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2015年上海市闸北区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

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2015年上海市闸北区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．（6分）复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．2．（6分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝log2（2﹣x），则f（0）+f（2）＝．3．（6分）设定点A（0，1），若动点P在函数y＝（x＞0）图象上，则|P A|的最小值为．4．（6分）用数字“1，2”组成一个四位数，则数字“1，2”都出现的四位数有个．5．（6分）设n∈N*，圆的面积为S n，则＝．6．（6分）在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，M，N是斜边BC上的两个三等分点，则的值为．7．（6分）设函数f（x）＝sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立；②x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是．8．（6分）如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a 的取值范围是．9．（6分）关于曲线C：x4﹣y3＝1，给出下列四个结论：①曲线C是双曲线；②关于y轴对称；③关于坐标原点中心对称；④与x轴所围成封闭图形面积小于2．则其中正确结论的序号是．（注：把你认为正确结论的序号都填上）二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.10．（6分）“a≠2”是“关于x，y的二元一次方程组有唯一解”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（6分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2013＜0B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2013＞0D．若a4＞0，则S2014＞012．（6分）对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a＝a⊕e＝a，则称元素e 是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A＝R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a＝a×1＝a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A＝R，运算“⊕”为普通减法；②A＝{A m×n|A m×n表示m×n阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法；③A＝{X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（）A．①②B．①③C．①②③D．②③三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（18分）请仔细阅读以下材料：已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数．求证：命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．证明因为a，b∈R+，由ab＞1得a＞＞0．又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，于是有．①同理有．②由①+②得．故，命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设a，b∈R+，若，则：ab＞1”是真命题；（2）解关于x的不等式f（a x﹣1）+f（2x）＞f（a1﹣x）+f（2﹣x）（其中a＞0）．14．（20分）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y＝A sin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，ϕ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE＝θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．15．（20分）已知F1，F2分别是椭圆C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点且与抛物线y2＝﹣8x有一个公共的焦点．（1）求椭圆C方程；（2）斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆交于A，B两点，求弦AB的长；（3）P为直线x＝3上的一点，在第（2）题的条件下，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．16．（20分）设数列{a n}满足：①a1＝1；②所有项a n∈N*；③1＝a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m＝{n|a n≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（2）设a n＝3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前100之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n＝n+c（其中c常数），试求数列{a n}的伴随数列{b n}前m项和T m．2015年上海市闸北区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．（6分）复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为4．【解答】解：＝．∵复数是纯虚数∴，解得：a＝4．故答案为：4．2．