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与角平分线有关的基本模型ppt课件

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角平分线的性质教学课件

角平分线的性质教学课件

三角形中的角平分线与相对边 成比例，这是三角形中一个重 要的性质。
利用这个性质，可以解决与三 角形相关的问题，例如求边长 、角度等。
此外，三角形中的角平分线还 是三角形内切圆和外接圆的半 径的角平分线。
在日常生活中的应用
角平分线在日常生活中也有广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造等领域。
在建筑设计方面，可以利用角平分线来设计建筑物的外观和结构，使其更加美观和 稳固。
THANK YOU
角平分线的性质教学课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的性质定理 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理 • 习题与解答
01
角平分线的定义
什么是角平分线
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分的 一条射线。
02
角平分线将相对边分为两等份， 形成的两个小角相等。
角平分线的作法
通过角的顶点，作一条射线，使得该 射线和角的两边相交形成的两个小角 相等。
使用量角器或三角板等工具辅助作图 。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离 相等。
角平分线将相对边分为两等份。
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离之和等于从角的顶点到
该点的距离。
02
角平分线的性质定理
定理内容
01
02
答案： $AB = AC$
解析：由于$AD$是$angle BAC$的角平分线，且$BD = CD$，根据等 腰三角形的性质，我们可以得出$triangle ABD cong triangle ACD$（ SAS），所以$AB = AC$。
习题答案与解析
01
答案与解析3：
02
答案： AC是$angle BCD$的角平分线。

角的平分线课件(共16张PPT)

角的平分线课件(共16张PPT)

6.3.2.2 角的平分线
思考 如何能得到角平分线呢？ 量角器度量、折叠.
在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线.
6.3.2.2 角的平分线
例1 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51° + 3°÷7 = 51° + 180'÷7 ≈ 51°26'.
精确到分，要先取到 小数点后 1 位，然后 再四舍五入.
6.3.2.2 角的平分线
2.如图，O 是直线AB 上一点，OC 是∠AOB 的平分线，若∠COD = 31°28'，求∠AOD 的度数.
解：∵OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB是平角. C
∴∠AOC = ∠AOB = × 180°=90°.
∴∠AOD = 12∠AOB - ∠COD.
D
=90°- 31°28' =89°60' - 31°28'
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
新知学习
思考
如图，如果∠1 =∠2，那么射线 OB 把∠AOC分成两个相等的角.你可
以写出∠AOC 和∠1 、∠2的关系式吗？
C B
∠AOC = 2∠1 = 2∠2， ∠1 = ∠2 = 1 ∠AOC
2
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线， 叫作这个角的平分线.
注意：度、分、秒是60进制的，要把剩余的度数化成分.
6.3.2.2 角的平分线
随堂练习
1.如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果 要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份?

角平分线的性质ppt课件

角平分线的性质ppt课件
这个角的平分线上吗？A l1 M
P
l2
O
NB
如果将∠AOB沿直线OP对折.你发现∠AOP与∠BOP重合
吗？由此你能得到什么结论？
归纳：角平分线的性质2
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
几何语言：
B
M
∵ PM⊥AB, PN⊥AC且PM=PN
∴AP是∠ BAC的平分线
P
特别强调
A
NC
（1）应用判定应具备的条件 （2）性质的作用
等，你能确定中转站的位置吗？
任 务 一 探究角的轴对称性
在卡纸上把∠ AOB沿经过点O的某条直线对折，使角的两 边OA与OB重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为OC 你发现 ∠ AOB是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是哪条直线？
A
O·
C
B
〖结论〗角是轴对称图形， 角的平分线所在的直线 是它 的对称轴。
①点P在∠BAC的内部 ②PM⊥AB PN⊥AC ③ PM=PN
判断点是否在角平分线上
测试二
如图，P是∠AOB 内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别
为点 E，F，且PE =PF . Q是OP 上的任意一点，QM⊥OA，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
QN⊥OB，垂足分别为点 M 和N . QM与QN相等吗？为什么？ A
M
∠AMP= ∠ANP
∠1= ∠2
AP=AP ∴ △ AMP ≌ △ANP（AAS） ∴PM=PN
归纳：角平分线的性质1
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
B
几何语言：
∵AD是∠ BAC的平分线，
M
1
2
P
D
PM⊥AB, PN⊥AC（已知）

