数式的值即可；（2）先求解+=25，−=2，再结合平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：∵=5+1，=5−1，∴+=25，B=5+15−1=5−1=4，∴2+B=B+=4×25=85；（2）∵=5+1，=5−1，∴+=25，−=2，∴2−2=+−=25×2=45．【点睛】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．【变式7-1】（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知=3−7，=3+7，求−的值．【答案】−67【分析】先计算出+s−与B的值，再把−变形为【详解】解：∵=3−7，=3+7，∴+=6,−=−27,B=2,∴−=2−2B===−67．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确进行变形能简化计算．【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）已知a＝2＋1，求a3－a2－3a＋2016的值．【答案】2017【分析】先根据a＝2＋1,可得:a－1＝2,然后利用完全平方公式两边平方可得:(a－1)2＝2,继而可得:a2－2a ＝1,然后整体代入a3－a2－3a＋2016=a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016,即可求解.【详解】解:∵a＝2＋1,∴a－1＝2,∴(a－1)2＝2,即a2－2a＝1,∴原式＝a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016＝a＋1－a＋2016＝2017.【点睛】本题主要考查代数式化简求值,解决本题的关键是要利用完全平方公式巧变形,再整体代入思想求解.【变式7-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知+1=7，求下列各式的值；(1)2+12；(2)2−12．【答案】(1)5(2)±21【分析】（1）利用完全平方公式可得2+12=(+1)2−2，即可求解；（2）根据完全平方公式可得(−1)2=(+1)2−4，求得−1=3，然后利用平方差公式计算2−12的值．【详解】（1）解：∵+1=7，∴+=2+2+12=7，∴2+12=5；（2）解：由（1）得2+12=5，∴−=2−2+12=5−2=3，∴−1=±3，又∵2−12=+−∴当−1=3时，2−12=7×3=21，当−1=−3时，2−12=7×(−3)=−21．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值及完全平方公式、平方差公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．【题型8二次根式混合运算的实际应用】【例8】（2023春·北京海淀·八年级期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：型号长宽小号20cm18cm中号25cm20cm大号30cm25cm已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约枌料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．【答案】应选择中底面型号的纸箱【分析】先求出甲、乙两件礼品的边长之和为105cm，进而估算出20<105<25<30，由此即可得到答案．【详解】解：应选择中型号的纸箱，理由如下：∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，∴甲、乙两件礼品的边长分别为45cm，65cm，∴甲、乙两件礼品的边长之和为45cm+65cm=105cm，∵400<500<625<900，∴20<105<25<30，∴只有中型号和大型号两个型号可供选择，∵25×20<30×25，∴从节约枌料的角度考虑，应选择中底面型号的纸箱．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确估算出甲、乙两件礼品的边长之和的范围是解题的关键．【变式8-1】（2023春·广东汕头·八年级校联考期末）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后=90m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，40=整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【变式8-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+165+525×5．（2）由（1）中各式猜想+与2B(≥0，≥0)的大小关系，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为2002的花圃，所用的篱笆至少是多少米？【答案】（1）>，>，=；（2）+≥2B(≥0，≥0)；（3）40米【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想+≥2B；比较大小，可以作差，根据完全平方公式进行计算，问题得证；（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a＋2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．【详解】解：（1）∵4+3=7,24×3=43∴72=49,(43)2=48∵49>48∴4+3>24×3∵1+16=7=<1∴1+16>×6∵5+5=10,25×5=10,∴5+5=25×5故答案为：＞，＞，＝．（2）+≥2B理由如下：当m≥0，n≥0时，∵(−p2≥0∴(p2−2⋅+(p2≥0∴−2B+≥0∴+≥2B（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，根据（2）的结论可得：+2≥2⋅2=22B=22×200=40．∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b 的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后=90m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，40=整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【题型9二次根式的新定义类问题】【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用，表示数对，给出如下定义：记==（0，>0，与，称为数对，的一对“对称数对”．例如：4，1的一对“对称数对”1与1(1)数对25，4的一对“对称数对”是______和______；(2)若数对3，的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值；(3)若数对，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，求的值．【答案】(1)(15，2)和(2，15)(2)=13(3)=1=即可；【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入=（2）(3，y)）的一对“对称数对”（3）将数对，2的一对“对称数对”=1，解出x即可．=15，4=2，【详解】（1∴数对25，4的一对“对称数对”是(15，2)和(2，15)．故答案为：(15，2)和(2，15)；（2）∵数对3，的一对“对称数对”的两个数对相同，=，解得：=1；=（3∴数对，2的“对称数对”分别为，2)和(2，．∵数对，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，=1，解得：=1．【点睛】本题考查新定义题型，严格按照新定义要求，结合学过的相关知识根据题意列方程求解是解决问题的关键．【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足⋅=，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与2是关于4的共轭二次根式，求a的值；(2)若2+3与4+3是关于2的共轭二次根式，求m的值．【答案】(1)22(2)-2【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案；（2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案．【详解】（1）∵a与2是关于4的共轭二次根式，∴2=4．=22．∴=（2）∵2+3与4+3是关于2的共轭二次根式，∴2+3⋅4+3=2．==4−23．∴4+3=∴=−2．【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算⊗=−≥,+<，给出三个说法：①18⊗2=22；②11⊗2+12⊗3+13⊗4+⋅⋅⋅+199⊗100=100⊗1；③⊗⋅⊗=−．以上说法中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【分析】利用新定义进行计算逐一判断即可．【详解】解：∵18>2，∴18⊗2=18−2=32−2=22，所以①正确；11⊗212⊗313⊗4199⊗100=1+23+4+⋯+=2−1+3−2+⋯+100−99=100−1=100⊗1所以②正确；当≥时，⊗⋅⊗=−+=−=−，当<时，⊗⋅⊗=+−=−=−，所以③正确；故正确的为①②③，有3个，故选D．【点睛】本题考查新定义，二次根式的混合运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键．【变式9-3】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么2±2B+2=|±U．如何将双重二次根式5±26化简？我们可以把5±26转化为(3)2±26+(2)2=(3±2)2完全平方的形式，因此双重二次根式5±26=(3±2)2=3±2得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若′={o>0)−o<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点(2,−3)的“横负纵变点”为______，点(−33,−2)的“横负纵变点”为______；(2)化简：7+210；(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）且=(+2−1+−2−1)，点′是点M的“横负纵变点”，求点′'的坐标．【答案】(1)（2，−3）；（−33，2）(2)5+2(3)（﹣2，﹣2）【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，′={o>0)−o<0)，即可；（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将7+210化为(5)2+210+(2)2，再根据2±2B+2=(±p2，即可化简；（3）根据1≤≤2，得−1−1≤0；将=2(+2−1+−2−1)化简得=((−1+1)2+(−1−1)2；根据2±2B+2=|±U，得=(|−1+1|+|−1−1|，求出的值，求出的坐标，根据横负纵变点”的定义，′={o>0)−o<0)，即可求出′的坐标．【详解】（1）∵2>0∴点（2，−3）的“横负纵变点”为（2，−3）∵−33<0∴点（−33，−2）的“横负纵变点”为（−33，2）故答案为：（2，−3）；（−33，2）．（2）7+210=(5)2+210+(2)2=(5+2)2=5+2∴7+210化简得：5+2．（3）∵1≤≤2∴0≤−1≤2−1∴0≤−1≤1∴0≤−1≤1∴−1−1≤0∵=2(+2−1+−2−1)=((−1)2+2−1×1+12+(−1)2−2−1×1+12)((−1+1)2+(−1−1)2==(|−1+1|+|−1−1|)∴=∴=∴点（−2，2）∵−2<0∴′（−2，−2）故′的坐标为：（−2，−2）．