2021高考数学全真模拟预测试卷附答案

第I 卷选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U=R ，集合{}0)1)(4(≥+-=x x x A ，则A C U = A ．（1-，4]B ．[1-，4）C ．（1-，4）D ．[1-，4]2．复数z1在复平面内对应的点为（2，3）．i z +-=22（i 为虚数单位），则复数21z z 的虚部为A ．58B ．58-C ．i 58D ．i 58-3．在△ABC 中b AC c AB ==，，若点D 满足DC BD 21=，则AD = A ．c b 3231+B ．c b 3132+C ．c b 3134-D ．c b 2121+4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说.河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化，阴阳术数之源.其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为1的概率为A ．51B ．257C ．258D ．2595．鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作，下图1是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中一个构件的三视图（图中单位mm ），则此构件的体积为A ．34000 mm3B ．33000 mm3C ．32000 mm3D ．30000 mm36．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且7564958=--=-S S a a ，，则n S 取得最大值时n=A ．14B ．15C ．16D ．177．设312.14)278(29log --===c b a ，，，则A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>A ．b a c >>8．已知)4,4(-A ，O 是坐标原点，P （x,y ）的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤-032002y x y y x ，则APOP z ⋅=的最小值为 A ．553B ．8553-C ．3-D ．531- 9．已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线为l ，)0,3(-M ，若抛物线C 上存在一点N ，使M ，N 关于直线l 对称，则P=A ．2B ．3C ．4D ．5 10．已知函数xxx f sin 21sin 2)(+=，将此函数图像分别作以下变换，那么变换后的图像可以与原图像重合的变换方式有①绕着x 轴上一点旋转180°； ②以x 轴为轴，作轴对称；③沿x 轴正方向平移； ④以x 轴的某一条垂线为轴，作轴对称； A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④ 11．已知函数xexx f =)(，关于x 的方程m x f x f =-)(1)(有三个不等实根，则实数m 的取值范围是A ．),1(+∞-e e B ．),1(+∞-e e C ．)1,(e e --∞D ．)1,(e e--∞ 12．右图是棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -木块的直观图，其中P ，Q ，F 分别是D1C1，BC ，AB 的中点，平面α过点D 且平行于平面PQF ，则该木块在平面α内的正投影面积是 A ．34B ．33 C ．32D ．3第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．在△AOB 中，OA a =，OB b =满足2a b a b a ⋅=-==，则△AOB 的面积． 14．在2(1)()nx x x++的展开式中，各项系数的和为512，则2x 项的系数是．（用数字作答）15．已知F1，F2是双曲线22:1259x y Γ-=的左、右焦点，点P 为Γ上异于顶点的点，直线l 分别与以PF1，PF2为直径的圆相切于A ，B 两点，若向量AB ，12F F 的夹角为θ，则cos θ=．16．已知数列{}n b 的前n 项和为n T ，22n n b T =+，4n nn a b -⎧=⎨⎩()()n n 为奇数为偶数，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若使得221mm S S -恰好为数列{}n a 中的某个奇数项，则数列{}n b 的通项公式n b =，所有正整数m 组成的集合为．（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 同时满足以下四个条件中的三个：①2633()b a a cc a b -+=+②cos 2cos C c b A a a +=③6a =④22b = （Ⅰ）条件①②能否同时满足，请说明理由；（Ⅱ）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）如图在四棱锥P —ABCD 中，平面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，∠BAD=60°，AD ∥BC ，AD=4BC=4，PA=2PB=6． （Ⅰ）证明：PC ⊥CD（Ⅱ）求平面PCD 与平面PAB 夹角（锐角）的余弦值．。

一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设集合B A x x B A 则},31|{},4,3,2,1{<<-=== A ．{1，2} B ．{－1，3} C ．{1}或{2} D ．φ2. 抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(1,0)D ．(0,1) 3．随机变量~(0,1)N ξ，记()()x P x ϕξ=<，则下列式子中错误的是．．．． A ．(0)0.5ϕ= B ． ()()1a a ϕϕ+-= C ．(||)2()1P a a ξϕ<=- D ．(||)1()P a a ξϕ>=- 4．对于直线m.n 和平面α,下面命题中的真命题是（ ）m ,n ,m.n ,n//A ααα⊂⊄如果是异面直线那么 m ,n ,m.n ,n B ααα⊂⊄如果是异面直线那么与相交 m ,n //,m.n ,n//C m αα⊂如果共面那么 m //,n //,m.n ,n//D m αα如果共面那么5．若不等式22x x a >+对于一切[]2,3x ∈-恒成立，则实数a 的取值范围A ．(),8-∞-B ． (),3-∞-C ．(),1-∞D ．()8,-∞6．已知复数z z i z +-=2,1则= A ．1－i B ．1－3iC ．1+iD ．3－3i7．直线cos140sin 400x y ︒+︒=的倾斜角是A ．40 B ．050 C ．0130D ．01408．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女的血型一定不是O 型，若某人的血型是O 型，则其父母血型的所有可能情况有A ．12B ．10C ．9D ．69．若(15)n x +的展开式中各项系数和为n a ,(75)n x +的展开式各项系数之和为n b ，则nn n n n b a b a 432lim+-∞→等于A.1B.-1C.21 D.21-10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为π332，那么这个正三棱柱的体积是A ．963B ．163C ．243D ．48311．数列{}2*:()n n a a n n n N λ=+∈是一个单调递增数列，则实数λ的取值范围是A ．()3,-+∞B ．5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()2,-+∞D ．()0,+∞12．已知()f x 为sin x 与cos x 中较小者，其中x R ∈，若()f x 的值域为[,]a b ，则a b +的值是A．0 B．12+C．12-D．12-二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在试题的横线上）13．