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第二十四章 时间序列模型时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。
分析时间序列的方法构成数据分析的一个重要领域，即时间序列分析。
时间序列根据所研究的依据不同，可有不同的分类。
1．按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序列。
2．按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。
3．按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序列。
如果一个时间序列的概率分布与时间t 无关，则称该序列为严格的（狭义的）平稳时间序列。
如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻t 满足：（1）均值为常数（2）协方差为时间间隔τ的函数。
则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。
我们以后所研究的时间序列主要是宽平稳时间序列。
4．按时间序列的分布规律来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。
§1 确定性时间序列分析方法概述时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势的。
一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合。
（1）长期趋势变动。
它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。
（2）季节变动。
（3）循环变动。
通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。
（4）不规则变动。
通常它分为突然变动和随机变动。
通常用t T 表示长期趋势项，t S 表示季节变动趋势项，t C 表示循环变动趋势项，t R 表示随机干扰项。
常见的确定性时间序列模型有以下几种类型：（1）加法模型t t t t t R C S T y +++=（2）乘法模型t t t t t R C S T y ⋅⋅⋅= （3）混合模型t t t t R S T y +⋅= t t t t t R C T S y ⋅⋅+=其中t y 是观测目标的观测记录，0)(=t R E ，22)(σ=t R E 。
如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差2σ较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测，具体方法如下：1.1 移动平均法设观测序列为T y y ,,1 ，取移动平均的项数T N <。
时间序列分析期末复习题时间序列分析期末复习题时间序列分析是一种用来研究时间序列数据的统计方法。
它可以帮助我们理解和预测时间序列数据的趋势、季节性和周期性变化。
在期末复习中，我们可以通过解答一些典型的时间序列分析问题来加深对这一概念的理解。
1. 如何确定时间序列数据的趋势？时间序列数据的趋势是指数据随时间变化的长期趋势。
我们可以使用移动平均法或指数平滑法来确定趋势。
移动平均法是将数据按照一定的时间窗口进行平均，以减少随机波动。
指数平滑法则是通过对数据进行加权平均，使得最近的数据对趋势的影响更大。
通过观察平滑后的数据，我们可以确定时间序列数据的趋势。
2. 如何检测时间序列数据的季节性？时间序列数据的季节性是指数据在特定时间段内周期性变化的模式。
我们可以使用季节性分解方法来检测季节性。
季节性分解方法将时间序列数据分解为趋势、季节性和随机成分三个部分。
通过观察季节性成分，我们可以确定时间序列数据的季节性。
3. 如何预测未来的时间序列数据？预测未来的时间序列数据是时间序列分析的一个重要应用。
我们可以使用平稳性检验来确定时间序列数据是否具有稳定性，如果数据不稳定，我们需要进行差分运算来使其稳定。
然后，我们可以使用自回归移动平均模型（ARMA）或自回归积分移动平均模型（ARIMA）来建立预测模型。
这些模型可以根据过去的数据来预测未来的数据。
4. 如何评估时间序列预测模型的准确性？评估时间序列预测模型的准确性是非常重要的。
我们可以使用均方根误差（RMSE）或平均绝对百分比误差（MAPE）来评估模型的预测准确性。
这些指标可以帮助我们了解模型的误差大小和方向，从而判断模型的有效性。
5. 如何处理异常值和缺失值？在时间序列分析中，异常值和缺失值可能会对结果产生不良影响。
