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初二数学 因式分解-公式法

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第1页（共4页） 初二数学 因式分解-公式法

一．选择题（共30小题）

1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）

A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．﹣（a2+b2）

2．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）

A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y3 D．﹣x2+y2

3．下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）

A．﹣a2+9b2 B．x2y2﹣25 C．﹣4x2﹣y2 D．

4．下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）

A．x2+4 B．x2﹣1 C．x+9 D．x2﹣6x

5．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）

A．﹣x2+9y2 B．x2+9y2 C．x2﹣2y2+1 D．﹣x2﹣9y2

6．在多项式①﹣m4﹣n4，②a2+b2，③﹣16x2+y2，④9（a﹣b）2﹣4，⑤﹣4a2+b2中，能用平方差公式分解因式的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．因式分解：a2﹣4＝（ ）

A．（a+4）（a﹣4） B．（a+4）（a﹣2） C．（a+2）（a﹣4） D．（a+2）（a﹣2）

8．因式分解9x2﹣y2的结果是（ ）

A．（9x+y）（9x﹣y） B．9（x+y）（x﹣y） C．（3x+y）（3x﹣y） D．3（x+y）（x﹣y）

9．将多项式1﹣4x2因式分解，正确的是 （ ）

A．（2x+1）（2x﹣1） B．（1﹣2x）（1+2x） C．（1+2x）（2x﹣1） D．（1+4x）（1﹣4x）

10．对多项式4﹣x2进行因式分解，正确的是（ ）

A．4﹣x2＝（4+x）（4﹣x） B．4﹣x2＝（x+2）（x﹣2）

C．4﹣x2＝（1+2x）（1﹣2x） D．4﹣x2＝（2+x）（2﹣x）

11．分解因式x2﹣4y2的结果是（ ）

A．（x+2y）（x﹣2y） B．2（x+y）（x﹣y） C．（x+4y）（x﹣4y） D．4（x+y）（x﹣y）

12．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（ ）

A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1）

C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4）

13．因式分解结果为（2a+b）（2a﹣b）的多项式是（ ）

A．4a2﹣b2 B．4a2+b2 C．﹣4a2﹣b2 D．﹣4a2+b2

14．将1﹣（x﹣1）2分解因式，结果正确的是（ ） 第2页（共4页） A．x（x﹣1） B．x（x﹣2） C．x（2﹣x） D．﹣x（x+2）

15．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）

A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．81+18x+x2

16．下列各式中，能用公式法分解因式的有（ ）

①﹣x2﹣y2； ②； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2； ⑤．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

17．下列多项式，不能用完全平方公式分解的是（ ）

A． B．4a2b2﹣4ab+1

C．y2+10y﹣25 D．

18．下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）

A．x2﹣4x+4 B．x2+x+1 C．4x2+4x﹣1 D．x2+2x﹣1

19．把a2﹣2a+1分解因式，正确的是（ ）

A．a（a﹣2）+1 B．（a+1）2

C．（a+1）（a﹣1） D．（a﹣1）2

20．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）

A．9x2﹣16y2 B．4x2﹣4x+1 C．x2+xy+y2 D．9﹣3x+x2

21．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）

（1）x2﹣4y2

（2）9a2b2﹣3ab+1

（3）﹣x2﹣2xy﹣y2

（4）x2+y2

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

22．下列各式：①x2﹣6x+9；②25a2+10a﹣1；③x2﹣4x﹣4；④4x2﹣x+，其中不能用完全平方公式因式分解的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

