运筹学基础知识讲解

一、线性规划：基本概念1、下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S：资源每单位产品资源使用量可用资源产品A 产品BQ R S 213123224利润/单位3000美元2000美元满足所有线性规划假设。

（1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型；（2）用代数方法建立一个相同的模型；（3）用图解法求解这个模型。

5、普里默（Primo）保险公司引入了两种新产品：特殊风险保险和抵押。

每单位特殊风险保险的利润是5美元，每单位抵押是2美元。

管理层希望确定新产品的销售量使得总期望利润最大。

工作的要求如下：部门单位工时可使用工时特殊风险抵押承保管理索赔322124008001200（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。

（2）用代数形式建立相同的模型。

8、拉尔夫·艾德蒙（Ralph Edmund）喜欢吃牛排和土豆，因此他决定将这两种食品作为正餐的全部（加上一些饮料和补充维生素的食品）。

拉尔夫意识到这不是最健康的膳食结构，因此他想要确定两种食品的食用量多少是合适的，以满足一些主要营养的需求。

他获得了以下营养和成本的信息：成分每份各种成分的克数每天需要量（克）牛排土豆碳水化合物蛋白质脂肪520151552≥50≥40≤60每份成本4美元 2美元拉尔夫想确定牛排和土豆所需要的份数（可能是小数），以最低的成本满足这些需求。

