-湖北省黄冈武穴市2013年秋五校联考九年级数学竞赛试题(1)

武穴市四科联赛五校联考九年级数学试题命题单位：大法寺中学一、选择题1.四个互不相待的正实数a 、b 、m 、 n 满足 2013))((2013201320132013=--nama2013))((2013201320132013=--nbmb则=-20132013)()(mn ab （ ）A 、-2013B 、2013C 、-2012D 、20122.已知函数)0(1 x x y = )0(162 x xy =有下列结论：①两函数交点坐标为（-4、-4） ②当时4- x 21y y③当x 逐渐减小时，1y 随x 的减小而减小，2y 随x 的减小而增大，其中正确的个数（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个3.设P 为正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3，则△PBC 的面积为( )A 、222+B 、222- C 、22+ D 、22-4.某工厂2011年的产值比2010年的产值增长了a%，2012年的产值比2011年的产值增长了a%，则2012年比2010年增长了（ ）A 、2 a%B 、1+2 a%C 、（1+ a%）a%D 、（2+ a%）a%5.已知2012)2012)(2012(22=-+-+y y x x 则=++yx yx 20122012（ ）A 、 2012B 、2011C 、1D 、-1 二、填空题6.如图，在平面直角坐标系中，有一个正元边形ABCDEF ，其中C （1.0）D （2.0）在无滑动的情况下，将这个六边形沿x 轴向右滚动，则滚动过程中过点（45.2）的是A 、B 、C 、D7.方程11212-=--+-+x x x x x 的解为8.若c b a ..是正数，且满足9=++c b a911111=+++++a c c b b a 则=+++++ba ca cbc b a 9.下列命题①若20111201220102=+⨯=x ，x 则②若10)1(1202-=+++- a ，x y a xy 则且长分别为9和11，上、下底长都是整数，则该梯形的高为2b④已知方程)(02c b a c bx ax =++的一个根为1，另一个根的取值范围是212-- x 。

九年级数学竞赛综合训练题(1)（满分120分，考试时间120分）学校 班级 姓名一、选择题:（每小题5分，共30分）1．过点P （-1，3）作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ）条 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 2．方程13++x x －y=0的整数解有（ ）组 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．如图，若将图（a ）的正方形剪成四块，恰能拼成图(b)的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（ ）（A ）2537+ （B ）253+（C ）251+ （D ）21(+)24．关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有5个整数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）－6＜a ＜－211 （B ）－6≤a ＜－211 （C ）－6＜a ≤－211 （D ）－6≤a ≤－2115．已知四边形ABCD ，从下列条件：（1）AB ∥CD （2）BC ∥AD （3）AB ＝CD （4）BC ＝AD （5）∠A ＝∠C （6）∠B ＝∠D中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有（ ）种（A ）4 （B ）9 （C ）13 （D ）15 6．已知x 、y 、z 都是实数，且x 2+y 2+z 2=1，则m=xy+yz+zx （ ）(A)只有最大值 （B ）只有最小值 （C ）既有最大值又有最小值 （D ）既无最大值又无最小值 二、填空题:（每小题5分，共30分）jab a b ⅠⅡⅢⅣⅣⅢⅡⅠ(b)(a)ba7．已知x=1313+-，y=1313-+, 则x 4+y 4等于 .8．甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元，一天，让学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲店实行每买5枝送1枝（不足5枝不送）；乙店实行买4枝或4枝以上打8.5折，小王买了13枝这种铅笔，最少需要花 元.9．若1≤p ≤20， 1≤q ≤10，且方程4x 2－px+q=0的两根均为奇数，则此方程的根为 . 10．在1、2、……，2003中有些正整数n ，使得x 2+x －n 能分解为两个整系数一次式的乘积，则这样的n 共有 个.11．已知如图所示，∠MON=40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当△PAB 的周长取最小值时，∠APB 的度数为 .12．若关于x 的方程rx 2－(2r+7)x+r+7=0的根是正整数，则整数r 的值可以是 .三、解答题:（每小题15分，共60分）13．已知a 、b 、c满足方程组2848a b ab c +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩, 试求方程bx 2+cx-a=0的根.PNMBOA14．已知两个二次函数y1 和y2，当x=a（a＞0）时，y1取得最大值5，且y2=25. 又y2的最小值为-2，y1+y2=x2+16x+13. 求a的值及二次函数y1、y2的解析式.15．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2.求：（1）∠MAN的大小;（2）△MAN面积的最小值.ND CMAB16．如图所示，四边形ABCD 是矩形，甲、乙两人分别从A 、B 同时出发，沿矩形按逆时针方向前进，即按A →B →C →D →……顺序前进，已知甲的速度为每分钟65米，乙的速度为每分钟74米，问乙至少在跑第几圈时才有可能第一次追上甲？又乙至多在跑第几圈时一定能追上甲？请说明理由。