（6分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝log2（2﹣x），则f（0）+f（2）＝﹣2．【解答】解：f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即有f（0）＝0，f（﹣2）＝﹣f（2），当x＜0时，f（x）＝log2（2﹣x），f（﹣2）＝log2（2+2）＝2，则f（0）+f（2）＝0﹣2＝﹣2．故答案为：﹣2．3．（6分）设定点A（0，1），若动点P在函数y＝（x＞0）图象上，则|P A|的最小值为2．【解答】解：设P（x，1+），∴|P A|＝≥＝2．当且仅当，即x＝时，取“＝”号，∴|P A|的最小值为2．故答案为：2．4．（6分）用数字“1，2”组成一个四位数，则数字“1，2”都出现的四位数有14个．【解答】解：方法一：1，2”组成一个四位数，数字“1，2”都出现的共3类，第一类，3个1，1个2，有3个1的排列顺序只有1种，把2插入到3个1所形成的4个间隔中，故有＝4个，第二类，3个2，1个1，有3个2的排列顺序只有1种，把1插入到3个2所形成的4个间隔中，故有＝4个，第三类，2个1，2个2，先排2个1只有一种，再把其中一个2插入到2个1只形成的3个间隔中，再把另一个2插入所形成的四个间隔中，2个2一样，故＝6，根据分类计数原理，数字“1，2”都出现的四位数有4+4+6＝14个方法二，列举即可，1112，1121，1211，2111，1122，1212，1221，2121，2112，2211，2221，2212，2122，1222，共14个故答案为145．（6分）设n∈N*，圆的面积为S n，则＝4π．【解答】解：∵圆的面积为S n，∴S n＝．∴＝＝4π．故答案为：4π．6．（6分）在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，M，N是斜边BC上的两个三等分点，则的值为4．【解答】解：在Rt△ABC中，BC为斜边，则＝0，则＝（）•（+）＝（+）•（+）＝（+）•（）＝++＝×9+＝4．故答案为：4．7．（6分）设函数f（x）＝sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立；②x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【解答】解：根据题意：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立由于：x0∈（﹣1，1）所以：对f（x）≤f（x0）成立，只需满足f（x）≤f（x0）min即可．由于f（x）＝sin（πx），所以：由于②x02+[f（x0）]2＜m所以当，且求出：m2＞4进一步求出：m＞2或m＜﹣2故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．8．（6分）如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a 的取值范围是（﹣∞，5]．【解答】解：不等式x2＜|x﹣1|+a等价为x2﹣a＜|x﹣1|，设f（x）＝x2﹣|x﹣1|﹣a，则f（x）＝，若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则等价为，即，即，解得a≤5，故答案为：（﹣∞，5]9．（6分）关于曲线C：x4﹣y3＝1，给出下列四个结论：①曲线C是双曲线；②关于y轴对称；③关于坐标原点中心对称；④与x轴所围成封闭图形面积小于2．则其中正确结论的序号是②④．（注：把你认为正确结论的序号都填上）【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①：曲线C：x4﹣y3＝1，不符合双曲线的标准方程，故不是双曲线；①错误；对于②：若点（x，y）在曲线上，则有x4﹣y3＝1，那么对于与点（x，y）关于y 轴对称的点（﹣x，y），也有（﹣x）4﹣y3＝1成立，则点（﹣x，y）也在曲线上，故曲线关于y轴对称，②正确；对于③：若点（x，y）在曲线上，则有x4﹣y3＝1，那么对于与点（x，y）关于原点对称的点（﹣x，﹣y），（﹣x）4﹣（﹣y）3＝1不成立，则点（﹣x，﹣y）不在曲线上，故曲线不关于原点对称，③错误；对于④：曲线C：x4﹣y3＝1，变形可得y＝，分析可得曲线与x轴的交点为A（﹣1，0）、B（1，0），与y轴的交点为E（0，﹣1），且其图象在矩形ABCD内，故曲线与x轴所围成封闭图形面积小于S矩形ABCD，而S矩形ABCD，＝2，故④正确；故答案为②④．二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.10．（6分）“a≠2”是“关于x，y的二元一次方程组有唯一解”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由有唯一解得：y＝，∴a≠2且a≠﹣1，∴a≠2”是“关于x，y的二元一次方程组有唯一解”的必要不充分条件，故选：A．11．（6分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2013＜0B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2013＞0D．若a4＞0，则S2014＞0【解答】解：对于选项A，可列举公比q＝﹣1的等比数列1，﹣1，1，﹣1，…，显然满足a3＞0，但a2013＝1＞0，故错误；对于选项B，可列举公比q＝﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但a2014＝1，故错误；对于选项D，可列举公比q＝﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但S2014＝0，故错误；对于选项C，因为a3＝a1•q2＞0，所以a1＞0．当公比q＞0时，任意a n＞0，故有S2013＞0；当公比q＜0时，q2013＜0，故1﹣q ＞0，1﹣q2013＞0，仍然有S2013 ＝＞0，故C正确，故选：C．12．（6分）对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a＝a⊕e＝a，则称元素e 是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A＝R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a＝a×1＝a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A＝R，运算“⊕”为普通减法；②A＝{A m×n|A m×n表示m×n阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法；③A＝{X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（）A．