23．下列因式分解正确的是（ ）

A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2+1＝（x+1）2

C．x2﹣x+2＝x（x﹣1）+2 D．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2

24．下列因式分解正确的是（ ）

A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1

B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） 第3页（共4页） C．x2﹣x+＝（x﹣）2

D．2xy﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）2

25．下列分解因式中正确的是（ ）

A．x2﹣4y＝（x+2y）（x﹣2y）

B．﹣4x2﹣1＝（﹣2x+1）（﹣2x﹣1）

C．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2

D．x2+4x﹣4＝（x﹣2）2

26．下列因式分解中：①x3+2xy+x＝x（x2+2y）；②x2+2x+1＝（x+1）2；③2a（b﹣c）﹣3（b﹣c）＝（2a﹣3）（b﹣c）；④x3﹣9x＝x（x2﹣9），正确的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

27．下列因式分解不正确的是（ ）

A．a2﹣ab＝a（a﹣b）

B．ab2﹣a＝a（b+1）（b﹣1）

C．ab2﹣4ab+4a2＝a（b﹣2）2

D．（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2

28．下列因式分解正确的是（ ）

A．a3﹣4a＝a（a﹣2）2

B．4a3﹣a＝4a（a+1）（a﹣1）

C．4a3+2a2+a＝a（2a+1）2

D．4a3+4a﹣8a2＝4a（a﹣1）2

29．下列各因式分解正确的是（ ）

A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2

B．﹣x2+（﹣2）2＝（x﹣2）（x+2）

C．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）

D．（x+1）2＝x2+2x+1

30．下列多项式因式分解：

①x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2；②16+a4＝（4+a2）（4﹣a2）；③25ab2+10ab+5b＝5b（5ab﹣2a）；④x2﹣（2y）2＝（x﹣2y）（x+2y），其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题（共30小题）