函数1xy e+=的反函数是14．椭圆122=+byax与直线xy-=1交于A、B两点，过原点与线段ABab则的值为_____________15．等差数列{a n}中，a1+a4+a10+a16+a19=150,则18142a a-的值是16．若函数()f x是定义在实数集上的奇函数，且(2)()f x f x-=-，给出下列结论：①()20f=；②()f x以4为周期；③()f x的图象关于y轴对称；④(2)()f x f x+=-．这些结论中正确的有____________（必须填写序号）．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知向量()()sin ,23cos ,2sin ,sin a x x b x x ==，设()1f x a b =⋅-(1)若[0,]2x π∈，求()f x 的值域.(2)若()f x 的图象可以按向量m 平移后得到2cos2y x =的图象，指出向量m 的一个值.18．在一次语文测试中，有一道把我国四大文学名著《水浒传》 《三国演义》 《西游记》 《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，一位同学该题得ξ分. (1)求该同学得分不少于6分的概率； (2)求ξ的分布列及数学期望.19．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，123,22a a ==，且113210n n n S S S +--++=，其中*2,n n N ≥∈.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)计算limn x nS na →∞-的值. 20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD. （1）求证：AB ⊥平面PAD（2）求直线PC 与底面ABCD 所成角的大小；（3）设AB=1，求点D 到平面PBC 的距离.21．已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点. (1)设1()2OR OP OQ =+（O 为原点），求点R 的轨迹方程；(2)若直线l 的倾斜角为060，求11||||PF QF +的值. 22．已知关于x 的方程2220x tx --=的两个根为,(),t R αβαβ<∈，设函数()241x tf x x -=+.(1)判断()f x 在[],αβ上的单调性；(2)若,m n αβαβ<<<<，证明()()||2||f m f n αβ-<-.参考答案一、选择题：二、填空题13．f －1(x )＝ln x －1 (x >0).; 14．23; 15．30- 16．①②④; 三、解答题17. 解：①()212sin cos 1f x a b x x x =⋅-=+- (2)分2cos2x x - 2sin(2)6x π=- (5)分[0,]2x π∈52[,]666x πππ⇒-∈-1sin(2)[,1][1,2]62x y π⇒-∈-⇒∈-..................8分②2()2sin(2)2cos(2)2cos(2)6623f x x x x ππππ=-=--=- (10)分可见()f x 的图象向左平移3π个单位可得2cos2y x =的图象，即m 的一个值是(,0)3π-．．．12分 18.解：(1)ξ的可能取值为0,3,6,12．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分P (ξ＝12)＝1A 44＝124，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分P (ξ＝6)＝C 24A 44＝624＝14．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分该同学得分不少于6分的概率为P＝P (ξ＝6)＋P (ξ＝12)＝724．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 (2)P (ξ＝3)＝C 14×2A 44＝824，P (ξ＝0)＝1－124－624－824＝924．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴ξ得分布列为数学期望为Eξ＝0×924＋3×824＋6×624＋12×124＝3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19. 解：①113210n n n S S S +--++=⇒112()1n n n n S S S S +--=--⇒121(2)n n a a n +=-≥ (2)分又123,22a a ==也满足上式，∴*121()n n a a n N +=-∈⇒112(1)n n a a +-=-（*n N ∈）∴数列{}1n a -是公比为2，首项为1112a -=的等比数列 (4)分1211222n n n a ---=⨯=221n n a -⇒=+ (6)分②12...n n S a a a =+++ ()()()()1012212121...21n --=++++++++()112222 (2)n n --=++++212n n -=+...........................9分 于是111212limlim lim 2122222nn n n x x x n nS n a -→∞→∞→∞---===++........................12分20. 解法一：（1）证明：PAD AB ABCD AB AD AB AD ABCD PAD ABCDPAD 平面底面底面平面底面平面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥,…………………2分又AB⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD …………………………………………3分（2）解：取AD 的中点F ，连结AF ，CF ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且PF ⊥AD ， ∴PF ⊥平面BCD ………………………5分 ∴CF 是PC 在平面ABCD 上的射影，∴所以∠PCF 是直线PC 与底面ABCD 所成的角……………7分 在515tan ,==∆CF PF PCF PCF 中 即直线PC 与底面ABCD 所成的角的大小是515arctan ………………8分（3）解：设点D 到平面PBC 的距离为h ，D PBC P BCD PBC BCD V V S h S PF --∆∆=∴⋅=⋅………………10分在△PBC 中，易知PB=PC=2 47=∴∆PBC S 又,23,21==∆PF S BCD721472321=⨯=∴h ………………11分即点D 到平面PBC 的距离为721……………………………………12分 解法二：（1）证明：建立空间直角坐标系D —xyz ，如图 不妨设A （1，0，0）则B （1，1，0），P （)23,0,21)23,0,21(),0,1,0(-==………………………2分由PA AB PA AB ⊥=⋅得0由AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD ………………………3分（2）解：取AD 的中点F ，连结AF ，CF ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且PF ⊥AD ，∴PF ⊥平面BCD ………………………5分 ∴CF 是PC 在平面ABCD 上的射影，∴所以∠PCF 是直线PC 与底面ABCD 所成的角…………………………7分易知C （0，1，0），F （)0,0,21 131(,1,),(,1,0)222CP CF ∴=-=- 10cos , 4||||CP CF CP CF CP CF ⋅∴<>==⋅ ∴直线PC 与底面ABCD 所成角的大小为410arccos ……………………8分（3）解：设点D 到平面PBC 的距离为h ，' D PBC PBC BCD P BCD V V S h S PF -∆∆-=∴⋅=⋅………………10分在△PBC 中，易知PB=PC=2 47=∴∆PBC S 又,23,21==∆PF S BCD721472321=⨯=∴h ………………11分即点D 到平面PBC 的距离为721……………………………………12分 21. 