对于异常值，我们可以使用平滑技术或插值方法来修正。
平滑技术可以通过对数据进行平均或加权平均来减少异常值的影响。
插值方法可以通过使用相邻数据的平均值或线性插值来填补缺失值。
B6应用或创建时间序列模型总结时间序列模型是一种将随时间变化的数据进行建模和预测的方法。
以下是B6应用或创建时间序列模型的总结。
1. 理解时间序列模型时间序列模型是基于过去的观测值来预测未来的值。
它假设未来的观测值与过去的观测值有一定的关联性。
2. B6应用时间序列模型的步骤2.1 收集数据首先，需要收集关于时间序列的数据。
这些数据应该包括时间点和相应的观测值。
2.2 数据探索和预处理对数据进行探索和预处理是很重要的。
可以使用统计方法和可视化工具来分析数据的趋势、季节性和周期性。
2.3 选择合适的模型根据数据的性质和特点，选择适合的时间序列模型。
常见的时间序列模型包括AR模型、MA模型和ARIMA模型等。
2.4 模型参数估计使用合适的方法来估计模型的参数。
可以使用最小二乘法或最大似然法等进行参数估计。
2.5 模型检验和诊断对模型进行检验和诊断，评估模型的拟合程度。
常用的方法包括残差分析和模型准确度指标的计算。
2.6 模型预测和评估使用训练好的模型来进行未来观测值的预测。
评估预测结果的准确性和可信度。
3. 创建时间序列模型3.1 确定问题和目标首先，确定需要解决的时间序列问题和预测的目标。
3.2 收集和准备数据收集相关的时间序列数据，并进行数据清洗和预处理。
3.3 选择合适的模型根据问题的性质和目标，选择适合的时间序列模型进行建模。
3.4 模型参数估计和优化使用适当的方法对模型参数进行估计和优化。
3.5 模型评估和调整评估模型的拟合程度，并根据评估结果对模型进行调整和改进。
3.6 预测和应用模型使用训练好的时间序列模型进行未来值的预测，并应用于实际问题中。
以上是B6应用或创建时间序列模型的总结。
时间序列模型是一种强大的预测工具，可以帮助我们预测未来的趋势和行为。
一．导 论1. 计量经济学和时间序列分析的区别与联系2. 时间序列分析的概念:时间序列分析(T i m e s e r i e s a n a l y s i s ) 是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律性的统计方法，是统计学的一个分支。
3. 时间序列分析的研究对象：时间序列数据 4. 时间序列分析的基本思想：样本推断根据系统的有限长度的运行记录（样本数据），建立能够比较精确地反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并借以对系统的未来发展进行预报（时间序列预测）。
二．时间序列分析基础 1、随机过程（1）含义：在数学上，随机过程被定义为一组随机变量。
（2）特征：① 从顺序角度来看：随机过程是随机变量的集合；随机变量是随时间产生的，在任意时刻t ，总有随机变量X t 与之相对应;事物发展没有必然变化规律。
② 从数学角度看：不可用时间t 的函数确定的描述。
③ 从试验角度来看：不可重复。
（3）重要的随机过程 ①白噪声过程②随机游走过程：x t = x t -1 + u t 如果u t 为白噪声过程，则称x t 为随机游走过程。
（4）随机过程的平稳性随机过程的统计特征不随时间的推移而发生变化。
严平稳：随机过程中随机变量的任意子集的联合分布函数与时间无关。
宽平稳：∞<=+2),(k k t t x x Cov σ∞<=2)(σt x Var ∞<=μ)(t x E直观的看，平稳的数据可以看作是一条围绕其均值上下波动的曲线。
（5）随机过程与时间序列:随机过程的一次实现称为时间序列随机过程的实现： 由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为{},t Y t T ∈，简记为Y t 。
其中，每一个元素Y t 都是随机变量。
将每一个元素的样本点按序排列，称为随机过程的一个实现，即时间序列数据，亦即样本。
2、差分方程的展开式子差分方程：变量当期值定义为它的前期和一个当期的随机扰动因素的函数。
时间序列模型笔记ARIMA （p ，d ，q ）称为差分自回归移动平均模型，AR 是自回归， p 为自回归项； MA 为移动平均，q 为移动平均项数，d 为时间序列成为平稳时所做的差分次数。
所谓ARIMA 模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。
ARIMA 模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA ）、自回归过程（AR ）、自回归移动平均过程（ARMA ）以及ARIMA 过程。