2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++．2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b a c x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC（第3题）【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC=，·DC DO DE OC =都是有理数，而AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．（第3题答题）（第4题答题）（第4题）二、填空题6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413． 8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．（第7题答题）（第7题）9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+， 所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC-∠CBE．【解答】将0x=分别代入y=113x-+，23y ax bx=+-知，D(0，1)，C(0，3-)，所以B(3，0)，A(1-，0)．直线y=113x-+过点B．将点C(0，3-)的坐标代入y=(1)(3)a x x+-，得1a=．抛物线223y x x=--的顶点为E(1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CE BE＝因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，90BCE∠=︒．因此tan CBE∠=CECB=13．又tan∠DBO=13ODOB=，则∠DBO＝CBE∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。

2012-2013学年湖北省黄冈市武穴市九年级（上）四科联赛数学试卷一.填空题（5X5分=25分）1．（5分）已知a=，则a2012+4a2011+a2010=．2．（5分）实数x和y满足x2+12xy+52y2﹣16y+4=0，则x2﹣y2=．3．（5分）如图，点A、B在反比例函数y=地图象上，且点A、B地横坐标分别为a和2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为C，△AOC地面积为2，则△AOB 地面积为．4．（5分）某超市在一楼至二楼间安装了一自动扶梯，以均匀地速度向上行驶，张明与高丽同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯本身也在行驶），如果张明与高丽都在匀速运动，且张明每分钟走动地级数是高丽地2倍，已知张明走了27级到达扶梯顶部，而高丽走了18级到达顶部（设张明、高丽每次只跨一级台阶），则扶梯露在外面地部分有级．5．（5分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．当α为度时，△AOD是等腰三角形？二.选择题（单项选择5x5分=25分）6．（5分）一个凸多边形地最小内角为95°，其它内角依次多10°，则这个多边形地边数为（）A．4 B．5 C．6 D．77．（5分）一个等边三角形地周长比一个正方形地周长大2012cm，等边三角形地边长比正方形地边长大dcm．则d不能取地正整数地个数为（）A．499 B．500 C．666 D．6708．（5分）如图，矩形ABCD地对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，则∠BOE=（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．（5分）如图，给正五边形地顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形地边顺时针方向行走，顶点编号地数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3地顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1地顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2地顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点地编号为（）A．1 B．3 C．4 D．510．（5分）化简﹣地结果是（）A．1 B．C．D．与a有关三、解答题（共4小题，满分50分）11．（10分）如果实数a，b，c满足a=2b+，且ab+c2+，那么地值是多少？12．（12分）如图1，四边形ABCD是正方形，E是BC边地中点，∠AEF=90°，EF 交正方形外角平分线CF于F点，则有AE=EF．（1）如图2，若点E是线段BC上地一个动点（不与B、C重合），上述其它条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若点E在CB地延长线上时，上述其它条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．13．（14分）（1）如图1，点M是正方形ABCD内一定点，请你在图1中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD分成相等地两部分．（只需保留作图痕迹）（2）如图2，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是我市城东新区开发用地示意图，其中DC∥OB，OB=8，BC=6，CD=6．新区管委会（其占地面积不计）设在点P（5，3）处，为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直地道路（路地宽度不计），并且使这条路所在地直线L将直角梯形OBCD分成面积相等地两部分，你认为直线L是否存在？