角平分线的性质 课件

角平分线的性质 课件

角的平分线与等边三角形的关系
角的平分线与等边三角形的联系
在等边三角形中，角的平分线也是中垂线，因此，角的 平分线与等边三角形也有密切的联系。
角的平分线与等边三角形的应用
利用这一性质，可以解决一些几何问题，如证明等边三 角形、求角度等。
THANKS
谢谢
角平分线的表示方法
在几何图形中，通常用虚线表示角平 分线，并在角平分线上标注相应的字 母。
例如，若角平分线为AD，则可以表示 为AD平分∠BAC。
角平分线的性质定理
角平分线上的点到该角的两边的距离相等。 这一性质是角平分线的基本性质，也是证明其他角平分线性质的基础。
02
CHAPTER
角平分线的性质
04
CHAPTER
角平分线的作法
通过角的顶点作角的平分线
总结词
角的顶点是角的两条边的交汇点，通过角的顶点作角的平分线的方法是常用的方法之一 。
详细描述
首先，确定角的顶点，然后使用直尺或圆规等工具，从角的顶点出发，作一条与角的一 边平行的线段，线段的长度可以根据需要自行确定。接着，将线段的中点与角的另一边
角的平分线与平行线相交形成的交点，到角的两边的距离 相等。
利用这一性质，可以解决一些几何问题，如求距离、证明 角相等等。
角的平分线与等腰三角形的关系
角的平分线与等腰三角形 的联系
角的平分线是等腰三角形底边上的中垂线， 因此，角的平分线与等腰三角形有密切的联 系。
角的平分线与等腰三角形 的应用
利用这一性质，可以解决一些几何问题，如 证明等腰三角形、求角度等。
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
利用角平分线定理，可以证明线段的 比例关系。
证明三角形全等

2023年中考数学二轮复习专题课件——角平分线四大模型

2023年中考数学二轮复习专题课件——角平分线四大模型

1）在CA的延长线上截 取AE＝AB，连接DE △EAD≌△BAD（SAS） ∴∠AED＝∠ABD，DB＝DE ∵AB＝BC，∠ABC＝90°
∴∠C＝45°
∠AED＝∠ABD=90°
∴∠EDC=45°
BD=DE=EC=AB+AC
例10 （1）已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是 ∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD＝AB+AC； （2）对于任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的 延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．
AD=CD=ED DCE≌△DCF ∠ECA=∠DCF=40°
例8 如图,已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证： BC＝AC+CD．
在BC上截取BF=BA 则△ABD≌△DBF ∠CDF=∠CFD=72° CD=CF BC=BF+FC=AB+CD=AC+CD
例9 如图,在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC， （1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的长； （2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．
1）延长AD交BC于点F 则△ADB≌△FDB ∠2=∠DFB=∠1+∠C
2）∠ABD=∠FBD=28° ∠DFB=∠62=90°-28°=62° ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠DFC=180°-∠DFB=118°
例12 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、 BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
取BF的中点E，连接AE，AD 则AE为RT△ABF斜边上的中点 则AE=BE，△AEB为等腰三角形 A、B、C、D四点共圆

