广义相对论入门03-广义相对论的数学基础(中)20160507

广义相对论的简介广义相对论简介generaltheoryofrelativity,1,广义相对论简介generaltheoryofrelativity,爱因斯坦的思考1、非惯性系与惯性系平权?2、时空与物质有关?突破(对惯性和引力的思考),在引力场中，一个自由降落的参考系中，人们无法感觉引力的存在！,2,§1广义相对论的基本原理一、等效原理1、惯性质量与引力质量,,,实验表明,定义,称该场点的引力强度,,3,2、惯性力与引力,自由空间加速电梯,引力场中静止的电梯,,,考察相对观察者静止的物体的运动,,,但各自分析的原因不同,,惯性力,引力,,4,,引力场中某一时空点自由下降电梯,远离引力场的自由空间匀速运动的电梯,惯性力可以“抵消”引力,结论：,,,5,在引力场中的某一时空点自由下落的参考系和惯性系等效,在这样两个参考系中得到的力学规律相同局域等效等效并非等同,,6,3、广义相对论的等效原理局域内加速参考系与引力场的一切物理效应等效或说：在任何引力场中任一时空点，人们总可以建立一个自由下落的局域参考系，在这一参考系中狭义相对论所确立的物理规律全部有效。

4、广义相对论的局域惯性系狭义相对论成立的参考系或引力为0的参考系,5、广义相对论的惯性定律在局惯系内,物体不受力,则维持原状态。

牛力的惯性定律与广义的惯性定律表述相同但含义不同在引力场中每个时空点的邻域可以建立若干个局惯系同一点各局惯系作匀速运动(相互间可用洛仑兹变换)不同时空点的局惯系间有相对加速度牛力：惯性系是区域性的各惯性系间无相对加速度,8,,,引力场源,r,,以该点的引力场强自由降落可有多个相对匀速运动可用洛仑兹变换,图示局惯系,9,二、广义相对性原理principleofgeneralcovariance(广义协变性原理)物理规律在一切参考系中形式相同小结广义相对论基本原理1)等效原理2)相对性原理3)马赫原理Machprinciple时空性质由物质及其运动所决定,10,2)引力作用几何化,时空的几何结构,的启示,本课介绍：广义相对论的理论框架1)物理规律中引入引力作用等效原理加速度引力弱引力场,牛顿,11,§2引力场的时空弯曲,一、弯曲空间的概念,,平面是二维平直空间,测地线是弧线,由测量判定空间,测地线是直线,球面是二维弯曲空间,12,测地线,圆周率圆周率二、引力场的空间弯曲以爱因斯坦转盘为例说明,,,在此，我们涉及两个惯性系：,系：即实验室系,研究的问题：测量一段弧的长度及圆周长,14,根据等效原理转动参考系等效为引力场引力场强是,注意到,由洛仑兹变换可得,,,愈强弯曲愈烈,15,三、史瓦西场中固有时与真实距离Schwarcchildfield,1、场的特征,,相对静止的球对称分布的物质球外部的场,2、某处的固有时由静止在该处的标准钟测得的时间间隔某处真实距离由静止在该处的标准尺测得的空间间隔,刚性微分尺,16,在无引力的地方有一系列的走时完全一样的钟然后把它们分别放到引力场中的各个时空点称各地的标准钟,3、标准时间标准长度无引力影响的时间和长度,标准钟,在无引力的地方有一系列的完全一样的刚性微分尺然后把它们分别放到引力场中的各个时空点称各地的标准尺,17,远离引力场处,,,,,,,,18,4、引力场中的固有时与真实距离,S系--史瓦西场系--瞬时静止在S系中确定时空点的局惯系S0系--飞来局惯系由无限远处沿径向自由飞到史瓦西场确定的时空点系中的一只标准钟,S0系中先后与相遇的两只钟,系的确定时空点处的标准钟测得的是原时,设,同样在确定的时空点的标准尺测的是原长,轻？,引力场愈强钟愈慢,3)空间弯曲,引力场愈强尺缩愈烈,22,四、史瓦西场和黑洞如果引力源质量M 很大对应有关值,例,,视界半径,Blackhole,无限缓慢,,23,§3广义相对论的可观测效应一、光的引力频移,处发光频率为,处接收到的频率为,频移,设,24,若太阳发光,引力红移gravitationalredshift,,频移,25,二、光线的引力偏折引力的作用1)空间弯曲2)光线偏离测地线,1919年5月29日测,三、行星(水星)近日点的旋进雷达回波延迟效应,26,。