若存在，求出直线L地表达式；若不存在，请说明理由．14．（14分）如图，△ABC是等腰三角形，∠C=90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边地距离等于1，将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A1B1C1，两三角形地公共部分为多边形KLMNPQ．①证明：△AKL，△BMN，△CPQ都是等腰直角三角形．②求证：△ABC与△A1B1C1公共部分地面积．2012-2013学年湖北省黄冈市武穴市九年级（上）四科联赛数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（5X5分=25分）1．（5分）已知a=，则a2012+4a2011+a2010=0．【解答】解：∵a=﹣2，∴a2+4a+1=（﹣2）2+4（﹣2）+1=7﹣8+1=0，∴a2012+4a2011+a2010=a2010（a2+4a+1）=0．故答案为：02．（5分）实数x和y满足x2+12xy+52y2﹣16y+4=0，则x2﹣y2=8．【解答】解：∵x2+12xy+52y2﹣16y+4=（x2+12xy+36y2）+（16y2﹣16y+4）=（x+6y）2+（4y﹣2）2=0∴x+6y=0且4y﹣2=0，解得：x=﹣3，y=，则x2﹣y2=9﹣=8．故答案为：8．3．（5分）如图，点A、B在反比例函数y=地图象上，且点A、B地横坐标分别为a和2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为C，△AOC地面积为2，则△AOB 地面积为3．【解答】解：∵S=2，△AOC=4；∴k=2S△AOC∴y=；过点B作BE⊥x轴，S△AOC=S△BOE=2，∴A（a，），B（2a，）；S梯形ACBE=（+）×（2a﹣a）=3，∴S=S△AOC+S梯形ACBE﹣S△BOE=2+3﹣2=3．△AOB故答案为：3．4．（5分）某超市在一楼至二楼间安装了一自动扶梯，以均匀地速度向上行驶，张明与高丽同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯本身也在行驶），如果张明与高丽都在匀速运动，且张明每分钟走动地级数是高丽地2倍，已知张明走了27级到达扶梯顶部，而高丽走了18级到达顶部（设张明、高丽每次只跨一级台阶），则扶梯露在外面地部分有54级．【解答】解：设女孩上梯速度为x级/分，自动扶梯地速度为y级/分，扶梯露在外面地部分有S级，则男孩上梯地速度为2x级/分．由题意，有，解得S=54．答：扶梯露在外面地部分有54级．故答案为：54．5．（5分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．当α为110、125、140度时，△AOD 是等腰三角形？【解答】解：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠OCD=60°，OC=CD，∴三角形COD是等边△OCD，∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°；当α=150°时，∠ADC=150°，而∠ODC=60°，所以∠ODA=90°，即△AOD为直角三角形；∠AOC=360°﹣110°﹣α=250°﹣α，∠AOD=∠AOC﹣60°=190°﹣α，∠ADC=∠BOC=α，所以∠ODA=α﹣60°，△AOD为等腰三角形，当AO=OD时，∠AOD+2∠ODA=180°，即190°﹣α+2×（α﹣60°）=180°，解得α=110°，当AO=AD时，∠AOD=∠ODA，即190°﹣α=α﹣60°，解得α=125°，当OD=AD时，2×（190°﹣α）+α﹣60°=180°，解得α=140°所以当α为110°、125°、140°时，△AOD是等腰三角形；故答案为：110°、125°、140°．二.选择题（单项选择5x5分=25分）6．（5分）一个凸多边形地最小内角为95°，其它内角依次多10°，则这个多边形地边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：设这个多边形地边数为n，由题意得：=180•（n﹣2），解得n1=6，n2=12，n=6时，10n+85=145，n=12时，10n+85=205，（不符合题意）故这个多边形为六边形．故选：C．7．（5分）一个等边三角形地周长比一个正方形地周长大2012cm，等边三角形地边长比正方形地边长大dcm．则d不能取地正整数地个数为（）A．499 B．500 C．666 D．670【解答】解：设正方形周长xcm，三角形周长（x+2012）cm，∵等边三角形地边长比正方形地边长大dcm，∴d=﹣=+670，∴当x+8为12地整数倍地时候，d为正整数，∴d最小值为：1+670=671．∴d不能取得地正整数至少有670个．故选D．8．（5分）如图，矩形ABCD地对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，则∠BOE=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，∴AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=45°﹣15°=30°，∠BAC=60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB=OB，∠ABO=60°，∴∠OBC=90°﹣60°=30°，∵AB=OB=BE，∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣30°）=75°．故选D．9．（5分）如图，给正五边形地顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形地边顺时针方向行走，顶点编号地数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3地顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1地顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2地顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点地编号为（）A．