ARIMA 模型的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。
这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。
现代统计方法、计量经济模型在某种程度上已经能够帮助企业对未来进行预测。
ARIMA 模型预测的基本程序（一）根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF 单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。
一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。
（二）对非平稳序列进行平稳化处理。
如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。
（三）根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。
若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR 模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA 模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA 模型。
（四）进行参数估计，检验是否具有统计意义。
（五）进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。
（六）利用已通过检验的模型进行预测分析。
基于ARIMA 模型的备件消耗预测方法用差分自回归滑动平均模型，即ARIMA(p,d,q)模型，对备件消耗进行预测。
《时间序列分析》复习第一章时间序列分析概论理解时序图在时间序列分析中的作用和地位。
第二章时间序列分析的基本概念第一节随机过程1.随机过程的概念2.有限维分布族的概念、Kolmogorov定理3.均值函数、自协方差函数的概念第二节平稳过程的特征及遍历性1.严平稳的概念2.宽平稳的概念3.严平稳与宽平稳的关系4.平稳性的判定5.均值遍历性及其判定6.纯随机序列的概念7.白噪声的概念第三节线性差分方程了解。
第四节时间序列数据的预处理1.平稳性检验(重点是EViews中的判断)2.纯随机性的判断（EViews）第三章线性平稳时间序列分析第一节线性过程1. 延迟算子的概念2. 线性过程的概念3. 因果性的概念4. 可逆性的概念第二节自回归过程AR( p)1.自回归过程的特征方程2.平稳性的条件（一阶、二阶、一般情况）3.逆转形式、传递形式第三节移动平均过程MA( q)1.平稳性2.逆转形式、传递形式第四节自回归移动平均过程ARMA(p, q)1.平稳性条件，可逆性条件2.逆转形式、传递形式第五节自相关系数与偏相关系数1. 自回归模型的Y-W方程（自相关系数）、拖尾性2. 移动平均过程的自相关系数、截尾性3. 自回归移动平均过程和自相关系数求取4. 偏自相关系数的计算公式5. 会求模型的偏自相关系数6. 偏自相关系数的拖尾性和截尾性第五章时间序列的模型识别第一节自相关和偏相关系数法1. 会利用自相关和偏相关系数法进行模型识别（EViews）第二节F检验法（略）第三节信息准则法1. AIC准则法（EViews）2. BIC准则法（EViews）第六章时间序列模型参数的统计推断第一节自协方差系数的参数估计1. 样本自协方差函数的概念2. 样本自协方差函数的性质（了解）第二节ARMA(p,q)模型参数的矩估计1. AR模型参数的矩估计（Y ule-Walker估计）；渐近分布（了解）2. MA模型参数的矩估计（掌握原理）3. ARMA模型参数的矩估计（掌握基本原理）第三节ARMA(p,q)模型参数的极大似然估计1. AR模型参数的极大似然估计的求解；渐近分布（了解）2. ARMA模型参数的极大似然估计（了解）第四节ARMA(p,q)模型参数的最小二乘估计1. 最小二乘估计的基本原理第七章平稳时间序列模型预测第一节最小均方误差预测1. 最小均方误差预测、掌握原理第二节AR模型的预测1. 预测值2. 预测区间第三节MA模型的预测1. 预测值2. 预测区间第四节ARMA模型的预测1. 预测值2. 预测区间第五节预测值的适时修正了解。
一.时间序列分析的相关概念♦随机过程：若对于每一个特定的t ∈T ，X(t)是一个随机变量，则称这一族无穷多个随机变量{X(t),t ∈T}是一个随机过程。
♦纯随机过程：随机过程X(t)(t=1,2,…)，如果是由一个不相关的随机变量序列构成的，即对于所有s ≠t ，随机变量X t 和X s 的协方差均为零，则称其为纯随机过程。
