高考数学一轮总复习：第一章集合与简易逻辑第1课时集合1．下列各组集合中表示同一集合的是( )A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}答案 B2．若A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B＝( ) A．{1，2} B．{0，1}C．{0，3} D．{3}答案 C解析B＝{x|x＝3a，a∈A}＝{0，3，6，9}，所以A∩B＝{0，3}．3．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝( ) A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案 A解析集合M＝{0，1}，集合N＝{x|0<x≤1}，M∪N＝{x|0≤x≤1}，所以M∪N＝[0，1]．4．若A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1x≤1}，则A∩B＝( )A．(0，1) B．(0，2) C．(1，2) D．[1，2) 答案 D解析因为A＝{x|x2－2x<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|1x≤1}＝{x|x≥1或x<0}，所以A∩B＝{x|1≤x<2}．5．已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2b＋1，b∈Z}，C＝{x|x＝4c＋1，c∈Z}，则有( )A．m＋n∈A B．m＋n∈BC．m＋n∈C D．m＋n不属于A，B，C中任意一个集合答案 B解析∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又n∈B，∴设n＝2b1＋1，b1∈Z，∴m＋n＝2(a1＋b1)＋1，而a1＋b1∈Z，∴m＋n∈B，故选B.6．已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩(∁R B)的真子集的个数为( )A．1 B．3C．4 D．7答案 B解析因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0，1，2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1<x<4}，故∁R B＝{x|x≤1或x≥4}，故A∩(∁R B)＝{0，1}，故A∩(∁R B)的真子集的个数为22－1＝3，故选B.7．设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝( ) A．[0，2] B．(1，3)C．[1，3) D．(1，4)答案 C解析|x－1|<2⇔－2<x－1<2，故－1<x<3，即集合A＝(－1，3)．根据指数函数的性质，可得集合B＝[1，4]．所以A∩B＝[1，3)．8．已知实数集R，集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x∈Z|x2＋4≤5x}，则(∁R A)∩B ＝( )A．[2，4] B．{2，3，4}C．{1，2，3，4} D．[1，4]答案 B解析由log2x<1，解得0<x<2，故A＝(0，2)，故∁R A＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，由x2＋4≤5x，即x2－5x＋4≤0，解得1≤x≤4，又x∈Z，所以B＝{1，2，3，4}．故(∁R A)∩B＝{2，3，4}．故选B.9．若全集U＝R，集合A＝{x|1<2x<4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩(∁UB)＝( )A．{x|1<x<2} B．{x|0<x≤1}C．{x|0<x<1} D．{x|1≤x<2}答案 C解析由题意知，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，∁UB＝{x|x<1}，所以A∩(∁UB)＝{x|0<x<1}．10．已知全集U为R，集合A＝{x|x2<16}，B＝{x|y＝log3(x－4)}，则下列关系正确的是( )A．A∪B＝R B．A∪(∁UB)＝RC．(∁U A)∪B＝R D．A∩(∁UB)＝A答案 D解析因为A＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x>4}，所以∁UB＝{x|x≤4}，所以A∩(∁UB)＝A，故选D.11．已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m，m∈R}且A⊆∁R B，那么m的值可以是( )A．1 B．2C．3 D．4答案 A解析由B＝{x|x<2m，m∈R}，得∁R B＝{x|x≥2m，m∈R}．因为A⊆∁R B，所以2m≤2，m≤1，故选A.12．已知集合A＝{x|1<x<k}，集合B＝{y|y＝2x－5，x∈A}，若A∩B＝{x|1<x<2}，则实数k的值为( )A．5 B．4.5C．2 D．3.5答案 D解析B＝(－3，2k－5)，由A∩B＝{x|1<x<2}，知k＝2或2k－5＝2，因为k＝2时，2k－5＝－1，A∩B＝∅，不合题意，所以k＝3.5，故选D.13．已知函数f(x)的图像如图所示，设集合A＝{x|f(x)>0}，B＝{x|x2<4}，则A∩B＝( )A．(－2，－1)∪(0，2) B．(－1，1)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(－∞，3)答案 C解析 由题意可得A ＝(－∞，－1)∪(1，3)，B ＝(－2，2)，所以A∩B＝(－2，－1)∪(1，2)．14． 集合A ＝{0，|x|}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A∩B＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________．答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析 因为A ⊆B ，所以|x|∈B，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A ＝{0，1}，则A∩B＝{0，1}，A ∪B ＝{1，0，－1}，∁B A ＝{－1}．15．设全集U ＝A∪B＝{x∈N *|lgx<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}，则集合B ＝________．答案 {2，4，6，8}解析 U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A ∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B ＝{2，4，6，8}．16． 已知集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x|0<x<c}，(c>0)．若A∪B＝B ，则c 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 A ＝{x|0<x<2}，由数轴分析可得c≥2.17．已知集合P ＝{x|a ＋1≤x≤2a＋1}，Q ＝{x|x 2－3x≤10}． (1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q；(2)若P∪Q＝Q ，求实数a 的取值范围． 答案 (1){x|－2≤x<4} (2)(－∞，2]解析 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x|4≤x≤7}，∁R P ＝{x|x<4或x>7}．