第8章 常微分方程边值问题的数值解法8.1 引 言推论 若线性边值问题()()()()()(),,(),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤⎧⎨==⎩ (8.1.2) 满足(1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。
求边值问题的近似解，有三类基本方法：(1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解；(2) 有限元法(finite element method)；(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。
8.2 差分法8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法设二阶线性常微分方程的边值问题为(8.2.1)(8.2.2)()()()(),,(),(),y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<<⎧⎨==⎩其中(),()q x f x 在[,]a b 上连续，且()0q x ≥.用差分法解微分方程边值问题的过程是：(i) 把求解区间[,]a b 分成若干个等距或不等距的小区间，称之为单元；(ii) 构造逼近微分方程边值问题的差分格式. 构造差分格式的方法有差分法, 积分插值法及变分插值法；本节采用差分法构造差分格式；(iii) 讨论差分解存在的唯一性、收敛性及稳定性；最后求解差分方程. 现在来建立相应于二阶线性常微分方程的边值问题(8.2.1), (8.2.2)的差分方程. ( i ) 把区间[,]I a b =N 等分，即得到区间[,]I a b =的一个网格剖分：011N N a x x x x b -=<<<<=,其中分点(0,1,,)i x a ih i N =+=，并称之为网格节点(grid nodes)；步长b a Nh -=. ( ii ) 将二阶常微分方程(8.2.2)在节点i x 处离散化：在内部节点(1,2,,1)i x i N =-处用数值微分公式2(4)1112()2()()()(),12i i i i i i i i y x y x y x h y x y x x h ξξ+---+''=-<< (8.2.3)代替方程(8.2.2)中()i y x ''，得112()2()()()()()()i i i i i i i y x y x y x q x y x f x R x h +--+-=+,(8.2.4) 其中2(4)()()12i i h R x y ξ=. 当h 充分小时，略去式(8.2.4)中的()i R x ，便得到方程(8.2.1)的近似方程1122i i i i i i y y y q y f h +--+-=,(8.2.5)其中(),()i i i i q q x f f x ==, 11,,i i i y y y +-分别是11(),(),()i i i y x y x y x +-的近似值, 称式(8.2.5)为差分方程(difference equation)，而()i R x 称为差分方程(8.2.5)逼近方程(8.2.2)的截断误差(truncation error). 边界条件(8.7.2)写成0,.N y y αβ==(8.2.6)于是方程(8.2.5), (8.2.6)合在一起就是关于1N +个未知量01,,,N y y y ，以及1N +个方程式的线性方程组：2211212211222111(2),(2),1,2,,1,(2).i i i i i N N N N q h y y h f y q h y y h f i N y q h y h f αβ-+----⎧-++=-⎪-++==-⎨⎪-+=-⎩(8.2.7)这个方程组就称为逼近边值问题(8.2.1), (8.2.2)的差分方程组(system of difference equations)或差分格式(difference scheme)，写成矩阵形式2211122222223332222222111(2)11(2)11(2)11(2)11(2)N N N N N N y q h h f y q h h f y q h h f y q h h f y q h h f αβ------⎡⎤⎡⎤-+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. (8.2.8)用第2章介绍的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组(8.2.7)或(8.2.8), 其解01,,,N y y y 称为边值问题(8.2.1), (8.2.2)的差分解(difference solution). 由于(8.2.5)是用二阶中心差商代替方程(8.2.1)中的二阶微商得到的，所以也称式(8.2.7)为中心差分格式(centered-difference scheme).( iii ) 讨论差分方程组(8.2.7)或(8.2.8)的解是否收敛到边值问题(8.2.1), (8.2.2)的解，估计误差.对于差分方程组(8.2.7)，我们自然关心它是否有唯一解；此外，当网格无限加密，或当0h →时，差分解i y 是否收敛到微分方程的解()i y x . 为此介绍下列极值原理：定理8.2.1 (极值原理) 设01,,,N y y y 是给定的一组不全相等的数，设1122(),0,1,2,,i i i i i i i y y y l y q y q i N h +--+=-≥=.(8.2.9)(1) 若()0,1,2,,i l y i N ≥=, 则{}0Ni i y =中非负的最大值只能是0y 或N y ； (2) 若()0,1,2,,i l y i N ≤=, 则{}0Ni i y =中非正的最小值只能是0y 或N y .