4.3.1角(1)角的概念和表示方法(2课时)

角的概念解析角是几何学中一个重要的概念，它是由两条射线共同确定的一个图形。

角常用来讨论线段之间的相对位置和旋转方向，并被广泛应用于各个领域的数学问题中。

本文将对角的概念、性质和角度单位进行详细解析。

一、概念解析角是由两条射线共同确定的一个图形，这两条射线称为角的边，相交的点称为角的顶点。

角可表示为∠ABC或∠CBA，其中A、B、C分别代表角的顶点和边。

根据角的大小，可以将其分为三类：锐角、直角和钝角。

- 锐角：角的大小小于90°；- 直角：角的大小等于90°；- 钝角：角的大小大于90°。

二、角的性质1. 角的度量角的度量是用角度来表示的，角度是角相对于一个圆的弧上所对应的弧度数。

一个完整的圆共有360°，每个角度可以等分为60分，每一分再等分为60秒。

2. 角的对立角在平面几何中，角的对立角是指与其顶点和边分别在同一直线上的两个角。

对立角互为补角，即其角度数之和为180°。

例如，∠ABC与∠CBD为对立角，则∠ABC + ∠CBD = 180°。

3. 角的互补角和余补角互补角是指角度数之和为90°的两个角，而余补角是指角度数之和为180°的两个角。

例如，∠ABC与∠CBD为互补角，则∠ABC +∠CBD = 90°；若∠ABC与∠CBD为余补角，则∠ABC + ∠CBD = 180°。

4. 角的平分线角的平分线是指将角分为两个相等的角的射线。

角的平分线通过角的顶点，并将角划分为两个度数相等的角，即∠ABC = ∠CBD。

5. 角的内部、外部与共线角角的内部是指位于角边所在直线两侧的点构成的集合；角的外部是指不在角内部的点构成的集合；共线角是指由一个点和两条相交的射线所确定的两个角，这两个角的顶点和边分别在同一直线上。

三、角度单位角度单位有两种常用的表示方法：度（°）和弧度。

度是在几何学中最常用的角度单位，将一个完整的圆等分为360等份。

角的认识认识角的基本概念和表示方法角的认识：认识角的基本概念和表示方法角是几何学中一个重要的概念，在学习几何学时我们经常会遇到和使用角的概念和表示方法。

在本文中，我们将深入探讨角的基本概念，介绍角的表示方法，并探讨角度的重要性及其应用。

一、角的基本概念角是由两条射线（也称为边）共享一个起点而形成的形状。

我们通常将起点称为角的顶点，两条射线则为角的边。

角的大小可以通过来自角的两条边的夹角来衡量。

根据角度的大小，角可以分为不同的类型。

当角的大小为90度时，我们将其称为直角。

小于90度的角称为锐角，而大于90度并且小于180度的角则称为钝角。

此外，角还可以被视为零度或360度的整数倍，我们将其称为相应的零角或圆角。

二、角的表示方法在几何学中，我们一般用特定的符号和记法来表示角。

以下是角的主要表示方法：1. 度数表示法：角的大小可以用度数表示，一个完整的圆可以分为360度。

例如，一个直角为90度，一个锐角为60度，一个钝角为120度。

2. 弧度表示法：角的大小也可以用弧度表示。

弧度是一个计量单位，用于衡量角的大小。

一个完整的圆对应的弧度为2π（或360度）。

常见角度的弧度表示如下：直角为π/2，锐角为π/3，钝角为2π/3。

3. 三角函数：三角函数是一种常用的角表示方法。

常见的三角函数包括正弦、余弦和正切。

我们可以通过这些函数计算角的数值。

三、角度在几何学中的重要性及应用角是几何学中的基本概念，它在理解和解决各种几何问题时起着重要的作用。

以下是角的一些重要应用：1. 平面几何：角的概念与平面几何密切相关。

通过了解角的性质，我们可以解决各种涉及线段、射线和平面的几何问题。

2. 三角学：角的概念是三角学的基础。

三角函数的定义和计算都涉及角的概念，例如正弦定理和余弦定理。

3. 物理学：角的概念在物理学中也具有重要意义。

例如，在力学中，我们常常使用角度来描述物体的旋转状态。

4. 工程学：角的概念在工程学中广泛应用。

4.3.1《角》教学设计（第一课时）授课钟广祥一、学情分析：角与直线、射线、线段一样都是重要而基本的几何图形。

有关角的概念、画法、表示方法等都是重要的几何基础知识，是学习后续图形与几何知识以及其它数学知识的必备基础。

学生在小学已经对角的概念有些粗浅的认识，本节课在已有的知识基础上，将对角作进一步的研究，理解它的静态和动态两种描述方法。

七年级学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望收到老师的表扬，通过直观演示，引起学生的兴趣，把它们的注意力集中在课堂中，通过学生动手画图，发表见解，发挥学生学习积极性。

二、教学目标分析：知识技能：（1）理解角的定义，掌握角的表示方法。

（2）体会用运动的观点理解角、平角、周角的概念。

过程与方法：通过观察、探究角的定义和四种表示方法，提高学生的识图能力，学会用运动变化的观点看问题。

情感态度与价值观：通过在图片、实例中找角，培养学生的观察、探究、抽象、概括的能力以及把实际问题转化为数学问题的能力。

感受图形世界的丰富多彩，激发学生的求知欲。

重、难点分析：1．重点：角的概念，角的表示方法。

2．难点：会用不同的方法表示一个角。

三、教法、学法分析1.教法：启发诱导、讨论法、练习法。

根据本节课的内容和学生的认知水平，本节课以学生自主学习为主，教师使用电子书包引导学生自主探究并赋以适当的点拨，注重直观、动手、探索能力的培养，采用“教师引导、启发诱导，学生探究、发现”的教学方法。

