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初中数学竞赛辅导资料全

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1 / 21 第一篇 一元一次方程的讨论

第一部分 基本方法

1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。

例如：方程 2x＋6＝0， x（x－1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解

分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。

2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，

讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x=ab；

当a=0且b≠0时，无解；

当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）

3. 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解

当a｜b时，方程有整数解；

当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解；

当a、b同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b

第二部分 典例精析

例1 a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2) ①有唯一的解？②无解？

③有无数多解？④是正数解？

2 / 21 例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？

例3 己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a 无解。问a和b应满足什么关系？

例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？

第三部分 典题精练 3 / 21 1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：

① (x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9， ④|x|=－3,

⑤3x+1=3x－1, ⑥x+2=2+x

2. 关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________

3. 在方程a(a－3)x=a中，

当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a＿＿＿时无解；

当a＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a＿＿＿＿时,解是负数。

4.k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？

① x=k4 ②x=16k ③x=kk32 ④x=123kk

5. k取什么值时，方程x－k=6x的解是 ①正数？ ②是非负数？

6. m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解 ①是零？ ②是正数？

7. 己知方程221463ax的根是正数，那么a、b应满足什么关系？ 4 / 21

8. m取什么整数值时，方程mmx321)13(的解是整数?

9. 己知方程axxb231)1(2有无数多解，求a、b的值。

第二篇 二元一次方程的整数解 5 / 21 第一部分 基本方法

1. 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，

若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即

如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x－2y=7, 9x+3y=6都有整数解。

返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x－2y=1都没有整数解，

∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。

一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。

2. 二元一次方程整数解的求法：

若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。

方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解

解：x=5111y=yyyy2515101 (1) ,

设kky(51是整数），则y=1－5k (2) ,

把（2）代入（1）得x=k－2 (1－5k)=11k－2

∴原方程所有的整数解是kykx51211（k是整数）

方法二，公式法：

设ax+by=c有整数解00yyxx则通解是akyybkxx00（x0,y0可用观察法）

1， 求二元一次方程的正整数解：

① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值

② 用观察法直接写出。

第二部分 典例精析

例1求方程5x－9y=18整数解的能通解 6 / 21

例2求方程5x+6y=100的正整数解

例3甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？

第三部分 典题精练

1. 求下列方程的整数解

①公式法：x+7y=4, 5x－11y=3②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4 7 / 21

2. 求方程的正整数解：①5x+7y=87,②5x+3y=110

3. 一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？

4. 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。

5. 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号）

③ 4x＋2y=11, ②10x－5y=70, ③9x+3y=111,

④18x－9y=98, ⑤91x－13y=169, ⑥120x+121y=324.

6. 一试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学8 / 21 得48分，他最多得几分？

7. 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：

y= 1 4 －2

x=371y

第三篇 二元一次方程组解的讨论

第一部分 基本方法

1. 二元一次方程组222111cybxacybxa的解的情况有以下三种： 9 / 21 ① 当212121ccbbaa时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）

② 当212121ccbbaa时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）

③ 当2121bbaa（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：

1221211212211221babaacacybababcbcx （这个解可用加减消元法求得）

2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。

3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）

第二部分 典例精析

例1. 选择一组a,c值使方程组cyaxyx275

例2. a取什么值时，方程组3135yxayx 的解是正数？

10 / 21

例3. m取何整数值时，方程组1442yxmyx的解x和y都是整数？

例4.（古代问题）用100枚铜板买桃，，榄橄共100粒，己知桃，每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，，榄橄各买几粒？

第三部分 典题精练

1. 不解方程组，判定下列方程组解的情况：

①

96332yxyx ②32432yxyx ③153153yxyx

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初中数学竞赛辅导资料(70)_2

初中数学竞赛辅导资料(70)_2

初中数学竞赛辅导资料(70)

正整数简单性质的复习

甲. 连续正整数

一. n位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90

个，三位数从100到999共9×102个，那么 n位数的个数共__________.

(n是正整数)

练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数

码＿＿＿个.

2.　由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位

数；

100110021003……19881989是_______位数.

3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n位数有_______

个.

4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；

从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.

二. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×.

把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数的连续数

的和.

练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.

6. 1+3+5+……+99=____________.

7. 5+10+15+……+100=_________.

8. 1+4+7+……+100=____________.

9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______

10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是

______________________.

11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是

__________________________.

三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和

整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+

(4+5)=9×5=45；

1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+

(49+50)+1=18×50+1=901.

练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.

