小学数学 数学故事 系列故事之第二次数学危机

第二次数学危机PB08207005 蒋晓澄第二次数学危机发生在十七世纪。

十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。

而这个理论基础问题存在于微积分的主要创始人们在推导过程中引用的一个无穷小的量。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此微积分早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。

牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？莱布尼茨也在这些问题上没有办法自圆其说。

此后微积分得以迅猛发展，虽然有人在指责微积分的不严密性，但人们看见的更多的是微积分在解决问题时的出色表现。

但这个情况并没有持续多久，贝克莱出现了。

贝克莱是一名哲学家，也是一名神职人员。

他害怕数学激发的机械论和决定论哲学信仰对宗教造成日益增大的威胁。

1734 年，他发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家，其中审查现代分析对象、原则与推断是否比起宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书。

“先除掉你自己眼睛里的障碍，你才能看得清去擦掉你兄弟眼中的灰尘”。

贝克莱抱怨数学家们的推理晦涩难懂、玄奥莫测，他们对自己的每一步既没有给出逻辑，也没有说明理由。

贝克莱批评了牛顿很多的观点，他特别指出牛顿在他的论文《求曲边形的面积》中进行的一些代数运算，也就是之前提到的关于无穷小量的矛盾。

贝克莱说，这是对矛盾律的蔑视，神学中不允许这样的推理。

他说，一阶流数（一阶导数）似乎超出了人们的理解能力，因为它们超出了有限的范围。

第二次数学危机
这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：
“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。

——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。

“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。

这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。

“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。

“操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。

从静止的c来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。

运动是矛盾的，所以运动是不可能的。

芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。

前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。

芝诺悖论的提出可能有更
深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。

它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。

其后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。

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三次数学危机第一次数学危机在数学的发展历程中，曾有一次重大的危机，即第一次数学危机。

这次危机发生在20世纪初期，当时的数学家们正在努力寻找一种新的数学方法，以便更好地描述和理解现实世界中的复杂问题。

然而，这条道路并不平坦。

新的数学方法需要更加先进的数学理论支持，但当时的数学还无法满足这一需求。

同时，现实世界中的问题也变得越来越复杂，使得数学家们遇到了难以逾越的困难。

在这种情况下，数学家们开始怀疑数学的基础是否可靠。

他们发现，在数学的基础中存在着一些悖论和不完备性，这让他们陷入了困惑和迷茫。

为了解决这个问题，一些数学家开始重新审视数学的公理和证明，试图找到一种更加严格和完备的数学基础。

他们成立了一些小组，进行了长期而艰苦的研究和讨论。

这些研究最终导致了数理逻辑和公理化方法的发展，这些方法为将来的数学研究奠定了坚实的基础。

第一次数学危机虽然让数学家们苦苦思索和探讨，但也给了他们寻求新的数学方法的动力和启示。

第二次数学危机20世纪初期，数学家们在前往更为复杂的数学领域的过程中遭遇了另一次危机，即第二次数学危机。

这次危机源自对几何学和拓扑学的深入研究，数学家们发现其中存在许多令人困惑和无法解决的问题。

在几何学中，数学家们发现了一些反直觉的结果，这些结果对数学的基础产生了挑战。

例如，他们发现两个形状看似相同的物体却可能有不同的特征，这种现象被称为拓扑上的不可区分性。

在证明这些结果时，数学家不得不使用一些超出传统几何学范围的新工具，如集合论、拓扑学和代数学。

这些新工具的使用使得数学变得更加抽象和复杂，进一步挑战着数学基础的可靠性。

数学家们为了解决这些问题，开始研究数学的逻辑结构，并且发展出了公理集合论来奠定数学基础的更加牢固。

这种方法成为当代数学的基础之一，为数学家们寻找解决方案提供了关键性的工具。

第三次数学危机第三次数学危机发生在上世纪50年代和60年代，当时人们开始在计算机上使用数学模型来解决实际问题。