解：① 设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y112211()(,)[(,)(,)]22OR OP OQ x y x y x y =+⇒=+121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⇒⎨+⎪=⎪⎩........1分 由22222212x x y y +=⇒+=，易得右焦点(1,0)F ....................2分当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程是：1x =，根据对称性可知(1,0)R (3)分当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =- 代入E 有2222(21)4220k x k x k +-+-=2880k ∆=+>; 2122421k x x k +=+........................5分 于是(,):R x y x =21222221x x k k +=+; (1)y k x =- 消去参数k 得2220x y x +-=而(1,0)R 也适上式，故R 的轨迹方程是2220x y x +-=...............8分 ②设椭圆另一个焦点为'F ，在'PF F ∆中0'120,|'|2,PFF F F ∠==设||PF m =，则|'|PF m =由余弦定理得2220)222cos120m m m =+-⋅⋅⋅m ⇒=............9分同理，在'QF F ∆，设||QF n =，则|'|QF m =也由余弦定理得2220)222cos60n n n =+-⋅⋅⋅n ⇒分于是1111||||PF QF m n +=+==.........................12分注：其它方法相应给分. 22.解：①()2222224(1)(4)22(22)'(1)(1)x x t x x tx f x x x +--⋅---==++ (3)分由于当[,]x αβ∈时2222()()0x tx x x αβ--=--≤，所以'()0f x ≥，故()f x 在[],αβ上是增函数.......................6分 ②当,m n αβαβ<<<<时，并由①得()()()()()(),f f m f f f n f αβαβ<<<<.................................7分()()()()()()[]f f f m f n f f βαβα⇒--<-<-()()()()||f m f n f f βα⇒-<- .........................................9 分,12t αβαβ+=-()22442()221t f αααβαβαααβα--+⇒====-+-...........11分同理()2f βα=-.........................................12分 于是()()()()||2||f f f f βαβααβ-=-=-从而有()()||2||f m f n αβ-<-.........................................14分。

一、选择题（每小题5分，共60分） 1．双曲线221102x y -=的焦距为（ ）A ．32B ．42C ．23D ．432．条件p ：,2>x 3>y ，条件q ：5>+y x ，6>xy ，则条件p 是条件q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件3．如图是导函数)(x f y '=的图像，在标记的点中，函数有极小值的是（ ）A ．2x x =B ．3x x =C ．5x x =D ．1x x =或4x x =4．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为：“若方程02=-+m x x 无实数根，则0≤m ”；B ．若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；C ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件；D ．若q p ∨为真命题，则q p ,至少有一个为真命题。

5．曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（ ） A ．43-=x y B ．23+-=x y C ．34+-=x y D ．54-=x y6．设椭圆的标准方程为22135x y k k +=--，其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是（ ）A ．54<<kB ．53<<kC ．3>kD ．43<<k7．过点（0，2）与抛物线28y x =只有一个公共点的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数多条8．已知双曲线1222=-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则21MF F ∆的面积为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．一元二次方程)0(0122≠=++a x ax 有一个正根和一个负根的必要不充分条件是（ ）A ．0<aB ．1<aC ．0>aD ．1>a10．若曲线C :ax ax x y 2223+-=上任意点处的切线的倾斜角都是锐角,则整数a =（ ） A ．-2 B ．0 C ．1D ．-111．方程0109623=-+-x x x 与8-=y 的交点个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．012．斜率为2的直线l 过双曲线12222=-b y a x (0,0>>b a )的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．e <2B ．1<e <3C ．1<e <5D ．e >5 二、选择题（每小题4分，共16分）13、对于命题R x p ∈∃:，使得012<++x x ，则p ⌝：__________________14、如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，－2）平分，则这条弦所在的直线方程是___________15、函数[]10)1()(2，在x x x f -=上的最小值为 16、设a R ∈，函数31()33f x x ax =-+在区间)1,2(--内是减函数，则实数a 的取值范围是______________三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本题满分12分）命题p ：4x 2＋1)2(4+-x m =0无实根，命题q ：x my -=2在区间（0，+∞）上是减函数，若“p 或q ”为真命题，求实数m 的取值范围。

一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知集合B A x xx B x x x A ⋂≤-=>+-=那么集合},02|{},034|{2等于 A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |0≤x ＜1}C ．{x |1＜x ＜2，或x ＞3}D ．{x |0≤x ＜1，或x ＞3}2. 若直线0=+-a y x 与圆222=+y x 相切，则a 的值为A ．4±B ．22±C ．2±D ．2± 3．若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则命题p ⌝是命题q ⌝的A ．不充分也不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件４．设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件是A ．n ⊥α，n ⊥β， m ⊥αB ．α∩γ=m ，α⊥γ，β⊥γC ．α⊥γ，β⊥γ， m ⊥αD ．α⊥β，α∩β=l ，m ⊥l 5．已知向量)4,3(),,5(),2,2(=-==c m b a ，若||||c b a ≤+，则实数m 的取值范围是A ．