31．分解因式：a2﹣25＝ ．

32．分解因式：m2﹣16＝ ． 第4页（共4页） 33．把多项式16﹣x2分解因式的结果为 ．

34．分解因式：18a2﹣8b2＝ ．

35．分解因式：﹣x2+4y2＝ ．

36．分解因式：（a+3）2﹣16＝ ．

37．分解因式：4y2﹣（x+y）2＝ ．

38．因式分解：4（m﹣n）2﹣（m+n）2＝ ．

39．因式分解：m2+2m+1＝ ．

40．因式分解：x2+4y2﹣4xy＝ ．

41．因式分解：4m2+4m+1＝ ．

42．因式分解：x（x﹣2）+1＝ ．

43．分解因式：x2﹣14x+49＝ ．

44．分解因式：﹣x2+4x﹣4＝ ．

45．因式分解：1﹣4m+4m2＝ ．

46．因式分解：a2+2a（b+c）+（b+c）2＝ ．

47．若x2﹣mx+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为 ．

48．若多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝ ．

49．分解因式：2a2﹣4a+2＝ ．

50．分解因式：x3﹣2x2+x＝ ．

51．因式分解：2a3﹣12a2+18a＝ ．

52．分解因式：n2（x﹣y）﹣9（x﹣y）＝ ．

53．﹣y3+6y2﹣9y＝ ．

54．因式分解：3mn2﹣12mn+12m＝ ．

55．因式分解：ax2﹣4ax+4a＝ ．

56．因式分解：﹣m2n+2mn﹣n＝ ．

57．分解因式：2x2+4xy+2y2＝ ．

58．分解因式：4（m﹣n）m2+（n﹣m）n2＝ ．

59．因式分解：x2（x﹣y）+y2（y﹣x）＝ ．

60．分解因式：36x2﹣4＝ ．

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4.3 公式法 (解析版)-八年级数学下

4.3 公式法 (解析版)-八年级数学下

4.3公式法

考点：因式分解公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

常用的公式：

①平方差公式：a2

－b2

＝（a＋b）（a－b）

②完全平方公式：a2

＋2ab＋b2

＝（a＋b）2

a2

－2ab＋b2

＝（a－b）2

题型一：判断是否能用公式法因式分解

1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）

A．229xy

B．229xyC．2221xy

D．229xy

【答案】A

【分析】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断．

【详解】解：A.229xy

是x

与3y

的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，

符合题意；

B.229xy两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；

C.2221xy

是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；

D.229xy

两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的式子必须是两项

平方项的差是解题的关键．

2．（2023春·八年级课时练习）下列多项式，能用公式法分解因式的有（）个．

①2233xy②22xy③22xy

④22xxyy⑤222xxyy⑥2244xxyy

A．2B．3C．4D．5

【答案】A

【分析】根据完全平方公式2

222abaabb，平方差公式

22ababab

进行

判断即可．

【详解】解：①2233xy

不能用公式法分解因式，不符合题意；

②22xyyxyx

，可以用平方差公式分解因式，符合题意；

③

2222xyxy

不能用公式法分解因式，不符合题意；

④22xxyy不能用公式法分解因式，不符合题意；

⑤222xxyy

不能用公式法分解因式，不符合题意；

⑥

2

222244442xxyyxxyyxy

初二数学(下)：因式分解-培优②公式法(含答案)

初二数学(下)：因式分解-培优②公式法(含答案)

初二数学(下)•培优•因式分解•公式法

-1 -

完全平方公式 2 2 2

a _2ab b =(a _b)

【知识精读】

把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

2 2

主要有：平方差公式 a -b ^(a b)(a -b)

立方和、立方差公式

补充：欧拉公式：

3 3 3 a b c -3abc=(a b c)(a b c -ab-bc-ca)

1 (a b c)[( a -b) (b - c) (c - a)] 2

特别地：(1)当 a b 0 时，有 a3 b3 c^ 3abc

(2)当c = 0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公 式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。 因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

【分类解析】 2 2

C. (a -b)(a ■ b) 2 D. (a -2b)(b - 2a)

2 2 2 2 2 2 分析：a 2a - b - 2b = a 2a 1 - b - 2b - 1 = (a 1) - (b 1) ° 再利用平方差公式进行分解，最后得到 (a - b)(a b 2)，故选择B。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的 形式。同时要注意分解一定要彻底。

2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用

例：已知多项式 2x3 - x1 2 • m有一个因式是2x 1，求m的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系 数法即可求出m的值。

3 2 2

解：根据已知条件，设 2x「x • m二(2x 1)(x ax b)

3 2 3 2

则 2x - x m = 2x (2a 1)x (a 2b)x b

因式分解(超全方法)

因式分解(超全方法)

1 因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知abc，，是ABC的三边，且222abcabbcca，

则ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bnbmanam

2 例2、分解因式：bxbyayax5102

练习：分解因式1、bcacaba2 2、1yxxy

因式分解专题

因式分解专题

1 因式分解专题

类型一、整除问题

1、5.631)25.2(3175.20531能被35整除吗？

2、1991993能被198整除吗？能被100整除吗？

3、若多项式122pxx能被3x整除，求p的值

4、201320142015310343能被7整除吗？为什么？

5、 已知n为整数，证明：22)13(nn能被13整除。

6、已知158能被0~10之间的数整除，求这两个数

类型二、提公因式法分解因式

A组题

1、nnxx8161 2、cbab2294278

3、)2()2(2amam 4、2)()(xyxyxxy

5、332168baab 6、xyxyyx1551022 2

7、232234236yxzyxyx 8、nnnxxx212222793

9、33)(6)(3xyyyxx 10、23)(6)(4abbbaa

11、)()()(yxcxybyxa 12、)()(22mnxynmyx

B组题

1、)()()(yzxcyxzbzyxa

2、)1()1()1(abazbaaybaax

3、)2)(()2)(())((xybazyxbaxyzab

类型三、公式法分解因式

A组题

一、平方差分解因式

1、224)1(ba 2291)2(ba 4161)3(m 224)32)(4(xyx

819)5(2x 644)6(2a

2、223)2(3)1(mnyxm 4)3)(2)(2(2xxx

bcacba22)3( 55)4(xyyx 3 二、完全平方分解因式

1、96)1(2aa 223291)2(nmnm 44)3(2nnyy