初中化学竞赛辅导资料4

初中化学竞赛辅导资料4

初中化学竞赛辅导资料------初中基本计算

A组

i．人体的血红蛋白是一种含铁的蛋白质大分子，它的相对分子质量为64500，每个血红蛋白分子中有4个铁原子，若某正常成年男子每100mL血液中血红蛋白为14g，血量为4500mL，则他血液中所含铁元素的质量约为

A 1g B 2.2g C 15.6g D 220.5g

ii．在19世纪化学家对氧化锆的化学式有争议。经测定，锆的相对原子质量为91，其氯化物的相对分子质量是233。若氧化锆中锆的化合价与氯化物中的相同，试判断氧化锆的化学式是

A ZrO2 B Zr2O C Zr2O3 D ZrO

iii．把一体积浓硫酸加入一体积水中稀释，稀释后溶液的质量分数为a%，它与原浓硫酸的质量分数b%之间的关系是

A b＜2a B b＞2a C b＝2a D 无法确定

iv．98%的H2SO4溶液与49%的H2SO4溶液中含氢元素的质量分数

A 前者大 B 前者小 C 两者相等 D 不能确定

v．甲醇的分子式是CH4O，有毒，可致人失明，服用多会致死。某甲醇水溶液中甲醇所含氢原子数与水所含氢原子数相等，则该溶液中甲醇的质量分数为

A 64% B 50% C 47% D．36%

vi．已知(NH4)2SO4和(NH4)2HPO4组成的混和物中含氮为21.2%，则含氧约为

A 42.4% B 48.5% C 81% D 无法确定

vii．测得人尿中含氮0.93%。假如这些氮都以尿素形式存在，则人尿中含尿素的质量分数为［尿素：CO(NH2)2］

A 3% B 2% C 1% D 0.2%

viii．在AB＋CD＝AD＋CB中，50g AB和20g CD恰好完全反应生成10g AD。若10g AB和10g CD反应，生成CB的质量是

初中数学竞赛辅导资料分式

初中数学竞赛辅导资料分式

57 初中数学竞赛辅导 分式

例题 例1．x取什么值时，分式xxxx23222的值是零？是正数？是负数？

解： xxxx23222＝)2()3)(1xxxx（

以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图）

当x=－1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零；

当x<－2, －13时，分式的值是正数（∵负因数的个数是偶数）

当－2

例2．m取什么值时，分式172mm的值是正整数？

解：172mm＝1922mm＝2＋19m

19m＞－2且m－1是9的约数时，分式的值是正整数

即m－1＝1，3，9，－9 解得m=2,4,10,－8。 答：（略）

当例3．计算14xx＋32xx－12xx－34xx

解：用带余除法得，原式＝1＋13x＋1＋31x－1－13x－1－31x

＝)1)(1()1(3)1(3xxxx＋)3)(3()3()3(xxxx

＝162x－＋962x＝)9)(1(4822xx

4．已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5 求①a∶b∶c ②bccaba22

解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加

得2（a+b+c）=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式

得a=2k, b=k, c=3k 3 0

-1 -2 58 ∴①a∶b∶c =2∶1∶3 ②bccaba22＝kkkkkk3)3(2)2(22＋＝61

例5．一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为最大值呢？

解：设这个两位数为10x+y，那么0＜x≤9, 0≤y≤9

yxyx10＝1＋yxx9

当x取最小值1，y取最大值9时，分式yxx9的值最小；当x取最大值9，y取最小值0时，分式yxx9的值最大。

初中数学竞赛全辅导第十一讲 双曲线

初中数学竞赛全辅导第十一讲 双曲线

第1页（共9页）

2．双曲线图象上的点是关于原点O成中心对称，在k>0时函数的图象关于直线xy轴对称；在k<0时函数的图象关于直线xy轴对称．

3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴．

【例题求解】

【例1】 已知反比例函数xky的图象与直线xy2和1xy过同一点，则当0x时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而 (填增大或减小)．

思路点拨 确定k的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可．

注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点O中心称，关于xy轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性．

(2)一个常用命题：

如图，设点A是反比例函数xky(0k)的图象上一点，过A作AB⊥x轴于B，过A作AC⊥y轴于C，则

①S△AOB=k21；

②S矩形OBAC=k．

【例2】 如图，正比例函数kxy (0k)与反比例函数xy1的图象相交于A、C两点，过A作AB⊥x轴第2页（共9页） 于B，连结BC，若S△ABC的面积为S，则( )

A．S=1 B．S =2 C．S=k D．S=2k

思路点拨 运用双曲线的对称性，导出S△AOB与S△OBC的关系．

【例3】 如图，已知一次函数8xy和反比例函数xky(0k)的图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．

(1)求实数k的取值范围；

(2)若△AOB面积S＝24，求k的值．

(2003年荆门市中考题)

思路点拨 (1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解；

(2)S△AOB= S△COB S- S△COA，建立k的方程．

【例4】 如图，直线221xy分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴于B，S△ABP=9．