以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索，领会角的定义及特点。

教学环节的设计和展开，以问题解决为中心，使教学过程成为在教师指导下的一种自主探索的学习活动过程，在探索中发现新知，形成自己的观点。

2.学法：自主探究、合作交流、练习法。

为了充分体现《新课标》的要求，培养学生的动手实践能力，探索新知的能力，要充分体现学生的主体地位。

为此，在本课的学习过程中学生主要使用电子书包进行探究式的学习，充分发挥自我研学，在小组内进行交流、讨论，让学生自主学习，构建知识体系。

角的概念和表示方法一、角的概念和表示方法1、角的有关概念（1）角的概念①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。

②角也可以看做由一条射线绕着它的端点转动而构成的图形，把初始边线的射线叫做始边，中止边线的射线叫做终边。

（2）平角、周角平角和周角射线$oa$绕点$o$旋转，当终止位置$ob$和起始位置$oa$成一条直线时，所成的角叫做平角。

当起始射线$oa$又回到起始位置时，所成的角叫做周角。

其中，1平角=180°，1周角=360°，所以1周角=2平角=4直角。

2、角的表示方法射线$oa$绕点$o$转动，中止边线为$ob$。

（1）用三个大写字母表示：$∠aob$或$∠boa$。

适用范围：任何情况都适用于，则表示顶点的字母必须写下在中间。

（2）用一个大写字母表示：$∠o$。

适用范围：以这一点为顶点的角只有一个。

（3）用数字或希腊字母表示：$∠1$或$∠α$。

适用范围：任何情况都适用于，在紧邻顶点处加之弧线，则表示出角的范围，并附以数字或小写希腊字母。

识别角的个数，可以先以某一射线为始边，按一定顺序（顺时针方向或逆时针方向）数出角的个数，然后依次以后面的射线为始边数出角的个数。

从某点出发引出$n$条射线能组成$(n-1)+$$(n-2)+$$(n-3)+$$\cdots+$$3+2$$+1=$$\frac{n(n-1)}{2}$个角。

3、角的分类锐角：$0°<α<90°$。

直角：$α=90°$。

钝角：$90°<α<180°$。

平角：$α=180°$。

周角：$α=360°$。

锐角<直角<钝角<平角<周角。

4、角的单位及角度制（1）度量仪器：量角器。

（2）度量单位：度、分、秒。

把一个周角360等分后，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分后，每一份叫作1分的角，记作$1'$；把1分的角60等分后，每一份叫作1秒的角，记作$1″$。

基本内容 角知识精要概念定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.(2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.（3）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这个角的度数的和（或差）. 表示方法 表示方法用三个大写字母来表示用一个大写字母来表示 用数字来 表示角 用希腊字母来 表示角 图示AOB ∠A ∠1∠α∠角平分线: 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. 互余：如果两个角的度数和是︒90，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。

（其中一个角称为另一个角的余角。

)互补：如果两个角的度数的和是︒180，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。

（其中一个角称为另一个角的补角。

）（注：同角（或等角）的余角和补角相等。

） 角的度量单位换算：061'=︒ 061''='热身练习一、判断题1、一条直线是一个平角；（ ⅹ ）2、小于钝角的角都是锐角；（ √ ）3、如果α和β两角互补，α和γ两角互余，那么γβα2-=；（ √ ）4、互补的两个角中一定有一个角是锐角。

（ ⅹ ）5、有公共端点的两条射线叫做角 。

（ ⅹ ）6、角的边的长短，决定了角的大小。

（ ⅹ ）7、互余且相等的两个角都是45°的角。

（ √ ）8、若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角。

（ ⅹ ） 二、选择题1、钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数（ B ）。

A.︒120B.︒105C.︒100D.︒90 2、一个锐角的余角加上︒90，就等于（ C ）A.这个锐角的两倍数B.这个锐角的余角C.这个锐角的补角D.这个锐角加上︒90 3、已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算51)(βα+的结果依次是30°、35°、60°、75°，其中恰有正确结果．这个正确结果是（ C ）A.30°B.35°C.60°D.75° 4、如图，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝30°．图中互补的角有（ B ）A.10对B.4对C.3对D.14对 5、下列说法中正确的是（ A ）A. 角是由一条射线旋转而成的B. 角的两边可以度量C. 一条直线就是一个平角D. 平角的两边可以看成一条直线6、下列四个图形中，能用∠α，∠O ，∠AOB 三种方式正确表示同一个角的图形是（ C ）A B C D7、下列说法中正确的是（ C ）A. 一个角的补角一定比这个角大B. 一个锐角的补角是锐角C. 一个直角的补角是直角D. 一个锐角和一个钝角一定互为补角三、填空题1、如图1,∠AOB___>___∠AOC,∠AOB___>____∠BOC(填>,=,<); 用量角器度量∠BOC=____°,∠AOC=______°,∠AOC___>___∠BOC.OC(1)AB O DC(2)AB2、如图2,∠AOC=__AOB ∠____+___BOC ∠___=___AOD ∠___-___DOC ∠___;∠BOC=__∠AOC____-___AOB ∠___= __BOD ∠___-___DOC ∠_____.3、OC 是∠AOB 内部的一条射线,若∠AOC=12___AOB ∠_____,则OC 平分∠AOB;若OC 是∠AOB 的角平分线,则____AOB ∠_____=2∠AOC. 4、填写适当的分数：︒45=__21__直角=__41__平角=__81__周角。