①②B．①③C．①②③D．②③【解答】解：①若A＝R，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；②A＝{A m×n|A m×n表示m×n阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③A＝{X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集，其单位元素为集合M．故选：D．三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（18分）请仔细阅读以下材料：已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数．求证：命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．证明因为a，b∈R+，由ab＞1得a＞＞0．又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，于是有．①同理有．②由①+②得．故，命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设a，b∈R+，若，则：ab＞1”是真命题；（2）解关于x的不等式f（a x﹣1）+f（2x）＞f（a1﹣x）+f（2﹣x）（其中a＞0）．【解答】解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题．原命题的逆否命题：设a，b∈R+，若ab≤1，则：，下面证明原命题的逆否命题为真命题：因为a，b∈R+，由ab≤1，得：，又f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数所以 (1)同理有： (2)由（1）+（2）得：所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题．（2）由（1）的结论有：a x﹣1•2x＞1，即：（2a）x＞a，①当2a＞1时，即时，不等式的解集为：（log2a a，+∞）；②当0＜2a＜1时，即时，不等式的解集为：（﹣∞，log2a a）；③当2a＝1时，即时，不等式的解集为：R．14．（20分）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y＝A sin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，ϕ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE＝θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．【解答】解：（1）由已知条件，得A＝2，又∵，∴ω＝，又∵当x＝﹣1时，有∴，∴曲线段FBC的解析式为．（2）由得，x＝6k+（﹣1）k﹣4（k∈Z），又∵x∈[﹣4，0]，∴k＝0，x＝﹣3，∴G（﹣3，1），；∴景观路GO长为千米．（3）如图，，∴，作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1＝OP sinθ＝2sinθ，在△OMP中，＝，∴OM＝＝2cosθ﹣sinθ，S OMPQ＝OM•PP1＝（2cosθ﹣sinθ）2sinθ＝2sin2θ+﹣＝sin（2θ+）﹣，θ∈（0，）；当2θ+＝时，即θ＝时，平行四边形面积有最大值为（平方千米）．15．（20分）已知F1，F2分别是椭圆C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点且与抛物线y2＝﹣8x有一个公共的焦点．（1）求椭圆C方程；（2）斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆交于A，B两点，求弦AB的长；（3）P为直线x＝3上的一点，在第（2）题的条件下，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意得F1（﹣2，0），c＝2…（2分）又，得a4﹣8a2+12＝0，解得a2＝6或a2＝2（舍去），…（2分）则b2＝2，…（1分）故椭圆方程为．…（1分）（2）直线l的方程为y＝k（x﹣2）．…（1分）联立方程组，消去y并整理得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2）．故，．…（1分）则|AB|＝|x1﹣x2|＝＝．…（2分）（3）设AB的中点为M（x0，y0）．∵＝2x0，∴，…（1分）∵y0＝k（x0﹣2），∴．…（1分）直线MP的斜率为，又x P＝3，所以．…（2分）当△ABP为正三角形时，|MP|＝，可得，…（1分）解得k＝±1．…（1分）即直线l的方程为x﹣y﹣2＝0，或x+y﹣2＝0．…（1分）16．（20分）设数列{a n}满足：①a1＝1；②所有项a n∈N*；③1＝a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m＝{n|a n≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（2）设a n＝3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前100之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n＝n+c（其中c常数），试求数列{a n}的伴随数列{b n}前m项和T m．【解答】解：（1）1，4，7．（2）由，得∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1＝b2＝1，当3≤m≤8，m∈N*时，b3＝b4＝…＝b8＝2，当9≤m≤26，m∈N*时，b9＝b10＝…＝b26＝3，当27≤m≤80，m∈N*时，b27＝b28＝…＝b80＝4，当81≤m≤100，m∈N*时，b81＝b82＝…＝b100＝5，∴b1+b2+…+b100＝1×2+2×6+3×18+4×54+5×20＝384．（3）∵a1＝S1＝1+c＝1∴c＝0，当n≥2时，a n＝S n﹣S n＝3n﹣2﹣1∴…（2分）由a n＝3n﹣2≤m得：因为使得a n≤m成立的n的最大值为b m，所以，当m＝3t﹣2（t∈N*）时：，当m＝3t﹣1（t∈N*）时：，当m＝3t（t∈N*）时：，所以（其中t∈N*）．。