角平分线课件PPT

角平分线课件PPT

生活中有趣角平分线现象
建筑设计中的应用
在建筑设计中，角平分线常被用来确保建筑物的对称性和平衡感。例如，古希腊的帕特 农神庙就运用了角平分线的原理来设计其立面和柱子。
自然界的角平分线
在自然界中，角平分线的现象也很常见。例如，当阳光照射在树叶上时，树叶的脉络就 会呈现出角平分线的形状，这是因为树叶在生长过程中会自然地沿着角平分线的方向扩
例题2
已知在△ABC中，∠C=90° ，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF。求证：CF=EB 。
解析
过点D作DM⊥AC于M。 根据角平分线的性质，可 得DE=DM。在Rt△FCD 和Rt△EBD中，DF=BD， DE=DM。 ∴Rt△FCD≌Rt△EBD（HL ）。∴CF=EB。
的两边分别与OA、OB相交于点C、D。求证： PC=PD。
输入 标题
解析
根据角平分线的性质和直角三角形的性质，可以证明 △OPC和△OPD全等，从而得出PC=PD。具体证明过 程略。
例题1
例题2
根据角平分线的性质和勾股定理，可以求出点D到AB 的距离。具体求解过程略。
解析
在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若 BC=32，且BD:CD=9:7，求点D到AB的距离。
04
角平分线在几何变换中应用
旋转对称性质及应用
旋转对称性质
角平分线将一个角分为两个相等的小角，且两个小角关于角平分线对称。当图形 绕角平分线旋转一定角度时，两个小角能够重合，具有旋转对称性。
应用
利用旋转对称性质，可以解决与角平分线相关的角度计算、线段长度等问题。例 如，通过旋转对称性质可以证明两个三角形全等或相似。
建筑设计中角平分线应用

人教八上数学第十二章全等三角形——三角形全等与角平分线全等模型课件


角平分线的性质
1 2
O
结论
△OPA≌△OPB
AAS
M A
3P 4
BN
OA=OB
∠3=∠4
三角形的角平分线向两边作垂线 A
如图，在△ABC中， ∠C=90°，AD平分∠CAB，
E
BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离
为多少？ 解：过点D作DE垂直AB于点E ∵ ∠C=90°
C
D
B
∴ AC⊥CD
OQ=PQ
∴∠MPN=∠OMP+∠OPM③
∠OQM= ∠PQM’
把①、②代入③得：
MQ=QM’
∠MPN=∠OPM+∠OPM’
∴△OQM ≌△PQM`(SAS)
=∠MPM’
∴∠O= ∠OPM’ ①
在△MPN与△MPM’中：
且OM=PM’
O
M’
Q
M
P
N
PN=PM’ ∠MPN =∠MPM’ MP为公共边 ∴△MPN≌△MPM’ （SAS ∴MN=MM’=2MQ
M F
B
D
C
三角形的角平分线与内心
如图，BM、CN是△ABC的两条角平分线， 相交于点P。 求证：P点在∠BAC的平分线上。
分析：由角平分线的判定可知，要证明P点在
∠的证 ∵B距BA明分垂M离C：别足是的相过垂分∠平等点A直别B分P于为。C作的线点A从PB角DD上、已、、平，B知EP分C、E只、可线、FC需。知PAF证，：明P点∴又∴PPP点在PD点D到=B在⊥MPA∠AF上BBBA、、，CPA的所FC⊥平以两A分PC边线点上
求证：AE⊥CE。
证明：延长AE交CD于F点。 ∵AB//CD ∴∠BAE=∠DFE，

角平分线的判定定理ppt课件


经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
4、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的
平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
G
P
H
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
课内拓展延伸
如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的 交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已 知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
A
D OE
B
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
的判定 到角的两边的距离相等的点
的平分线上。
在角
D
已知：如图，PD^OA ，PE^OB，
垂足分别是 D、E，PD=PE，
O
求证：点P在 AOB的角平分线上。
证明： 作射线OP
∵ PD^OA PE^OB
E
\ PD P OE 9O 0
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
OP = OP （公共边）
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴_∠__1_=_∠__2___
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)