又Q ＝{x|x 2－3x －10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，所以(∁R P )∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x<4}．(2)由P∪Q＝Q ，得P ⊆Q.当P≠∅时，有⎩⎨⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a＋1，解得0≤a≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a<0.综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．18．已知集合A ＝{x|1<x<3}，集合B ＝{x|2m<x<1－m}． (1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A∩B＝(1，2)，求实数m 的取值范围； (3)若A∩B＝∅，求实数m 的取值范围．答案 (1)(－∞，－2] (2)m ＝－1 (3)[0，＋∞)解析(1)由A ⊆B ，得⎩⎨⎧1－m>2m ，2m ≤1，1－m≥3，得m≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (2)由已知，得⎩⎨⎧2m≤1，1－m ＝2⇒⎩⎨⎧m ≤12，m ＝－1，∴m ＝－1.(3)由A∩B＝∅，得①若2m≥1－m ，即m≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m<1－m ，即m<13时，需⎩⎨⎧m<13，1－m≤1或⎩⎨⎧m<13，2m ≥3，得0≤m<13或∅，即0≤m<13.综上知m≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．第2课时 命题及其关系、充分条件与必要条件1． 命题“若x 2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x≥1或x≤－1 B ．若－1<x<1，则x 2<1 C ．若x>1或x<－1，则x 2>1 D ．若x≥1或x≤－1，则x 2≥1 答案 D解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．2．命题“若m>－1，则m>－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m>－4，则m>－1”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.3．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是( )A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0答案 B解析否命题既否定条件又否定结论．4．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x2≤1，则x≤1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2－x＝0”的否命题D．命题“若a>b，则1a<1b”的逆否命题答案 A解析A中原命题的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，由x>|y|≥y可知其是真命题；B中原命题的否命题是“若x2>1，则x>1”，是假命题，因为x2>1⇔x>1或x<－1；C中原命题的否命题是“若x≠1，则x2－x≠0”，是假命题；D中原命题的逆命题是“若1a≥1b，则a≤b”是假命题，举例：a＝1，b＝－1，故选A.5．若命题p的否命题是命题q的逆否命题，则命题p是命题q的( ) A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．p与q是同一命题答案 A解析设p：若A，则B，则p的否命题为若綈A，则綈B，从而命题q为若B，则A，则命题p是命题q的逆命题，故选A.6．设有下面四个命题：p 1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；p 4：若复数z∈R，则z－∈R.其中的真命题为( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 B解析对于p1，由1z∈R，即z－z·z－∈R得z－|z|2∈R，∴z－∈R，∴z∈R.故p1为真命题．对于p2，显然i2＝－1，但i∉R.故p2为假命题．对于p3，若z1＝1，z2＝2，则z1z2＝2，满足z1z2∈R，而它们的实部不相等，不是共轭复数．故p3为假命题．对于p4，z∈R，则z－∈R.故p4为真命题，故选B.7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析p⇒q，而q p，∴选A.8．“α＝π6＋2kπ(k∈Z )”是“cos2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由α＝π6＋2kπ(k∈Z )，知2α＝π3＋4kπ(k∈Z )，则cos2α＝cosπ3＝12成立， 当cos2α＝12时，2α＝2kπ±π3，即α＝kπ±π6(k∈Z )，故选A.9． “1x >1”是“e x －1<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵1x >1，∴x ∈(0，1)．∵e x －1<1，∴x<1.∴“1x>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．10． 设a ，b ∈R ，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R 上为奇函数．因为f(x)＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以a>b ⇔f(a)>f(b)⇔a|a|>b|b|.选C.11． “(m－1)(a －1)>0”是“log a m>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎨⎧m<1，a<1，而log a m>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎨⎧0<m<1，0<a<1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m>0，故选B.12． 命题“对任意x∈[1，2)，x 2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a>4C ．a ≥1D ．a>1答案 B解析 由题意知a≥x 2，对x∈[1，2)恒成立，当x∈[1，2)时，1≤x 2<4，则a≥4.从而a>4是命题为真的一个充分不必要条件．13．若不等式13<x<12的必要不充分条件是|x －m|<1，则实数m 的取值范围是( )A ．[－43，12]B ．[－12，43]C ．(－∞，12)D ．(43，＋∞)答案 B解析 由|x －m|<1，解得m －1<x<m ＋1.因为不等式13<x<12的必要不充分条件是|x －m|<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，12≤m ＋1，且等号不能同时取得，解得－12≤m ≤43，故选B.14． 若“x>1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a>3B ．a<3C ．a>4D ．a<4 答案 A解析 若2x >a －x ，即2x ＋x>a.