第三章 广义相对论简介我们已经看到, 无论牛顿力学还是狭义相对论都以惯性原理为基石. 而这块基石并不很牢靠, 因为人们不知道除了测量质点的加速度之外如何判断质点是否受到引力的作用. 从理论上讲, 惯性系不是一个自然的概念. 爱因斯坦通过把惯性（加速度）和引力统一起来, 取消了惯性系的特殊地位, 使惯性系问题和引力问题一举得以解决. 但在宇宙学层面, 关于是否存在优越参考系仍然有争论1.在爱因斯坦广义相对论中, 引力场体现为空间的几何性质. 参考系的变换伴随着引力场（即空间几何性质）的变换, 在这种广义的参考系变换下, 物理规律在所有参考系中都一样. 时间和空间的几何性质由物质的存在及其运动决定；而物质的运动方式则由时间和空间的几何性质（即引力）所决定. 尽管广义相对论并非无懈可击, 但一个世纪以来爱因斯坦这个美妙思想一直指引着人们探索相互作用和运动的和谐理论, 使人们对时空的理解达到前所没有的高度.爱因斯坦广义相对论提供了研究宇宙学的理论框架. 但随着理论和实验研究的深入, 很多有趣的疑难问题相继出现. 例如视界疑难、平直性疑难、暗能量和宇宙常数疑难等等. 由于近年实验的进步, 人们已经看到宇宙学成为精确实验科学的可能性. 例如1998年发现的宇宙加速膨胀和2003年WMAP 首次公布的微波背景辐射涨落. 本章将粗略地给出广义相对论主要思想和理论结构, 并简单地提及引力波、引力红移和宇宙演化方程.3.1 等效原理第一章1.7节曾经提到, 牛顿万有引力可以用引力场来描述. 位于x 的质点感受到的引力决定于x 处的引力场)(x ϕ,)(x xf ϕ∂∂−=g grav m （3.1） 参数g m 称为引力质量, 描写质点对引力场响应的强弱. 当质点只受到引力作用而加速运动时, 称质点作自由落体运动. 例如断了线的升降机, 围绕地球转动的月亮等. 根据牛顿第二定律, 自由落体的加速度为)(1x f x ϕ∇−==Ig grav I m m m && （3.2） 参数I m 描写质点被加速的难易程度, 称为惯性质量. 实验指出, 在同样的引力场中, 引力使物体产生的加速度与物体的质量无关. 这意味着对任意两个物体A 和B 有普适的比例常数B I B g A I A g m m m m = （3.3）不妨令它等于1, 即 m m m I g == （3.4） 1郭汉英, 广义相对论和引力理论的变革——相对论百年札记之二, 《科学》第5期, 2005在牛顿力学中, 引力质量和惯性质量是两个性质完全不同的参数. 他们严格相等在牛顿力学中没有解释.设想一些彼此相距遥远而且和其他物体相距遥远的质点, 因而这些质点不受任何力的作用, 他们相对惯性系Σ没有加速度. 考虑一个相对Σ作匀加速运动的参考系Σ′. 相对于Σ′, 上述所有质点具有相等而且平行的加速度. 静止在Σ′的观测者看来, 好像参考系Σ′没有加速运动, 而质点受到一个均匀引力场作用一样（因为惯性质量等于引力质量, 所有在均匀引力场中自由落体质点的加速度一样）. 且不管产生这种引力的原因, 从效果上没有任何理由阻止我们认为Σ′是一个惯性系但存在真实的引力场. 爱因斯坦认为参考系Σ和Σ′在物理上完全等价.这种等效性使惯性系和非惯性系完全平等起来, 是观念上的极大进步. 现在再不用把物理定律限制在一种称为惯性系的特殊参考系中. 质点在不同参考系的不同行为被归结为引力场在不同参考系中的不同表现. 我们仍然认为引力场是一种客观实在, 但它在不同的参考系中表现出不同的强度. 类似于客观实在的尺子在不同惯性系可以表现出不同的长度. 我们稍后再讨论引力场和空间几何的关系, 以及引力场如何产生.显然不是任意引力场都可以被加速参考系抵消. 例如没有一个加速参考系能看到完全为零的地球引力. 引力和加速度的等效性是局域的. 爱因斯坦假设, 在质点所在的无穷小空间邻域中, 引力场被质点的自由落体运动完全抵消掉, 固定在该质点上的参考系对该质点附近的无穷小邻域而言是一惯性系, 其中引力强度等于零, 而且狭义相对论成立.等效原理：（1）均匀引力场等效于一个加速参考系中的惯性力场；（2）固定在自由落体上的参考系是一个局域惯性系, 其中狭义相对论成立.等效原理的实质是：在宇宙中任何时刻、任何地点都可以建立局域洛伦兹参考系, 在这类局域洛伦兹参考系中, 除了引力之外的一切物理规律形式上和狭义相对论中的规律一样. 这是广义相对论中最重要的原理.更强的假说是相对论局域化原理：在宇宙中, 时时处处存在局域闵可夫斯基时空, 其中除引力之外的物理规律, 都具有局域庞加莱不变性；亦即狭义相对论在时空局域地成立.3.2 弯曲空间◆爱因斯坦转盘在惯性系中制备的一些相同的尺子, 作为标准长度单位, 称每把尺的长度为0l 米. 分别沿半径和圆周摆放尺子.设圆盘相对地面静止时需要用n 把尺子摆满半径, m 把尺子摆满圆周. 