证 只证(1) ()0i l y ≥的情形，而(2) ()0i l y ≤的情形可类似证明. 用反证法. 记{}0max i i NM y ≤≤=，假设0M ≥, 且在121,,,N y y y -中达到. 因为i y 不全相等，所以总可以找到某个00(11)i i N ≤≤-，使0i y M =，而01i y -和01i y +中至少有一个是小于M 的. 此时0000000011222()2.i i i i i i i i y y y l y q y h M M M q M q M h +--+=--+<-=-因为00,0i q M ≥≥，所以0()0i l y <, 这与假设矛盾，故M 只能是0y 或N y . 证毕！推论 差分方程组(8.2.7)或(8.2.8)的解存在且唯一. 证明 只要证明齐次方程组11202()0,0,1,2,,1,0,0i i i i i i i N y y y l y q y q i N h y y +--+⎧=-=≥=-⎪⎨⎪==⎩ (8.2.10)只有零解就可以了. 由定理8.7.1知，上述齐次方程组的解01,,,N y y y 的非负的最大值和非正的最小值只能是0y 或N y . 而00,0N y y ==，于是0,1,2,,.i y i N == 证毕！利用定理8.2.1还可以证明差分解的收敛性及误差估计. 这里只给出结果： 定理8.2.2 设i y 是差分方程组(8.2.7)的解，而()i y x 是边值问题(8.2.1), (8.2.2)的解()y x 在i x 上的值，其中0,1,,i N =. 则有224()(),96i i i M h y x y b a ε=-≤-(8.2.11)其中(4)4max ()a x bM yx ≤≤=.显然当0h →时，()0i i i y x y ε=-→. 这表明当0h →时，差分方程组(8.2.7)或(8.2.8)的解收敛到原边值问题(8.7.1), (8.7.2)的解.例8.2.1 取步长0.1h =，用差分法解边值问题43,01,(0)(1)0,y y x x y y ''-=≤≤⎧⎨==⎩并将结果与精确解()()2222()3434x xy x e e ee x --=---进行比较.解 因为110N h ==，()4,()3q x f x x ==, 由式(8.2.7)得差分格式221222112289(240.1)30.10.1,(240.1)30.1,2,3,,8,(240.1)30.10.9,i i i i y y y y y x i y y -+⎧-+⨯+=⨯⨯⎪-+⨯+=⨯=⎨⎪-+⨯=⨯⨯⎩0100y y ==, 00.1,1,2,,9i x ih i i =+==, 其结果列于表8.2.1.从表8.2.1可以看出, 差分方法的计算结果的精度还是比较高的. 若要得到更精确的数值解，可用缩小步长h 的方法来实现.8.2.2 一般二阶线性常微分方程边值问题的差分法对一般的二阶微分方程边值问题1212()()()()()(),,()(),()(),y x p x y x q x y x f x a x b y a y a y b y b αααβββ'''++=<<⎧⎪'+=⎨⎪'+=⎩ (8.2.12) 假定其解存在唯一.为求解的近似值，类似于前面的做法，( i ) 把区间[,]I a b =N 等分，即得到区间[,]I a b =的一个网格剖分：011N N a x x x x b -=<<<<=,其中分点(0,1,,)i x a ih i N =+=，步长b a Nh -=. ( ii ) 对式(8.2.12)中的二阶导数仍用数值微分公式2(4)1112()2()()()(),12i i i i i i i iy x y x y x h y x y x x h ξξ+---+''=-<<代替，而对一阶导数，为了保证略去的逼近误差为2()O h ，则用3点数值微分公式；另外为了保证内插，在2个端点所用的3点数值微分公式与内网格点所用的公式不同，即21112012000022212()()()(),,1,2,,1,263()4()()()(),,23()4()3()()(),.23i i i i i i i N N N N N N N N y x y x h y x y x x i N h y x y x y x h y x y x x h y x y x y x h y x y x x h ξξξξξξ+-----⎧-''''=-<<=-⎪⎪-+-⎪''''=+<<⎨⎪⎪-+''''=+<<⎪⎩(8.2.13) 略去误差，并用()i y x 的近似值i y 代替()i y x ，(),(),()i i i i i i p p x q q x f f x ===，便得到差分方程组1111221001221211(2)(),1,2,,1,2(34),2(43),2i i i i i i i i i N N N N p y y y y y q y f i N h hy y y y h y y y y h αααβββ-++---⎧-++-+==-⎪⎪⎪+-+-=⎨⎪⎪+-+=⎪⎩(8.2.14)其中(),(),(),1,2,,1i i i i i i q q x p p x f f x i N ====-, i y 是()i y x 的近似值. 整理得12021222211222121(23)42,(2)2(2)(2)2,1,2,,1,4(32)2.i i i i i i i N N N h y y y h hp y h q y hp y h f i N y y h y h αααααβββββ-+---+-=⎧⎪---++==-⎨⎪-++=⎩ (8.2.15)解差分方程组(8.2.15)，便得边值问题(8.2.12)的差分解01,,,N y y y .特别地, 若12121,0,1,0ααββ====，则式(8.2.12)中的边界条件是第一类边值条件：(),();y a y b αβ==此时方程组(7.7.16)为221112112211221211112(2)(2)2(2),(2)2(2)(2)2,2,3,,2,(2)2(2)2(2).i i i i i i i N N N N N N h q y hp y h f hp hp y h q y hp y h f i N hp y h q y h f hp αβ-+------⎧--++=--⎪---++==-⎨⎪---=-+⎩(8.2.16) 方程组(8.2.16)是三对角方程组，用第2章介绍的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组(8.2.16)，便得边值问题(8.2.12)的差分解01,,,N y y y .( iii ) 讨论差分方程组(8.2.16)的解是否收敛到微分方程的解，估计误差. 这里就不再详细介绍.例8.2.2取步长/16h π=，用差分法求下列边值问题的近似解，并将结果与精确解进行比较.精确解是1()(sin 3cos )10y x x x =-+. 解 因为(20)8N h π=-=，()1,()2,()cos p x q x f x x =-=-=, 由式(8.2.17)得差分格式()()()()()()()()()()()()()2122211222122216(2)216(1)216cos 16216(1)(0.3),216(1)2216(2)216(1)216cos 16,2,3,,6,216(1)2216(2)216cos 7i i i N N y yy y y i i y y πππππππππππππ-+--⎡⎤--⨯-++⨯-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--⨯-⨯-⎡⎤⎣⎦⎡⎤-⨯---⨯-++⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦==⎡⎤-⨯---⨯-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()16216(1)(0.1),ππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪-+⨯-⨯-⎡⎤⎣⎦⎩080.3,0.1y y =-=-, 00.1,1,2,,9i x ih i i =+==, 其结果列于表8.2.2.8.3 有限元法有限元法(finite element method)是求解微分方程定解问题的有效方法之一，它特别适用在几何、物理上比较复杂的问题. 有限元法首先成功地应用于结构力学和固体力学，以后又应用于流体力学、物理学和其他工程科学. 为简明起见，本节以线性两点边值问题为例介绍有限元法.考虑线性两点边值问题()(8.3.1)(8.3.2)()()()()(),,(),(),Ly p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ⎧''⎪=-+=≤≤⎨==⎪⎩其中1()0,()0,C [,]p x q x p a b >≥∈, ,C[,]q f a b ∈.此微分方程描述了长度为b a -的可变交叉截面(表示为()q x )的横梁在应力()p x 和()f x 下的偏差()y x .8.3.1 等价性定理记{}221C [,]()C [,],(),()a b y y y x a b y a y b αβ==∈==, 引进积分()22()()[()]()()2()()d baI y p x y x q x y x f x y x x '=+-⎰. (8.3.3)任取21()C [,]y y x a b =∈，就有一个积分值()I y 与之对应，因此()I y 是一个泛函(functional)，即函数的函数. 因为这里是,y y '的二次函数，因此称()I y 为二次泛函.对泛函(8.3.3)有如下变分问题(variation problem)：求函数21C [,]y a b ∈，使得对任意21C [,]y a b ∈, 均有()()I y I y ≥, (8.3.4)即()I y 在y 处达到极小, 并称y 为变分问题(8.3.4)的解.可以证明：定理8.3.1(等价性定理) y 是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解的充分必要条件是y 使泛函()I y 在21C [,]a b 上达到极小，即y 是变分问题(8.3.4)在21C [,]a b 上的解. 证 (充分性) 设21C [,]y a b ∈是变分问题()I y 的解；即y 使泛函()I y 在21C [,]a b 上达到极小，证明y 必是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解.设()x η是2C [,]a b 任意一个满足()()0a b ηη==的函数，则函数21()()()C [,]y x y x x a b αη=+∈，其中α为参数. 