♦♦♦♦独立增量随机过程：任意两相邻时刻上的随机变量之差是相互独立的，则称其为独立增量随机过程。
二阶矩过程：若随机过程{X(t),t ∈T}，对每个t ∈T ，X(t)的均值和方差存在，则称其为二阶矩过程。
正态过程：若{X(t)}的有限维分布都是正态分布，则称{X(t)}为正态随机过程。
平稳过程(严平稳)：如果对于时间t 的任意n 个值t 1,t 2,…,t n 和任意实数 ，随机过程X(t)的n 维分布函数满足关系式F n (x 1,x 2,…,x n ; t 1,t 2,…,t n ) = F n (x 1,x 2,…,x n ; t 1+ε,t 2+ε,…,t n+ε)，则称X(t)为平稳过程。
即是统计特性不随时间的平移而变化的过程。
♦宽平稳：若随机过程{X(t),t ∈T}的均值和协方差存在，且满足①EX t ∈a,∀t ∈T ；②E[X t+τ-a][X t -a]=R(τ),∀t,t+τ∈T ，则称{X(t),t ∈T}为宽平稳随机过程，R(τ)为X(t)的协方差函数。
♦非平稳随机过程：不具有平稳性的过程就是非平稳过程。
即序列均值或协方差与时间有关时，就可以认为是非平稳的。
♦♦自相关：指时间序列观察资料互相之间的依存关系。
动态性(记忆性)：指系统现在的行为与其历史行为的相关性。
如果某输入对系统后继n 个时刻的行为都有影响，就说该系统具有n 阶动态性。
二.刻画时间序列统计特性的各种数字特征的定义、性质等♦均值函数其中，F t (x)为随机序列X t 的分布密度函数。
金融时间序列知识点总结一、时间序列数据的描述统计时间序列数据的描述统计是对时间序列数据的基本特征进行描述和分析。
时间序列数据通常表现为趋势、季节性和随机性。
趋势是指时间序列数据随时间变化呈现出的总体上升或下降的趋势；季节性是指时间序列数据在一年内周期性的变动规律；随机性是指时间序列数据除了趋势和季节性之外的随机波动。
常用的描述统计方法包括数据的平均值、方差、标准差、最大值、最小值、分位数、偏度和峰度等指标。
这些指标可以帮助我们直观地了解时间序列数据的分布规律和基本特征。
二、时间序列的基本模型和预测方法时间序列的基本模型和预测方法包括了平稳时间序列模型、非平稳时间序列模型和预测方法。
平稳时间序列模型是指时间序列数据在时间平均和方差都保持恒定的模型，其中最为重要的是自回归移动平均模型（ARMA模型）和自回归积分移动平均模型（ARIMA模型），它们分别是对时间序列数据的自相关性和滞后效应的建模；非平稳时间序列模型是指时间序列数据在时间平均和方差存在趋势或季节性变化的模型，其中最为重要的是趋势模型、季节模型和趋势季节模型，它们是对时间序列数据在趋势和季节上的变化规律进行建模；时间序列的预测方法包括了朴素预测、移动平均法、指数平滑法、回归分析法、时间序列模型法、神经网络法、支持向量机法等。
这些方法可以帮助我们对时间序列数据的未来走势进行预测。
三、时间序列数据的平稳性检验和建模时间序列数据的平稳性是对时间序列数据的基本特征之一。
平稳时间序列的平均值和方差在时间上是保持恒定的，而非平稳时间序列的平均值和方差在时间上是存在趋势或季节性变化的。
平稳性检验主要包括了图示法、单位根检验、差分平稳性检验、协整性检验和平滑法。
平稳时间序列的建模方法包括了白噪声模型、自回归模型、移动平均模型、自回归移动平均模型、自回归积分移动平均模型、趋势模型、季节模型、趋势季节模型和混合模型。
这些方法可以帮助我们对时间序列数据的平稳性进行检验和建模四、时间序列数据的相关性和协整性分析时间序列数据的相关性是对时间序列数据之间的关联程度进行分析。
时间序列模型归纳总结复习随机时间序列分析的几个基本概念一、随机过程(Stochastic Process)定义 设（Ω,F,P ）是概率空间，T 是给定的参数集，如果对于任意t ∈T ，都有一定义在（Ω,F ,P ）上的随机变量X(t,ω)与之对应，则称随机变量族{X(t,ω),t ∈T}为随机过程。
简记为{X(t,),t ∈T}或{X t ,t ∈T }或X T离散参数的随机过程也称为随机序列或（随机）时间序列。
上述定义可简单理解成：随机过程是一簇随机变量{X t ,t ∈T}，其中T 表示时间t 的变动范围，对每个固定的时刻t 而言，X t 是一普通的随机变量，这些随机变量的全体就构成一个随机过程。
当t={0,±1,±2,…}时，即时刻t 只取整数时，随机过程{X t ,t ∈T}可写成如下形式，{X t ,t=0,±1,±2,…}。
此类随机过程X t 是离散时间t 的随机函数，称它为随机序列或时间序列。
对于一个连续时间的随机过程的等间隔采样序列，即{X t ,t=0,±1,±2,…}就是一个离散随机序列。
二、时间序列的概率分布和数值特征1、时间序列的概率分布一个时间序列便是一个无限维的随机向量。
