(完整版)用构造法求数列的通项公式汇总.docx
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用构造法求数列的通项公式上海外国语大学嘉定外国语实验学校徐红洁在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差 (或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。
但实际上有些数列并不是等差、等比数列 ,给出数列的首项和递推公式 ,要求出数列的通项公式。
而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。
对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。
下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。
例如：数列 { a n} 中，若 a12, 114(n N ), 求a nan 1a n设 b n1,则 b n 1 b n+4,a n即 b n 1b n＝４，{ b n｝是等差数列。
可以通过等差数列的通项公式求出b n,然再求后数列{ a n}的通项。
练习： 1)数列 { a n}n1, a n 11, (n n中， a ≠ 0，且满足 a121N ), 求a3a n2)数列 { a n } 中，a11,a n 12a n, 求a n通项公式。
a n23)数列 { a n } 中, a11, a n 0, 且a n2a n a n1an10(n2,n N ), 求 a n.二．构造形如 b n a n2 的数列。
例：正数数列 { a n } 中，若 a15, a n12a n24(n N ),求 a n 解：设 b n a n2,则b n1b n4,即 b n1b n4数列 { b n } 是等差数列，公差是4， b1225 a1b n25( n1)(4)294n即 a n 24n29a n294n , (1n7, n N )练习：已知正数数列 { a n } 中， a12, a n2a n 1 (n2, n N ) ,求数列 { a n } 的通项公式。
三．构造形如 b n lg a n的数列。
例：正数数列 { a n}中，若 11lg a n 1 ,( n2, n N ),求 a n.a =10,且lg a n2解：由题意得：lg a n1，可设 b n lg a n，lg a n21即bn1,b n 121b n 是等比数列，公比为1， b 1 lg 10 12b n 1 ( 1) n 1(1) n 1, (n N) .22(1 )n 1即 lg a n( 1) n 1 , a n 10 22练习：（选自 2002 年高考上海卷）数列 { a n 中，若 12 ,n 是正整数，求数列n}的通项公式。
}a =3, a n 1a n{ a四．构造形如 b na nm 的数列。
例：数列 { a n } 中，若 a 1=6, a n+1=2a n +1, 求数列 { a n } 的通项公式。
解： a n+1 n 即 n+1 （ n ）设 b n +1=2a +2, a +1=2 a +1n 则 n n-1= a +1,b= 2 b首项１= a １ +1＝ 7,则数列 { b n是等比数列，公比是}2,bb7 2n 1,即 a n 1 7 2n 1na n 7 2n 1 1 ， ( n N ) 构造此种数列，往往它的递推公式形如：a n 1c a nd, (c 1)和 S n a nn 2的形式 。
n+1n n+1n如： a＝c a +d,设可化成 a+x=c(a +x),n+1na=c a +(c-1)x用待定系数法得：(c-1)x ＝d∴x= d. c 1又如：Ｓ n +a n =n+2,则 Ｓn-1+a n-1=n+1,二式相减得：Ｓ n －Ｓ n-1 +a n －a n-1 =１，即 a n +a n －a n-1 =１，∴ 2 a n － a n-1=１， a n = 1 a n-1 1 .2+ 2＋ 1如上提到 b n = a n 1 d = a n – 1练习： 1. 数列 { a n 满足 c n 求 n} a =3a +2, a 2.数列 { a n } 满足Ｓ n +a n =2n+1, 求 a n 五．构造形如 b n a n 1 a n 的数列。
例：数列 { a n } 中，若 a 1=１， a ２=3,a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0 (n N),求 a n 。
解： a n+2n+1n得：n+2 －n+1 （ n ＋１－n ）+ 4 a - 5a =0a a = - 5 a a设 b n = a n ＋１ － a n ，则数列 { b n } 是等比数列，公比是 -5,首项 b １ = a 2 - a 1＝2,∴a n ＋１ － a n =2?(-5)n-1即 a ２ －a １=2?(-5) a３－ a ２ =2?(-5)２a ４ － a ３ =2?(-5)３┄a n － a n －１ =2?(-5)n-2以上各式相加得： a n － a １ =2?［（-5）＋ (-5)２ ＋(-5)３ ＋┄＋（ -5）n-1］2即： a n －a １ =2?1（n 15）1( 5)a n1 1 ( 5) n 1 ，即 a n4 ( 5)n 1 ，（n N )33－ a 然后用当递推公式中， a与 a 的系数相同时， 我们可构造 b = an ＋１nnn ＋１n ，叠加法得： b 1 2 34 ┄ n n 1+b +b +b ++b = a -a通过求出数列｛ b n ｝前 n-1 项和的方法，求出数列 { a n } 的通项公式。