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2015年上海市高考数学试卷理科解析汇报

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实用文档文案大全2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015?上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩?UΒ=2．（4分）（2015?上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=3．（4分）（2015?上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=4．（4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=5．（4分）（2015?上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=6．（4分）（2015?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为7．（4分）（2015?上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为8．（4分）（2015?上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9．（2015?上海）已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P 和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为10．（4分）（2015?上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f （x）+f﹣1（x）的最大值为11．（4分）（2015?上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．12．（4分）（2015?上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若实用文档文案大全随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ1﹣Eξ2=（元）．13．（4分）（2015?上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥12，m∈N*），则m的最小值为14．（2015?上海）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则?=二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015?上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件 B必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件16．（5分）（2015?上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A． B． C． D．17．（2015?上海）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根18．（5分）（2015?上海）设 P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）实用文档文案大全 A．﹣1 B．﹣ C． 1 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015?上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE 所成的角的大小．20．（14分）（2015?上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）（2015?上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．22．（16分）（2015?上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．实用文档文案大全23．（18分）（2015?上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．实用文档文案大全2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015?上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩?UΒ={1，4}考交、并、补的混合运算专集合分析本题考查合的运算于两个集已经化简直接运算出答案即可解答解：∵全U=，集={4={∴={x|2∴A∩（?U B）={1，4故答案为：{1，4}．．点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．实用文档文案大全2．（4分）（2015?上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=考复数代数式的乘除算．专题：数系的扩充和复数．分析：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．解答：解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R又3z+=1+∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+化为4a+2bi=1+∴4a=1，2b=解得a=，∴z=．．故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．3．（4分）（2015?上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16实用文档文案大全考二阶行列与逆矩阵．专题：矩阵和变换．分析：根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．解答：解：由题意知，是方程组的即，则c1﹣c2=21﹣5=1故答案为：16．点评：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．4．（4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关实用文档文案大全系与距离分析由题意可sin?a=16，由此求得a的值．解答：解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为?a?a?sin60°，正棱柱的高为∴（?a?a?sin60°）?a=16，∴a=4，故答案为：4．点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．5．（4分）（2015?上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．解答：解：因为抛物线y2=2px（p实用文档文案大全）上的到焦的距所p=2故答案为：2点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．（4分）（2015?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为考旋转体（柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．解答：解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为则圆锥的侧面积为：πrl，实用文档文案大全过轴的截面∵圆锥的面积与过的截面设母线，故答案为：．点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．7．（4分）（2015?上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．解答：解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，实用文档文案大全5=化为）2﹣12?3x+27=因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=∴3x=3，3x=解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍∴x=2．故答案为：2．点评：本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）（2015?上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可实用文档文案大全得答案解答解：根据意报名的名男老师名女教师名老师选人加义务献血有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120故答案为：120．点评：本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．9．（2015?上海）已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，利用实用文档文案大全坐标间的系求轨迹方程可求渐近线方程解答解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10（4分）（2015?上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f （x）+f﹣1（x）的最大值为4考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f﹣1（x）在[]上为实用文档文案大全增函数由数的单调求y=+（x）的最大值．解答：解：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]，可得y=f﹣1（x）在[]上为增函因此y=f（x）+f﹣1（x）在[]上为增函∴y=f（x）+f （x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=1+1+2=故答案为：4．﹣1点评：本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．11．（4分）（2015?