一个无限维随机向量X=(…,X-1,X0,X1,…)/的概率分布应当用一个无限维概率分布描述。
根据柯尔莫哥夫定理，一个时间序列的概率分布可以用它有限维分布簇来描述。
时间序列所有的一维分布是：…，F-1(·)，F0(·)，F1(·),… 所有二维分布是：Fij(·，·)， i ，j=0,±1,±2,…,(i ≠j)一个时间序列的所有有限维分布簇的全体，称为该序列的有限维分布簇。
2、时间序列的均值函数一个时间序列的均值函数是指：()t t t EX XdF X μ∞-∞==⎰其中EXt 表示在t 固定时对随机变量Xt 的求均值，它只一维分布簇中的分布函数Ft(·)有关。
3、时间序列的协方差函数与自相关函数与随机变量之间的协方差相似，时间序列的协方差函数定义为：()(),(,)()()(,)t t s s t s s t s t s E X X X Y dF X Y γμμμμ∞∞-∞-∞=--=--⎰⎰其中Ft,s(X,Y)为（Xt ，Xs ）的二维联合分布。
类似可以定义时间序列的自相关函数，即：(,)(,)t s t s ργ=时间序列的自协方差函数有以下性质： （1） 对称性：(,)(,)t s s t γγ=（2） 非负定性：对任意正整数m 和任意m 个整数k 1, k 2,。
k m ，方阵()()()()()()()()()11121m 21222m m 1m 2m m k ,k k ,k k ,k k ,k k ,k k ,k k ,k k ,k k ,k m γγγγγγγγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Γ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L LL 为对称非负定矩阵。
时间序列的自相关函数同样也具有上述性质且有ρ(t,t)=1。
三、平稳随机过程平稳时间序列是时间序列分析中一类重要而特殊的随机序列，时间序列分析的主要内容是关于平稳时间序列的统计分析。
（一）两种不同的平稳性定义：1、 严平稳：如果对于时间t 的任意n 个值12,,,n t t t L 和任意实数ε，随机过程t X 的n 维分布满足关系式：()()12121212,,;,,,,;,,n n n n n n F x x x t t t F x x x t t t εεε=+++L L L L则称t X 为严平稳过程。
2、宽平稳：若随机过程{},t X t T ∈的均值（一阶矩）和协方差存在，且满足（1）[]t E X at T =∀∈ （2）[][](),t k t E X a X a k t t k T γ+--=∀+∈则称{},t X t T ∈为宽平稳随机过程。
通常说的平稳是指宽平稳。
二者的联系：（Ⅰ）严≠>宽：因为宽平稳要求期望和协方差存在，而严平稳要求概率分布存在，而不能断言一、二阶矩存在。
（Ⅱ）宽≠>严，这是不言而喻的。
（Ⅲ）严平稳+二阶矩存在⇒宽平稳。
但反过来一般不成立。
（Ⅳ）对于正态过程来说，有：严平稳⇔宽平稳 （二）平稳时间序列自协方差函数和自相关函数为了叙述方便，常假定平稳时间序列t X 的均值为零，即[]0t E X =。
用以下记号表示平稳序列t X 的自协方差函数，即[][]()0k t k t k t t t t t kE X EX X EX EX EX X γ+++=--==当时相应地，t X 的自相关函数用以下记号0k k ργ=平稳序列t X 的自协方差函数列和自相关函数列具有以下性质： （1） 对称性：,k k k k γγρρ--==； （2） 非负定性：对于任意正整数m ，01m-110m-2m-1m-20m γγγγγγγγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Γ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L ，1m-11m-2m-1m-2111m R ρρρρρρ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 为非负定对称方阵； （3）0,1k k γγρ≤≤。
（三）平稳序列的样本统计量 （1） 样本均值时间序列无法获得多重实现，多数时间序列仅包含一次实现，对于一个平稳序列用时间均值代替总体均值。
即11nt t X X n ==∑上式的估计是无偏的。
（2） 样本自协方差函数()()11ˆn kk t t k t X X X X n γ-+==--∑()()11ˆn kk t t k t X X X X n k γ-+==---∑ 第一式是有偏估计，第二式是无偏估计，但有效性不如第一式。
其它概率性质和偏自相关函数的定义将在以后章节介绍。