1) 当递推公式中形如 :n+1 n +an+b ; n+1 n nn+1 =a n n a=aa=a +q (q ≠ 1) ;a +q +an+b 等情形时，可以构造 b n n ＋１ － n 得 n ； n n n n 。
= aa , :b = an+bb = q ;b =q +an+b求出数列前 n-1 项的和 T n-1,T n-1=a(n 1)n2(n 1)b ;T n-1=q(1q n 1 )；1 qT n-1q(1 q n 1 ) a(n 1) n(n 1)b=1 q +2即：n １ a(n 1)nn1)b ;a －a =2(n１=q(1 q n 1 ) q 1 n１= a(n 1)na － a2从而求出n１a( n 1)n(2q n 1)n１+ q(1 ;a = a1 qn１+ a( n 1)n (a =a2; (n 1)b +q(1q n 1 ) 1 qn 1)b ;n 1)b +q(1q n 1 ) 。
1 q2）当递推公式中形如 :a =a + 1；a =a +1 ； a=a +1等情形n+1n1) n+1n（2n1)n+1 nn1n(n1）(2nn可以构造 b nn ＋１ － n 得： n1 ；b n =1；b n=1= aa ,:b =n(n 1)1）(2n 1)n 1（2n nn11 n 1 1 1 n n 1 nn2n 1 2n n 12 1从而求出求出数列前 n-1 项的和 T n-1111,T n-1 ；T n-1) ；T n-1 = n 1n 2n21即：a n － １= 1 1 ;a na n －a １= 1(11 ) ;22n 13a n－ a １ = n 1 从而求出a n１+1 1 ;=ana n = a １+ 1(11 ) ;2 2n 1a n =a １ + n 1 ， n+1n求通 n.： 1）数列 { a n} 中，若1a =1 a -a =2n,a2）数列 { a n } 中，若 a 1=1， a n+1 -a n =2n ,求通 a n.3) 数列 { a n } 中，若 a 1=2， a n 1a n 2nn ，求通 a n.六．构造形如 b na n 1 的形式。
a n例：数列 { a n } 中，若 a 1=1， (n 1)a n 1na n ，求 a n.解：由 (n1)a n 1 na n得： a n1n na n1a 2 1，a 3 2 ， a∴2a 23 aa 1用累乘法把以上各式相乘得：a n 1 a 1n4 3，⋯a nn 14an 1n3∴ a n 1 。
nq n a n ； (n当 推公式形如： a n 1)a n1na n ； na n 1(n 1)a n 等形式，我 可以构造 b nan 1。
a n可得 :b nq n; b nn n; b nn 1 .1 n然后用叠乘法得： b 1b 2 b 3b n1a n 。
令数列 {b n 的前 的 a 1n-1 A n-1} ,n( n 1)1 ; A n 1 1An 1 q 2 ； A n 1n na nn ( n 1)a n1a n 1从而得到：q2；a 1；na 1na 1n( n 1)a 1 1； a na 1 1。
a n a 1 q 2； a nn n 2n a： 1）数列 { a n } 中，若 1 ， an n ，求 a n.a =2七．构造形如 b nan 1ma n 的形式。
例：数列 { a n} 中，1，nn-1，求n.a =2 S =4a+1a解： n n-1n-1 n-2S =4a +1，S=4a+1二式相减： nn-1n-1 n-2S -S=4a -4ann-1n-2a =4a-4aa n -2a n-1=2（ a n-1-a n-2）b n =a n+1-2a n ，4当递推公式形如 S n+1=4a n+2;a n+2=pa n+1+qa n(p+q=1)等形式时，因a -2a=2(a-2a );a-a =(p-1)(a-a ),nn+1n+1n n+2n+1n+1n我们构造 b n=a n+1-2a n; b n=a n+1-a n,由等比数列知识得 b n2n-1 2 1·n-11 ·n=(a -a ) 2; b =(a -a ) (p-1)从而得到 a n+1n21n-1 n+1n 2 1n-1=2a +(a -a )2;a =a (a -a )(1-q)由类型四求出 a n。
总之，对于很多数列，我们都可以由递推公式构造新数列的方法求出他们的通项公式。
当然，在教学中我们应当充分调动学生的积极性，努力培养学生的创造能力，让学生自己去构造，自己去探索，使学生亲尝到成功乐趣，激起他们强烈的求知欲和创造欲。
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