设f(x)＝2x ＋x ，则函数f(x)为增函数．由题意知“2x ＋x>a 成立，即f(x)>a 成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f(x)>3，∴a>3.15．(1)“x>y>0”是“1x <1y ”的________条件．(2)“tanθ≠1”是“θ≠π4”的________条件．答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要 解析 (1)1x <1y ⇒xy ·(y －x)<0，即x>y>0或y<x<0或x<0<y. (2)题目即判断θ＝π4是tanθ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件． 16． 下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为________． 答案 ②③④17．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．答案 [0，12]解析 2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x<1，x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1， 由题意得(12，1)[a ，a ＋1]，故⎩⎨⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a≤12.第3课时 逻辑联结词与量词1．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，e x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lnx<1 D．∃x∈R，tanx＝2答案 B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.2．命题“∃x0∈∁RQ，x3∈Q”的否定是( )A．∃x0∉∁RQ，x3∈Q B．∃x∈∁RQ，x3∈QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q答案 D解析该特称命题的否定为“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．3．命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是( )A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0 B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x)＝0且g(x)＝0 D．∃x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x)＝0或g(x)＝0”．故选D.4．若命题p：x∈A∩B，则綈p：( )A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B答案 B5．下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B6．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．7．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则( )A．綈p：∀x∈A，2x∉B B．綈p：∀x∉A，2x∉BC．綈p：∃x∉A，2x∈B D．綈p：∃x∈A，2x∉B答案 D解析因全称命题的否定是特称命题，故命题的否定为綈p：∃x∈A，2x∉B.故选D.8．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|y＝lg x－3}，则下列命题中真命题的个数是( )①∃m∈A，m∉B；②∃m∈B，m∉A；③∀m∈A，m∈B；④∀m∈B，m∈A.A．4 B．3C．2 D．1答案 C解析因为A＝{y|y＝x2＋2}，所以A＝{y|y≥2}，因为B＝{x|y＝lg x－3}，所以B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集，所以①④为真，②③为假命题，所以真命题的个数为2，故选C.9．下列4个命题中，其中的真命题是( )p 1：∃x∈(0，＋∞)，(12)x<(13)xp2：∃x∈(0，1)，log12x>log13xp 3：∀x∈(0，＋∞)，(12)x<log12xp 4：∀x∈(0，13)，(12)x<log13xA．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 D解析 p 1，p 2为存在性命题，所以只要找到符合条件的x 即可．p 1可作出y ＝(12)x ，y ＝(13)x 的图像，通过观察发现找不到符合条件的x ；p 2同样作图可得∀x ∈(0，1)，log 12x>log 13x ，所以p 2正确；p 3通过作图可发现图像中有一部分(12)x <log 12x ，所以p 3错误；在p 4中，可得当x∈(0，13)时，(12)x <(12)0＝1，log 13x>log 13(13)＝1，所以(12)x<1<log 13x ，p 4正确．综上可得：p 2，p 4正确．10．已知命题p ：∃x 0∈R ，mx 02＋1≤0；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．{m|m ≥2}B ．{m|m ≤－2}C ．{m|m ≤－2或m≥2}D ．{m|－2≤m≤2}答案 A解析 由p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，可得m<0；由q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，可得Δ＝m 2－4<0，解得－2<m<2.因为p∨q 为假命题，所以p 与q 都是假命题，若p 是假命题，则有m≥0；若q 是假命题，则有m≤－2或m≥2，故实数m 的取值范围为{m|m≥2}．故选A.11． 已知命题p ：∃x ∈R ，lnx ＋x －2＝0，命题q ：∀x ∈R ，2x ≥x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p∧qC ．p ∧(綈q)D ．綈p∧(綈q) 答案 C解析 分别判断p ，q 真假，令f(x)＝lnx ＋x －2，可得f(1)f(2)<0.由零点存在性定理可知∃x ∈(1，2)，使得f(x)＝lnx ＋x －2＝0，p 为真；通过作图可判断出当x∈(2，4)时，2x <x 2，故q 为假：结合选项可得：p∧(綈q)为真．12． 不等式组⎩⎨⎧x ＋y≥1，x －2y≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D，x ＋2y≥－2； p 2：∃(x ，y)∈D，x ＋2y≥2； p 3：∀(x ，y )∈D，x ＋2y≤3；p 4：∃(x ，y )∈D，x ＋2y≤－1.其中的真命题是( )A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3答案 C解析画出可行域如图所示中阴影部分，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，z取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.13．若命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，则命题p是________．答案∃x0∈(0，＋∞)，x≤x＋114．