四、几类特殊的随机过程（序列）：1、纯随机过程：随机过程如果是由一个不相关的随机变量的序列构成的，则称其为纯随机过程。
2、白噪声序列（White noise ）：如果时间序列t X 满足以下性质： （1）[]0t E X = （2）[]2,t s t s E X X σδ=式中，当t ≠s 时，,,0,1t s t t δδ==。
称此序列为白噪声序列，简称白噪声。
白噪声是一种最简单的平稳序列。
（3）独立同分布序列：如果时间序列{},t X t T ∈中的随机变量X t ,t=0,±1,±2,…,为相互独立的随机变量，而且X t 具有相同的分布，称这样的时间序列{},t X t T ∈为独立同分布序列。
独立同分布序列是一种最简单的严平稳序列。
一般说，白噪声序列与独立同分布序列是不同的两种序列，当白噪声序列为正态序列时，它也是独立同分布序列，此时称之为正态白噪声序列。
（4）独立增量随机过程：对于任意正整数n ，任意()121,2,,,i n t T i n t t t ∈=<<<L L ，随机变量21321,,n n t t t t t t X X X X X X ----L 相互独立。
简单地讲，就是任意两相邻时刻上的随机变量之差（增量）是相互独立的。
（5）二阶矩过程：若随机过程{},t X t T ∈对每个,t T ∈t X 的均值和方差存在，则称之为二阶矩过程。
（6）正态过程：若{},t X t T ∈的有限维分布都是正态分布，则称{},t X t T ∈为正态随机过程。
主要介绍三种单变量模型：自回归（AR ）模型、移动平均（MA ）模型和自回归移动平均（ARMA ）模型。
第一节 自回归模型一、一阶自回归模型AR(1)如果时间序列独立，就是说事物的后一时刻的行为主要与其前一时刻的行为毫无关系。
这样的资料所揭示甲统计规律就是事物独立地随机变动，系统无记忆能力。
如果情况不是这样，资料之间有一定的依存性。
后一时刻的行为主要与前一时刻的行为有关，而与其前一时刻以前的行为无直接关系，即已知Xt-1；X t 主要与X t-1相关。
用记忆性来说，就是最短的记忆，即一期记忆，也就是一阶动态性。
描述这种关系的数学模型就是一阶自回归模型。
即11t t t X X a ϕ-=+记作AR （1）。
其中X t 零均值平稳序列，αt 为随机扰动。
1、 一阶自回归模型的特点X t 对X t-1有线性相关关系 αt 为独立正态同分布序列()0,1,2,...t t j E a X j -==2、 AR （1）与普通一元线性回归的关系主要区别：（1） 普通线性回归模型需要一组确定性变量值和相应的观测值；ＡＲ（１）模型只需要一组随机变量的观测值。
（2） 普通一无线性回归表示的是一随机变量对另一个确定性变量的依存关系；而AR （1）表示的是一个随机变量对其自身过去值的依存关系。
（3） 普通线性回归是在静态的条件下研究的；AR （1）是在动态的条件下研究的。
（4） 二者的假定不同。
（5） 普通回归模型实质是一种条件回归，而AR （1）是无条件回归。
主要联系：固定时刻t-1，且观察值Xt-1已知时，AR （1）就是一个普通的一元线性回归。
二、AR （1）模型的特例－随机游动 １、随机游动模型1t t t X X a -=+ ２、模型的特性（１） 系统具有极强的一期记忆性，系统在t-1和t 时刻的响应，除随机扰动外，完全一致，差异完全是由扰动引起的。
（２） 在时刻t-1时，系统的一步超前预测就是系统在t-1时的响应X t-1，即(1)11ˆt t X X --=。
（３） 系统行为是一系列独立随机变量的和，即 0t t jj X a∞-==∑三、一般自回归模型AR(n)1122...t t t n t n t X X X X a ϕϕϕ---=++++其中：t a 为白噪声，()0,1,2,...t t j E a X j -==。
第二节 移动平均模型一、一阶移动平均模型MA （1）如果系统的响应X t 仅与其前一时刻进入系统的扰动αt 存在一定的相关关系，则有MA （1）模型： 11t t t X a a θ-=-其中：t a 为白噪声。
MA （1）模型的基本假设为：（1）系统的响应X t 仅与其前一时刻进入系统的扰动αt 有一定的依存关系；（2）t a 为白噪声。
二、一般移动模型MA （m ）模型的形式：1112...t t t t m t m X a a a a θθθ---=----其中：（1）X t 仅与1t α-，2t α-，… ，t m α-有关，而与t j α-（j=m+1,m+2,…）无关；（2）t α为白噪声。
第三节 自回归移动平均(ARMA)模型一、ARMA （2，1）模型1、ARMA （2，1）模型的形式：112211t t t t t X X X ϕϕαθα-----=-其中：t X 与1t X -、2t X -和1t α-有相关关系，t α白噪声。
