电动力学考研辅导材料

电动力学前五章复习资料一、考试内容第一部分 静电场1、真空与介质中静电场的场方程，场的性质及其物理特征。

2、边值关系、在两种介质分界面上电场的跃变性质。

3、由场方程和边值关系，通过电荷分布确定场分布及极化电荷的分布。

4、场的势描述。

由势分布确定场分布、荷分布；通过静电势的定解问题，确定静电势的分布、场分布及介质极化性质的讨论。

第二部分 静磁场1、电荷守恒定律。

2、稳恒磁场场方程、场的性质及其物理特征。

3、由场方程，通过流分布确定场分布与磁化电流分布。

4、磁场的边值关系。

5、稳恒磁场的矢势。

6、由磁标势法确定磁场。

第三部分 变化电磁场1、变化电磁场场方程（麦克斯韦方程组）。

2、电磁场的能量。

3、单色平面电磁波。

4、变化电磁场的势、势方程、推迟势。

第四部分 狭义相对论二、典型例题1、已知均匀各项同性线性介质()ε中放一导体，导体表面静电场强度为E ， 证明E与表面垂直，并求分界面上自由电荷、束缚电荷分布。

解：在静电平衡时，内部E E D E P====2111,0 ()()()()f f pp f pp f p f f n t t t nn f EE E E E E n En E E E E E E E n E D D D n σεεσεεσσσεεεεσεσσεσσεσεσ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=+=+=-⋅=∴=====-⨯==-⋅=000001212122121100的关系：与由此得，，②由（垂直于导体面）所以，由①由2、有一均匀磁化介质球，磁化强度为M（常矢）。

求磁化电流分布。

解： ()φ，，由，只有面电流分布常矢，e M e e M e M M n MM M M M n J M M v J r z r m m m mθααsin 00,1212=⨯=⨯=⨯-===-⨯===⨯=3、无限大平行板电容器能有两层介质，极上面电荷分为f σ±，求电场和束缚电荷分布。

解：（1）根据对称性，电场沿n方向，且为均匀场，极板为导体，在表面处：用 ()fc D D n σ=-⋅1n E E nE E f ff f22221111,,εσεσεσεσ====（2）介质与导体板分界面上电荷分布：()()032110201201203303312=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∴=+=-⋅pppff fn npffpE E E E n σσσσεεεεεσεσεεσσεσσ）（）（介质整个是点种性的。

，在这里由4、如图，在均匀外电0E中，置入半径为0R 的导体球，若该导体球接到稳压电源上，使与地保持稳恒电势差0V ，且导体球外是真空。

求静电势的分布及在导体球面上的感应电荷的分布。

解：取z 轴如图的球坐标，设在原点处外场0E的势0ϕ=0，求解区为球外区域 02000c o sR R V E R ϕϕϕθ→∞⎧∇=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩由分离变量法解得：3000002c o sc o s E R V R E R RRϕθθ=-++()0021000003cos fR R RV n D D n E RR εϕσεϕεεθ∂=⋅-=-⋅∇=-=+∂5、如图介电常数为ε的均匀介质球，置入到均匀外电场0E中，求静电势的分布。

解：取如图球坐标，设在原点处0E的势00ϕ=0EZnOR0V00222122001100,0,cos R R RRR R R RE R ϕϕϕϕϕεεϕϕθ→→∞⎧∇=∇=⎪⎪∂∂==⎨∂∂⎪⎪==-⎩2有限，则()r ϕϕθ=，,由分离变量法解得：10030002023cos 2cos cos 2E R E R E R Rεϕθεεεεϕθθεε=-+-=-++ 6、如图，在半径为0R 的介电常数为1ε的均匀介质圆柱面上有均匀分布的面自由电荷，面自由电荷密度为0σ，柱外充满介电常数为2ε的另一种均匀介质，求电场的分布及在介 质柱面上的面极化电荷密度P σ。

解：取Z 轴如图的柱坐标，运用静电场的高斯定理，求得：()()0000000002222122000220(1R Rp R R R R R R E D e E e RR n P P n P n D E σσεσεεσε==→==-⋅-=-⋅=-⋅-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭柱内），柱外而7、如图，半径为0R 带电量为0Q （自由电荷）的导体球，位于两种均匀介质的分界面上（该 界面为平面，两种介质的介电常数分别为12,εε），求静电场的分布及在球面上的面自由电 荷密度f σ。

解：取原点在球心的的球坐标，分区如图，由于电场E的分布如图所示，即E的量值具有球面对称性→取如图半径为R 的球面，运用静电场的高斯定理：0120RR R D d S QD d S D d S Q ⋅=→⋅+⋅=⎰⎰⎰上半球面下半球面即： 2212022R D R D Q ππ+=0EZε0εRO0R Z0σ1 2 1ε 2εnR 1ε2εORn12()11122212012212,,2D E D E E E Q E E Rεεπεε=====+ 得：()()013120231222Q R E RQ RE Rπεεπεε∴=+=+()()0000010111212020222212022fR R R fR R R Q n D n E R Q n D n E R εσεπεεεσεπεε=⋅=⋅=+=⋅=⋅=+ 下半球面上半球面8、如图，沿半径为0R 磁导率为μ的均匀介质圆柱的中心对称轴线，有一根无穷长线自由电流（电流强度为I ，流的方向竖直向上），柱外是真空。