按照欧几里德几何, 周长和半径之比为π200==nm nl ml （3.5）图3-1. 爱因斯坦转盘.当圆盘以角速度ω转动时, 圆周处的线速度为r ωυ=. 因为转盘是一非惯性参考系, 我们暂时还不知道非惯性参考系的时空几何学和其他所有自然定律, 只能通过地面惯性系的测量来推断转盘上的规律. 根据狭义相对论（参见第二章例2-2）, 圆周上随圆盘转动的尺子相对地面惯性系的长度为020)/(1)(l c r l r l <−=ω （3.6） 而沿半径摆放的转动尺子相对地面惯性系的长度不变2, 仍为0l , 即圆盘半径不变. 根据地面惯性系的欧几里德几何, 圆盘转动时的边缘和不转动时的边缘应该是重合的. 摆满半径所需的转动尺子数目仍为n , 但是因为沿圆周边缘摆放的转动尺子变短了, 在转动圆盘上需要多一些尺子才能摆满圆周, 即需要尺子的数目变成m ′(m m >′).对于转动圆盘上的人, 有两种观点可选择：1）仍然采用地面惯性系的长度标准, 以不转动的尺子为长度标准单位；认为转盘上同样的尺子在不同的位置具有不同的长度)(0r l l =′, 而圆盘转动时圆周的长度和静止时一样, 即 00ml l m =′′；2）不管尺子作惯性运动抑或非惯性运动, 坚持同样的尺子在任何情况下都代表同样的长度（把它作为转盘参考系中的长度标准单位）；因而圆盘转动时圆周的长度0l m ′和静止时的0ml 不一样. 对于转盘参考系, 按第一种观点, 本质相同的尺子在不同位置具有不同的长度(因而不能作为长度单位), 转盘上的人做长度测量时需要用固定在另一个特定参考系的尺子作为长度单位. 而按第二种观点, 物理本质相同的尺子作为长度的标准单位, 与它所处的位置及运动状态无关, 长度的测量仅与单个参考系有关. 因为第二种观点避免了长度测量依赖于有优越性的特殊参考系, 所以显得自然一些.如果转盘上的人采用第二种观点, 即认为标准尺的长度是不变的, 就会得出周长和半径的比π200>′=′nm nl l m （3.7） 依这种观点, 转盘参考系的几何不是欧几里德几何. 在思考上述问题时, 要避免问这样的问题: “转动和不转动的圆盘, 他们的圆周长度到底相不相等?” 这是牛顿绝对空间概念导致的误区. 按照相对论, 长度没有绝对意义. 同样物理状态下物体的长度在两个参考系中可以是不同的. 而具有绝对意义的是摆放尺子的数目. 所以地面和转盘上的人记录的固定在转盘上沿圆周摆放的尺子数目都是m ′. 至于他们认为圆周的长度有多长, 则与他们选择的长度标准单位有关.再考虑两个相同的时钟, 一个放在圆心, 一个放在圆周. 按照狭义相对论（参见第二章例2-1）, 当圆盘转动时, 地面惯性系的观察者将看到圆周的时钟走得慢一些. 离圆心越远, 时钟越慢. 和前面关于尺子和长度测量的讨论相似, 转盘上的观察者可以自然地坚持时钟的一个运动周期为标准时间单位, 不管时钟放在那里都代表同样的时间间隔. 这样转盘上的观察者测量得圆周上的时间较之圆心的时间流逝得变慢了.■2假定尺子的长度只依赖于尺子方向的速度, 而与尺子的加速度和垂直尺子方向的速度无关.在转盘上引入非欧几何不是必须的, 因为转盘相对一个惯性系转动, 一切时间和尺度都可以用惯性系中的时钟和尺子来测量, 时空几何以惯性系的欧几里德几何为准, 即同上两章那样赋予惯性系特殊优越的地位. 假如物理上存在欧几里德几何成立的称为惯性系特殊参考系, 原则上也不妨坚持以惯性系中静止的时钟和尺子为时间和长度的标准, 以此量度任何参考系的时间和长度. 但是等效原理告诉我们, 圆盘的加速运动等效于引力场. 由于实际上存在不能通过参考系变换使之处处为零的引力场, 因此物理上不存在真正的欧几里德几何成立的惯性系, 因此非欧几里德几何是必须的.为了容易想象弯曲空间, 我们假设空间是二维的. 图3-2是弯曲空间的一个例子. 把曲面镶嵌在高维欧几里德空间, 用高维空间（三维空间）的笛卡儿坐标描写曲面是可以的. 但高斯提出一种更漂亮的描写方法, 即在曲面上直接建立曲线坐标. 高斯的方法只使用曲面的内禀性质描写曲面的几何, 不需要人为地增加内容, 类似于广义相对论只在一个参考系描写时空结构（和物理规律）, 优越性是明显的.我们所讨论的曲面假定是连续可微的, 每一点附近的小邻域可以用一平面（图3-2b 中的M ）近似. 在数学上这种曲面称为二维微分流形. 图3-2a 的苹果如果没有破皮, 而且把蒂去掉, 其表面就很接近一个2维微分流形.B普遍地, 可以把流形想象为一个局部光滑的空间, 空间任一点的邻近区域均近似为欧几里德空间. 这意味着可以在流形的任一小区域中建立局域的笛卡儿坐标()d X X X ,,,21L , d 为流形的维数. 