【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．【题型10二次根式的阅读理解类问题】【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．善于思考的小明进行了以下探索：设+2=+22（其中a、b、m、n均为整数），则有+2=2+22+2B2．∴=2+22，=2B．这样小明就找到了一种把类似+2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若+3=+32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：=，=；(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：=+32；(3)若−65=−52且a、m、n均为正整数，求a的值．【答案】(1)2+32，2B(2)13，4，1，2(3)14或46【分析】（1）根据上面的例子，将+32，按完全平方展开，可得出答案；（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；（3）将−52展开得出2−25B+52，由题意得B=3，2+52=，再由a、m、n均为正整数，可得出答案．【详解】（1）解：∵+3=+32，∴+3=2+32+2B3，∴=2+32，=2B；故答案为：2+32，2B．（2）由（1）可得=13，=4，=1，=2；故答案为：13，4，1，2．（3）∵−65=−52，∴+5=2+52+2B5，∴B=3，2+52=，∵a、m、n均为正整数，∴=3，=1，=14或=1，=3，=46；故答案为：14或46．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键．==3−23−2=【变式10-1】（2023春·江西赣州·八年级统考期中）3−2，像上述解题过程中，3+2与3−2相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．解答下面的问题：(1)=___________；若n=___________．(2)×2022+1；(3)3+15+3+⋅⋅⋅+2022×2024+1．【答案】(1)2−1；4−3（或2−3)；+1−(2)2021(3)2023【分析】（1）分子分母同时乘以有理化因式，再化简整理即可；（2）将括号内每一项都进行分母有理化，再相消，整理之后利用平方差公式求解即可；（3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．===2−1=2−1；【详解】（1=43（或2−3)；+1−；（22+1+3+2…+2022+20212022+1=2−1+3−2+…+2022−20212022+1=2022−12022+1=2022−1=202120241（3=331+35−3+⋅⋅⋅+2024×2024+1 =3−1+5−3+⋅⋅⋅+2024−20222024+1=2024−12024+1=2023．【点睛】本题主要考查分母有理化，二次根式混合运算，解题的关键是理解材料中分母有理化的方法并应用方法解决问题．【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：7−6==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：7−6=7+66−5=6+5因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．再例如：求=+2−−2的最大值．做法如下：解：由+2≥0,−2≥0可知≥2，而=+2−−2=当=2时，分母+2+−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较32−4和23−10的大小；（2）求=1−+1+−的最大值和最小值．【答案】（1）32−4<23−10；（2）的最大值为2，最小值为2−1．【分析】（1）利用分子有理化得到32−4=23−10=然后比较32+4和23+10的大小即可得到32−4与23−10的大小；（2）利用二次根式有意义的条件得到0⩽N1，而=1−=01+r1，1−有最大值1得到所以的最大值；利用当=1有最小值2−1，1−有最小值0得到的最小值．【详解】解：（1）32−4==23−10=3+10=而32>23，4>10，∴32+4>23+10，∴32−4<23−10；（2）由1−O0，1+O0，O0得0⩽N1，=1−+1+−J1−+∴当=0时，1++有最小值，则1，此时1−有最大值1，所以的最大值为2；当=1时，1++有最大值，有最小值2−1，此时1−有最小值0，所以的最小值为2−1．【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．【变式10-3】（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：①我们知道：式子+1的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−1的点之间的距离，且+1＝(+1)2；②把根式±2进行化简，若能找到两个数m、n，是2+2=且B=，则把x±2变成2+2±2B=±2开方，从而使得±2化简．如：3+22＝1+22+2＝12+2×1×2+22＝1+22＝1+=1+2；(1)化简：5+26．(2)5+26+7+212+9+45(3)直接写出代数式2+2+5+2−22+130的最小值为．【答案】(1)2+3(2)5−1(3)5【分析】（1）先将根号下的数变形为完全平方公式格式，再化简即可；（2）先将各个分母化为完全平方公式格式，再分母有理化，最后合并即可得出答案；（3）先根据完全平方公式化简，再根据非负数的性质得出+12+4≥4，−112+9≥9，即可求出最小值．【详解】（1）5+26=2+26+3=22+2×2×3+32=2+32=2+3=23（2===2+1=2−1+3−2+4−3+5−4 =5−1（3）2+2+5+2−22+130=2+2+1+4+2−22+121+9=+12+4+−112+9。