上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45（结果用数值表示）．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．实用文档文案大全分析先把原式两项结合开分析可仅有展开的第一项项然写出第一二项展开的通项，的指数值，则案可求解答解：1+x10∴仅在第部分中出项再，r项的故答案为4点评本题考查二项式系的性质关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．实用文档文案大全12．（4分）（2015?上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ1﹣Eξ2=0.2（元）．实用文档文案大全机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行算是解决题的关键13．（4分）（2015?上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥12，m∈N*），则m的最小值为8考点：正弦函数的图象．14．（2015?上海）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△ A BD 与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则?=﹣考平面向量量积的运算专平面向量应用分析由题意画图形结合积求cosA，，然后代入数量积公式得答案．解答：解：如图，∵△ABD与△ACD的面实用文档文案大全积分别为2tanA联siA+c=实用文档文案大全故答案点评本题考查面向量的量积运算查了数形合的解题想方法考了三角函的化简与值，是中题二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015?上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑；数系的扩充和复数．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．解答：解：设z1=1+i，z2=i，实用文档文案大全满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z2是虚不若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．16．（5分）（2015?上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A． B． C． D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．实用文档文案大全分析：根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角差的正弦式进行求即可解答解：∵∴xOAsicoO绕坐原逆针旋OO的倾角|OB|=|OA|则的坐标y=|OP|si=7．实用文档文案大全（sinθcos+cosθsin）故选点评本题主要查三角函值的计算据三角函的定义以两角和差正弦公式解决本题关键17．（2015?上海）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据方程根与判别式△之间的关系求出a12≥4，a22＜8，结合a1，a2，a3成等比数列求实用文档文案大全出方程③的判别式△的取值即可得到结论．解答：解：当方程有实根无实根时成等比数即方判别=1，此时故选B点评本题主要查方程根在性与判之间关系结合比数列的义和性质断判别的取值关是解决本的关键实用文档文案大全18．（5分）（2015?上海）设 P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）112考极限及其算专导数的综应用分析时直2y趋2y=与+=在第一象的交点无靠近利用圆的线的斜率率计算公即可得出解答解时，直2y近2y=，与+=在一象限的点无限靠，可作连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点实用文档文案大全（1，1）处的切线的斜率，其斜故选点评本题考查极限思想的切线的率斜率计公式考查推理能力计算能力于中档题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（12分）（2015?上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE 所成的角的大小．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：利用长方体的集合关系建立直角坐标系．利用法向量求出二面角．解答：解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC．实用文档文案大全的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．长方所四点面为坐原点DDD别xy轴建立空间角坐标系求设平E的向量，所，即实用文档文案大全z=1，得x=1，y=所所以直C与平F所的角的大arcs点评本题主要查利用空直角坐标求出二面的方法属考常考题型20．（14分）（2015?上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．实用文档文案大全分析：（1）由题意可得t1==h，由余弦定可=PC代值时由已知据和余弦理可=PQ，时=PB=5综合可得时[可得结论解答解）由意可设此时甲动到，AP=PC=实用文档文案大全=千米；（2）当1≤t时，乙C上QB=AC+8t=8PB=AA=PQ时乙点动设=PB=AAP=5t）的最实用文档文案大全大值超过了3千米．点评：本题考查解三角形的实际应用，涉余弦定理分段函数中档题21．（14分）（2015?上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．考直线与圆曲线的综问题点到线的距离式专直线与圆锥曲线的义性质与程分析依题意直的程y利用点到线间的距公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得实用文档文案大全S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1（2）方法一：设直线l1的斜率为k，直的率为得直的方程联方程，可求继而可求答案方法二设的率分别，利）在椭+2=上可求得面的值解答解）依意直方程y，由到直线间距离公式得到直的距d=实用文档文案大全因|AB|=2|AO|=所S=|AB|d方法一设直斜率，直的率为设直方程y=k联立方程消解x根据对称性，实用文档文案大全同理可得x2=，所S方法二在椭+++2．实用文档文案大全（+）即所以||所S=2||=点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．22．（16分）（2015?上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：创新题型；等差数列与等比数列；不等式的解法及实用文档文案大全应用．分析：（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1=，由此{是等数列）+合递推式加得=2+2，求进一步得）由可，然后分＜种情况求的最大和最小，再（）式求的围解答）解n+=n+=n+=2．实用文档文案大全（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=∴{a n}是等差数列，首项=，公∴数{的项）由可当时单调递减最大值实用文档文案大全；时M=m（，不＜时时2无时2无综上所述（满足条件点评本题考查数列递推式考查了等关系的确定，实用文档文案大全考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，）的求运用了极思想方法中档题23．（18分）（2015?上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg （x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．考函数与方的综合运用专创新题型数的性质应用分析）根据弦周期函的定义判cosx+是否等于cosg（x）即可；（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x0，使得f（x0）=c，而根据f（x）在R上单调递增即可说明x0∈[a，b]，从而完成证明；（3）只需证实用文档文案大全明u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解得出u0为方cos=[上解是否为程的解带方程使方成立便是程的解证对任[，都x+=+，可x=x=种情况x=时是显然立的x=时可得cos2=而得2=2根调递增便得然后根）的单性及方cos=[2和它[上解的数的情况=，是不在的=时结论成立这便说x=时结论成立而对）时，通考cos）实用文档文案大全=c的解得到f（x+T）=f（x）+f（T），综合以上的三种情况，最后出结论即可解答解=x=）是为周期余弦周期即）证明+为cos=在区[2则cos+cos=，且实用文档文案大全0≤u0≤∴u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；为方cos=[上的充分件+方cos=在区[2上的下面证明任[，都x+=+x=时=，显x=时cos2=c2=）=2=由cos+=cos=）2实用文档文案大全∴2＜k2＜3，无解；2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x2cos=[2但方cos=[2上只=个=时2==+结）时考查方cos=）+++）方cos=+++∈实用文档文案大全（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的∴f（x i+T）=∴综上对[都x+=点评考查对余周期函数义的理解分条件的念方程的的概念知cos=能得=2k，以及造方程解的方法在明最后一时能运用二问的结论实用文档文案大全参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；孙佑中；maths；caoqz；刘长柏；翔宇老师；danbo7801；sxs123；海燕；雪狼王；lincy；wfy814；wkl197822（排名不分先后）菁优网2015年6月25日。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(上海卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(上海卷)