对小区域中的两点可以根据欧几里德几何引入距离的概念, 无穷小距离平方定义为()()∑==++=d d dX dXdX dX ds 12222212)()(ααL （3.8）对笛卡儿坐标作任意连续可微变换 ),,,(21d x x x X X L αα= （3.9）代入（3.8）得d 维流形的间隔平方可写成∑=ddx dx x g ds νµνµµν,2)( （3.10） 其中函数µνg 由流形的几何性质和所选坐标架所决定, 称为度规矩阵, 或简称度规,∑=∂∂∂∂=dx X x X x g 1)(αναµαµν （3.11） 图3-2.（a ）弯曲的二维曲面. AB 是曲面上的一条路径. （b ）曲面上的切平面M 和路径AB 的的切线.有了µνg 之后, 流形便有确定的形状和距离的概念, 即µνg 确定流形的度量性质. 具有度规的流形称为黎曼流形.◆例3-1 求球面流形的度规.【解】采用球坐标),(ϕθ, 设球的半径为a . 易见222222)(sin)(ϕθθd a d a ds += （例3.1）所以 211a g =, 02112==g g , θ2222sin a g = （例3.2）■物理四维时空流形有类似黎曼流形的性质. 观察者在引力场中作自由落体运动, 他附近的小邻域里好象不存在引力场一样. 因此总能将时空流形的一个小邻域近似为欧几里德区域, 在那里建立惯性参考系（自由落体参考系）, 其中狭义相对论成立. 根据狭义相对论, 两个无限接近事件的间隔, 即（3.10）式定义的2ds , 是一个不变量, 与局域惯性系的选择无关. 实际上, 按照度规的定义, 2ds 在任意连续可微坐标变换下都是不变的（习题【31】）. 因为任意物理的参考系变换都可以用连续可微坐标变换给出, 所以2ds 在任意局域参考系变换中不变. 这些变换可以是非线性的、非均匀的. 局域欧几里德并不意味有限范围空间的几何也是欧几里德的, 不同的几何结构由不同的度规张量场)(x g µν表现出来（所谓张量场就是时空点的一个张量函数）. 度规场反映了参考系的不同选择, 也反映了时空的几何结构. 最简单的度规矩阵为单位矩阵,µνµνδ=g （3.12）当度规矩阵为单位矩阵时, 参考系为局域惯性系, 在其适用的局域范围内引力强度为零. 经非线性坐标变换后, 单位度规矩阵变成非单位矩阵, 它对单位矩阵的偏离代表非零的引力强度. 但是某点引力强度等于零并不一定等价于该点没有引力场. 因为即使在该点µνµνδ=g , )(x g µν在该点的导数可能不等于零, 这就有别于无引力场的情形. 事实上空间的曲率（张图3-3. 球面流形. 对给定的半径, 球面上每点可以用坐标),(ϕθ表示.量）如果有非零元素, 就有引力场存在. 因此, 整个空间函数)(x g µν与引力场相联系, 而给定点某个点0x 的)(0x g µν与引力强度联系, 后者依赖于参考系.空间的整体拓扑性质是很有趣的. 例如, 存在非平庸拓扑的曲面, 它不可能通过连续可微坐标变换把整个曲面变成平坦的. 球面就是一个非平庸拓扑的曲面. 相反, 圆柱面是可以通过坐标变换变成平坦的. 根据引力和几何的关系, 如果空间是二维的球面, 则空间必须存在引力场, 不能让处处的引力强度都等于零；如果空间拓扑和圆柱面一样, 则整个空间原则上（数学上）可以没有引力场.3.3 弯曲空间的矢量分析（1）张量的定义考虑一般的连续可微坐标变换)(νµµx x x ′=′ （3.13）无限小位移µdx 在一般坐标变换下如下式变换： ννµµdx x x x d ∂′∂=′ （3.14） 重复指标均隐含求和, 以后不再特别声明.按定义, 反变矢量A 由四个分量组成, 它的分量在坐标变换下如（3.14）式一样变换ννµµA x x A ∂′∂=′ （3.15） （3.14）式本身说明µdx 是一个反变矢量. 曲线的切线（例如图3-2b 曲线AB 的切线）, 选择适当参数就是四维速度矢量 τµµd dx u = （3.16） 易见它是一个反变矢量（τd 在坐标变换下不变）.由四个分量组成的对象B , 其分量µB 在坐标变换下如下式变换：νµνµB x x B ′∂∂=′ （3.17） 则称它为协变矢量. 注意我们总是用上标表示反变矢量, 下标表示协变矢量. 本章不再用黑体强调矢量和张量. 变量的几何性质由指标安排或具体说明给出.反变矢量和协变矢量可以合起来构成一个标量µµφB A = （3.18） 易证, φ在坐标变换下不变.所有张量都通过它的分量的变换方式来定义. 例如µν⋅A 的变换方式为 αβνβαµµν⋅⋅′∂∂∂′∂=′A x x x x A （3.19） 可证, νµdx dx 是一个二阶反变张量.如果µνA 和αβγB 是两个张量, 而且µναβνγµαβγA RB = （3.20） 则αβνγµR 是一个张量. 这是一个普遍数学定理的特例.【定理】如果两个张量成正比, 每一个张量的反变（协变）指标对应比例因子的一个协变（反变）指标, 则比例因子是一个张量的分量.