角平分线的性质1PPT演示课件

方法二
利用角平分线性质和相似三角形，通过比例关系求解三角形 面积。
实例分析：利用角平分线求三角形面积
实例一
实例三
已知三角形ABC中，角A的平分线AD 交BC于点D，且BD=3，CD=2，求三 角形ABC的面积。
已知三角形ABC中，角C的平分线CF 交AB于点F，且AF=5，BF=4，求三 角形ABC的面积。
PART 03
角平分线与三角形面积关 系
REPORTING
WENKU DESIGN
三角形面积计算公式回顾
三角形面积公式
S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度， h为高。
三角形面积公式推导
通过相似三角形和比例关系推导得出 。
利用角平分线求三角形面积方法介绍
方法一
利用角平分线定理，将三角形面积转化为两个小三角形面积 之和。
几何作图
利用角平分线的性质，可以进行几何作图，如作角的平分 线、作线段的垂直平分线等。
三角形中的角平分线
在三角形中，角平分线有特殊的性质，如三角形的三条角 平分线交于一点（内心），且这个点到三角形三边的距离 相等。
物理和工程应用
角平分线的性质在物理和工程领域也有应用，如在建筑设 计、机械设计和光学设计等领域中，可以利用角平分线的 性质进行精确的计算和设计。
角平分线与三角形外角关系探讨
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
角平分线与三角形外角关系
角平分线将相邻的一个外角和一个内角平分为两个相等的小角。
角平分线与三角形外角的综合应用
利用角平分线的性质以及三角形内外角的关系，可以解决一些与角度、距离和面积相关的 问题。例如，通过作角平分线来构造等腰三角形或等边三角形，进而求解一些几何问题。

安徽省八年级数学上册第13章模型归类角平分线在三角形内外角中的常见模型pptx课件新版沪科版


A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 65°
1
2
3
4
C
5
6
)
7
6. 【创新题·探究题】[2024·东莞月考]如图，∠ ACD 是
△ ABC 的外角，∠ ABC 的平分线与∠ ACD 的平分线
交于点 A1，∠ A1 BC 的平分线与∠ A1 CD 的平分线交
于点 A2……∠ An－1 BC 的平分线与∠ An－1 CD 的平分
140°＝40°，连接AA'，再根据三角形的外角性质和折叠的
性质可得∠1＋∠2＝2∠ BAC ，即可求解.
1
2
3
4
5
6
7
3. 如图，∠ B ＝36°，∠ E ＝48°，∠ BAE 的平分线与
∠ BDE 的平分线交于点 F ，则∠ F 的度数为
1
2
3
4
5
6
7
42° .
⁠
“一内一外”
4. [2023·襄阳期末]如图， BE 是△ ABC 的内角平分线， CE
是