2015年高考上海卷理数试题解析（精编版）（解析版）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则UA B = ．【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B = 【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ． 【答案】45、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=-> 21430,5333112x t t t t x x -⇒-+=>⇒=⇒=⇒-=⇒=【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】1209、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】32y x =±【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为32y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】411、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．【答案】0.2【解析】赌金的分布列为1ξ1 2 3 4 5P15 15 15 15 15所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为2ξ1.42.8 4.2 5.6 P25425C = 253310C = 25215C = 251110C = 所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE -E =0.2【考点定位】数学期望13、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m =【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ． 【答案】1615-【解析】由题意得：1sin ,cos ,sin 24125255A A AB AC A AB AC ==⋅⋅=+⇒⋅=，又112,43222125AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=16cos()()151255DE DF A π⋅⋅-=⨯-=-【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B16、已知点A的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532 C ．112 D ．132【答案】D【解析】133313(cossin )(43)()3322OB OA i i i i ππ=⋅+=+⋅+=+，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根 【考点定位】不等式性质18、设(),n n nx yP是直线21nx yn-=+（n*∈N）与圆222x y+=在第一象限的交点，则极限1lim1nnnyx→∞-=-（）A．1- B．12- C．1 D．2【答案】A三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15年高考真题——理科数学(上海卷)

15年高考真题——理科数学(上海卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。

1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则UAB =_________。

2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。

3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。

4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。

5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。

6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。

7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。

28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。

9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。

若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。

10．设()1fx -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。

11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。

12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。

2015年普通高等学校招生统一考试上海市理数卷(含答案)

2015年普通高等学校招生统一考试上海市理数卷(含答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U AB =ð ．2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 4．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ．5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．7.方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．8.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．9.已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．10.设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ．11.在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．13.已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为 ．14.在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 16．已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532C ．112D ．13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 18．设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x →∞-=-（ ）A ．1-B ．12-C ．1D ．2 三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A=，E 、F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明11212S x y x y =-； （2）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值. 22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N .（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-. 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，()00f =，()4f πT =. （1）验证()sin 3xh x x =+是以π6为周期的余弦周期函数；（2）设b a <．证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；（3）证明：“0u 为方程()cos 1f x =在[]0,T 上得解”的充要条件是“0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上有解”，并证明对任意[]0,x ∈T 都有()()()f x f x f +T =+T .上海数学（理工农医类）参考答案一、（第1题至第14题） 1.}{1,4 2.1142i + 3.16 4.4 5.2 6.3π7.2 8.120 9.32yy x =± 10.4 11.45 12.0.2 13.8 14. 1615-二、（第15至18题） 题号 15 16 17 18 代号BDBA三、（第19至23题）19. 解：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A 1(2，0，1)、C 1(0，2，1)、E(2，1，0)、F （1，2,0）、C （0、2、0）、D （0,0,1）.因为)0,2,2(11-=C A，(1,1,0)EF =-， 所以11//EF AC ， 因此直线1AC与EF 共面， 即，1A 、1C 、F 、E 四点共面.设平面EF C A 11的法向量为(,,)n u v w =， 则n ⊥EF ，n ⊥1FC ，又(1,1,0)EF =-，1FC =(1,0,1)-,故0,u .0,u v v w u w -+=⎧==⎨-+=⎩解得取u=1，则平面EF C A 11 的一个法向量n =(1,1,1).又1(0,2,1)CD =-, 故111515||CD n CD n ⋅=-⋅因此直线1CD 与平面FE C A 11所成的角的大小1515arcsin . 20. 解：（1）138t =， 设乙到C 时甲所在地为D ，则AD=158千米。