因为y 使得()I y 达到极小，所以()()I y I y αη+≥，即积分()22()()[()()]()[()()]2()[()()]baI y p x y x x q x y x x f x y x x dxαηαηαηαη''+=+++-+⎰作为α的函数，在0α=处取极小值()I y ，故d()0d I y ααηα=+=. (8.3.5) 计算上式，得()()()()()022(8.d()d d ()[()()]()[()()]2()[()()]d d 2()[()()]()2()[()()]()2()()d 2()()()()()()()()d .bab abaI y p x y x x q x y x x f x y x x x p x y x x x q x y x x x f x x x p x y x x q x y x x f x x x ααααηααηαηαηααηηαηηηηηη===+''=+++-+'''=+++-''=+-⎰⎰⎰3.6)利用分部积分法计算积分[][]()()()d ()()d ()()()()()()()d ()()()d ,bbaab ba abap x y x x x p x y x x p x y x x x p x y x x x p x y x x ηηηηη'''='''=-''=-⎰⎰⎰⎰代入式(8.3.6)，得()0(8.3.7)d()2()()()()()()d 0.d b a I y p x y x q x y x f x x x ααηηα'=⎡⎤⎣⎦'+=-+-=⎰因为()x η是任意函数，所以必有()()()()()()0p x y x q x y x f x ''-+-≡. (8.3.8)否则，若在[,]a b 上某点0x 处有()00000()()()()()0p x y x q x y x f x ''-+-≠，不妨设()00000()()()()()0p x y x q x y x f x ''-+->，则由函数的连续性知，在包含0x 的某一区间00[,]a b 上有()()()()()()0p x y x q x y x f x ''-+->.作002200000,[,]\[,],()()(),.x a b a b x x a x b a x b η∈⎧⎪=⎨--≤≤⎪⎩ 显然2()C [,]x a b η∈，且()()0a b ηη==，但()()()()()()()d ba p x y x q x y x f x x x η⎡⎤''-+-⎢⎥⎣⎦⎰ ()00()()()()()()d 0b a p x y x q x y x f x x x η⎡⎤''=-+->⎢⎥⎣⎦⎰，这与式(8.3.7)矛盾. 于是式(8.3.8)成立，即变分问题(8.3.4)的解y 满足微分方程(8.3.1), 且(),()y a y b αβ==故它是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解.(必要性) 设()y y x =是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解，证明y 是变分问题(8.3.4)的解；即：y 使泛函()I y 在21C [,]a b 上达到极小.因为()y y x =满足方程(8.3.1)，所以()()()()()()0p x y x q x y x f x ''-+≡.设任意21()C [,]y y x a b =∈，则函数()()()x y x y x η=-满足条件()()0a b ηη==，且2()C [,]x a b η∈. 于是()()[]()222222()()()()()[()()]()[()()]2()[()()]d ()[()]()[()]2()()d 2()()()()()()()()d ()[()]()[()]d baba baaI y I y I y I y p x y x x q x y x x f x y x x x p x y x q x y x f x y x xp x y x x q x y x x f x x x p x x q x x xηηηηηηηηη-=+-''=+++-+'-+-''=+-++⎰⎰⎰()()()22222()()()()()()d ()[()]()[()]d ()[()]()[()]d .bb ba a bap x y x q x y x f x x x p x x q x x xp x x q x x x ηηηηη⎡⎤'''=--+++⎢⎥⎣⎦'=+⎰⎰⎰⎰因为()0,()0p x q x >≥，所以当()0x η≠时，()22()[()]()[()]d 0bap x x q x x x ηη'+>⎰, 即()()0I y I y ->.只有当()0x η≡时，()()0I y I y -=. 这说明y 使泛函()I y 在21C [,]a b 上达到极小. 证毕！定理8.3.2 边值问题(8.3.1), (8.3.2)存在唯一解.证明 用反证法. 若12(),()y x y x 都是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解，且不相等，则由定理8.3.1知，它们都使泛函()I y 在21C [,]a b 上达到极小，因而12()()I y I y > 且 21()()I y I y >，矛盾！因此边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解是唯一的.由边值问题解的唯一性，不难推出边值问题(8.3.1), (8.3.2)解的存在性(留给读者自行推导).8.3.2 有限元法等价性定理说明，边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解可化为变分问题(8.3.4)的求解问题. 有限元法就是求变分问题近似解的一种有效方法. 下面给出其解题过程：第1步 对求解区间进行网格剖分01,i n a x x x x b =<<<<<=区间1[,]i i i I x x -=称为单元，长度1(1,2,,)i i i h x x i n -=-=称为步长，1max i i nh h ≤≤=. 若(1,2,,)i h h i n ==，则称上述网格剖分为均匀剖分.给定剖分后，泛函(8.3.3)可以写成()22()()[()]()()2()()d baI y p x y x q x y x f x y x x '=+-⎰()12211()[()]()()2()()d i i nnx i x i i p x y x q x y x f x y x xS -=='=+-∑∑⎰记. (8.3.9)第2步 构造试探函数空间。
