第二章 质点动 力学
2－1一物体从一倾角为30︒的斜面底部以初速v 0=10m ·s -1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m ·s -1,求该物体与斜面间的摩擦系数。
解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30︒
物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得
22011
2(1)
22
mv mv f s -=-⋅
物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得
201
0sin 302
mv f s mgh f s mgs -=-⋅-=-⋅-
2(2)
s ∴=
把式（2）代入式（1）得，
22
0.198
u =
2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。
解：小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T .取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得
2
2
sin (1)
cos (2)
t n dv F mg m
dt v F T mg m
R αα=-==-=
由,,1ds rd rd v dt dt dt v
αα=
==得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有，
90
2
n (sin )m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v v
r
v mg mg r
mg α
αα
ωαα
α=-===+==-=-⎰
⎰得则小球在点C 的角速度为
＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向
2－3如本题图，一倾角为θ 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两
习题2－2图
者间摩擦系数为μ，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a 应满足的条件。
解：如图所示
()
1212min
max sin ,cos cos sin (1)
sin cos 2(1)(2)(sin cos )(cos sin )
(sin cos )()(cos sin )1(2)(1)(sin cos )(cos sin )(sin cos a a a a N mg ma ma mg uN m a ma u g u a u g u g tg u a u utg u g u a u g u a θθθθθθ
θθθθθθθθθθ
θθθθθ==∴-==±==⨯+-=+--∴==++-⨯+=-+∴=
得，得，)()
(cos sin )1()()11g tg u u utg g tg u g tg u a utg utg θθθθθ
θθθθ
+=
---+∴≤≤+-
2－4如本题图，A 、B 两物体质量均为m ，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩
擦，则A 和B 的加速度大小各为多少 。 解：如图由受力分析得
(1)(2)2(3)2(4)g
g
A A
B B A B A B
A B mg T ma T mg ma a a T T a a -=-===1
解得＝－52＝－5
2－5如本题图所示，已知两物体A 、B 的质量均为m=3.0kg ，物体A 以加速度a =1.0m/s 2
运动，求物体B 与桌面间的摩擦力。（滑轮与连接绳的质量不计）
解：分别对物体和滑轮受力分析（如图），由牛顿定律和动力学方程得，
()
()()
1f 111f (1)''(2)2'(3)'2(4)
5'6'7(4)7.22
A T A T
B T T A B T T T T m g F m a F F m a a a F F m m m F F F F mg m m a
F N
-=-======-+=
=＝解得
2－6质量为M 的三角形木块，放在光滑的水平桌面上，另一质量为m 的木块放在斜面上(如本题图所示)。如果所有接触面的摩擦均可忽略不计，求M 的加速度和m 相对M 的
A
B 习题2-4图
习题2－5图
a
θ
习题2-3图
m
a A
mg
T A T B a B
mg
加速度。
解：（如图）m 相对M 的相对加速度为m a '，则 cos ,sin ,mx
m my m a a a a θθ''''== 在水平方向，
cos mx
mx Mx mx mx
Mx m M a a a a a a a a θ'=-''∴=+=-+
在竖直方向
sin my
my my
m
a a a a θ'='∴=
由牛顿定律可得，
sin cos cos sin sin mx m
M my m M
N ma ma ma mg N ma ma N Ma θθθθθ'-==-+'-===
解得θ
+θθ=
2
sin cos sin m M mg a M ， 2()sin sin m M m g a M m θ
θ++＝ 2－7在一只半径为R 的半球形碗，有一粒质量为m 的小钢球。当钢球以角速度ω在水
平面沿碗壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？
解：取钢球为隔离体，受力分析如图所示，在图示坐标中列动力学方程得，
2sin sin cos cos ()/n F ma mR F mg R h R
θωθθθ====-
解得钢球距碗底的高度
2ω-
=g R h
2－8光滑的水平面上放置一半径为R 的固定圆环，物体紧贴环的侧作圆周运动，其摩擦系数为μ。物体的初速率为v 0，求：（1）t 时刻物体的速率；（2）当物体速率从v 0减少到v 0/2时，物体所经历的时间及经过的路程。
解：（1）设物体质量为m ，取图示的自然坐标系，由牛顿定律得，
02
2
22t
v 2
v (1)
(2)(3)4dv 4dt u v N n f t f N
v F ma m R dv F m a m dt
F uF v dv
u R dt ===-=-=-
⎰⎰0由上三式可得＝（）R 对（）式积分得＝－
习题2-6图