[－4，6]B ．[－6，4]C ．[－2，6]D ．[－6，2]6．函数()3233f x x x x a =++-的极值个数是A ．2B ．1C ．0D ．与a 值有关7．直线00cos40sin 4010x y -++=的倾斜角是A ．040B ．050C ．0130D ．0140 8．已知已知ABC AB AC k AB Z k ∆≤==∈则若,4||),4,2(),1,(,是直角三角形的概率是A ．71B ．72C ．73D ．749．若二项式23nx ⎛ ⎝*()n N ∈展开式中含有常数项，则n 的最小取值是 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 10．已知一个全面积为24的正方体，内有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为A ．43π B ． C D11．数列{}2*:()n n a a n n n N λ=+∈是一个单调递增数列，则实数λ的取值范围是A ．()3,-+∞B ．5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()2,-+∞D ．()0,+∞12．若对任意实数x 都有0)(>x f ，且)4(log 1)3(log 22-+=-x f x f ，已知2)1(=f ，则)10(f 的值为A ．1024B ．512C ．256D ．128第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在试题的横线上）13．已知双曲线221y x k-=，则实数k 的值是____________．14．已知集合{|17,}A x x x N =≤≤∈，从中任取两个不同的元素，其和为偶数的概率是_______．（只能用最简数字作答）15．在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边长为,,a b c ，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状是_____________三角形.16．若函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，且(2)()f x f x -=-，给出下列结论：①()20f =；②()f x 以4为周期；③()f x 的图象关于y 轴对称；④(2)()f x f x +=-．这些结论中正确的有____________．（必须填写序号）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）已知向量()3cos2(),22,1,sin cos 4a xb x x π⎛⎫=-+-=+⎪⎝，3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且89a b ⋅=，求sin 2x 的值.18．（本题满分12分）甲、乙两人进行投篮游戏，投篮者若投中则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为23、12，在前4次投篮中 （1）求第三次由甲投篮的概率； （2）求乙至多投篮两次的概率。

第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、设全集I是实数集R．都是I的子集，如图1所示，则阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x＜－1} B．{x|x≤－5}C．{x|－1≤x≤} D．{x|x>1}2、已知不等式|x－m|<1成立的一个充分不必要条件是，则实数m 的取值范围是（）A．B．C．D．3、函数f(x)=x3＋ax在[1，＋∞）上是增函数，则a的最小值是（）A．－3 B．－2C．2 D．34、设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5、已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x＋1)≤f(x)＋1，f(x＋5)≥f(x)＋5，则f(6)的值是（）A．6 B．5C．7 D．不能确定6、函数的图像上至少有三个点到原点的距离成等比数列，则公比q的取值范围是（）A．B．C．D．7、某班有48个学生，所在教室有6行，每行有8个座位，用(i，j)表示位于第i行第j列的座位，新学期准备调整座位，设一个学生原来的座位为(i，j)，如果调整后的座位为(m，n)，则称该生作了移动[a，b]=[i－m，j －n]，并称a＋b为该生的位置数，若某生的位置数为9，则其原来的座位(i，j)的种数为（）A．9种B．10种C．11种D．12种8、椭圆上一点P到两焦点的距离之积为m，当m取最大值时，P点坐标为（）A．（5，0），（－5，0）B．C．D．（0，－3），（0，3）9、取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为3a2；⑤体积为．以上结论正确的是（）A．①②⑤B．①②③C．②④⑤D．②③④⑤10、设a>1，函数y=|log a x|的定义域为[m，n](m<n)，值域为[0，1]．定义区间[m，n]的长度等于n－m，若区间[m，n]长度的最小值为，则实数a的值为（）A．11 B．6C．D．第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．)11、已知f(x)=|x＋3|＋|x－7|的最小值为m，则的展开式中的常数项是__________．12、设x，y，z是正实数，满足xy＋z=(x＋z)(y＋z)，则xyz的最大值是__________．13、把曲线C1：按向量a=(－1，2)平移后得到曲线C2，曲线C2有一条准线方程为x=，则k的值为__________．14、如图2所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为棱AB的中点，则直线C1E与平面ACC1A1所成角的正切值为__________．15、如图3所示，已知∠AOB=1rad，点A1，A2，…在OA上，B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段均为1个单位，一个动点M从O 点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为1单位/秒，则质点M到达A10点处所需要的时间为__________秒．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16、(本小题满分12分)已知函数f(x)=[2sin(x＋)＋sinx]cosx－sin2x．（1）若函数y=f(x)的图像关于直线x=a(a>0)对称，求a的最小值；（2）若存在使mf(x0)－2=0成立，求实数m的取值范围．17、(本小题满分12分)将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出的点数．(1)若点P(a，b)落在不等式组表示的平面域的事件记为A，求事件A的概率；(2)若点P(a，b)落在x＋y=m(m为常数)的直线上，且使此事件的概率最大，求m的值及最大概率．18、(本小题满分12分)如图4所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD＝120°，AD=AB=a，若PA=λa(λ>0)．(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)当时，求点A到平面PDC的距离；(3)当λ为何值时，点A在平面PBD的射影G恰好是△PBD的重心?19、(本小题满分13分)已知定义在R上的函数f(x)=ax3－2bx2＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的图像关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1，1]时，图像上是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直?并证明你的结论．20、(本小题满分14分)设椭圆方程为(a>b>0)，PQ是过椭圆左焦点F且与x轴不垂直的弦，PQ的中点M到左准线l的距离为d．