由于2ds 和νµdx dx 是张量, 根据这个定理从（3.10）式容易看出µνg 是张量.（2）基本张量——度规张量下面直接证明度规矩阵µνg 是对称的协变张量.◆【证明】ληλνηµµννµµνx d x d x x x x g dx dx g ds ′′′∂∂′∂∂==2 （3.21） 在新坐标中,ληηλx d x d g s d ′′′=′2 （3.22）因为2ds 是不变间隔, 所以22s d ds ′=. 比较（3.21）和（3.22）式得µνλνηµηλg x x x x g ′∂∂′∂∂=′ （3.23） 故µνg 是一个协变张量, 称为协变度规张量.（3.23）式可以写成νµνµµνµνdx dx g dx dx g ds ==2 （3.24）最右边的式子由中间的式子同时改变求和指标的名称而得到. 因此 νµνµµνdx dx g g )(0−=上式对任意小量µdx 成立, 故νµµνg g =, 即度规张量是对称的.■度规矩阵µνg 的逆矩阵αβg 由下式定义,⎩⎨⎧≠===µβµβδβµλβµλ,0,1gg (3.25) 因为αβg 的两个指标都按（3.15）式变换, 故称αβg 为反变度规张量. 易见它也是对称的.有了协变和反变度规张量, 我们可以把反变矢量（指标）和协变矢量（指标）一一对应起来,νµνµA g A =, νµνµB gB = （3.26） ναµανµT g T =, αβνβµαµνT g g T = （3.27）因此, 一个矢量既可以用反变矢量表示也可以用协变矢量表示, 分别称为矢量的两个表象：反变表象和协变表象. 例如, 我们把（3.26）式中的µA 和µA 看作同一个矢量的两种表示.（3）不变体积微元度规矩阵的行列式记为||µνg g =. 可证,g J g 2−=′ （3.28） 其中J 是从坐标x 变到坐标x ′的雅戈比行列式,νµx x J ∂′∂= （3.29） 右边指标µ是矩阵元的行指标, ν为列指标.雅戈比行列式也出现在体积微元d d dx dx dx x d L 21≡的变换中,x Jd x d d d =′ （3.30） 因此, x d g d 在坐标变换下不变, 称为不变体积微元.x d g x d g d d =′′ (3.31) （4）矢量平行移动与仿射联络如何比较空间不同点的两个矢量呢？这件事在平直的欧几里德空间是容易办到的：把其中一个矢量平行移动到另一个矢量的位置, 再按平行四边形法则求他们的差. 因为一个笛卡儿坐标架可以描写整个平直空间, 故所谓矢量的平行移动, 可以理解为矢量各个分量保持不变的移动.但在弯曲空间, 不同点的矢量之间不存在内禀的平行概念. 为了确定不同点的矢量平行与否, 必须规定一种平行移动的法则. 图3-4直观地说明一种可能的平行移动法则——仿射联络. 图3-4（a ）中, 一个与球面切于北极（a ）点的矢量沿大弧abc 移动, 在移动过程中矢量保持它的长度和与弧线abc 相切的特征. 可以合理地认为矢量在这个过程中作平行移动. 再看图3-4（b ）, 北极上同样的矢量, 沿另一条大弧adc 移动, 在移动过程中保持与球面相切并和弧线adc 的切线正交的特征. 可以同样合理地认为这个过程是对矢量的平行移动. 但是我们看到两个过程在南极c 点产生的矢量是不同的. 可见没有办法在整个球面一致地定义矢量的平行. 但是沿一条给定曲线平行移动矢量是可以无歧义地定义的. 粗略地说, 仿射联络是一种平行移动的法则, 矢量按此法则沿一条曲线移动时被认为不改变.c在无限小的区域, 弯曲空间近似平直, 因此和欧几里德空间的情形相似, 矢量的无限小平行移动由初始矢量)(x A 和位移矢量dx 所确定. 示意于图3-5.) 1ˆe考虑x 处一反变矢量)(x A µ, 利用x 处坐标架的单位方向矢量)(ˆx eµ可把矢量可写成 )()(ˆ)(x A x e x A µµ= （3.32）矢量)(x A 被平行移动到dx x +处, 成为该处的一个反变矢量B . ))()()((ˆx A x A dx x e B µµµδ++= （3.33）把平行移动引起的矢量分量的变化)(x A µδ写成νλµλνµδdx x A x x A )()()(Γ−= （3.34） 则))()()()((ˆνλµλνµµdx x A x x A dx x e B Γ−+= （3.35） 图3-4. 球面上矢量的平行移动. （a ）矢量沿abc移动. （b ）矢量沿adc 移动.图3-5. 矢量场的协变微分. 1ˆe和2ˆe 是局域坐标架. )(x A 和)(dx x A +分别是矢量场在x 和dx x +两点的矢量. B 由x 点的矢量)(x A 平移到dx x +点而成的矢量. 协变微分DA 定义为)(dx x A +和B 的差.其中带有三个指标的函数)(x αµνΓ称为仿射联络（克里斯托菲（Christoffel ）符号）. 