（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。

（2）用代数形式建立相同的模型；（3）用图解法求解这个模型。

二、线性规划的what-if分析1、G.A.T公司的产品之一是一种新式玩具，该产品的估计单位利润为3美元。

因为该产品具有极大的需求，公司决定增加该产品原来每天1000件的生产量。

但是从卖主那里可以购得的玩具配件（A,B）是有限的。

每一玩具需要两个A类配件，而卖主只能将其供应量从现在的每天2000增加到3000。

同时，每一玩具需要一个B类的配件，但卖主却无法增加目前每天1000的供应量。

运筹学知识点总结运筹学是研究在有限资源条件下，如何最优化决策问题的学科。

它是应用数学的一部分，主要包括线性规划、整数规划、图论等方向。

运筹学在工业、交通、军事、金融等各个领域有广泛的应用。

一、线性规划线性规划是运筹学中应用最广泛的部分，也是最基础的部分。

线性规划是一种数学方法，用于确定线性函数的最大值或最小值。

它被用来优化各种决策问题，例如成本最小化、收益最大化等。

如果一个问题可以通过不等式和等式来表示，同时还满足线性条件，那么这个问题就可以用线性规划来解决。

二、整数规划整数规划是指在优化问题中，变量需要满足整数限制的问题。

它是一个复杂的优化问题，通常需要使用分支定界法等高级算法来解决。

整数规划在生产安排、设备选型等问题中有广泛应用。

例如，在工厂的生产调度中，每个任务的产量必须是整数，因此需要使用整数规划来制定生产计划。

三、图论图论是运筹学的一个重要分支，它是一种研究图形结构和它们的互相关系的数学理论。

在运筹学中，图论被用来解决一些最短路径、最小花费等问题。

图论在计算机科学中也有广泛的应用。

例如，它被用来分析互联网的连接模式，制定数据传输的路径等。

四、决策分析决策分析是指选择最优行动方案的过程，它使用决策分析方法来权衡各种可行方案的利弊。

这些方法包括概率分析、统计分析、风险分析等。

决策分析在金融、政府和企业管理等领域中有广泛的应用。

例如，在股票投资中，决策分析被用来估计利润和风险，从而选择最优的投资组合。

五、排队论排队论是研究排队系统行为的学科，它被用来分析服务过程中的等待时间、系统容量和服务能力等因素。

排队论可以用来优化人员调度、设备运营和客户满意度。

排队论在交通运输领域中有广泛应用。

例如，在快速公路上，排队论可以帮助确定最佳车道数量，从而减少塞车和等待时间。

六、模拟模拟是一种数学方法，用于模拟真实世界的行为和系统。

它可以用来预测系统行为，以优化决策。

模拟通常使用计算机程序来模拟系统，这些程序称为仿真器。

运筹学必考知识点总结在运筹学中，有一些必考的知识点是非常重要的。

这些知识点涵盖了运筹学的基本概念、方法和模型，对于考生来说，掌握这些知识点是至关重要的。

本文将对运筹学的一些必考知识点进行总结，帮助考生更好地备考。

1. 线性规划线性规划是运筹学中的重要方法之一，它通过建立数学模型来解决各种决策问题。

在线性规划中，目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一系列线性约束条件。

考生需要掌握线性规划的基本理论，包括线性规划模型的建立、单纯形法和对偶理论等内容。

2. 整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量取整数值。

整数规划在实际应用中有着广泛的用途，因此对于考生来说，掌握整数规划的基本理论和解题方法是必不可少的。

3. 动态规划动态规划是一种用于求解多阶段决策问题的优化方法。

在动态规划中，问题被分解为多个子问题，并且这些子问题之间存在重叠。

考生需要了解动态规划的基本原理、状态转移方程的建立以及动态规划算法的实现。

4. 网络流问题网络流问题是运筹学中的一个重要领域，它涉及到图论和优化算法等多个方面的知识。

在网络流问题中，主要考察最大流、最小割、最短路等问题的求解方法。

5. 效用理论效用理论是运筹学中的一个重要分支，它研究人们在做出决策时的偏好和选择。

效用函数、期望效用、风险偏好等概念是考试中的热点内容。

6. 排队论排队论是研究排队系统的运作规律和性能指标的数学理论。

在排队论中，考生需要了解排队系统的稳定性条件、平衡方程、性能指标的计算方法等。

7. 多目标决策多目标决策是指在考虑多个目标时的决策问题。

在多目标决策中，往往需要考虑到多个目标之间的矛盾和权衡，因此考生需要掌握多目标规划的基本原理和解题方法。

8. 随机规划随机规划是考虑到不确定因素的决策问题。

在随机规划中，目标函数、约束条件等参数都是随机变量，因此需要考虑到风险和概率的因素。

以上是一些运筹学中的必考知识点，考生在备考过程中需要重点关注这些知识点。

运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。

第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。

线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。

目标函数：是变量的线性函数。

约束条件：变量的线性等式或不等式。

可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。

可行域：可行解的集合称为可行域。

最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。

唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。

凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。

等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。

松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。

剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。

2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。

4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。

5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。

当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。

第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。

2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。

4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。

运筹学知识点：绪论1.运筹学的起源2.运筹学的特点第一章线性规划及单纯形法1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。

2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。

3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。

线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。

4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解8.用图解法只有解决两个变量的决策问题9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。

10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。

11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。

12.单纯形法的计算过程，可能出计算题13.入单纯形表前首先要化成标准形式。

14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。

15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。

16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合配料问题等）第二章对偶问题1.原问题和对偶问题数学模型的对应关系，可能出填空题和数学模型题2.每一个线性规划必然有与之相伴而生的对偶问题3.对偶问题的性质：弱对偶性、无界性、强对偶性、最优性、互补松弛性，其中互补松弛性可能出计算题4.原问题与其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题变量5.影子价格的定义，用互补松驰性理解影子价格的含义6.影子价格与企业的生产任务、产品结构、技术状况等相关，与市场需求无关7.理解影子价格是机会成本第三章运输问题1.运输问题的数学模型，出建模题2.掌握三个数字：m+n、m*n、m+n-13.解的退化及处理4.运输规划问题本质仍然是线性规划，系数矩阵的特殊性，利用表上作业法求解，核心依然是单纯形法5.表上作业法的计算过程，可能出大题6.什么是基格和空格及含义以及检验数的经济意义7.初始方案的方法，计算检验数的方法，调整方案的方法8.检验数的含义及检验规划与一般线性规划问题的差别9.产销不平衡问题的处理，包括产大于销和销大于产，假想地的单位运价设为零第四章整数规划1.整数规划的分类：纯整数、混合整数、0-1整数2.指派问题的数学模型，可能出建模题3.匈牙利法的计算过程4.解矩阵的特点：n个解1位于不同行不同列上5.分枝定界法分枝和定界的依据以及如何分枝和如何定界6.整数规划问题的求解方法及适用条件7.整数规划问题与其松弛问题解的关系第五章目标规划1.线性规划的局限：严格约束、单目标、约束同等重要2.目标规划问题的数学模型，可能会出建模题，强调目标函数由偏差变量、优先因素和权系数构成3.偏差变量的含义及特点，成对出现，非负且至少有一个为零4.目标约束是等式，等式左边添加一对偏差变量相减5.目标规划问题求解的单纯形表计算停止的规划：要么所有行的检验数均为非负，要么前i行检验数为非负，第i+1行存在负的检验数，但在负检验数上面存在正检验数6.目标规划的达成函数中的偏差变量的选择第六章图论与网络优化1.图论中的图研究对象间的关系，只关心图中有多少个点及点间有线相连2.树的定义及性质3.最小树的求解方法：避圈法和破圈法4.狄克斯屈拉算法的特点：不仅求出从始点到终点的最短路，还求出从始点其他任何各点的最短路5.有向图（点弧）非对称关系和无向图（点边）对称关系的应用6.可行流的定义：两大类的三个条件7.增广链的定义及特点8.最大流最小割定理9.用ford-fulkerson算法求网络中的最大流的计算过程10.算法的核心和实质是判断是否存在增广链，，即网络达到最大流的条件是网络中不存在增广链第七章网络计划技术1.关键路线的定点：持续时间最长、节点时差为零、不止一条2.工作持续时间的确定方法及使用条件3.节点最早时间、节点最迟时间的理解4.工作时间参数着重理解总时差和自由时差，即总时差是若干项工作共同拥有的机动时间，自由时差是某项工作单独拥有的机动时间5.绘制网络技术图的规则第八章动态规划1.动态规划是研究多阶段决策问题的理论和方法2.状态必须具备无后效性，及无后效性的定义3.动态规划和顺序解法和逆序解法的路径及应用条件。