求磁场的分布和磁化电流的分布。

解：取Z 轴如图的柱坐标，运用安培环路定理，可得：()()101120222,222I H e I I RB H e B H e I R R H e R θθθθμμπμμπππ⎧=⎪⎪→====⎨⎪=⎪⎩柱内柱外 在柱内线自由电流处，有线磁化电流：()()()()0021010111,112m r m R r R r ZI I I R n M MRI n M R e H e Rμμσμμμπ⎛⎫=-=-=⨯- ⎪⎝⎭=-⨯=-⨯-=--在的柱面上 9、有一点电荷Q 位于两个互相垂直的接地导体面所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a 和b ，求空间的电势。

解：（1）分析：1S 板、2S 板电势为0，021==S S ϕϕ假想电荷应在第I 象限之外。

（a ） 为保证1S 板上01=S ϕ，要在（a ，-b ，0）处放电荷Q -，但不保证2S 板为0=ϕ；为保证2S 板上02=S ϕ，要在（-a ，b ，0）处放电荷Q -，但不保证1S 板为0=ϕ。

这样不能保证两极板上电势为零。

实际上这是由于对于平板问题总点电荷数不能12I μμnZ2ε 1εRQxyQ Q/Q/O为奇数。

（b ） 在（-a ，-b ，0）处放象电荷Q ，对1S 面，2S 面和O 点均可使0=ϕ。

（2）电势分布 ])()(1)()(1)()(1)()(1[4222222222222zb y a x zb y a x zb y a x zb y a x Q +-++-+++--++++++-+-=πεϕ10、如图，求半径为0R 磁化强度为0M的均匀磁化铁球的磁场（球外是真空）。

解：取原点在球心，Z 轴方向与0M 方向一致的球坐标m H ϕ=-∇，面磁荷密度()2100c o s m n M M n M M σθ=-⋅-=⋅=0022121221001020,0cos 0m m m R m R m m m m R m R R M RR ϕϕϕϕϕϕσθϕϕ→→∞⎧∇=∇=⎪=⎪⎪∂∂⎪⎛⎫-=-=-⎨ ⎪∂∂⎝⎭⎪⎪=⎪⎪=⎩有限 ()()1211310100cos ,cos 11,,0,0(1)33nn n mn n n m n n n n nnn n n n b d a R P C R P R R a M d M R C b a d n ϕθϕθ++⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭======≠∑∑设解为解得：而()()()301002311010110003022035300002023511cos ,333123331333m m m m R M R M R M R R H M B H M M M R R M H R R R M R R R M B H R R ϕθϕϕμμϕμμ⋅∴==⋅==-∇=-→=+=⎡⎤⋅⎢⎥=-∇=--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⋅⎢⎥==--⎢⎥⎣⎦而 11、如图，半径为0R 的均匀介质球置入到均匀外磁场0H中，求磁场的分布。

OR1 20Mnμ解：引入如图球坐标，设在原点处外磁场0H的势00m ϕ=。

球内为“1”区，球外为“2”区。

m H ϕ=-∇()()()()()()00002122121201020010234cos 6m m m R m R mmR R m R m R R R H R ϕϕϕϕϕϕμμϕϕθ→→∞⎧∇=→⎪∇=→⎪⎪=→⎪⎪⎨∂∂=→⎪∂∂⎪⎪=→⎪⎪=-→⎩有限5 ()()()()()()()1211,,12cos ,cos 36m m nnn n m nn m nn n n nnR b d a R P c R P R R ϕϕθϕθϕθ++=⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑设即的通解为：由得：()()()()30000120200011011000300002203503000002003503cos ,cos cos 2233,223232m mm m H R R H H R RH H B H H H R R R H H H R R H R R R H H H R R μμμϕθϕθθμμμμμμμϕμμμμμμμϕμμμμμμμμ-=-=-+++=-∇===++⎡⎤⋅-⎢⎥=-∇=--+⎢⎥⎣⎦⎡⋅-==--+2对应的磁场而B ⎛⎫⎤ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭12、在真空中，给定平面电磁波的势()0i Kt A A e πω⋅-= ，求在洛伦兹规范条件下，与其对应的电磁场。

解：2·10,A ik i c ttϕω∂∂∇+=−−−−−→∇→→-∂∂ 对平面电磁波()22020i k A t i c c ik A k A k A e c ωωϕϕωω⋅-⋅-=→=⋅=⋅()0i k x t B A i k A i k A e ω⋅-=∇⨯=⨯=⨯A E i k i A tϕϕω∂=-∇-=-+∂0HZR12Oμ0μ()()()()()2222220i k X t cik k A i Ac i kk A A C c i k k Acik k A eωωωωωωω⋅-=-⋅+⎡⎤=-⋅-⎢⎥⎣⎦=-⨯⨯=-⨯⨯13、推导真空中，在洛伦兹规范条件下，时变电磁场的势（矢势A、标势ϕ）所满足的势方程，并给出其积分解且说明该解的物理意义。