矢量B 必须象矢量一样变换, 这要求)(x αµνΓ具有下面的变换性质, ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′∂′∂∂+Γ′∂∂′∂∂∂′∂=Γ′νµββηλνλµηβααµνx x x x x x x x x 2 （3.36） 可见, αµνΓ不是一个张量. 至此, αµνΓ除了（3.36）式的限制外, 没有其他限制. 易见, 如果原来的αµνΓ对两个下标是对称的, 经过任意变换后这种对称性仍然保持. 对平直的欧几里德空间, αµνΓ等于零, 所以对其下标一定是对称的. 我们假定物理时空每一局域都可以用欧几里德空间近似, 是所谓黎曼流形, 故只需考虑ανµαµνΓ=Γ的情形（数学上称为无挠性）. 物理时空是有距离概念的, 可以如（3.11）式那样引入度规张量场. 能够保证矢量的标积在平移时保持不变的αµνΓ唯一地被度规张量所确定3,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂+∂∂=Γσµνµνσνµσασαµνx g x g x g g 21 （3.37） 上式的导出可以参见第四章(附4.23)式.（5）协变微分考虑反变矢量场)(x A µ. 普通导数νµx A ∂∂不是一个张量, 因为在坐标变换下, σλµνλσλσσµνλσσµλνλµλνλνµx x x x x A x A x x x x A x x x x x A x x x x A ∂∂′∂′∂∂+∂∂∂′∂′∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂′∂∂∂′∂∂=′∂∂′∂∂=′∂′∂2 （3.38） 第一项如张量一样变换, 但第二项不是.我们要在同一地点求矢量的差才能得到矢量. 为了反映矢量场局域空间变化, 用dx x +处的矢量)(dx x A +减B （由)(x A 从x 平移到dx x +所得的矢量, 见（3.35））,[]νλµλνµµνλµλννµµνλµλνµµµdx x A x x x A x e dx x A x x x A dx x e dx x A x x A dx x A dx x e Bdx x A DA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡Γ+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Γ+∂∂+=Γ+−++=−+≡)()()()(ˆ)()()()(ˆ)()()()()(ˆ)( （3.39） 3 参见《相对论引论》, P.G .柏格曼著, 周奇、郝苹译, 人民教育出版社1961这是一个反变矢量, 称为反变矢量场)(x A 的协变微分. 在最后的等式中我们忽略了二阶以上的无限小量.（3.39）式最后一行的中括号定义为反变矢量的协变导数,λµλνµµνA x A A Γ+∂∂=⋅; （3.40） 右边两项分别都不是张量, 但合起来却是一个张量. 以后“分号”一般都表示协变导数. 如果空间是平坦的, 可以选取不随时空点变化的度规张量, 使得仿射联络等于零（见（3.37））, 此时协变导数和普通导数一样. 因为广义相对论中允许在不同时空点采用不同的参考系, 不同的坐标架, 而且在引力场下全空间原则上不存在一致的笛卡儿坐标, 所以需要（3.40）式右边的第二项才能保证（3.40）式具有张量的变换性质.协变微分可以表示为νµνµdx A e DA ;ˆ⋅= （3.41）如果0=DA , 则)(dx x A +是)(x A 平移得到的矢量.类似可以得到协变矢量的协变导数λλµννµνµA xA A Γ−∂∂=; （3.42） 注意（3.40）和（3.42）式第二项符号的差别.协变导数和普通导数一样有莱布尼兹求导公式νλµνµλλνµ;;;)(B A B A B A += （3.43）类似推理可以得到张量的协变导数,γνµγλµγγνλλµνµλνT T xT T Γ+Γ−∂∂=; （3.44） 对张量求协变导数的规律是：第一项是普通导数；然后张量的每一个指标都对应有一项, 由Γ和张量相乘得到, 下标为负, 上标为正. 注意上下指标的配合就可以写出正确的协变导数. 标量也服从这个规则, 因为标量没有指标, 故只有普通导数项.µϕϕx ∂∂=; （3.45） 一个重要的结果是, 度规张量的协变导数等于零（习题【3.2】）,0;=λµνg （3.46）（6）曲率张量如何知道空间在某一点附近是弯曲的呢？在平直空间, 把矢量沿一闭合回路平行移动一周, 矢量方向和大小都不变. 例如图3-6a 中的矢量沿路径ABCA 平行移动一周. 在弯曲空间, 如图3-6b, 矢量沿回路（图中的ABCA ）平行移动一周后, 和原来出发时的矢量不一样. 