初一数学专题一--有理数及其运算
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初一数学专题讲义一 有理数及其运算 一、 有理数的基本概念： （一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。
理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。
3.互为相反数的两个数的绝对值相等。
若|－x |=|21-|，则x =______；若|x |=|－4|，则x =____； 若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
4.互为相反数的两个数的平方相等。
如果 ，那么a=____；若x 2=(－2)2，则x =_______.
5.注意乘方中括号的作用。
（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。
计算：
（1）??= ； （2）??= ； （3）?? = ；（4）??= （5） = 的相反数是 ；a+b 的相反数是 ；a-b 的相反数是 ；-a+b-c 的相反数是 ； 变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣=
（二）绝对值的化简：
7.绝对值即距离，则0≥a
8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想）
（a ＞0）
|a| = （a ＝0 ）
（a ＜0 ）
9.绝对值的非负性：
（1）若|a|＝0，则a ； （2）若|a|＝a ，则a ； （3）若|a|＝—a ，则a ；
（4） ， 则______||=a a ；（5）0<a ，则______|
|=a a ；（6）若|a|+|b|=0，则a 且b 小结：要打开绝对值号，关键要确定绝对值号里的数的符号。
例1． 已知：│a－1│+（b+1）2=0，那么（a+b ）2003+a 2003+b 2003的值是多少
例2.若ab<0，求
||a a +||b b +||
ab ab 的值．
例3.（1）如果x ＜－2，那么|1－|1+ x||= ； 若|m －1|=m －1,则m___1. ； 若|m －1|=1－m,
16
2=a
则m ___1.
（2）已知3a =，且0a a +=，则321a a a +++=___________．
例4.（数形结合） 有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
即时练习：1已知a ，b ，
c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|—|c —b|—|a —c|+|b-a|
2.数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|-|b-a|+|b|-|a-|a||
例5. 若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2| 即时练习：1.已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||
2. 若a<0，试化简
||3|||3|2a a a a -- 3. 若abc ≠0，则|
|||||c c b b a a ++的所有可能值为
例6.（难题，整体思想）若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数，求
y
x y x -+2的值 C B 0 A
（三）分类讨论的思想：
例7. 已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且x 的绝对值是5，
试求x －（a+b －cd ）+│（a+b ）－4│+│3－cd│的值．
即时练习：
1. 已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y 的值为多少
2.解方程：
|x-5|=8
（四）两个重要的非负数：①0≥a ；②a 2≥0；③ 222a a a ==
例8.()()的值。
求且若b a c c b a a -⋅=-=++-32,21,0212
例9．已知2-ab 与1-b 互为相反数，求代数式
.)1999)(1999(1
)2)(2(1
)1)(1(1
1
的值++++++++++b a b a b a ab
二、 突破有理数的计算
（一） 混合运算的几个优先原则：乘方优先，括号优先，凑整优先，同号优先，相反数优先，同分母优先，分配律优先。
减法要用心：连减取负当加算；小减大，取负，倒过来减。
例10.计算：（过关训练） （1）11( 1.5)4 2.75(5)42-+++- （2）
32(6)8(2)(4)5-⨯----⨯
（3）215[4(10.2)(2)]5---+-⨯÷- （4）25(6)(4)(8)⨯---÷- （5）2(16503)(2)5--+÷-
（6）48245834132⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-- （7）22299993(3)(2)2(98)98---⨯------
（二）利用运算律、裂项、逆向思维等技巧巧算：
例11.计算：（巧算）
（1）
100211003120021200312003120041-++-+- （2）12+14+18+116+132+164
．
例12.（逆向思维）计算：（－
45）×513－（－35）×（－513）－513×（－135
）
例13.（裂项求和）
例14.（1）（分组求和）1-2+3-4+…+2001-2002 （2）（倒序求和）1+3+5+7+…+99
（三）利用幂的性质巧算：
例15.计算：（1）
??? （2）
（四）整体代入求值初步： 例16.若a+2b+3c=10,且4a+3b+2c=15,则a+b+c= .
例17.已知
3ab a b
=+，试求代数式()52a b ab a b ab +-+的值
课后练习：
一、耐心填一填：
1、52-的绝对值是 ，52-的相反数是 ，5
2-的倒数是 ． 2、某水库的水位下降1米，记作 －1米，那么 ＋米表示 ．
3、数轴上表示有理数－与两点的距离是 ．
4、已知|a －3|＋24）（+b =0，则2003）（b a +＝ ．
5、已知p 是数轴上的一点4-，把p 点向左移动3个单位后再向右移1个单位长度，那么p 点表示的数是______________。
6、最大的负整数与最小的正整数的和是_________ 。
7、()1-2003+()20041-= 。
8、若x 、y 是两个负数，且x ＜y ，那么|x | |y |
9、若|a |＋a ＝0，则a 的取值范围是
10、若|a |＋|b |＝0，则a ＝ ，b ＝
二、精心选一选：
1、如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数只能是（ ）
A 0
B －1
C 1
D 0或1
2、绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（ ）
A 8
B 7
C 6
D 5
3、计算：(－2)100+(－2)101的是（ ）
A 2100
B －1
C －2
D －2100
4、两个负数的和一定是（ ）A 负 B 非正数 C 非负数 D 正数
5、已知数轴上表示－2和－101的两个点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离等于（
） A 99 B 100 C 102 D 103
6、31
-的相反数是（ ）A －3 B 3 C 31
D
31- 7、若x ＞0，y ＜0，且|x|＜|y |，则x ＋y 一定是（ ）
A 负数
B 正数
C 0
D 无法确定符号
8、一个数的绝对值是3，则这个数可以是（ ）
A 3
B 3-
C 3或3-
D 31
9、()34--等于（ ）A 12- B 12 C 64- D 64
10、,162=a 则a 是（ ）
A 4或4-
B 4-
C 4
D 8或8-
三、计算题（每小题4分，共32分）
1、()26++()14-+()16-+()8+
2、()3.5-+()2.3-()5.2--()8.4+-
3、()8-)02.0()25(-⨯-⨯
4、 ⎪⎭⎫
⎝⎛-+-1276595
21
()36-⨯
5 ()1-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-÷⎪⎭⎫
⎝⎛-÷3114310 6、8+()2
3-()2-⨯
7、81
)4(2033--÷- 8、100()()222---÷⎪⎭⎫
⎝⎛-÷32
四、（5分）m =2，n =3，求m+n 的值
五、（5分）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数（即1cd =-），x 是最小的正整数。
试求220082008()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
