- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
如果对于某个������0 , 使得������ ������0 = ������0 ������0 有非零解,则称������0 为������的固有值,������0 称
为相应������0 的固有元素,显然固有值属于谱。
课 程 回 顾
不动点
设������为Banach空间,ℱ 为由������到������的算子,且������ ℱ ⋂������ ℱ 非空,如果点 ������ ∗ ∈ ������, 满足ℱ ������ ∗ = ������ ∗ , 则称������ ∗ 为算子ℱ的不动点,或者说不动点������ ∗ 是算 子方程������ = ℱ ������ 的解。
3
§4.2 某些空间的共轭
力学中的共轭空间
令������和������是应力和应变空间,线弹性体应变能是 1 ������ = 2 间的共轭空间。 物体的总势能: Π= 对 ������������������ , ������������ ∈ ������ × ������∗ 是对 1 2 ������������������ ������ ������������ ������������ − ������������������ ������������ ������������
称算子 ������ 强收敛于������. ������
→ 0, 则
课 程 回 顾
逆算子
设有算子������: ������ → ������, 如果对于每一个������ ∈ ������ ������ 均有唯一的������ ∈ ������ ������ 与之对 应, 使得������ ������ = ������, 则称算子������是一对一的(或单射的),这些确定了一个由 ������到������的算子,称为������的逆算子,记为������ −1 . 定理:线性算子������是一对一的充分必要条件是其零空间只含零元素。
§4.2 某些空间的共轭
Hilbert空间的共轭空间
ℍ为Hilbert空间,固定������ ∈ ℍ,ℱ ������ = ������, ������ 是定义在ℍ上的有界线性泛函。 由 ℱ ������ = ������, ������ ≤ ������ ������ ,又有 ℱ 是 ℱ ������ = ������, ������ ≤ ������ ������ 中������的下确界,于 = ������ ������ ≤ ℱ ������ , 故 是 有 ℱ ≤ ������ . 若 取 ������ = ������ , 有 ℱ ������
课 程 回 顾
泛函
设������是实数域ℝ上的线性赋范空间,������是������的线性子空间,ℱ: ������ → ℝ, 若ℱ满 足: ∀ ������, ������ ∈ ℝ, ������, ������ ∈ ������, ℱ ������������ + ������������ = ������ℱ ������ + ������ℱ ������
������=1
������������ ������������
4.2.1
其中������������ = ℱ ������������ .即������������ 上任一有界线性泛函均可表示为(4.2.1)的形式,或者说 4.2.1 是定义在������������ 上有界线性泛函的一般形式。 1
或者每给定������个标量������1 , ������2 , … , ������������ ,由 4.2.1 可确定������上的一个泛函。特别地,
若把������个标量分别取为 ������1 , ������2 , … , ������������ = 1,0, … , 0 , 0,1, … , 0 , … , 0,0, … , 1 ,则 由 4.2.1 可以确定������个泛函,分别记为ℱ1 , ℱ2 , … , ℱ������ ,它们在基向量上的取值为 ℱ������ ������������ = ������������������ = ℱ1 , ℱ2 , … , ℱ������ 称为 ������1 , … , ������������ 的对偶基。 设������维向量空间������������ 的基为 ������1 , … , ������������ , ℱ1 , ℱ2 , … , ℱ������ 是������∗ 的基。������������ 上的任一线 ������ 性泛函可表示为:ℱ = ������1 ℱ1 + ������2 ℱ2 + ⋯ + ������������ ℱ������ . ������维欧氏空间������������ 的共轭空间是它自身,即������∗ = ������������ . ������ 定理:设������是一个有限维空间,若������0 ∈ ������,对一切ℱ ∈ ������∗ 都有ℱ ������0 = 0,即 ∀ℱ ∈ ������∗ , ������0 , ℱ = 0 ⇒ ������0 = ������. 2 1, ������ = ������ 0, ������ ≠ ������
若ℱ(������)是������������ 上的有界线性泛函,取������������ 一组基 ������1 , … , ������������ ,其中������������ = 0, … , 1, … ,
其第������个分量为1,其余为0.������������ 中任一元素均可表示为������ = 线性,有
研究生课程
力学中的泛函分析 与变分原理
第八讲:有界线性泛函与共轭空间
授课教师:郭旭教授
大连理工大学工程力学系
课 程 回 顾
设������和������都是线性赋范空间,定义在整个������上,而在������上取值的有界线性算 子的全体,记为������ ������, ������ . 如果规定������ ������, ������ 中任意两个算子 (1) 加法为: ������ + ������ ������ = ������ ������ + ������ ������ 1 2 1 2 (2) 数与算子乘积为: ������������ ������ = ������������ ������
Ω
������������������ ������ ������������ ������������
Ω
这表示应力(1/2倍)是应变空间������上的(连续)线性泛函,应力空间������是应变空
٠������ ������������ , ������������
∈ ������ × ������上的连续线性泛函映射为标量势能Π.
压缩算子、压缩系数
设集合ℚ ⊂ ������ ℱ ,如果存在常数������ ∈ 0,1 , 使对任意的������ ′ , ������ ′′ ∈ ℚ均有不等 式 ℱ ������ ′ − ℱ ������ ′′ 缩系数。 ≤ ������ ������ ′ − ������ ′′ ,则称ℱ为集合ℚ上的压缩算子,������称为压
������ ������=1
������������
2 1/2
. 若给定一������个有序数组 ������1 , ������2 , … , ������������ , 则ℱ ������ =
������ ������=1 ������������ ������������
是������������ 上的一个有界线性泛函。
则������ ������, ������ 便成为线性空间。
定理:设������为线性赋范空间,而������为Banach空间,则������ ������, ������ 为Banach空间。
算子强收敛
设 ������ ⊂ ������ ������, ������ ,������ ⊂ ������ ������, ������ , 如果对∀ ������ ∈ ������, 均有 ������ ������ − ������ ������ ������ ������
共轭空间
定义在整个线性赋范空间������上的所有有界线性泛函所构成的空间������ ������, ℝ 称 为空间������的共轭空间,记为������∗ .
§4.2 某些空间的共轭
������维欧氏空间������������ 的共轭空间
空间������������ 中每个元素均可表示为������个有序数组������ = ������1 , ������2 , … , ������������ , 其范数定义为 ������ =
������ ������ ������ ������ ������=1 ������������ ������������ .由于ℱ的
ℱ ������ = ℱ
������=1
������������ ������������ =
������=1
������������ ℱ ������������ =
§4.2 某些空间的共轭
������维欧氏空间������������ 的共轭向量������1 , ������2 , … , ������������ 上的值������1 , ������2 , … , ������������ 唯一地确定,
则ℱ是������上的一个线性泛函,或者说由������到实数域的算子称为泛函。
有界线性泛函ℱ在������处的值ℱ(������)也可表示为:ℱ ������ = ������, ℱ , ������ ∈ ������. ℱ的线性是指: ������������ + ������������, ℱ = ������ ������, ℱ + ������ ������, ℱ .