已知p：1x2－x－2>0，则綈p对应的x的集合为________．答案{x|－1≤x≤2}解析p：1x2－x－2>0⇔x>2或x<－1，∴綈p：－1≤x≤2.注：本题若利用綈p：1x2－x－2≤0求解会致误．15．已知命题“∀x∈R，sinx－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．答案(－∞，－1]解析由题意，对∀x∈R，a≤sinx成立．由于对∀x∈R，－1≤sinx≤1，所以a≤－1.16．若命题“∃x0∈R，x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为________．答案(－1，3)解析由“∃x0∈R，x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，得“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1<a<3，所以a的取值范围为(－1，3)．x－a≥0”，q：“存在x∈R，x2 17．已知p：“对任意的x∈[2，4]，log2＋2ax＋2－a＝0”．若p，q均为命题，而且“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．答案a≤－2或a＝1解析p：a≤1，q：4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1.因为p且q是真命题，所以a≤－2或a＝1.。
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知识点总结1 集合与简易逻辑一、集合(一)元素与集合1.集合的含义某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2.集合元素的特征(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关．3.元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种．4.集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．5.常用数集的表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 NN ∗或N + Z Q R (二)集合间的基本关系1.集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.(2)真子集：若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）. 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(3)相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A =B ．(4)空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；(三)集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂， 即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．(2) 并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，(3) 即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．(四)集合的运算性质(1)集合的运算性质：①交换律：A ∪B ＝B ∪A ；A ∩B ＝B ∩A ；②结合律：(A ∪B )∪C ＝A ∪(B ∪C )；(A ∩B )∩C ＝A ∩(B ∩C )；③分配律：(A ∩B )∪C ＝(A ∪C )∩(B ∪C )；(A ∪B )∩C ＝(A ∩C )∪(B ∩C )；【集合常用结论】1.子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n；其真子集个数为2n－1；其非空子集个数为2n－1；其非空真子集个数为2n－2.2. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；4.A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.5.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.二、简易逻辑(一).全称命题、特称(存在性)命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题：¬p：∃x0∈M，¬p(x0).(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：¬p：∀x∈M，¬p(x).(二).充分条件与必要条件的判定方法(1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系。
第一节集合[备考方向要明了]考什么怎么考-1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．|(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.1.对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集合之间的关系，考查利用所学的知识对集合的性质进行初步探究的基本逻辑能力．如(理)2012年全国T1，江西T1等．(文)2012年天津T9等．2.对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下两个方面：(1)判断给定两个集合之间的关系，主要是子集关系的判断．如(文)2012年全国T1，福建T1，湖北T1等．(理)2011北京T1.(2)以不等式的求解为背景，利用两个集合之间的子集关系求解参数的取值范围问题．3.集合的基本运算在高考命题中主要与简单不等式的求解、函数的定义域或值域的求法相结合考查集合的交、并、补运算，以补集与交集的基本运算为主，考查借助数轴或Venn图进行集合运算的数形结合思想和基本运算能力．如(理)2012北京T1、陕西T1、山东T1等．(文)2012陕西T1、上海T2等.[归纳·知识整合]1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示、数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z{Q R[探究] 1.集合A＝{x|x2＝0}，B＝{x|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，D＝{(x，y)|y＝x2}相同吗它们的元素分别是什么提示：这4个集合互不相同，A是以方程x2＝0的解为元素的集合，即A＝{0}；B是函数y＝x2的定义域，即B＝R；C是函数y＝x2的值域，即C＝{y|y≥0}；D是抛物线y＝x2上的点组成的集合．2．0与集合{0}是什么关系∅与集合{∅}呢提示：0∈{0}，∅∈{∅}或∅⊆{∅}．2．集合间的基本关系表示关系[文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同A⊆B且B⊆A⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个[元素不是A中的元素A B或B A 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)[探究] 3.对于集合A，B，若A∩B＝A∪B，则A，B有什么关系提示：A＝B.