运筹学知识点总结运筹学是一门研究如何有效决策和优化资源分配的学科，它涵盖了数学、统计学和计算机科学等多个学科的知识。

在现代社会，运筹学在各个领域都有广泛的应用，比如物流管理、生产调度、供应链优化等。

本文将介绍一些运筹学的基本概念和应用。

1. 线性规划线性规划是运筹学中最基础也是最常用的数学模型之一。

它的目标是在一组线性约束条件下，最大化或最小化线性目标函数。

线性规划可以用来解决资源分配、生产计划、投资组合等问题。

常见的线性规划算法有单纯形法和内点法。

2. 整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，其中决策变量被限制为整数。

整数规划在许多实际问题中都有应用，比如货车路径优化、工人调度等。

求解整数规划问题的方法包括分支定界法和割平面法。

3. 图论图论是运筹学中的一个重要分支，它研究图的性质和图算法。

图是由节点和边组成的数学结构，可以用来表示网络、路径、流量等问题。

常见的图论算法有最短路径算法、最小生成树算法和最大流算法。

4. 排队论排队论研究的是随机到达和随机服务的系统中的排队行为。

它在交通规划、电话网络、客户服务等领域有广泛的应用。

常见的排队论模型有M/M/1队列、M/M/c队列和M/G/1队列。

排队论可以用来优化服务水平、减少等待时间等。

5. 动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它将问题分解为一系列子问题，并通过递归的方式求解。

动态规划常用于求解最优化问题，比如背包问题、旅行商问题等。

它的核心思想是将问题转化为子问题的最优解，并利用子问题的最优解求解原问题。

6. 模拟优化模拟优化是一种通过模拟实验寻找最优解的方法。

它基于概率统计和随机模拟的原理，通过多次模拟实验来搜索解空间。

模拟优化常用于在实际问题的局部搜索中找到较好的解。

常见的模拟优化算法有遗传算法、蚁群算法和粒子群算法。

7. 供应链管理供应链管理是一种综合运筹学和物流管理的概念，它研究如何优化整个供应链中的流程和资源分配。

供应链管理的目标是降低成本、增加效率并提供更好的顾客服务。

运筹学知识点总结一、线性规划线性规划是运筹学中最基础、最重要的一个分支。

它的基本形式可以表示为：Max cxs.t. Ax ≤ bx ≥ 0其中，c是一个n维的列向量，x是一个n维的列向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个m维的列向量。

