学案7： 2.1.1 指数与指数幂的运算
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2.1.1 指数及指数幂的运算
学习目标
1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)
2.掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：amn＝
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂 规定：a－mn＝1amn＝
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂 .
思考：(1)分数指数幂amn能否理解为mn个a相乘？
(2)在分数指数幂与根式的互化公式amn＝nam中，为什么必须规定a>0?
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ (a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝ (a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)0的任何指数幂都等于0.( )
(2)523＝53.( )
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a2＝a12.( )
2．425等于( ) A．25 B.516
C.415
D.54
3．已知a>0，则a－23等于(
)
A.a3 B．13a2
C.1a3 D．－3a2
4．(m12)4＋(－1)0＝________.
[合 作 探 究·攻 重 难]
将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)aa(a>0)；(2)13x5x22；(3)4b－23－23(b>0).
[跟踪训练]
1．将下列根式与分数指数幂进行互化．
(1)a3·3a2；(2)a－4b23ab2(a>0，b>0)．
利用分数指数幂的运算性质化简求解
[跟踪训练]
2．(1)计算：0.064－13－－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12；
(2)化简：3a92a－3)÷3a－7·3a13(a>0)．
指数幂运算中的条件求值
[探究问题]
1.a＋1a2和a－1a2存在怎样的等量关系？
2．已知a＋1a的值，如何求a＋1a的值？反之呢？
已知a12＋a－12＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(a－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6
2．把根式aa化成分数指数幂是( )
A．(－a) 32 B．－(－a) 32
C．－a32 D．a32
4．若10m＝2,10n＝3，则103m－n＝________.
所以103m－n＝103m10n＝83.]
【参考答案】
[自 主 预 习·探 新 知]
1．nam
1nam
没有意义
思考：[提示] (1)不能．amn不可以理解为mn个a相乘，事实上，它是根式的一种新写法．
(2)①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即nam＝amn＝0，无研究价值．
②若a<0，amn＝nam不一定成立，如(－2)32＝2－23无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
2．(2) ars (3) arbr
3．实数
[基础自测]
1． (1)× (2)× (3)×
2．B
【解析】425＝542＝516，故选B.
3．B
【解析】a－23＝1a23＝13a2.
4．m2＋1
【解析】(m12)4＋(－1)0＝m2＋1.
[合 作 探 究·攻 重 难]
[跟踪训练]
1．
例2
[跟踪训练]
[探究问题]
1. 提示：a＋1a2＝a－1a2＋4.
2．提示：设a＋1a＝m，则两边平方得a＋1a＝m2－2；反之若设a＋1a＝n，则n＝m2－2，∴m＝n＋2.即a＋1a＝n＋2.
解 (1)将a12＋a－12＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14. (2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝1
[当 堂 达 标·固 双 基]
1． A
【解析】 [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(a－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.
2． D
【解析】由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.
3. 23
4．83
5.