（1）证明：为定值；（2）若，b=1，在左准线l上求点R，使△PQR为等边三角形．21、(本小题满分14分)已知点列A n(x n，0)满足：，其中n∈N，又已知x0=－1，x1=1，a>1．（1）若x n＋1=f(x n)(n∈N*)，求f(x)的表达式；（2）已知点B(，0)，记a n=|BA n|( n∈N*)，且a n＋1<a n成立，试求a的取值范围；（3）设（2）中的数列{a n}的前n项和为S n，试求：(a≠4)．提示：1、M＝{x|－1≤x≤1}，，2、|x－m|<1m－1＜x＜m＋1，∴m－1≤且≤m＋1．选B．3、在[1，＋∞）上f′(x)=3x2＋a≥0，∴a≥－3．4、由条件,BC边上的中线与BC 边垂直，故△ABC的形状是等腰三角形．5、∵f(x＋5)≥f(x)＋5，∴f(6)≥f(1)＋6=6．又f(6)≤f(5)＋1≤f(4)＋2≤f(3)＋3≤f(2)＋4≤f(1)＋5=6,∴f(6)=6．6、过原点的圆的切线长为，由切割线定理，设过原点的割线与图像的两个交点到原点的距离分别为a,b, 则当1＜a＜或＜a＜5时,．7、i＋j=m＋n＋9，2≤i＋j≤14，2≤m＋n≤14，11≤m＋n＋9≤23.∴11≤i＋j≤14，∵11＝3＋8＝4＋7＝5＋6＝6＋5，12＝4＋8＝5＋7＝6＋6，13＝5＋8＝6＋7，14＝6＋8，∴（i，j）共有10种.8、设P到椭圆的两焦点距离分别为a,b，则P到两焦点的距离之和为a＋b=10，当a=b时取等号，所以a=b，易知选D．9、得到的多面体由14个面围成，其中6个边长为的正方形、八个边长为的正三角形．10、由条件知定义域为答案：11、210 12、13、5 14、15、65提示：11、由绝对值的意义知m=10, 的通项为12、xy＋z=(x＋z)(y＋z)即z(x＋y＋z－1)=0, z是正实数,所以x＋y ＋z=1．,当x=y=z=时取等号．13、曲线C1：的一条准线方程为x=，14、E在平面ACC1A1上的射影在AC上，设为H，∠HC1E是直线C1E 与平面ACC1A1所成角．．，15、质点M运动到达A 10点处经过的路线长为个单位，所以需要的时间为65÷1＝65秒．17、(1)基本事件总数为6×6=36，如图a所示，事件A有6个整点．故．(2)要使概率最大，只需基本事件最多，注意到x，y∈[1，6]，如图b 所示，直线x＋y=m过(1，6)(正方形一条对角线)时适合，求得x＋y=7，此时有6个整点，最大．18、解法一：(1)连接AC，BD交于O，根据题意AC⊥BD，而PA⊥BD BD ⊥平面PAC，因为BD平面PBD，因此，平面PBD⊥平面PAC．(2)因为DC⊥AD，PA⊥DC DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面PCD．过A向PD作垂线AH，垂足为H，则AH⊥平面PCD，∴AH就是点A到平面PDC的距离．由PD·AH=PA·AD．(3)连接OP，重心G在OP上，且PG=2GO，连接AG，由题意知，AG⊥平面PBD，因此，PA2=PG·PO=PO2．．解法二：设AC，BD交于点O，以O为原点，以CA所在的直线为x 轴，以DB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．(1)根据题意知O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，D(0，，0)，P(，0，λa)，C(，0，0)，平面PAC的法向量为=(0，，0)，设平面PBD的法向量为n=(x，y，z)，则n·=0，n·=0，则n=(－2λ，0，1)，又n·=(－2λ，0，1)(0，，0)=0，所以n⊥，故平面PBD⊥平面PAC．(2)设平面PCD的法向量为m=(x，y，z)，则m·=0，m·=0，19、(1)∵函数f(x)的图像关于原点对称，∴f(0)=0，即4d=0，∴d=0．又f(－1)=－f(1)，即－a－2b－c=－a＋2b－c，∴b=0，∴f(x)=ax3＋cx，f′(x)=3ax2＋c．∵x=1时，f(x)取极小值，∴3a＋c=0且a＋c=．(2)当x∈[－1，1]时，图像上不存在这样的两点使得结论成立．假设图像上存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得过此两点处的切线互相垂直，则由f′(x)=(x2－1)知两点处的切线斜率分别为∵x1，x2∈[－1，1]，∴x12－1≤0，x22－1≤0，∴(x12－1)(x22－1)≥0与(*)矛盾，故假设不成立．。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}|1,|21x M x x N x =<=>，则M N = （ ▲ ）A ．∅B ．{}|0x x <C ．{}|1x x <D ．{}|01x x <<2．复数1i i+=（ ▲ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i -3．若双曲线1222=-y ax 的一个焦点为（2，0），则它的离心率为（ ▲ ）A ．552 B ．23C ．332 D ．2 4．在ABC ∆中，角A ，B 所对的边长为,a b ，则“a b =”是“cos cos a A b B =”的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 5．右图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为720S =，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（ ▲ ） A ．6?k ≥B ．7?k ≥C ．8?k ≥D ．9?k ≥6．已知三个平面,,αβγ，若βγ⊥，且αγ与相交但不垂直，,a b 分别为,αβ内的直线，则 （ ▲ ） A ．,b b βγ∀⊂⊥B ．,//b b βγ∀⊂ C ．,a a αγ∃⊂⊥D ．,//a a αγ∃⊂7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535S =，点A （3，3a ）与B （5，5a ）都在斜率为－2的直线l 上，则n S 的最大值为 （ ▲ ）A ．16B ．35C ．36D ．328．已知函数①2()f x x =；②()ln f x x =；③cos ()x f x e =；④()x f x e =.其中对于()f x 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一的一个自变量2x ，使12()()f x f x ⋅=1成立的函数是1111俯视图正视图正视图 俯视图 ▲ ） A ．③④ B ．②④ C ．①② D ．④9．在北京奥运会中，外语学院的3名男生与2名女生志愿者被随机安排到3个不同运动场馆担任翻译，每个场馆至少一位志愿者，则恰好仅有1男1女两位志愿者被安排到同一场馆的概率是 （ ▲ ）A ．427B ．625C ．320D ．31010．已知集合{}{}1,2,3,1,2,3,4M N ==，定义函数:f M N →．若点(1,(1))A f 、(2,(2))B f 、(3,(3))C f ，ABC ∆的外接圆圆心为D ，且()DA DC DB R λλ+=∈，则满足条件的函 数()f x 有 （ ▲ ）A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．32)1(xx +的展开式中的常数项为▲12．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如右图所示，现规定 不低于70分为合格，则合格人数是▲13．已知等差数列{}n a 11122012301030=，则在等比数列{}n b 中，会有类似的结论▲14．把边长为1的正方形折起，形成的三棱锥 C －ABD 的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为▲15．若平面区域||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩是一个三角形，则k 的取值范围 是▲16．已知(2,2),(2,1)A B ，O 为坐标原点，若25OA tOB -≤，则实数t的值为▲17．