假设A≠B，则A∩B A∪B，与A∩B＝A∪B矛盾，故A＝B.3．集合的基本运算集合的并集>集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A 的补集为∁U A图形表示}意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}[探究] 4.同一个集合在不同全集中的补集相同吗提示：一般情况下不相同，如A＝{0,1}在全集B＝{0,1,2}中的补集为∁B A＝{2}，在全集D ＝{0,1,3}中的补集为∁D A＝{3}．[自测·牛刀小试]1．(2012·山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为() A．{1,2,4}B．{2,3,4}？C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}解析：选C由题意知∁U A＝{0,4}，又B＝{2,4}，所以(∁U A)∪B＝{0,2,4}．2．(教材改编题)已知集合A＝{x|2x－3<3x}，B＝{x|x≥2}，则()A．A⊆B B．B⊆AC．A⊆∁R B D．B⊇∁R A解析：选B∵A＝{x|2x－3<3x}＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，∴B⊆A.3．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为()A．1或－1 B．1或3~C．－1或3 D．1，－1或3解析：选B∵5∈{1，m＋2，m2＋4}，∴m＋2＝5或m2＋4＝5，即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1,5,13}；当m ＝1时，M ＝{1,3,5}； 当m ＝－1时M ＝{1,1,5}不满足互异性． ∴m 的值为3或1.4．(教材改编题)已知集合A ＝{1,2}，若A ∪B ＝{1,2}，则集合B 有________个． 解析：∵A ＝{1,2}，A ∪B ＝{1,2}， ∴B ⊆A ，∴B ＝∅，{1}，{2}，{1,2}．】答案：45．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋1}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：∵B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}＝{x |x ≥4，或x ≤1}， 且A ∩B ＝∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1>1，a ＋1<4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a <3.即2<a <3.答案：(2,3)集合的基本概念—[例1] (1)(理)(2012·新课标全国卷)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10(文)(2013·济南模拟)若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2(2)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，若9∈(A ∩B )，则实数a 的值为________．[自主解答] (1)(理) 法一：由x －y ∈A ，及A ＝{1,2,3,4,5}得x >y ，当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，有4个；y ＝2时，x 可取3,4,5，有3个；y ＝3时，x 可取4,5，有2个；y ＝4时，x 可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．法二：因为A 中元素均为正整数，所以从A 中任取两个元素作为x ，y ，满足x >y 的(x ，y)即为集合B中的元素，故共有C25＝10个．￥(文)集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}．故所求集合中元素的个数为3.(2)∵9∈(A∩B)，∴9∈A且9∈B，∴2a－1＝9或a2＝9.∴a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4，9}，符合题意；当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B不满足集合中元素的互异性，故a≠3；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，符合题意．∴a＝5或a＝－3.[答案](1)(理)D(文)C(2)5或－3本例(2)中，将“9∈(A∩B)”改为“A∩B＝{9}”，其他条件不变，则实数a为何值解：∵A∩B＝{9}，∴9∈A且9∈B，—∴2a－1＝9或a2＝9，即a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，∴A∩B＝{－4,9}，不满足题意，∴a≠5.当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{－2，－2,9}，不满足集合中元素的互异性，∴a≠3.当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，∴A∩B＝{9}，符合题意，综上a＝－3.|———————————————————解决集合问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．1．(1)已知非空集合A＝{x∈R|x2＝a－1}，则实数a的取值范围是________．(2)已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．解析：(1)∵集合A＝{x∈R|x2＝a－1}为非空集合，∴a－1≥0，即a≥1.(2)∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，}∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}， 即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.答案：(1)[1，＋∞) (2)(－∞，1]集合间的基本关系[例2] 已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤2，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．[自主解答] A 中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a ＝0，则A ＝R ；#②若a <0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |4a ≤x <－1a ；③若a >0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a <x ≤4a . 当a ＝0时，若A ⊆B ，此种情况不存在． 当a <0时，若A ⊆B ，如图，则⎩⎨⎧4a >－12，－1a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0或a <－8，a >0或a ≤－12. 又∵a <0，∴a <－8.当a >0时，若A ⊆B ，如图，则⎩⎨⎧－1a ≥－12，4a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a <0，a ≥2或a <0.]