线性规划的目标是找到满足约束条件的x，使得目标函数cx取得最大值。

而当目标是最小化cx时，则是最小化问题。

线性规划问题有着很好的性质，它的最优解一定存在且一定在可行域边界上。

而且，很多非线性规划问题也可以通过线性化转化成线性规划问题，因此线性规划具有广泛的适用范围。

二、整数规划整数规划是线性规划的一个扩展，它在线性规划的基础上增加了对决策变量的整数取值限制。

这样的问题往往更加接近实际情况。

整数规划问题的一般形式可以表示为：Max cxs.t. Ax ≤ bx ∈ Zn整数规划问题的求解难度要比线性规划问题高很多。

因为整数规划问题是NP-hard问题，也就是说它没有多项式时间的算法可以解决。

但是对于特定结构的整数规划问题，可以设计专门的算法来求解。

比如分枝定界法、动态规划等。

整数规划问题在许多领域都有着广泛的应用，比如生产调度、设备配置、网络设计等。

三、动态规划动态规划是一种用来求解具有重叠子问题结构的最优化问题的方法。

它的核心思想是将原问题分解成一系列相互重叠的子问题，然后利用子问题的最优解来构造原问题的最优解。

动态规划问题的一般形式可以表示为：F(n) = max{F(n-1), F(n-2)+cn}其中，F(n)是问题的最优解，cn是问题的参数，n是问题的规模。

动态规划问题的求解是一个自底向上的过程，它依赖于子问题的最优解，然后通过递推关系来求解原问题的最优解。

动态规划在资源分配、路径优化、排程问题等方面有着广泛的应用。

四、决策分析决策分析是一种用来帮助人们做出最佳决策的方法。

它可以应用在各种风险决策、投资决策、生产决策等方面。

决策分析的一般形式可以表示为：Max E(u(x))其中，E(u(x))是对决策结果的期望效用，u(x)是决策结果的效用函数，x是决策变量。

运筹学课程讲义第一部分线性规划第一章线性规划的基本性质1.1 线性规划的数学模型一、线性规划问题的特点胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。

桌子售价50 元/个，椅子售价30 元/个。

生产桌子和椅子需木工和油漆工两种工种。

生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工2小时。

生产一个椅子需要木工3 小时，油漆工1 小时。

该厂每月可用木工工时为120 小时，油漆工工时为50 小时。

问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？max z 50x1 30x24x1 3x2 1202x1 x2 50x1,x2 0 例：某工厂生产某一种型号的机床。

每台机床上需要 2.9m、2.1m、1.5m的轴，分别为1根、2根和1根。

这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为74m。

如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？二、数学模型的标准型1. 繁写形式2. 缩写形式3. 向量形式4. 矩阵形式若原模型中变量 x j 有上下界，如何化为非负变量？三、 任一模型如何化为标准型？1. 若原模型要求目标函数实现最大化，如何将其化为最小化问题？2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为等式？3. 若原模型中变量 x k 是自由变量，如何化为非负变量？1. 2 图解法该法简单直观，平面作图适于求解二维问题。

使用该法求解线性规划问题时，不必把原模型化为标准型。

一、 图解法步骤1. 由全部约束条件作图求出可行域2. 作出一条目标函数的等值线3. 平移目标函数等值线，作图求解最优点，再算出最优值 max z 5x 1 6x 2 7x 3x 1 5x 23x 3 15 5x 1 6x 210x 3 20 x 1 x 2 x 3 5x 1 0,x 2 0,x 3无约束令 x 1' x 1,x 3 x 3' x 3'',x 3' ,x 3'' 0, Z 1Z ' 1 1 min z ' 5x 1' 6x 2 7x 3' 7x 3'' 0x 5 Mx 6 1 x 1' 5x 2 1 11 3x 3' 3x 3'' x 4 x 6 15 1 5x 1' 6x 2 10x 3' 10x 3'' x 5 20 1 x ' x 1 ' II '' 54.Mx 7 x 1, x 2 , x 3, x 3, x 4 , x 5 ,x 6, x 7 0从图解法看线性规划问题解的几种情况1. 有唯一最优解2. 有无穷多组最优解3. 无可行解4. 无有限最优解（无界解）min z 6x1 4x?2x〔X2 13 最优解（1,0），最优值33x14x2 22x1, x20直观结论：1）线性规划问题的可行域为凸集，特殊情况下为无界域（但有有限个顶点）或空集；2）线性规划问题若有最优解，一定可以在其可行域的顶点上得到。

运筹学知识点：绪论1.运筹学的起源2.运筹学的特点第一章线性规划及单纯形法1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。

