双曲线及其标准方程设计

第二单元 双曲线

一、内容和内容解析

（一）内容

双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质

本单元内容结构图如下：

（二）内容解析

1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题.

2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比.

3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用. 4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.

5.教学重点： 解析法研究双曲线的几何特征与性质

二、目标及其解析

（一）单元目标

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．

2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．

3．了解双曲线的简单应用．

4．理解数形结合思想．

（二）目标解析

达成上述目标的标志是:

1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程．

2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质．

3．能解决与双曲线有关的简单应用问题．

三、教学问题诊断分析

3.2.1双曲线及其标准方程

教学设计

本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第二节《双曲线》。以下是本节的课时安排：

第三章 圆锥曲线的方程

课时内容 3.2.1双曲线及其标准方程 3.2.2双曲线的简单几何性质

所在位置 教材第118页 教材第121页

新教材

内容

分析 双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义，感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何性质做好铺垫。 通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。

核心素养培养 通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对双曲线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。 通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。

教学主线 双曲线的标准方程、几何性质

学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,培养数学抽象的核心素养．

2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.

重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程

难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题

（一）新知导入

双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。

（二）双曲线及其标准方程

知识点一 双曲线的定义

【探究1】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？

百度文库

1 《双曲线及其标准方程》教学设计

贵阳39中 李明

新课程教学,更强调学生的主体性,突出学生的主体性,采用“合作、自主、探究”的学习,又要还给学生更大的自主学习空间。所以如何充分利用课堂时间,调动学生的积极性,提高课堂效益是数学教师面临的一个重要问题。我想从我自己的实践来谈谈如何设计一节课，使我的教学更适应时代的发展，使我的课堂更加有效。

双曲线及其标准方程教案

教学目标

知识目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。

能力目标：通过与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学生类比、分析、归纳、推理等能力和善于寻找数学规律的能力。

德育目标：在类比探究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣及培养学生认真参与积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。

重点：双曲线的定义及其标方程和简单应用。

难点：对双曲线定义的理解，正确运用双曲线定义推导方程。

教学过程：

一.复习提问，引入新课。

问题1.椭圆的定义是什么？

问题2.椭圆的标准方程是怎样的？cba、、关系如何？ 百度文库

2 1 F 2 F

M 问题3. 类比，联想

如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？

师：（多媒体演示动点轨迹）。

探究：通过上面的实验，回答下面问题：

问题1：随着M点的移动，|MF1|与|MF2|之间的差是常数吗？为什么？

问题2：|MF1|与|MF2|哪一个大？

问题3：这个常数可以大于或等于

21FF 吗？理由呢？

问题4：你能概括双曲线的定义吗？

二.形成概念，推导方程。

师：双曲线上的点应满足的条件是什么？

生：常数21MFMF（小于21FF）。

师：类比椭圆的定义，请同学概括双曲线的定义。

1.双曲线的定义。（投影）分析讨论双曲线的定义中关键词和条件：

师：定义中的“平面内”，“绝对值”等条件去掉，能否表示双曲线？

课题:2.3.1双曲线的标准方程

【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用

【教学难点】: 双曲线标准方程的推导

一.情境设置

(1)复习提问：(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)

问题 1：椭圆的定义是什么？ 问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？

问题3：如果把上述椭圆改在双曲线呢？

(2)探究新知:

1.双曲线的标准方程

现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）（1）建系(2) 设点（3）列式（4）化简方程

学生得到: 双曲线的标准方程:

思考: 双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么?

注:(1)双曲线的标准方程的特点：

①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：12222byax(0a,0b)；

焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：12222bxay(0a,0b)

②cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba

其中a与b的大小关系:可以为bababa,,

(2).焦点的位置判断:

三.数学应用

例1已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21FF，，双曲线上一点P到21FF，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程

变式1:若|PF1|-|PF2|=6呢？

变式2:若||PF1|-|PF2||=8呢？

变式3:若||PF1|-|PF2||=10呢？

例2求适合下列条件的双曲线的标准方程

（1）3,4,abx焦点在轴上；（2）25,25aAy经过点（，），焦点在轴上；

四.课堂小结:

双曲线的两类标准方程是)0,0(12222babyax焦点在x轴上，)0,0(12222babxay焦点在y轴上,cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba 其中a与b的大小关系:可以为bababa,,