定义在R 上的奇函数()f x ，当x ≥0时12log (1),[0,1)()13,[1,)x x f x x x +∈⎧⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的方程()(11)f x a a =-<<的所有解之和为▲（用a 表示）三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本小题满分14分）已知向量2(1,sin ),(sin ,cos )a x b x x ==，函数()f x a b =⋅，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）若3()4f α=，求sin2α的值．19．（本小题满分14分）袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球，其中1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是13．（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）从袋中任意摸出2个球，记得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．20．（本小题满分14分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 是边长为2的正方形，点C 在平面AA 1B 1B 上的射影H 恰好为A 1B 的中点，且CH =3，设D 为1CC 中点，（Ⅰ）求证：1CC ⊥平面11A B D ；（Ⅱ）求DH 与平面11AA C C 所成角的正弦值．21．（本小题满分15分）如图，曲线1C 是以原点O 为中心、12,F F 为焦点的椭圆的一部分，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线1C 和2C 的交点且21AF F ∠为钝角，若172AF =，252AF =， （Ⅰ）求曲线1C 和2C 所在的椭圆和抛物线方程；（Ⅱ）过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线12C C 、依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点、H 为BE 中点，问22BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．22．（本小题满分15分）过曲线C ：3()f x x ax b =-+外的点A （1，0）作曲线C 的切线恰有两条，（Ⅰ）求,a b 满足的等量关系； （Ⅱ）若存在0x R +∈，使()000x f x x e a >⋅+成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分。

一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为 ( )A ． 0 B.1 C.2 D ．42.函数f (x )=(0)x x -≤的反函数是（ ）A ．()02≥=x x yB ．()02≥-=x x yC ．()02≤=x x yD ．()02≤-=x x y 3.已知集合{}{}1,0,1,,,P -==Q c b a ,映射Q P f →:中满足0)(=b f 的映射个数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．94.已知一个物体的运动方程为,,,12s t m S t t S 的单位是的单位是其中+-=那么物体在s 3末的瞬时速度是（ ）A ．5m/sB ．6m/sC ．7m/sD ．8m/s5.已知函数()x f 为实数集R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛的实数x的取值范围是（ ）A.()1,1-B.()1,0C.()()+∞-∞-,11,D.()()1,00,1 -6.已知函数12)(2++=x ax x f 的图像与x 轴的负半轴至少有一个交点的充要条件是（）A.1≤aB.10≤<aC.1<aD.010<≤<a a 或7.图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．|1|23-=x y(0≤x ≤2)B ．|1|2323--=x y (0≤x ≤2)C ．|1|23--=x y (0≤x ≤2) D ．|1|1--=x y (0≤x ≤2)8.若函数)(x f 的定义域为]2,0[，则)22(-x f 的定义域为 （ ）A ．[0，1]B ．]2,3[log 2C ．]3log ,1[2D ．[1，2] 9.求函数)6lg(2-+=x x y 的单调增区间是（ ）A ．)21,(--∞B ．),21(+∞- C ．），（∞+2 D ．），（3-∞- 10.设函数)(x f 是实数集R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x ＝2010处的切线的斜率为（ ） A ．－51B ．0 C ．51D ．511.已知函数3443x y a x y =+=与，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为（ ）A ．0B ．12C ．0或12D ．4或112.设()⎩⎨⎧<≥=1,1,2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的 值域是( )A.(][)+∞-∞-,11,B.(][)+∞-∞-,01,C.[)+∞,0D.[)+∞,1 二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.)13.已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围是.14.函数x x f 3log )(=在区间[]()b a b a <,上的值域为[]1,0，则a b -的最小值是.15.已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是.16．已知偶函数)(x f 在区间[],01-是增函数，且满足)1()1(--=+x f x f ，给出下列判断：①0)5(=f ；②)(x f 在[]2,1上是减函数；③)(x f 的图像关于直线1=x 对称；④)(x f 在0=x 处取得最大值；⑤)(x f 没有最小值. 其中正确的判断序号有___________.三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.)17.(满分12分)设命题P :关于x 的不等式()1,01222≠>>--a a a a ax x 且的解集为{|-2}x a x a <<;命题Q ：2lg()y ax x a =-+的定义域为R .如果P 或Q 为真,P 且Q 为假,求a 的取值范围.18.某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级高二年级高三年级女生 373 xy 男生377 370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.(Ⅰ)求x 的值；(Ⅱ)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？19.(满分12分)设函数a ax x a x x f 244)1(31)(23+++-=，其中常数a>1. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若当x ≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围.20.(满分12分)已知函数)1,0)(1121(2)(≠>+-=a a a x f x 且. (Ⅰ)求函数)(x f 的反函数解析式; (Ⅱ)判断函数)(1x f -的奇偶性; （III ）当10<<a 时,解不定式1)(1>-x f .21.(满分12分)函数()f x 的定义域为{}0D x x R x =∈≠且，且满足对于任意的实数12x xD ∈、，有1212()()()f x x f x f x ⋅=+.(Ⅰ)求(1)f 的值； (Ⅱ)判断()f x 的奇偶性并证明； （III ）若(4)1f =，且()f x 在0+∞（，）上是增函数，解关于x 的不等式(31)(26)3f x f x ++-≤.22.