材料力学：压杆稳定

9-1(9-2) 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？

解：对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与 成反比，此处， 为与约束情况有关的长度系数。

（a） =1×5=5m

（b） =0.7×7=4.9m

（c） =0.5×9=4.5m

（d） =2×2=4m

（e） =1×8=8m

（f） =0.7×5=3.5m

故图e所示杆 最小，图f所示杆 最大。

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9-2(9-5) 长5m的10号工字钢，在温度为 时安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数 。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定？

解：

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9-3(9-6) 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力 的算式。

解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：

（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：

（b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳

失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。

（c）两根立柱一起作为下端固定而上端

自由的体系在面外失稳

故面外失稳时 最小

= 。

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9-4(9-7) 图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在点B铰支，而在点A和点C固定，D为铰接点， 。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。

解：杆DB为两端铰支 ，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取 。此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故

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9-5(9-9) 下端固定、上端铰支、长 m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力 ，试求压杆的许可荷载。 解：

材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力

材料力学是研究物体受力及变形行为的一门学科。压杆稳定是材料力学中重要的概念之一、当一个杆件受到作用力时，如果杆件不发生任何形状上的变化，我们称之为杆件处于稳定状态。然而，当作用力超过一定临界值时，杆件就会发生失稳，产生形状上的变化。因此，欧拉公式就是用来计算杆件临界力的一种方式。

欧拉公式由瑞士数学家欧拉于18世纪中叶首次提出。它的基本假设是杆件是理想化的，即杆件是均匀、无缺陷、具有均匀截面的杆件。根据欧拉公式，杆件临界力可通过以下公式计算：

Pcr = (π^2 * E * I) / L^2

其中，Pcr表示临界力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆件的有效长度。

从上述公式中可以看出，临界力与材料的弹性模量有关，即材料越硬，临界力越大；同时临界力与截面的形状也有关，即截面惯性矩越大，临界力越大；临界力还与杆件长度有关，即杆件越短，临界力越大。

例子：

假设有一根长为L的无缺陷的圆柱形杆件，其截面半径为r，杨氏模量为E。根据材料力学的知识，该圆柱形杆件的截面惯性矩可计算为I=(π*r^4)/4

Pcr = (π^2 * E * ((π * r^4) / 4) ) / L^2 通过上述公式，可以计算出该无缺陷的圆柱形杆件的临界力。这个临界力表示了该杆件能够承受的最大作用力。如果作用力超过了临界力，该杆件将发生失稳，产生形状上的变化。

总结起来，材料力学中的压杆稳定概念是指杆件在受力作用下不发生形状上的变化。欧拉公式是用来计算杆件临界力的一种常用公式，可以帮助工程师们确定杆件的最大承载能力。

第九章 压杆稳定

- 1 -（共6页） 第九章 压杆稳定

§9—1 概述

短粗压杆——AFNmax（保证具有足够的强度）

细长压杆——需考虑稳定性。

一、压杆稳定性的概念：

在外力作用下，压杆保持原有直线平衡状态的能力。

二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：

三、临界的平衡状态：给干扰力时，在干扰力给定的位置上平衡；无干扰力时，在原有的直线状态上平衡。

（它是稳定与不稳定的转折点）。

压杆的临界压力:Fcr（ 稳定平衡的极限荷载）

四、判断压杆稳定的标志——Fcr

稳定的平衡状态——crFF

临界的平衡状态——crFF

不稳定的平衡状态（失稳）——crFF

§9—2 两端铰支细长压杆的临界力

假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，如图，从挠曲线入手，求临界力。

①、弯矩：wFxMcr)(

②、挠曲线近似微分方程：wFxMwEIcr)( 即，0wEIFwcr

令 EIFkcr2 02wkw

③、微分方程的解：kxBkxAwcossin

④、确定微分方程常数：0)()0(Lww)sin(.0sin0,BkxwkL

nKl（n=0、1、2、3……）EIFLnkcr 222LEInFcr

临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。

2min2crF LEI

§9—3 其它支承下细长压杆的临界力

2min2)(lEIFcr——临界力的欧拉公式（μ——长度系数，L——实际长度，μL——相当长度）

公式的应用条件：1、理想压杆；2、线弹性范围内； 第九章 压杆稳定

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【例】：试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。

解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：0)(mwFxMwEIcr

EIFkcr2:令

1 第10章 压杆稳定

学习目标：

1．了解失稳的概念、压杆稳定条件及其实用计算；

2．理解压杆的临界应力总图；

3．掌握用欧拉公司计算压杆的临界荷载与临界应力。

对承受轴向压力的细长杆，杆内的应力在没有达到材料的许用应力时，就可能在任意外界的扰动下发生突然弯曲甚至导致破坏，致使杆件或由之组成的结构丧失正常功能，此时杆件的破坏不是由于强度不够引起的，这类问题就是压杆稳定问题。本章主要从压杆稳定的基本概念、不同支撑条件下的临界力、欧拉公式的适用条件以及提高压杆稳定性的措施方面加以介绍。

第一节 压杆稳定的概念

在研究受压直杆时，往往认为破坏原因是由于强度不够造成的，即当横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆才会发生破坏。实验表明对于粗而短的压杆是正确的；但对于细长的压杆，情况并非如此。细长压杆的破坏并不是由于强度不够，而是由于杆件丧失了保持直线平衡状态的稳定性造成的。这类破坏称为压杆丧失稳定性破坏，简称失稳。

一、问题的提出

工程结构中的压杆如果失稳，往往会引起严重的事故。例如1907年加拿大魁北克圣劳伦斯河上长达548m的大铁桥，在施工时由于两根压杆失稳而引起倒塌，造成数十人死亡。1909年，汉堡一个大型储气罐由于其支架中的一根压杆失稳而引起的倒塌。

这种细长压杆突然破坏，就其性质而言，与强度问题完全不同，杆件招致丧失稳定破坏的压力比招致强度不足破坏的压力要少得多，同时其失稳破坏是突然性，必须防范在先。因而，对细长压杆必须进行稳定性的计算。

二、 平衡状态的稳定性 2 压杆受压后，杆件仍保持平衡的情况称为平衡状态。压杆受压失稳后，其变形仍保持在弹性范围内的称为弹性稳定问题。

如图110所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持直线形状。当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于稳定的平衡状态(如图)(110a所示)。当轴向压力达到某一值时，加干扰力杆件变弯，而撤除干扰力后，杆件在微弯状态下平衡，不再恢复到原来的直线状态(如图)(110b所示)，说明压杆处于不稳定的平衡状态，或称失稳。当轴向压力继续增加并超过一定值时，压杆会产生显著的弯曲变形甚至破坏。称这个使杆在微弯状态下平衡的轴向荷载为临界荷载，简称为临界力，并用crF表示。它是压杆保持直线平衡时能承受的最大压力。对于一个具体的压杆(材料、尺寸、约束等情况均已确定)来说，临界力crF是一个确定的数值。压杆的临界状态是一种随遇平衡状态，因此，根据杆件所受的实际压力是小于、大于该压杆的临界力，就能判定该压杆所处的平衡状态是稳定的还是不稳定的。