这是空间弯与不弯的根本差别.4321P P P 平行移动一周. 如图3-7. （3.47） 推广到任意回路 （3.48） 根据（3.20),(22113dx x dx x P ++即沿无限小回路平移一周后, 矢量的改变正比于原矢量以及回路所围的面积, 其比例系数µναβR 称为四阶黎曼曲率张量, 由仿射联络及其导数给出,γλαµγβγλβµγαβµλααµλβµλαβΓΓ−ΓΓ+∂Γ∂−∂Γ∂=xx R （3.49） 它关于下标α和β是反对称的, µλβαµλαβR R −=．空间平坦的充分必要条件是四阶黎曼曲率张量等于零.四阶黎曼曲率张量满足一个重要的数学恒等式, 称为毕安基（Bianchi ）恒等式,0;;;=++µβλγαµαλβγµγλαβR R R （3.50） 图3-7. 矢量沿回路4321P P P P 平行移动一周.对αµβνR 的指标α和β缩并, 得到一个二阶里兹（Ricci ）张量βµβνµνR R ≡ （3.51） 总曲率（标量）等于里兹张量的缩并（先用度规张量把里兹张量的一个指标提起来）µνµνR g R = （3.52） ◆例3-2 在半径为a 的球面上, 采用球坐标θ和ϕ. 度规张量已在例3.1中给出. 求仿射联络和曲率标量.【解】仿射联络的非零分量有：θθθϕϕcos sin −=Γ, θθϕϕθϕθϕsin cos =Γ=Γ （例3.3）四阶黎曼曲率张量的非零分量有：1=−=ϕθθϕϕθϕθR R , θθϕϕθθϕθϕ2sin=−=R R （例3.4） 二阶里兹张量的非零分量有：1=θθR , θϕϕ2sin=R （例3.5）曲率标量为22aR g R g R =+=ϕϕϕϕθθθθ （例3.6） ■3.4 短程线以上3.2和3.3节基本上是数学内容. 现在回到物理问题：在引力作用下质点的运动. 根据爱因斯坦的设想, 当空间的几何知道后, 自由质点（除了引力之外, 不受其它力作用的质点）的运动便由空间的几何完全确定了, 它的轨迹必然是由空间几何内禀性质确定的一条线. 下面先介绍通过空间内禀性质定义的一种特别曲线——短程线.图3-8. 根据初始位置和初始速度画出的短程线. 从A 点坐标和速度矢量推知无穷接近的B 点坐标和速度矢量, 由B 点坐标和速度矢量再推知无穷接近的C 点坐标和速度矢量, 等等, 就可以确定短程线上所有的点.给定一个初始位置µx 和一个初始速度τµµd dx u /=,可以按以下规则在弯曲空间中画出一条唯一的曲线. 如图3-8, （1）从A 点的坐标和速度矢量可以得到下一时刻的位置B ；（2）沿速度方向将A 点的速度矢量平行移动到B 点, 得到B 点的速度矢量；（3）从B 点的坐标和速度矢量可以得到下一时刻的位置C ；如此类推便可得到图3-8的整条曲线. 这样通过空间几何（由仿射联络给定）自然定义的曲线称为短程线.A ：µµ0)(x A x =, µµ0)(u A u =B ：τµµµd u x B x 00)(+=, βαµαβµµdx u u B u 00)(Γ−=C ：τµµµd B u B x C x )()()(+=, βαµαβµµdx B u B u C u )()()(Γ−=若质点沿短程线运动, 则四维速度矢量作平行移动. 可以认为短程线上各点的速度是同一个矢量U （同一个矢量U 放在时空不同的位置可以有不同的分量, 因为坐标架变了）. 这种运动相当于平坦空间的惯性运动. 作为伽利略惯性定律的自然推广, 爱因斯坦设想, 自由落体沿短程线运动. 严格地说, 只有对引力场影响足够弱的自由落体才沿短程线运动. 实际上这是爱因斯坦场方程的一个推论（见3.5节与（3.67-68）式相关的讨论）.按照上面给出的短程线的图象, 自由落体质点位移无限小距离νdx 之后, 速度分量的改变µdu 等于速度矢量平行移动同样距离νdx 的分量变化µδu . 在（3.34）式中取A 为四维速度U , 即取µµu A =, 便得到νλµλνµµδdx u u du Γ−== （3.53）换而言之, 四维速度的协变导数等于零, 即0;=µνu . 设质点平移νdx 所需原时（固有时）为τd , 上式可写为0=Γ+ττνµαµναd dx u d du （3.54） 或022=Γ+τττνµαµναd dx d dx d x d (3.55) 此即短程线方程, 是仅受引力作用的质点的运动方程. 对给定的引力场（αµνΓ）, 知道质点的初始位置和初速度即可从(3.55)式解出质点的轨迹. 如果知道质点的初始时刻的位置A 和末尾时刻的位置B, 也可以从 (3.55)式解出质点的轨迹（图3-9）. 短程线方程也可以通过要求自由落体从一点A 移动到另一点B 的路径所用原时（∫BA d τ）取极值（极小或极大）而得到4.4数学上, 使原时取极值的路径可以通过变分方法得到, 参见第二篇第四章附录4.3.。