(满分12分)已知c+=2f+xbxx(为偶函数，曲线)(x)y=过点(),52，f且)()xg+=.x)(xa(f(Ⅰ)若曲线)(x gy=有斜率为0的切线，求实数a的取值范围(Ⅱ)若当1-=x时函数=y)(x g取得极大值，且方程0g有三个不)(=x+b同的实数解，求实数b的取值范围.试题答案一.选择题：DBDA DABD CBCC二.填空题13.(),32； 14.32; 15. ()()∞+⋃-∞-，，63; 16.①②④三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.)17.解：解:P 为真时,01a <<;Q 为真时,12a >,因为P 或Q 为真，P 且Q 为假， 所以:1012a a <≤≥,或18. 解：（1）19.02000=x∴380x =人； （2）高三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：48500122000⨯= 名19.解：（I ）)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-='（II ）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．）A．1-B．1 C．i D．i-2．若1log-=nm ，则mn+3的最小值是（）A．22B．2 C．32D3．右边的程序运行后，输出的结果为（A. 9，7B. 9，5C. 13，7D. 7，44．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A．296cm B．284cmC．(296cm+D．(280cm+5．曲线1yx=与直线14x x==、及x轴所围成的区域的面积是（）A．34B．2ln2C．ln2D．ln21-6．双曲线)0,0(12222>>=-babyax的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为45º的直线交双曲线的右支于M，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A. 12+ B.3 C.2 D.212+正视图俯视图左视图F7．使奇函数)2cos(3)2sin()(θθ+++=x x x f 在]0 4[，π-上为减函数的=θ（ ）A ．3π- B ．6π-C ．65πD ．32π8.如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 .A 37.B 47 .C 114.D 1314二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.9．61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为______________． 10.设向量a ,b 满足|a －b |=1，|a |=2，且a －b 与a 的夹角为3π，则| b |=.11. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，)1(log )(2+=x x f . 若2)(-<m f ，则实数m 的取值范围是. 12.已知曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为)20,0(cos 4,3cos πθρθρθρ<<≥==，则曲线C 1,C 2标为 ;13．如图，P 是圆O 外的一点，PD 为切线，D 线PEF 经过圆心O ，6,PF PD ==则DFP ∠=__________.111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭14．当实数,x y 满足条件||||1x y +<时，变量2244x x y μ=+++的取值范围是．15．如下图，对一个边长分别为3、4、5的直角三角形进行如下操作：第一次操作，分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间一个阴影部分三角形（如图甲）；第二次操作，分别连接剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的阴影部分三角形（如图乙）；第三次操作，分别连接剩余的各个三角形的中点，再挖去各自中间阴影部分的三角形，……，如此操作下去，记第n 次操作后阴影部分图形的面积总和为n a ,则数列{n a }的通项公式n a =三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分） 已知0ω>，向量()m 1,2cos x =ω，()n 3sin 2x ,cos x=ω-ω．设函数()f x m n =⋅，且()f x 图像上相邻的两条对称轴的距离是2π．（Ⅰ）求数ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17.(本题满分12分)在高三年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有6位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《近世代数》的有1人，选《矩阵代数》的有5人，第二小组选《近世代数》的有2人，选《矩阵代数》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.（Ⅰ）求选出的4 人均选《矩阵代数》的概率；（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《近世代数》的人数，求ξ的分布列和数学期望．18.（本题满分12分）如图，在体积为1的三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，AB AC ⊥，11==AA AC ，P 为线段AB 上的动点. （Ⅰ）求证：P C CA 11⊥； （Ⅱ）当AP 为何值时，二面角111A PB C --的大小为4π？C 1 C19.（本题满分13分）已知x=0是函数)()()(2R x e b ax x x f x ∈++=的一个极值点，且函数()f x 的图象在2x =处的切线的斜率为22e ，（Ⅰ）求函数()f x 的解析式并求单调区间. （Ⅱ）设'()()xf xg x e=，其中(2,)x m ∈-，问：对于任意的2m >-,方程()g x =22(1)3m -在区间(2,)m -上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数.若不存在，请说明理由.20．（本题满分13分）已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点，其中点A的坐标为)0,32(，BC 过椭圆m 的中心，且||2||,0AC BC BC AC ==•．（Ⅰ）求椭圆m 的方程；（Ⅱ）过点),0(t M 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||=.求实数t 的取值范围．21．（本题满分13分）已知函数211()24f x x x =-+，()f x '为函数()f x 的导函数． （Ⅰ）若数列{}n a 满足：11a =，1()()n n a f a f n +''=+（n N *∈），求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：1b b =，12()n n b f b +=（n N *∈）．（ⅰ）当12b =时，数列{}n b 是否为等差数列？若是，请求出数列{}n b 的通项n b ；若不是，请说明理由；（ⅱ）当112b <<时，求证：11221ni ib b =<-∑参考答案一、选择题：(每小题5分，共40分)二、填空题（每小题5分，共35分）：9.15； 11.3m <-；12.)6π；13．6π；14.