2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。

3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。

线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。

4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解8.用图解法只有解决两个变量的决策问题9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。

10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。

11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。

12.单纯形法的计算过程，可能出计算题13.入单纯形表前首先要化成标准形式。

14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。

15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。

16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合配料问题等）第二章对偶问题1.原问题和对偶问题数学模型的对应关系，可能出填空题和数学模型题2.每一个线性规划必然有与之相伴而生的对偶问题3.对偶问题的性质：弱对偶性、无界性、强对偶性、最优性、互补松弛性，其中互补松弛性可能出计算题4.原问题与其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题变量5.影子价格的定义，用互补松驰性理解影子价格的含义6.影子价格与企业的生产任务、产品结构、技术状况等相关，与市场需求无关7.理解影子价格是机会成本第三章运输问题1.运输问题的数学模型，出建模题2.掌握三个数字：m+n、m*n、m+n-13.解的退化及处理4.运输规划问题本质仍然是线性规划，系数矩阵的特殊性，利用表上作业法求解，核心依然是单纯形法5.表上作业法的计算过程，可能出大题6.什么是基格和空格及含义以及检验数的经济意义7.初始方案的方法，计算检验数的方法，调整方案的方法8.检验数的含义及检验规划与一般线性规划问题的差别9.产销不平衡问题的处理，包括产大于销和销大于产，假想地的单位运价设为零第四章整数规划1.整数规划的分类：纯整数、混合整数、0-1整数2.指派问题的数学模型，可能出建模题3.匈牙利法的计算过程4.解矩阵的特点：n个解1位于不同行不同列上5.分枝定界法分枝和定界的依据以及如何分枝和如何定界6.整数规划问题的求解方法及适用条件7.整数规划问题与其松弛问题解的关系第五章目标规划1.线性规划的局限：严格约束、单目标、约束同等重要2.目标规划问题的数学模型，可能会出建模题，强调目标函数由偏差变量、优先因素和权系数构成3.偏差变量的含义及特点，成对出现，非负且至少有一个为零4.目标约束是等式，等式左边添加一对偏差变量相减5.目标规划问题求解的单纯形表计算停止的规划：要么所有行的检验数均为非负，要么前i行检验数为非负，第i+1行存在负的检验数，但在负检验数上面存在正检验数6.目标规划的达成函数中的偏差变量的选择第六章图论与网络优化1.图论中的图研究对象间的关系，只关心图中有多少个点及点间有线相连2.树的定义及性质3.最小树的求解方法：避圈法和破圈法4.狄克斯屈拉算法的特点：不仅求出从始点到终点的最短路，还求出从始点其他任何各点的最短路5.有向图（点弧）非对称关系和无向图（点边）对称关系的应用6.可行流的定义：两大类的三个条件7.增广链的定义及特点8.最大流最小割定理9.用ford-fulkerson算法求网络中的最大流的计算过程10.算法的核心和实质是判断是否存在增广链，，即网络达到最大流的条件是网络中不存在增广链第七章网络计划技术1.关键路线的定点：持续时间最长、节点时差为零、不止一条2.工作持续时间的确定方法及使用条件3.节点最早时间、节点最迟时间的理解4.工作时间参数着重理解总时差和自由时差，即总时差是若干项工作共同拥有的机动时间，自由时差是某项工作单独拥有的机动时间5.绘制网络技术图的规则第八章动态规划1.动态规划是研究多阶段决策问题的理论和方法2.状态必须具备无后效性，及无后效性的定义3.动态规划和顺序解法和逆序解法的路径及应用条件。

运筹学涉及的数学知识
摘要：
一、引言
二、运筹学简介
三、线性规划
四、整数规划
五、动态规划
六、网络优化
七、总结
正文：
运筹学是一门运用数学和统计学方法对实际问题进行建模、优化和求解的学科。

它广泛应用于生产调度、交通运输、资源分配等领域。

本文将简要介绍运筹学涉及的数学知识。

首先，线性规划是运筹学的基础知识。

线性规划研究在一定约束条件下线性目标函数的最优化问题。

它可以用矩阵表示，并使用单纯形法等数学方法求解。

其次，整数规划是线性规划的特殊情况，要求部分或全部变量取整数值。

整数规划在运输、调度和选址等问题中具有重要意义。

常用的求解方法有分枝定界法、割平面法等。

动态规划是另一种重要的优化方法。

它将问题分解成相互联系的子问题，通过求解子问题并将结果存储起来，以避免重复计算，从而提高效率。

动态规
划广泛应用于最短路径、背包问题等领域。

网络优化是运筹学的另一个重要分支，研究在网络结构中的最优化问题。

这类问题可以描述为带权的有向图，通过求解最短路径、最大流等问题，可以有效地改善网络的性能。

总之，运筹学涉及的数学知识包括线性规划、整数规划、动态规划和网络优化等。

运筹学的基础一、概述运筹学是一门应用数学学科，旨在解决实际问题中的优化、决策和规划等问题。

它涉及多个学科领域，如数学、统计学、计算机科学和工程等。

本文将从以下几个方面介绍运筹学的基础知识。

二、线性规划线性规划是运筹学中最基础也是最常用的方法之一。

它的主要思想是在给定约束条件下，寻找使目标函数最大或最小的变量值。

线性规划问题可以用下列标准形式表示：max c^Txs.t. Ax ≤ bx ≥ 0其中，c和x分别表示目标函数系数和变量向量，A和b分别表示约束条件系数矩阵和常向量。

三、整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求变量取整数值。

这种限制使得整数规划问题更难求解。

通常采用分支定界法或割平面法等算法来求解整数规划问题。

四、网络流问题网络流问题也是运筹学中重要的问题之一。

它涉及到图论中的最大流和最小割等概念，在实际应用中有着广泛的应用。

网络流问题可以用下列标准形式表示：max fs.t. 0 ≤ f ≤ c∑f(i,j) - ∑f(j,i) = 0 (i ≠ s,t)其中，f表示流量，c表示容量，s和t分别表示源点和汇点。

五、排队论排队论是运筹学中另一个重要的问题。

它研究的是在一定条件下，如何通过优化系统结构、调整服务策略等方式来提高服务效率和降低成本。

排队论采用概率模型来描述系统行为，并通过数学方法来优化系统性能。

六、决策分析决策分析是运筹学中最终的目标之一。

它涉及到多种方法和工具，如决策树、贝叶斯网络、模拟等。

决策分析旨在帮助决策者做出最优决策，并同时考虑风险和不确定性因素。

七、结语运筹学的基础知识包括线性规划、整数规划、网络流问题、排队论和决策分析等内容。

这些方法和工具在实际应用中有着广泛的应用，并且不断发展和完善。

掌握这些基础知识对于从事运筹学研究和应用的人员来说是非常重要的。

运筹学知识点运筹学是一门应用广泛的学科，旨在通过科学的方法和技术来解决各种决策和优化问题。

它综合运用数学、统计学、计算机科学等多学科知识，为管理和决策提供有力的支持。

下面让我们来了解一些运筹学的重要知识点。

一、线性规划线性规划是运筹学中最基本也是最重要的内容之一。

它研究的是在一组线性约束条件下，如何找到目标函数的最优解。

例如，一家工厂生产两种产品 A 和 B，生产单位 A 产品需要消耗 2 单位的原材料和 1 单位的劳动力，生产单位 B 产品需要消耗 3 单位的原材料和 2 单位的劳动力。

工厂现有 100 单位的原材料和 80 单位的劳动力，A 产品的单位利润是 5 元，B 产品的单位利润是 8 元。

那么，如何安排生产才能使工厂的利润最大化？解决这个问题，首先要建立线性规划模型。

设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件，目标函数就是利润最大化：Z ＝ 5x ＋ 8y。

约束条件包括原材料限制：2x ＋3y ≤ 100；劳动力限制：x ＋2y ≤ 80；以及非负限制：x ≥ 0，y ≥ 0。

通过求解这个线性规划模型，可以得到最优的生产方案，即生产多少 A 产品和多少 B 产品能够使利润达到最大值。

二、整数规划整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量必须取整数的规划问题。

比如，一个项目需要选择一些地点建设仓库，每个地点的建设成本和运营效益不同。

由于仓库的数量必须是整数，这就构成了一个整数规划问题。

整数规划的求解比线性规划更加复杂，常用的方法有分支定界法、割平面法等。

三、动态规划动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。

以资源分配问题为例，假设一家公司有一定数量的资金要在多个项目中进行分配，每个项目在不同的投资水平下有不同的收益。

要在有限的资金条件下，使总收益最大。

这个问题就可以用动态规划来解决。

动态规划的核心思想是将一个复杂的多阶段决策问题分解为一系列相互关联的子问题，通过求解子问题的最优解来逐步得到原问题的最优解。

一、线性规划：基本概念1、下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以与生产所需的资源Q, R, S：满足所有线性规划假设。

