初中数学竞赛辅导资料15
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初中数学竞赛辅导资料15
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第十五课最大公约数及最小公倍数的认识
例1对自然数α、b有5400α=b2，问α最小为多少？
解：∵5400=23×33×52，要使5400α为平方数，只需将各质因数的奇指数变为偶指数即可，又因5400α>0，故最小的α=2×3=6。
例2 将14、33、35、30、75、39、143、169八个数平均分成两组，使两组数的乘积相等，应怎样分？
解：∵14=2×7，33=3×11，35=5×7，30=2×3×5，75=3×5×5，39=3×13，
143=11×13，169=132。
∴其中含质因数3、5、13各4个，含2、7、11各2个，要使其积相等，应将质因数平分，故每组应有3、5、13各两个，2、7、11各一个。
分法为：75、14、169、33为一组，35、30、143、39为一另组。
n个数公有的约数叫做这n个数的公约数，其中最大的一个公约数叫做这n个数的最大公约数。
α、b的最大公约数记为（α，b）
n个数公有的倍数叫做这n个数的公倍数，其中最小的一个公倍数叫做这n个数的最小公倍数。
α、b的最小公倍数记为[α，b]
有如下结论：
1、（α，b）|α，（α，b）| b，α|[α，b]，b|[α，b]
2、对任意自然数n有[α，b] nαb
3、αb=（α，b）[α，b]
例3求1302和12090的最大公约数与最小公倍数。
解：∵1302=2×3×7×31，12090=2×3×5×13×31
∴（1302，12090）=2×3×31=186，[1302，12090]=2×3×5×7×13×31=84630
例4甲每4天去图书馆一次，乙每6天去一次，丙每8天去一次，如果7月10日三人同时去图书馆，问下一次三人同去是几月几日。
解：∵[4，6，8]=24，故下次同去是8月3日
例5（第二届华罗庚金杯赛决赛试题）在一根长木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍十等分，第二种刻度线将木棍十二等分，第三种刻度线将木棍十五等分，如果沿每条刻度线将木棍锯断，问总共可锯成多少段？
解：不计端点，三种刻度线应有10-1+12-1+15-1=34个人点。
又∵（10，12）=2，（10，15）=5，（12，15）=3，
∴重复计算的点有2-1+5-1+3-1=7个，于是木棍内部共有34-7=27个刻度点。
所以可将木棍锯成28段。
例6求19941994+19941996与1994×1995的最大公约数。
解：∵19941994+19941996=19941994（1+1994）=19941994×1995=1994×1995×19941993
∴所求最大公约数是1994×1995
练习
1、39270是三个连续自然数之积，求此三数。
2、某数是5个2，3个3，2个5，1个7的乘积，这个数中的约数中，最大的一个两位数是什么？
3、将10、21、22、26、39、66、70、91、110这9个数分成三组，每组3个数，使这初中数学竞赛辅导资料15
第 2 页 共 2 页 三组的乘积相等，应如何分？
4、把长105㎝，宽75㎝的长方形纸板剪成同样大的正方形纸板而无剩余，要使剪得的正方形最大，可剪多少块？
5、分母为1011的最简真分数有多少个？
6、（89年天府杯初91级邀请赛试题）某市举办初中数学竞赛，按实际参赛人数统一编考场，若每个考场编25人，最后一个考场少12人，若每个考场编24人最后一个考场也不12人，若每个考场编26人，最一个考场还是少12人，又知该市共有600个初中班，人数最多的班为55人，最少的班为45，求这个市参加这次数学竞赛的实际人数。
答案与提示
1、39270=2×3×5×7×11×17=33×34×35
2、96
3、10、66、91为一组，21、26、110为一组，22、39、70为一组。
4、35块
5、1001=7×11×13×，从1到1001中有7、11、13的倍数分别是143、91、77个，有7与11的公倍数13个，7与13的公倍数11个，11与13的公倍数7个，7、11与13的公倍数1个，故分母为1001的最简真分数为1001-143-91+13+11+7-1=720个。
6、∵[24，25，26]=7800，∴总人数x+12=k×7800（k为正整数）
又由45×600≤x≤55×600，得27000≤k·7800-12≤33000
∴3.46≤k≤4.23，∴k=4，即x=4×7800-12=31188（人）