（1，3）.15.361()4n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16、解：（Ⅰ）()2f x m n 3sin 2x 2cos x =⋅=ω-ω2x cos2x 1=ω-ω-2sin 2x 16π⎛⎫=ω-- ⎪⎝⎭……………………… 3分∵()f x 的图像上相邻的两条对称轴的距离是2π∴()f x 的周期为π，∴1ω=……6分（Ⅱ）∵1ω=∴()f x 2sin 2x 16π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∵x ,42ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52x ,636πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦…9分当52x 66ππ-=，即x 2π=时，()f x 取最小值0；当2x 62ππ-=，即x 3π=时，()f x 取得最大值1 …12分17.解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选《矩阵代数》”为事件 A ，“从第二小组选出的2人选《矩阵代数》”为事件B .由于事 件A 、B 相互独立， 且25262()3C p A C ==, 24262()5C P B C ==.……4分所以选出的4人均考《矩阵代数》的概率为224()()()3515P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=…………………………… 6分（Ⅱ）设ξ可能的取值为0,1,2,3.得4(0)15P ξ==,21112552442222666622(1)45C C C C C P C C C C ξ===+=, 15226611(3).45c p c c ξ===2(2)1(0)(1)(3)9p p p p ξξξξ==-=-=-==…………… 9分 ξ的分布列为∴ξ的数学期望 42221012311545945E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=…………12分 18. 解：（Ⅰ）证明：连结1AC ，侧棱1AA ⊥底面ABC ，1AA AB ∴⊥，又AB AC ⊥.AB ∴⊥平面11A ACC .又1CA ⊂平面11A ACC ，1AB CA ∴⊥ .………（3分）11AC AA ==，∴四边形11A ACC 为正方形，11AC CA ∴⊥.1AC AB A =， 1CA ∴⊥平面1AC B . 又1C P ⊂平面1AC B，11CA C P ∴⊥. …………（6分）（Ⅱ）1111111,,C A AA C A A B ⊥⊥1111AA A B A =.∴11C A ⊥平面11ABB A .又11111112ABC A B C V AB -=⨯⨯⨯=， 2AB ∴=.如图，以1A 为原点，建立空间直角坐标系1A -xyz ，设AP=x ，则1(0,0,0)A 、1(0,2,0)B 、1(0,0,1)C 、(1,,0)P x .知面11A PB 的一个法向量为11(0,0,1)A C =，……（9分）设面11C PB 的一个法向量为(,,)n a b c =，1(1,2,0)B P x =- ，11C B (0,2,1)=-.由1110n B P n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得(2)020a x b b c +-=⎧⎨-=⎩令1,2,2b c a x ===-则， (2,1,2)n x ∴=-………（11分）依题意：1111cos 4||(2n AC n AC π⋅==⋅=2解得12x =（不合题意，舍去），22x =2AP ∴=时，二面角111C PB A --的大小为4π. …………（13分） 19.解：（I ）x e b a x a x x f ])2([)(2++++='…………1分由a b f -=='得,0)0(2'()[(2)]x f x x a x e ∴=++…………2分22[42(2)]2a e e ∴++=，故3a =-………3分令2'()()0,x f x x x e =-≥得0x ≤或1x ≥；令2'()()0,x f x x x e =-<得01x <<yCBA 1Az C 1B 1P故：2()(33)x f x x x e =-+，单调增区间是(,0],[1,)-∞+∞，单调减区间是(0,1)………5分.（Ⅱ）解:假设方程()g x =22(1)3m -在区间(2,)m -上存在实数根设0x 是方程()g x =22(1)3m -的实根，22002(1)3x x m -=-,令222()(1)3h x x x m =---,从而问题转化为证明方程222()(1)3h x x x m =---=0在(2,)m -上有实根,并讨论解的个数……………………7分 因为222(2)6(1)(2)(4)33h m m m -=--=-+-,221()(1)(1)(2)(1)33h m m m m m m =---=+-,①当421m m >-<<或时,(2)()0h h m -⋅<,所以()0h x =在(2,)m -上有解,且只有一解②当14m <<时,(2)0()0h m ->>且h ,但由于22(0)(1)03h m =--<, 所以()0h x =在(2,)m -上有解,且有两解……………………………………9分③当1m =时,2()001h x x x x x =-=⇒==或,所以()0h x =在(2,)m -上有且只有一解；当4m =时,2()6023h x x x x x =--=⇒=-=或,所以()0h x =在(2,4)-上也有且只有一解…………………………………12分综上所述, 对于任意的2m >-,方程()g x =22(1)3m =-在区间(2,)m -上均有实数根且当421m m ≥-<≤或时,有唯一的实数解；当14m <<时,有两个实数解……13分20．解（1）∵BC AC BC 且||2||=过（0，0）则0||||=⋅=BC AC AC OC 又 ∴∠OCA=90°，即)3,3(C …………2分又∵11212:,32222=-+=cy x m a 设 将C 点坐标代入得11231232=-+C 解得 c 2=8，b 2=4∴椭圆m ：141222=+y x …………5分 （2）由条件D （0，－2）∵M （0，t ）1°当k=0时，显然－2<t<2 …………6分2°当k ≠0时，设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222消y 得 01236)31(222=-+++t ktx x k …………7分由△>0 可得22124k t +<①………………8分设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点则22103132k kt x x x +=+=20031k t t kx y +=+= ∴)31,313(22k t k kt H ++- …………11分 由kk PQ OH DQ DP DH 1||||-=⊥∴=即 ∴2223110313231k t k k kt kt +=-=-+-++化简得②∴t>1 将①代入②得 1<t<4∴t 的范围是（1，4）………………12分综上t ∈（－2，4） ………………13分21.（Ⅰ）1()22f x x '=-， …………………………1分 111(2)(2)22122n n n a a n a n +∴=-+-=+-， 即12(1)12(21)n n a n a n ++++=++． …………………………3分11a =， ∴数列{21}n a n ++是首项为4，公比为2的等比数列．12142n n a n -∴++=⋅，即1221n n a n +=--． …………………………5分（Ⅱ）（ⅰ） 12()n n b f b +=2122n n b b =-+，2112()2n n n b b b +∴-=-．∴当112b =时，212b =． 假设12k b =，则k k b b =+1． 由数学归纳法，得出数列{}n b 为常数数列，是等差数列，其通项为12n b =． …………9分 （ⅱ）21122n n n b b b +=-+， 2112()2n n n b b b +∴-=-． ∴当1112b <<时，2112b b >>． 假设12k b >，则112k k b b +>>．由数学归纳法，得出数列12n b >(1,2,3,)n =． ………10分 又1112()22n n n b b b +-=-，11122111n n n b b b +∴=---， 即11122111n n n b b b +=---． ∴11n i i b =∑11112211()n i i i b b =+=---∑11112211n b b +=---．……11分112n b +>，111211221n i i b b b =∴<=--∑…………………………13分 ．。