（1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型；（2）用代数方法建立一个相同的模型；（3）用图解法求解这个模型。

5、普里默（Primo）保险公司引入了两种新产品：特殊风险保险和抵押。

每单位特殊风险保险的利润是5美元，每单位抵押是2美元。

管理层希望确定新产品的销售量使得总期望利润最大。

工作的要求如下：（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。

（2）用代数形式建立相同的模型。

8、拉尔夫·艾德蒙（Ralph Edmund）喜欢吃牛排和土豆，因此他决定将这两种食品作为正餐的全部（加上一些饮料和补充维生素的食品）。

拉尔夫意识到这不是最健康的膳食结构，因此他想要确定两种食品的食用量多少是合适的，以满足一些主要营养的需求。

他获得了以下营养和成本的信息：拉尔夫想确定牛排和土豆所需要的份数（可能是小数），以最低的成本满足这些需求。

（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。

（2）用代数形式建立相同的模型；（3）用图解法求解这个模型。

二、线性规划的what-if分析1公司的产品之一是一种新式玩具，该产品的估计单位利润为3美元。

因为该产品具有极大的需求，公司决定增加该产品原来每天1000件的生产量。

但是从卖主那里可以购得的玩具配件（A,B）是有限的。

每一玩具需要两个A类配件，而卖主只能将其供应量从现在的每天2000增加到3000。

同时，每一玩具需要一个B类的配件，但卖主却无法增加目前每天1000的供应量。

因为目前无法找到新的供货商，所以公司决定自己开发一条生产线，在公司内部生产玩具配件A和B。

据估计，公司自己生产的成本将会比从卖主那里购买增加2.5美元每件（A,B）。

管理层希望能够确定玩具以与两种配件的生产组合以取得最大的利润。

将该问题视为资源分配问题，公司的一位管理者为该问题建立如下的参数表：（1）为该问题建立电子表格模型并求解。

运筹学知识点运筹学是一门重要的科学，在许多领域都有广泛的应用。

它的核心思想是通过数学模型和方法，优化决策和资源利用效率，以解决复杂的问题。

运筹学知识点有很多，以下列举了一些常见的知识点：1.线性规划：线性规划是运筹学中的一种基本方法，它运用线性代数和数学优化的原理，建立以线性方程组为模型的最优化问题，并通过解题方法进而实现决策优化。

2.整数规划：在满足目标规划条件下，整数规划通过约束条件限制变量的取值，使得目标函数取得最优解。

其解题方法和线性规划有很大不同。

3.动态规划：动态规划是一种求解最优化问题的有效方法，它将复杂的问题分为若干个阶段，并逐步解决，每一阶段的结果又逐渐形成最终结果的总体。

4.排队论：排队论是解决等待的问题，并给出一个概率模型，用于分析排队队列的长度、客户等待时间以及服务员利用率等因素，以此实现资源的最大化使用。

5.模拟算法：模拟算法旨在通过计算机模拟系统的行为，来解决复杂的问题。

因此，模拟算法在实践中发挥了非常大的作用。

6.蒙特卡罗模拟：蒙特·卡罗模拟利用随机模拟，模拟某种情况下的组合概率，从而推导出该情况下的期望值。

这种方法在金融和保险领域非常常见。

7.网络分析：网络分析是一个建立图形数据结构的领域，它的目的是找到一个最短路径，使得要素之间的距离最小化。

8.多目标规划：多目标规划是一种形式化的方法，用以解决一组目标的最优化问题。

该方法多用于具有多个目标的问题，例如通过环境、财务和社会责任计算最大效益的问题等。

9.贝叶斯分析：贝叶斯分析是基于统计学的一种分析方法，在研究产生与观察数据之间关系时，可以用其揭示变量间的作用。

10.决策树：决策树是一种表达多个可能结果和可能决策的图形模型，可作为决策过程的工具，也可用于预测和分类。

在研究中，它应用广泛，往往被用于盈利和损失的预测，以及投资等。

运筹学知识点总结运筹学是一门现代应用数学学科，目的是通过对问题进行建模、分析和计算，以便在各种约束条件下达到最优解。

它主要涉及优化、线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、排队论、库存管理、网络流、决策分析等领域。

