2014—2015学年河南省郑州市登封市高二年级上期中联考数学试卷(理)及答案

2014—2015学年上学期期中联考高中二年级 数学（理）命题人：登封一中 黄建森注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分。

考生首先阅读答题卷上的文字信息, 然后在机读卡上作答第Ⅰ卷、答题卷上作答第Ⅱ卷，在试题卷上作答无效。

交卷时只交机读卡和答题卷。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、数列23, 45，67, 89……的第10项是A ．1617B ．1819C ．2021D ．22232、设ABC ∆的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若a ＝2,c ＝4,B ＝60°,则b 等于 A ．28 B ．27 C ．12 D ．2 33、不等式x －2y ＋6<0表示的区域在直线x －2y ＋6＝0的A ．右上方B ．右下方C ．左上方D ．左下方 4、对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列5、已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有A ．最大值为－4B ．最大值为0C ．最小值为0D ．最小值为－4 6、数列{}n a 满足,11112,,()1n n n a a a n N a *++-==∈+其前n 项积为n T ,则2014T = A.6-B. 13-C.23D. 37、推理过程c bd a bd ac bd bc bc ac d c b a >⇒>⇒⎭⎬⎫>>⇒⎭⎬⎫>>共有三个推理步骤,其中错误步骤的个数有A ．0B ．1C ．2D ．3 8、△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos c b A <，则△ABC 为A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定9、已知011<<ba ，给出下列四个结论：①2b ab <;②a b ab +<;③||||a a b b >;④33a b >.其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．410、如图所示，为了测量某湖泊两侧A B ,间的距离，李宁同学首先选定了与A B ,不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：（ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ）：① 测量,,A C b ;② 测量,,a b C ;③测量,,A a b 则一定能确定A B ,间距离的所有方案的序号为 A. ②③B. ①②C. ①③D. ①②③11、数列{a n }的各项为正数,其前n项和2142n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭()n N *∈.若12231n n n T a a a a a a +=+++()n N *∈,则n T 的取值所在的区间最恰当的是A ．8(0,)3B ．[2,4)C ．8[2,)3D ．(0,4)12、设ABC ∆的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等差数列.给出以下四个结论:①2b ac ≥;②112a c b +≥; ③2222a cb +≤; ④(0,]3B π∈ 其中正确结论的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。

13、二次不等式20ax bx c ++<的解集为R 的条件是________．14、在△ABC 中, 角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,c 2＝(a －b )2＋6,C ＝π3则ABC S ∆=________．15、已知实数0a >且1a ≠，函数, 3,(), 3.x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是等差数列，则___,____.a b ==16、已知实数x ,y 满足14xy x y +=+，且1x >，则(1)(2)x y ++的最小值为 。

三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17、(本小题满分10分） 已知2()3(6)6f x x m m x =-+-+（Ⅰ）若关于x 的不等式()f x n >的解集为()1,3,-求实数,m n 的值; （Ⅱ）解关于m 的不等式(1)0f <.18、(本小题满分12分）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 已知222b c a bc +=+. （1）求A 的大小；（2）如果cos =B ，2b =，求a 的值.19、(本小题满分12分）已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式．（2）记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．20、(本小题满分12分）为了测量某峰顶一颗千年松树的高(底部不可到达)，我们选择与峰底E 同一水平线的A ,B 为观测点，现测得20=AB 米，点A 对主梢C 和主干底部D 的仰角分别是40°,30°，点B 对D 的仰角是45°．求这棵千年松树的高（即求CD 的长，结果保留整数．参考数据： 10sin °17.0=，50sin °8.0=，4.26=，4.12=）21、(本小题满分12分）随着生活水平的提高，人们越来越注重科学饮食. 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪. 1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？最低花费是多少？22、(本小题满分12分）将各项均为正数的数列{}n a 排成如图所示的三角形数阵（第n 行有n 个数，同一行中，下标小的数排在左边）。

n b 表示数阵中，第n 行、第1列的数。

已知数列{}n b 为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为d 的等差数列（第3行的3个数构成公差为d 的等差数列；第4行的4个数构成公差为d 的等差数列，……），11a =,1217a =,1834a =。

（1）求数阵中第m 行、第n 列的数()A m n ，（用m ,n 表示）。

（2）求2014a 的值；（3）2014是否在该数阵中？并说明理由。

2014—2015学年上学期期中联考高二数学（理）参考答案一、选择题 CDCD AACA DBCA 二、填空题13、2040a b ac <⎧⎨-<⎩14、3 3215、2,0a b ==16、27三解答题 17、（Ⅰ）2()3(6)60f x n x m m x n >∴--+-<1,3∴-是方程23(6)60x m m x n --+-=的两根(6)23633m m n -⎧=⎪⎪∴⎨-⎪-=⎪⎩33m n ⎧=±⎪∴⎨=-⎪⎩ ………6分 （Ⅱ）由已知222(1)63630630f m m m m m m =-++∴-++<∴-->33m m ∴->>+或∴不等式(1)0f <的解集为：{|33m m m ->>+或 ………12分18、（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==， ……………… 4分 又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 6分（Ⅱ）解：因为 cos =B ，(0,π)∈B ， 所以sin 3B ==， ………………8分 由正弦定理sin sin =a bA B， ………………11分得 sin 3sin ==b Aa B. ………………12分 19、 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )， ………………3分 化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. ………………6分 (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． ………………7分当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. ………………11分 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. ………………12分 20、解：∵,45,3000=∠=∠DBE DAE ∴003045-=∠ADB ， ∴00000030sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(sin -=-=∠ADB4142621222322=-=⨯-⨯=．…………4分 在ABD ∆中，由正弦定理得 A D BABABD AD ∠=∠sin sin ， ∵20=AB ，∴564124.120412220sin sin =⨯=⨯=∠∠⋅=ADBDBE AB AD ．……………8分 根据题意，得0050,10=∠=∠ACD CAD ，在A C D ∆中，由正弦定理得 ACDADCAD CD ∠=∠sin sin 即 128.017.05650sin 10sin 5600≈⨯=⨯=CD （米）．………………………………11分答：这棵千年松树高12米．………………………………12分注：如果有考生计算出56=AD ，得出28=DE ，再在ACD ∆中，由正弦定理得ACDADADC AC ∠=∠sin sin ，得出335=AC ，进而732.366.0335=⨯=CE ，然后得到8372.828372.36≈=-=-=DE CE CD （米），参照相应步骤得分，最高得满分． 21、解：设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总花费为z 元，则目标函数为2821z x y =+，且,x y满足约束条件0.1050.1050.0750.070.140.060.140.070.060,0x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩，……………………（3分） 整理为775714614760,0x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩，……（5分）作出约束条件所表示的可行域，如右图所示. ………（7分）将目标函数2821z x y =+变形为4321zy x =-+. 如图，作直线0:28210l x y +=，当直线0l 平移经过可行域，在过点M 处时，y 轴上截距21z最小，即此时z 有最小值. ……（9分） 解方程组7751476x y x y +=⎧⎨+=⎩，得点M 的坐标为14,77x y ==. ………………（10分）∴ min 282116z x y =+= ……………………………………………（11分）∴ 每天需要同时食用食物A 约17kg （或0.143 kg ），食物B 约47kg （或0.571 kg ），能够满足日常饮食要求，且花费最低16元. ………………………………………（12分）22、（1）设{}n b 的公比为q 。