广义相对论三个公式
广义相对论是爱因斯坦提出的一种描述引力的理论，其中包含了一些重要的公式。

以下是广义相对论中的三个公式：
1. 爱因斯坦场方程：这是广义相对论的核心方程，描述了引力场的曲率与物质分布之间的关系。

它的数学形式为：Rμν - (1/2)gμνR = (8πG/c^4)Tμν，其中Rμν是曲率张量，gμν是度规张量，R是标量曲率，Tμν是能量-动量张量，G是引力常数，c是光速。

2. 弯曲时空的度规：广义相对论认为，引力是由物质和能量引起的时空的弯曲。

弯曲时空的度规张量描述了时空的几何结构。

在弯曲时空中，度规张量的数学表达式与平直时空（即没有引力的时空）的度规张量有所不同。

3. 地面附近的时空弯曲：根据广义相对论，物体在引力场中运动时会受到时空弯曲的影响。

在地球附近的引力场中，我们可以使用牛顿引力定律和广义相对论的公式进行比较。

广义相对论预测出的效应包括时空弯曲导致的时钟走慢和光线偏折等现象。

这些公式是广义相对论的基础，它们描述了引力的性质和引力场与物质之间的关系。

广义相对论的公式和预测已经通过大量的实验证实，并且在理论物理学中具有重要的地位。