∠ BOC ＝90°＋ ∠ A
⁠
1
2
.
⁠
3
4
5
6
7
2. 如图，已知△ ABC ，点 D ， F 分别在边 AB ， AC 上运
动， E 为平面上的一个动点.当∠ DEF ＝∠ A 且点 E 恰好
在∠ ABC 与∠ ACB 的平分线的交点处时，若∠1＋∠2＝
130°，则∠ BEC ＝
1
122.5°
确的有 ①②③
.(填序号)
1
2
3
4
5
6
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过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC.若 AN＝1，则 BC
的长为( B)
A．4
B．6
C．4 3
D．8
7．(2019·安顺节选)如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AF 与 DC 的延长线交于点 F，点 E 是 BC 的中点．若 AE 是∠BAF 的平分线，试探 究 AB，AF，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．
12．感知：如图 1，AD 平分∠BAC.∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易 知：DB＝DC.
探究：如图 2，AD 平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°， 求证：DB＝DC.
解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内 角的一半．
模型3 两外角平分线的夹角 ∠如A之图间，的在关△系AB为C：中∠，OBO＝，90C°－ O是12∠△AA．BC的外角平分线，则∠O与
解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的 一半的差．
.
模型 4 内角平分线和高线的夹角 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线(AE 可能在 AD 的左侧或右侧)，则∠EAD＝ 12|∠B－∠C| ．
别是∠BAC，∠ABC 的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋
∠ACD＝(A ) A．75°
B．80°
C．85°
D．90°
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3．(2018·深圳改编)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC， BE 平分∠ABC，AD，BE 相交于点 F，且 AF＝4，EF＝ 2，则 AE＝ 10．
与角平分线有关的基本模型
一、三角形中角平分线的夹角问题
模型 1 两内角平分线的夹角
如图，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线 BE，CF 相交于点 G，
则∠BGC 与∠A 之间的关系为： ∠BGC＝90°＋12∠A
．
解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一 半的和．
模型 2 一个内角和一个外角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与 CP 相交于点 P，则∠P 与∠A 之间的关系为： ∠P＝12∠A．
图3 如图 3，在△ABC 中，BC>BA，BO 是∠ABC 的平分线．
③采用截长补短法构造全等三角形 如图 3，在△ABC 中，BC>BA，BO 是∠ABC 的平分线．
(截长法)在BC上取线段BE＝BA，连接OE， 则△BEO≌△BAO；
( 补 短 法 ) 延 长 BA 至 点 D ， 使 BD ＝ BC ， 连 接 OD，则△BDO≌△BCO.
模型 2 利用角平分线，作辅助线构造全等三角形 ①过角平分线上的点作角两边的垂线 如图 1，BO 是∠ABC 的平分线，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，OF⊥BC 于点 F，则 OE＝OF，△BEO≌△BFO.
图1
②过角平分线上任意一点作角平分线的垂线 如图 2，BO 是∠ABC 的平分线，EF⊥BO，则△BEO≌△BFO. ③采用截长补短法构造全等三角形
11．如图，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC ＋CD.
证明：延长 AC 至点 E，使 AE＝AB，连接 DE. ∵AB＝AE，∠1＝∠2，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED(SAS)．∴∠B＝∠E. ∵∠ACD＝∠E＋∠CDE，∠ACD＝2∠B， ∴∠ACD＝2∠E.∴∠E＝∠CDE. ∴CD＝CE.∴AB＝AE＝AC＋CE＝AC＋CD.
解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角 平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两 端取相等的线段(截长或补短)构造全等三角形．
8．(2019·陕西)如图，在△ABC 中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E.若 DE＝1，则 BC 的长为(A )
A．2＋ 2 B. 2＋ 3 C．2＋ 3 D．3
9．(2019·永州)已知∠AOB＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点 D 为 OC 上一点，过 D 作直线 DE⊥OA，垂足为 E，且直线 DE 交 OB 于点 F，如图 所示．若 DE＝2，则 DF＝ 4 ．
10．(2019·威海改编)如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，过点 C 作 CE⊥BC，交 AD 于点 E，且 EC 平分∠BED.连接 BE.若 AB＝6，则 CD＝ 3．
4．如图，在△ABC 中，∠A＝α，△ABC 的两外角平分线交于点 D1，
∠CBD1 的平分线与∠BCD1 的平分线交于点 D2，∠CBD2 的平分线与 ∠BCD2 的平分线交于点 D3，则∠D3＝ 157.5°－81α (用含 α 的代数式表示)．
二、与角平分线有关的图形和辅助线作法 模型 1 角平分线＋平行线→等腰三角形 常见模型有以下四种：
解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可 以得到一个等腰三角形．
5．(2019·陕西)如图，OC 是∠AOB 的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则
∠2 的度数为( C) A．52°
B．54°
C．64°
D．69°
6．(2018·淄博)如图，在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，
1．(2019·大庆)如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外
角∠ACM 的平分线，BE 与 CE 相交于点 E.若∠A＝60°，则∠BEC＝( B )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
2．(2018·黄石)如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE，BF 分
解：结论：AB＝AF＋CF. 证明：延长 AE 交 DF 的延长线于点 G. ∵E 是 BC 的中点，∴CE＝BE. ∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G. 又∵∠AEB＝∠GEC，BE＝CE， ∴△AEB≌△GEC(AAS)． ∴AB＝GC. ∵AE 是∠BAF 的平分线，∴∠BAG＝∠FAG. ∵∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G.∴FA＝FG. 又∵CG＝CF＋FG，∴AB＝AF＋CF.