数字信号处理课件第二章--离散时间信号与系统(ppt文档)

• 2.2.4 因果性（Causality） 系统在n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以 前的输入，而与n时刻以后的输入无关。 y[n] x[n], x[n-1], x[n-2], … 因果系统---- 物理可实现性 x[n+1], x[n+2], … 非因果系统---- 物理不可实现性
一个非因果系统的例子： y[n]=x[n+1]-x[n]
2.2离散时间系统
离散系统可以定义为一种变换或一个算子，即：
用公式表示为：
y[n] T x[n]
2.2.1 无记忆系统（Memoryless Systems）
y[n]x[n] 例： y[n] x[n]2
2.2.2 线性系统（Linear Systems） 满足叠加原理的系统称为线性系统

y[n] x[k]h[n-k]
k
一个线性时不变（LTI）系统完全可以由它的单位脉冲 响应来表征。
• 卷积和（Convolution）

x1[n] x2[n] x1[k]x2[n k] k
系统输出可表示为：

y[n] x[k]h[n k] x[n] h[n] k
因果序列: x[n] 0, n 0
因果稳定的线性时不变系统：h[n]单边且绝对可和
例：
h[n] anu[n]
a 1
h[n]有限长非零样本-------- 有限冲击响应系统（finite-duration impulse response，FIR）------- 系统总是稳定的
h[n]无限长非零样本-------- 无限冲击响应系统（infinite-duration impulse response，IIR）
线性时不变系统因果性的充分必要条件： h[n] 0, n 0
因果性： y[n] x[n], x[n-1], x[n-2], …
即：y[n] = 0 对于x[n+1], x[n+2], x[n+3], …

y[n] x[k]h[n k] k
对于k > n，y[n] = 0 h[n-k] = 0 h[n] 0, n 0
序列时的输出。
即h[n]=T{δ[n]}
对于系统输入序列的一般表示形式：
系统输出为：

x[n] x[k] [n-k]
k
y[n]

T



x[k] [n-k]
k

根据线性系统的叠加性质，

y[n] x[k]T [n-k]
k
又根据系统的时不变性质，
x[n] h[n] h[n] x[n] x[n](h1[n] h2[n]) x[n] h1[n] x[n] h2[n] • 级联联接（cascade connection）和并联联接（parallel connection）
时域表示
• 线性时不变系统 因果性 稳定性

线性时不变系统稳定的充分必要条件： S h[k]
x1[n] x[n n0 ]
输出：
n
n
y1[n] x1[k] x[k n0 ]
k
k
作变量代换： k n0 k1, k k1 n0
有：
nn0
y1[n] x[k1] y[n n0 ] k1
时变系统的例子
y[n]=nx[n] y[n-n0]=(n-n0)x[n-n0] 当输入x1[n]=x[n-n0]时，输出为： y1[n]=T{x1[n]}=T{x[n-n0]}=nx[n-n0] 可见y1[n] ≠ y[n-n0]

任何序列均可表示为： x[n] x[k ] [n k ]
k
• 单位阶跃序列（unit step sequence）
u[n]

1, 0,
n 0, n 0.
与单位样本序列的关系： 或者可以表示为：
n
u[n] [k]
k
u[n] [n] [n 1] [n 2]
输出表示为： y[n] H (e j )e jn
H (e j ) ----- 与系统的单位脉冲响应有关，是频率的函
数，输出的幅度
输入、输出：e jn ----------- 系统的特征函数
输出相应的幅度： H (e j ) ------------- 特征值系统的频率响应
可表示为： H (e j )=H R (e j )+jH I (e j ) H (e j )= H (e j ) e jH (ej )
证明：（充分性）
k


y[n] h[k]x[n k] h[k] x[n k]
k
k
如果 x[n] 有界，即 x[n] Bx
将 Bx 代入 x[n k]
可得：

y[n] Bx h[k]
k

证明：（必要性）假定 S h[k] 对于有界的输入，输出无
也可表示为:
x[n] x[n rN ],
N为周期（正整数） r为任意整数
sin(n / 4) sin[(n N ) / 4] N为正整数？ 周期的模拟信号其相应的序列不一定是周期的。 正弦序列的周期性：
Acos(0n ) Acos(0n 0N ), 0N 2πk,

u[n] [n k].
k 0
[n] u[n] u[n 1].
• 指数序列（exponential sequences）
A n, n 0,
x[n]
0,
n 0.
• 正弦序列（sinusoidal sequences）
x[n] Acos(0n ),
界。
k
x[n]


h*[n] h[n]
,
0,
h[n] 0, h[n] 0,
式中 h*[n]是 h[n] 的复共轭，显然 x[n]是有界的。
在n=0时输出y[n]为：

h[k ] 2
y[0] x[k]h[k]
S
k
k h[k ]
由于S无界，输出无界。
一个例子：理想延迟系统 y[n] x[n nd ] 式中nd为一确定的整数，如果我们用输入 x[n] e jn ， 延迟系统的输出为：
h[n-k]的求法：
1.将h[k]关于原点对折得到h[-k];
2.将对折序列的原点移序到k=n
卷积和计算例子
考虑一个系统的单位冲击响应： h[n] u[n] - u[n - N ]
1, 0 n N -1 = 0, 其它n 输入为： x[n] anu[n] 输出为零状态： y[n] 0, n 0
一个数列集合 连续信号采样 通式表示 之间值没定义
2.1.1基本序列和序列运算
• 单位样本序列（unit sample sequence），也称单位脉冲序列

[n]

0, 1,
n 0, n 0.
p[n] a3 [n 3] a1 [n 1] a2 [n 2] a7 [n 7]
例：累加器
n
n1
y[n] x[k] y[n 1] x[k]
k
k
n1
y[n] x[n] x[k] k
y[n] x[n] y[n 1]
y[n] y[n 1] x[n]
2.6 离散时间信号与系统的频域表示
信号的表示形式
为什么用频率？
1-a N 1-a
,
y[n] an-N +1-an+1 1-a
n<0, 0 n N -1, N -1<n.
为了区别以后的卷积形式，称线性卷积
线性卷积结果（输出）的长度：N=N1+N2-1 其中N1，N2分别为两个卷积序列的长度。
2.3 线性时不变系统的性质
满足交换律、分配率和结合律
卷积和计算例子
卷积和计算例子
n
y[n] ak ,
对于0 n N -1.
y[n]= 1-an+1 ,
0 n N -1
k 0
1-a
n
y[n] ak , 对于N -1<n.
k nN +1

0,
y[n]

1-a n +1

1-a
,
a
n -N
+1

（1）y1[n]=T{x1[n]} y2[n]=T{x2[n]} T{x1[n] +x2[n]}=T{x1[n]}+T{x2[n]}=y1[n]+ y2[n]
（2）T{ax [n]}=aT{x [n]}=ay [n]
例：（累加器）
n
y[n] x[k]
k
x3[n] ax1[n] bx2[n]
k为整数 正弦序列周期性的三种情况
2π N
0 k
• 序列的基本运算
相加 x[n]=x1[n]+ x2[n] 各对应项相加
相乘 x[n]=x1[n]x2[n] 各对应项相乘
乘常数 x[n]=ax1[n]
每项都乘以常数a
移序（delay or shift）
x[n] x1[n m]
m为整数，正为右移，负为左移。
物质源；
波的传播（穿透率、速度、衰减）；
简化对波形的理解；
一种数学的方便工具（解微分方程）；
系统理论方面：
线性时不变系统输入与输出（响应）信号之间的关系

x[n] x[k][n k]