1 B．3 C．4 D．5【解答】解：根据题意，小宇从编号为2地顶点开始，第1次移位到点4，第2次移位到达点3，第3次移位到达点1，第4次移位到达点2，…，依此类推，4次移位后回到出发点，10÷4=2…2．所以第10次移位为第3个循环组地第2次移位，到达点3．故选B．10．（5分）化简﹣地结果是（）A．1 B．C．D．与a有关【解答】解：﹣，=﹣，=﹣，=﹣，=（+3）﹣（+1），=．故选B．三、解答题（共4小题，满分50分）11．（10分）如果实数a，b，c满足a=2b+，且ab+c2+，那么地值是多少？【解答】解：将a=2b+代入ab+c2+得：ab+c2+=（2b+）b+c2+=[（b）2+2（b）•+（）2]+c2=（b+）2+c2=0，∴c=0，b=﹣，∴=0．12．（12分）如图1，四边形ABCD是正方形，E是BC边地中点，∠AEF=90°，EF 交正方形外角平分线CF于F点，则有AE=EF．（1）如图2，若点E是线段BC上地一个动点（不与B、C重合），上述其它条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若点E在CB地延长线上时，上述其它条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解答】解：（1）如图2，AE=EF，理由为：证明：在AB上截取AM=EC，连接ME，∵AM=EC，AB=BC，∴AB﹣AM=BC﹣EC，即BM=BE，∴△MBE为等腰直角三角形，∴∠BME=45°，∵CF为直角∠DCG地平分线，∠AME为∠BME地外角，∠ECF为∠FCG地外角，∴∠AME=∠ECF=135°，∵∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°，又∵∠EAM+∠AEB=90°，∴∠EAM=∠FEC，在△AEM和△EFC中，，∴△AEM≌△EFC（ASA），∴AE=EF；（2）如图3：AE=EF，理由为：证明：延长AB到M，使AM=CE，连接ME，∵AM=CE，AB=BC，∴AM﹣AB=CE﹣BC，即BM=BE，又∠AEF=∠ABE=90°，∴∠MAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，∴∠MAE=∠CEF，在△MAE和△CEF中，，∴△MAE≌△CEF（ASA），∴AE=EF．13．（14分）（1）如图1，点M是正方形ABCD内一定点，请你在图1中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD分成相等地两部分．（只需保留作图痕迹）（2）如图2，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是我市城东新区开发用地示意图，其中DC∥OB，OB=8，BC=6，CD=6．新区管委会（其占地面积不计）设在点P（5，3）处，为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直地道路（路地宽度不计），并且使这条路所在地直线L将直角梯形OBCD分成面积相等地两部分，你认为直线L是否存在？若存在，求出直线L地表达式；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图②连接AC、BD交于O则O为正方形对称中心．作直线MO，直线MO即为所求．（2）如图③存在直线l，过点D地直线作DA⊥OB于点A，则点P（5，3）为矩形ABCD地对称中心，∴过点P地直线只要平分△DOA地面积即可，易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分．从而，直线PH平分梯形OBCD地面积，即直线PH为所求直线l设直线PH地表达式为y=kx+b且点P（5，3），∴y=kx+3﹣5k，∵直线OD地表达式为y=3x，∴，解之．∴点H地坐标为（x=，y=）把x=2代入直线PH地解析式y=kx+3﹣5k，得y=3﹣k，∴PH与线段AD地交点F（2，3﹣k），∴0＜3﹣k＜6，∴﹣3＜k＜3．=[6﹣（3﹣k）•（2﹣）=××2×6，∴S△DHF∴解得：k=﹣3+2．（k=﹣3﹣2舍去）∴b=3﹣5k=18﹣10，∴直线l地表达式为：y=（﹣3+2）x+18﹣10．14．（14分）如图，△ABC是等腰三角形，∠C=90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边地距离等于1，将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A1B1C1，两三角形地公共部分为多边形KLMNPQ．①证明：△AKL，△BMN，△CPQ都是等腰直角三角形．②求证：△ABC与△A1B1C1公共部分地面积．【解答】证明：①连接OC、OC1，分别交PQ、NP于点D、E，根据题意得∠COC1=45°．∵点O到AC和BC地距离都等于1，∴OC是∠ACB地平分线．∵∠ACB=90°∴∠OCE=∠OCQ=45°同理∠OC1D=∠OC1N=45°∴∠OEC=∠ODC1=90°∴∠CQP=∠CPQ=∠C1PN=∠C1NP=45°∴△CPQ和△C1NP都是等腰直角三角形．∴∠BNM=∠C1NP=45°∠A1QK=∠CQP=45°，∵∠B=45°∠A1=45°，∴△BMN和△A1KQ都是等腰直角三角形．∴∠B1ML=∠BMN=90°，∠AKL=∠A1KQ=90°∴∠B1=45°∠A=45°∴△B1ML和△AKL也都是等腰直角三角形．②在Rt△ODC1和Rt△OEC中，∵OD=OE=1，∠COC1=45°∴OC=OC1=∴CD=C1E=﹣1∴PQ=NP=2（﹣1）=2﹣2，CQ=CP=C1P=C1N=（﹣1）=2﹣∴延长CO交AB于H∵CO平分∠ACB，且AC=BC∴CH⊥AB，∴CH=CO+OH=+1∴AC=BC=A1C1=B1C1=（+1）=2+，∴，∵A1Q=BN=（2+）﹣（2﹣2）﹣（2﹣）=2，∴KQ=MN==，∴，赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。