又∵a >0，∴a ≥2.综上知，当A ⊆B 时，a <－8或a ≥2. [答案] (－∞，－8)∪[2，＋∞)保持例题条件不变，当a 满足什么条件时，B ⊆A 解：当a ＝0时，显然B ⊆A ； 当a <0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧4a ≤－12，－1a >2，即⎩⎪⎨⎪⎧－8≤a <0，－12<a <0.又∵a <0，∴－12<a <0.】当a >0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧－1a ≤－12，4a ≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，0<a ≤2.又∵a >0，∴0<a ≤2.,综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.) ——————————————————— 根据两集合的关系求参数的方法已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．2．(文)已知集合A ＝{2,3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m 等于( ) A ．3B ．2 ]C ．2或3D ．0或2或3解析：选D 当B ＝∅时，m ＝0，显然成立； 当B ＝{2}时，6m ＝2，即m ＝3； 当B ＝{3}时，6m ＝3，即m ＝2. 故m ＝0或2或3.2．(理)若集合A ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0，x ∈R }，集合B ＝{1,2}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)若A ＝∅，则Δ＝a 2－4<0，解得－2<a <2；(2)若1∈A ，则12＋a ＋1＝0，解得a＝－2，此时A ＝{1}，符合题意；(3)若2∈A ，则22＋2a ＋1＝0，解得a ＝－52，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)集合的基本运算！[例3] (1)(理)(2012·北京高考)已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2＞0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)＞0}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，－1)D ．(3，＋∞)(文)(2012·陕西高考)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2]D ．[1,2](2)(2013·威海模拟)已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B ＝( )!(3)(2013·武汉模拟)已知A ，B 均为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A＝{1}，(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}，则B ∩(∁U A )＝________.[自主解答] (1)(理) ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－23，B ＝{x |x <－1，或x >3}，∴A ∩B ＝{x |x >3}．(文) 由lg x >0⇒x >1，∴M ＝{x |x >1}， 由x 2≤4⇒－2≤x ≤2，∴N ＝{x |－2≤x ≤2}， ∴M ∩N ＝{x |x >1}∩{x |－2≤x ≤2}＝{x |1<x ≤2}．(2)由A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12得2a ＝12，解得a ＝－1，则b ＝12.所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，则A∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－1，12.(3)依题意及韦恩图得，B ∩(∁U A )＝{5,6}．[答案] (1)(理)D (文)C (2)D (3){5,6}#———————————————————1.集合的运算口诀集合运算的关键是明确概念.集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A 且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集.2.解决集合的混合运算的方法解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解.3．(文)(2013·枣庄模拟)已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0，1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}(解析：选A由题易得集合A＝{0,1}，图中阴影部分所表示的集合是不在集合A中，但在集合B中的元素的集合，即(∁U A)∩B，易知(∁U A)∩B＝{－1,2}．故图中阴影部分所表示的集合为{－1,2}．3．(理)(2013·南昌模拟)已知全集U＝R，函数y＝1x2－4的定义域为M，N＝{x|log2(x－1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|x<2}解析：选C集合M＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∁U M＝[－2,2]，集合N＝(1,3)，所以∁U M∩N ＝(1,2]．集合中的新定义问题【[例4] 非空集合G 关于运算⊕满足：(1)对任意a 、b ∈G ，都有a ⊕b ∈G ；(2)存在c ∈G ，使得对一切a ∈G ，都有a ⊕c ＝c ⊕a ＝a ，则称集合G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G ＝{非负整数}，⊕为整数的加法； ②G ＝{偶数}，⊕为整数的乘法； ③G ＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法； ④G ＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法． 其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④[自主解答] ②错，因为不满足条件(2)；④错，因为不满足条件(1)． [答案] B:———————————————————解决新定义问题应注意以下几点(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质． (2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决． (3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解诀．4．(理)若x ∈A ，且11－x∈A ，则称集合A 为“和谐集”．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，0，1，12，23，2，3，则集合M 的子集中，“和谐集”的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x ＝－2时，11－x＝13∉M ，故－2不是“和谐集”中的元素；。
