(8)抽屉原则

抽屉原理与最不利原则

1、（1）若一年按365天算，一个学校至少（ ）人才能保证至少有2个人在同一天过生。

（2）从1—10这10个数中任取（ ）个数，其中至少有一个数是奇数，一个数是偶数。

（3）金苹果小学四年级有三个班，在一次竞赛中，至少（ ）人获奖才能保证在获奖的学生中一定有4名同学同班。

2、班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于三本书？

3、把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？

4、布袋中有60个彩球，每种颜色的球都有6个。蒙眼取球，要保证取出的球中有三个同色的球，至少要取出多少个球？

5、从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，两个数的差是12的有多少组？至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数的差是12？

6、一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。一次至少要取出多少块木块，才能保证其中有3块号码相同？

7、将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里，请问：（1）一次至少摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两只袜子？

（2）一次至少摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（颜色相同即为一双）

抽屉原理

抽屉原理又叫重叠原则或鸽原则，抽屉原则有如下几种情形。

抽屉原则I 把1n件东西任意放入n只抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两件东西。

抽屉原则II 把m件东西放入n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里至少有nm件东西。

抽屉原则III 如果有无穷件东西，把它们放在有限多个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含无穷件东西。

利用抽屉原则解题时，其关键是如何利用题中已知条件构造出与题设密切相关的“抽屉”，下面通过例子说明抽屉原则的应用。

例1．在边长为1的正方形内任意放置5个点，试证：其中必有两个点，它们之间的距离不大于22。

证明：将边长为1的正方形划分成如图所示的四个边长为21的小正方形，则每个小正方形中任意两点间的距离不大于22，据抽屉原理：5个点放入四个正方形中，其中至少有一个正方形中至少有2个点，则这两个点间的距离不大于22。

例2．证明：边长为1的的正三角形内任意放置5个点，其中必有两点，其距离不超过21。

证明：将边长为1的正三角形的各边中点连结起来，得到四个小正三角形，则每个小正三角形中任意两点间的距离不大于21，据抽屉原理：5个点放入4个小正三角形中，其中至少有一个小正三角形中至少有2个点，则这两个点间的距离不超过21。

例3．在边长为1的正方形中有任意九个点。试证：在以这些为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形，其面积不大于81。

证明：将边长为1的正方形划分为如图所示的4个441的小长方形，9个点放入4个小长方形中，则必有一个长方形中放入了至少3个点，设为CBA,,,则三角形ABC的面积不大于过81，证明如下：A作边的平行线交BC于A，则：

CAABAAABCSSS8141121。

例4．求证：任给五个整数，必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除。

证明：因为任意一个整数被3除的余数只能是0，1，2，若任给的5个整数被3除的余数中0，1，2都出现，则余数为0，1，2的三个整数之和能被3整除；若5个数被3除的余数只出现0，1，2中的两个，则据抽屉原理知：必有3个整数的余数相同，而余数相同的3个数之和能被3整除。故任给五个整数，必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除。

第8讲 抽屉原理

一、基础知识

1、抽屉原理:把多于N个的苹果放进N个抽屉里,那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.

2、抽屉原理的一般表达:把多于M×N个苹果随意放到N个抽屉里,至少有一个抽屉里有(M+1)个或(M+1)个以上的苹果.

3、在有些问题中,”抽屉”和”苹果”不是很明显的,需要精心制造”抽屉”和”苹果”如何制造”抽屉”和”苹果”可能是很困难的,一方面需要认真分析题目中的条件和问题,另一方面需要多做一些题积累经验.

4、利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。

二、典型例题

例题1：某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？

例题2：某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？

例题3：一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？多少只才能保证其中至少有2双不同袜子？

例题4：任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数，这是为什么？

例题5：能否在图29-1的5行5列方格表的每个空格中，分别填上1，2，3这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线AD、BC上的各个数的和互不相同？

例6、一次数学竞赛，有75人参加，满分20分，参赛者得分都是整数，75人的总分是980分，问至少有几个人得分相同？

例7、一个自然数除以n的余数可能是0、1、2、3、„..n－1，把这n种情况看作n个抽屉，把（n+1）个自然数反复如n个抽屉中去，则必有一个抽屉中有两个数，这两个数的余数相同，则它们的差一定能被n整除，也就是n的倍数。

随堂练习：

1、有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

第ｌ７卷专辑　Ｖｏ１．１７专辑　四川文理学院学报　Ｓｉｃｈｕａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ａｒｔｓ　ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　２００７年６月　Ｊｕｎ．２００７　

抽屉原则在数学竞赛中的应用　

许　可　

（清溪中学，四川渠县６３５２２５）　

【摘要】抽屉原则是处理存在性问题的一个重要方法，是各级各类数学竞赛中的重要内容。总结了　适合应用抽屉原则来求解的数学问题所具有的特征，指出了应用抽屉原则解题的关键是如何构造抽屉，并　就这一问题做了相应的研究，得到了几个一般性的结论。　【关键词】抽屉原则；构造；数学竞赛　

【中图分类号】Ｏ１３　【文献标识码】ｄ　【文章编号】１００８－４８８６（２００７）专辑一００９８—０３　

抽屉原则就是把多于ｎ个球，任意分放到ｎ个抽屉　里，则至少有－一个抽屉里放进了两个或更多的球。在数学　学习中，抽屉原则运用比较广，尤其在国外的一些中、高档　次的数学竞赛中越来越被人们所重视，常用于解决一些存　在性问题，特别是在解一些看起来相当复杂甚至无从下手　的问题时常能发挥独特作用。不过，熟练地运用抽屉原则　解决数学问题也并非易事，关键是构造合适的抽屉的方法　非常灵活，要运用到代数、几何、数论等多方面知识。当然　抽屉构造最基础的依据有两点：首先确定抽屉的个数；其　次，明确抽屉具备的性质。　ｌ　抽屉原则的几种形式…　１．１　把ｎ＋１个元素分ｎ为个集合，那么必有一个集　合中含有两个或两个以上的元素。　１．２　把ｎｍ＋１个元素分为ｎ个集合，那么必有一组　中含有ｍ＋１或ｍ＋１个以上的元素。　１．３把ｎ个元素分为ｋ个集合，那么必有一个集合　中元素的个数≥Ｉ　Ｔｒｌ，ｌ，也必有一个集合中元素的个数≤　

。　１．４　把ｑ。＋ｑ２＋…＋ｑ　一ｎ＋１元素分为ｎ个集合，　那么必有一个ｉ（１≤ｉ≤ｎ），在第ｉ个集合中元素的个数≥　ｑｌ。　１．５把无穷个元素分为有限个集合，那么必有一个　集合中含有无穷多个元素。　一般来说，适合应用抽屉原则来解答的数学问题具有　如下共同特征：　首先，新给的元素具有任意性。例如８个苹果放进７