1. 优化优化是运筹学的核心概念，它是一种在有限资源限制下寻找最优解的一种方法。

其中包括单目标优化和多目标优化、约束优化和无约束优化、线性规划和非线性规划等。

2. 线性规划线性规划是优化中最常见的形式之一，它是优化一个线性函数的目标，以满足一些线性约束条件。

它有广泛的应用，在农业、工业、金融、物流等各个领域都有着重要的作用。

非线性规划是优化问题中更为复杂的形式，其中目标函数或约束条件中存在非线性项。

它的解决方法包括数值优化和分析优化两种方法，分别适用于不同的情况。

4. 整数规划整数规划是规划问题的一种形式，在线性规划的基础上增加了整数变量的限制条件。

它有重要的应用，如在生产调度、项目管理等方面。

5. 动态规划动态规划是优化问题解决中的一种常见方法，它通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。

6. 排队论排队论是运筹学中的一种最基础的模型，用于研究人口、货物、流量等在现实中排成队形的情况。

它涵盖了顾客到达、排队、服务、离开等过程，是现代生产和服务行业最重要的决策依据。

7. 库存管理库存管理是运筹学中的一个领域，它涉及到如何管理和控制商品或零件的库存，以保证公司的正常运作。

库存管理的目标是在满足需求的同时尽量减少库存成本。

8. 网络流网络流是运筹学中的另一个重要概念，它是图论的一部分。

网络流用于研究通过网络传输物品等物品。

它经常应用于电信、电子商务等领域。

9. 决策分析决策分析是运筹学的一个重要领域，它包含制定和评估决策的工具和方法。

决策分析用于在不确定性和风险的条件下制定决策，例如投资决策、战略制定等。

总之，运筹学是一种分析和优化现实问题的有力工具，可用于各种组织和企业的经营管理和决策。

运筹学知识点总结归纳运筹学知识点总结归纳一、引言运筹学是一门综合运用数学、统计学和优化理论等相关知识解决实际问题的学科。

它的一个核心目标是在给定的约束条件下，使系统达到最佳状态。

本文将对运筹学的一些基本概念、方法和应用进行总结归纳，以便读者对这门学科有更深入的了解。

二、线性规划线性规划是运筹学中最基本、最常见的数学模型之一。

在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性的。

通过线性规划，我们可以最小化或最大化一个目标函数来寻找最优解。

常见的线性规划方法有单纯形法、对偶法和内点法等。

三、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式。

在整数规划中，决策变量的取值限制为整数。

这种限制使问题更加复杂，通常需要使用分支定界法、割平面法等算法来求解。

整数规划在许多实际问题中有广泛的应用，如生产调度、路径优化等。

四、网络流问题网络流问题是运筹学中一个重要的研究方向。

在网络流问题中，节点和边表示物理或逻辑上的位置，流量沿边流动，目标是最大化总流量或最小化总成本。

常见的网络流问题有最小费用流问题、最大流问题等。

在实际应用中，网络流问题可以用于交通规划、供应链管理等领域。

五、排队论排队论是研究队列系统的数学理论。

队列是指一组按照某种顺序排列的实体，而排队论则是研究这些实体如何进入和离开队列的过程。

通过排队论，可以估计系统的性能指标，如平均等待时间、系统利用率等。

排队论在交通管理、生产调度等领域有广泛的应用。

六、决策分析决策分析是运筹学中的一个重要分支，旨在通过分析问题的数据和信息，寻找最优的决策方案。

决策分析中常用的工具包括决策树分析、多属性决策等。

通过决策分析，我们可以对风险进行评估，并为决策者提供有力的支持。

七、多目标规划多目标规划是一种同时优化多个目标函数的决策问题。

在多目标规划中，不同的目标可能相互冲突，无法简单地将其转化为单一目标。

解决多目标规划问题的方法有权重法、向量法等。

多目标规划在工程设计、投资组合等领域有广泛的应用。