勾股定理培优讲义

宜昌市迈克学习能力培训学校 业精于勤荒于嬉

勾股定理知识点汇总

一、基础知识点：

１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ；

表示方法： 如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么

２ .勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：

方法一： 4S S正方形 EFGH S正方形 ABCD， 4 1 ab (b a)2 c2 ，化简可证．

2 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

a2 b2 c2

D

C H

E G F

b a A c B 四个直角三角形的面积与小正方形面

积的和为 S 4 1 ab c2 2ab c2 大正方形面积为 S (a b) 2 a2 2ab b2 b a

a

2 c b

所以 a2 b2 c2 c

c

1 (a

2 1 ab 方法三： S梯形 b) ( a b) ， S梯形 2S ADE S ABE 2 2 b 2 c2 b c

1 c ，化简得证 a a

2 2 2 a b

３ .勾股定理的适用范围 A a

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系， 它只适用于直角三角形 ，对于锐角三角形 D

和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 b

c

４ .勾股定理的应用 c E

a

①已知直角三角形的任意两边长， 求第三边在 ABC 中， C 90 ，则 c a 2 b2 ，b c2 a 2 ， B bC

ac2 b2

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

③可运用勾股定理解决一些实际问题

５ .勾股定理的逆定理

如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a 2 b 2 c2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边。

① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 “数转化为形 ”来确定三角

形的可能形状， 在运用这一定理时， 可用两小边的平方和 a 2 b2 与较长边的平方 c2 作比较，若它们相等时，

以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；

② 若 a2 b2 c2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是钝角三角形；若 a2 b2 c2 ，时，以 a ， b ， c 为三边

的三角形是锐角三角形；

③ 定理中 a ， b ， c 及 a 2 b 2 c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ， b ， c 满足

a 2 c2 b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：

① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.

②满足的条件：最大边的平方 =最小边的平方 +中间边的平方 .

③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角 .

④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

６ .勾股数

满足 a2 + b 2= c 2 的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：

（3，4，5 ） (5 ，12， 13 ) ( 6， 8， 10 ) ( 7， 24， 25 ) ( 8， 15， 17 )(9 ， 12， 15 ) 1 编写人：王老师 宜昌市迈克学习能力培训学校 业精于勤荒于嬉

③用含字母的代数式表示 n 组勾股数： n2 1,2n, n2 1 （ n 2, n 为正整数）；

2n 1,2n 2 2n,2n 2 2n 1 n m 2 2 2 2 m n

（ 为正整数） n , 2 m n, m n

， 为正整数） （ m n,

７．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题． 在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行

计算，应设法添加辅助线 （通常作垂线） ，构造直角三角形， 以便正确使用勾股定理进行求解 ．

８ .勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形， 在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

９ .勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中， 是密不可分的一个整体． 通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：

C C C

30°

A B A D B B D A

10、互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设， 这样的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一

个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

经过证明被确认正确的命题叫做定理

如果一个定理的的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理

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考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积： （ 1）阴影部分是正方形； （ 2）阴影部分是长方形； （ 3）阴影部分是半圆．

2. 如图，以 Rt △ ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S1、 S2、S3，

则它们之间的关系是（ ）

A.S -S =S

3 B.S +S =S

3 C.S +S

1 D.S -S

3 =S

1 2 1 2 2 3 2 1

4、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3， BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。 S 3

S 1

S 2

5、在直线 上依次摆放着七个正方形（如图 4 所示）。已知斜放置的三个正方形的面

积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 =_____________。

考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边

1．在直角三角形中 , 若两直角边的长分别为 1cm， 2cm ，则斜边长为 ．

2．（易错题）已知直角三角形的两边长为 3、 2，则另一条边长的平方是

3、已知直角三角形两直角边长分别为 5和 12， 求斜边上的高．

4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，则斜边扩大到原来的（ ）

A．2倍 B．4倍 C．6 倍 D．8 倍

5、在 Rt△ ABC中，∠ C=90°

①若 a=5， b=12，则 c=___________ ； ②若 a=15，c=25，则 b=___________；

③若 c=61， b=60，则 a=__________； ④若 a∶ b=3∶ 4， c=10 则 Rt △ ABC的面积是 =________。

6、如果直角三角形的两直角边长分别为 n 2 1， 2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）

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A 、2n B、 n+1 C、 n2－ 1 D 、 n 2 1

7、在 Rt△ ABC中， a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）

A. a2 b2 c2 B. a2 c2 b2 C. c2 b2 a2 D. 以上都有可能

8、已知 Rt △ ABC中，∠ C=90°，若 a+b=14cm， c=10cm，则 Rt△ ABC的面积是（ ）

A 、 24 cm 2 B、 36 cm2 C、 48 cm2 D、 60 cm2

9、已知 x、y 为正数，且│ x2-4 │ +（ y2-3 ）2=0，如果以 x、 y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角

三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）

A、5 B、25 C、 7 D、15

考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高

例、如图 1 所示，等腰 中， ， 是底边上的高，若 .

求 ① AD的长；② ABC的面积．

考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题

1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）

A. 4 ，5， 6 B. 2 ，3，4 C. 11 ，12，13 D. 8 ， 15，17

2、若线段 a， b，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ）

A 、 2∶3∶4 B、3∶4∶6 C 、 5∶12∶ 13 D 、 4∶6∶7

3、下面的三角形中：

①△ ABC中，∠ C=∠ A－∠ B； ②△ ABC中，∠ A：∠ B：∠ C=1： 2： 3； ③△ ABC中， a： b： c=3： 4： 5；

④△ ABC中，三边长分别为 8， 15， 17．其中是直角三角形的个数有（ ）．

A．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

4、若三角形的三边之比为 2 1 :1 ，则这个三角形一定是（ ） :

2

2

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 不等边三角形

5、已知 a， b， c 为△ ABC三边，且满足 (a 2－ b2)(a 2+b2－ c2) ＝ 0，则它的形状为（ ）