计算方法-4.5 Newton-cotes公式的精度

0
n
(n − s − i) (−ds)
∫ ∏ ( ) n
= (−1)n+1 hn+2
i=0 n
n
s − (n − i) ds
n
n
∏ ∏ 又 (s − (n − i)) = (s − i)
0 i=0
R[ f ]= −R[ f ]
R[ f ]= 0
i=0
i=0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
∫ ∫ RT =
0
(2) 若 n 为奇数， f (x) ∈Cn+1[a, b] ，则存在 η ∈(a, b) 使得
∫ ∫ b a
f
(x)
dx
=
Q[
f
]+
(b
− a)n+2 f (n+1) (η )
nn+2(n + 1)!
n t2(t − 1)"(t − n) dt
0
举例（一）

例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分
∑ 解： T8
=
1 16
⎡ ⎢⎣
f
(
x0)
+
2
7 i=1
f (xi) +
⎤ f (x8)⎥⎦
=
0.9456909
S4
=
1 24
[
f
(x0) + 4( f (x1) + f (x3) + f (x5) + f (x7)) + 2( f (x2) + f (x4) + f (x6)) + f (x8)] = 0.9460832
故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公 式。

f
(6) ( )
[a, b]
定义 5.1.1 如果定积分的求积公式对于所有不高于 n 次代数多项
式 f(x) 精度成立，即截断误差 R f 0 ，但对于至少 1 个 n + 1 次代
数多项式不能精确成立，则称该求积多项式具有 n 次代数精度。
几个常用的求积公式的代数精度
1.T 公式的代数精度
当f (x) x时
由定理 5.1.2 知，Newton-Cotes 公式至少具有 n 次代 数精度。由 Simpson 公式具有 3 次代数精度，Cotes 公式 具有 5 次代数精度启发，对偶阶 Newton- Cotes 公式的代 数精度有如下结论。
定理 5.1.3 当 n 为偶数时，Newton-Cotes 公式具有 n + 1 次 代数精度。
6
2
2
所以 b f (x)dx S[ f ]成立 a
当f (x) x2时
b
f (x)dx
b x2dx 1 (b3 a3 )
a
a
3
S[ f ] b a ( f (a) 4 f (b a ) f (b))
6
2
b a (a2 4( a b )2 b2 )
6
2
b a (2a2 4ab 2b2 ) 1 (b3 a3 )
b f (x)dx
a
b
xdx
a
1x2 2
b a
1 (b2 2
a2)
T[ f ] b a ( f (a) f (b)) b a (a b)
b
f (x)dx
2
2
a
当f (x) x2时
b f (x)dx
a
b x2dx

牛顿-科特斯公式∑⎰=-≈ni i n i bax f C a b x x f 0)()()(d )( 科特斯(Cotes)系数)(n i C ，特点：Cotes 系数仅取决于 n 和 i ，可通过查表得到。

与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 均无关。

n = 1: 21,21)1(1)1(0==C C 为梯形求积公式)]()([2)(b f a f ab dx x f ba+-≈⎰梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替曲边梯形的面积梯形公式的余项为 )(12)(3ηf a b ''--代数精度 = 1n = 2:61,32,61)2(2)2(1)2(0===C C C Simpson 求积公式（为抛物线求积公式）)]()(4)([6)(2b f f a f ab dx x f ba ba++-≈+⎰ 辛普森公式的余项为 )()2(180)4(4ηf ab a b ---代数精度 = 3n = 4:科特斯(Cotes)求积公式（五点公式）)](7)(32)(12)(32)(7[90)(43210x f x f x f x f x f ab dx x f ba++++-≈⎰4/)( ,a b h h i a x i -=⋅+=柯特斯公式的余项为 )()4(495)(2)6(6ηf a b a b ---柯特斯公式具有5次代数精度科特斯系数具有以下特点：(1)10)(=∑=nin i C(2) )()(n i n n iC C -=(3) 当 n ≥ 8 时，出现负数，稳定性得不到保证。

而且当 n 较大时，由于Runge 现象，收敛性也无法保证。

一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。

当 n ≤ 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。

当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n +1 阶代数精度。

牛顿-柯特斯公式的舍入误差只是函数值误差的倍)(a b -复化求积公式特点固定时1而节点个数,的长度较大],[当积分区间+n b a 直接使用牛顿-柯特斯公式余项将会较大增加时1即,而如果增加节点个数+n 当n>8时，公式的舍入误差又很难得到控制此时，使用复化方法，分成若干个子区间],[即将积分区间b a 然后在每个小区间上使用低阶牛顿-柯特斯公式，最后将每个小区间上的积分的近似值相加，这种方法称为复化求积法复化梯形求积公式n baT dx x f ≈⎰)( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑-=)()(2)(211b f x f a f h n k k复化梯形公式余项为 )(12)(2ηf h a b ''--误差是2h 阶⎰=→∞→ba n h n dx x f T )(lim 0即复化梯形公式是收敛的复化辛普森求积公式n ba S dx x f ≈⎰)( )]()(2)(4)([611121b f x f xf a f hn k k n k k +++=∑∑-=-=+公式的余项为复合,足够大时则Simpson nn n S I f R -=)( ()b a f h a b ,),(2180)4(4∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=ηη 误差是h4阶，⎰=→∞→ba nh n dx x f S )(lim复化辛普森公式是收敛的复化柯特斯求积公式nba C dxx f ≈⎰)()](7)(14)](32)(12)(32[)(7[90111434241b f x f xf xf x f a f na b n k k n kk k k +++++-=∑∑-=-=+++公式的余项同样可得复合],,[)(若6Cotes b a C x f ∈n C I - )(4945)(2)6(6ηf h a b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= ∞→n 时，复化柯特斯公式也是收敛的],[b a ∈η三种复化公式的的余项n T I - ∑=''⋅⋅-=nkk f h h2)(12η )(2h O =n S I - ∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=nkk f h h 0)4(4)(2180η )(4h O =n C I - )(494520)6(6∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nk k f h h η )(6h O = 阶无穷小量6，4，2的分别是h 的速度依次更快趋于定积分,,即I C S T n n n。

k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )