华东师大版七年级数学上《垂线》同步练习含答案

垂线【知能点分类训练】知能点1 垂线的概念、画法、性质1．判断：（1）若直线AB⊥CD，那么∠ABC=90；（）（2）两条直线相交，如果对顶角的和是180°，那么这两条直线互相垂直．（）（3）过直线上或直线外一点都能且只能画这条直线的一条垂线．（）2．如图1所示，OA⊥OC，∠1=∠2，则OB与OD的位置关系是_______．(1) (2)3．如果OC⊥AB于点O，自OC上任一点向AB作垂线，那么所画垂线必与OC重合，这是因为__________．4．定点P在直线AB外，动点O在直线AB上移动，当线段PO最短时，∠POA等于____°，这时线段PO所在的直线是AB的______，线段PO叫做直线AB的______；点P到直线AB•的距离就是线段_______．5．如图2所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=acm，BC=bcm，则线段BD•的长度的取值范围是______．6．P，Q分别是∠AOB的边OA，OB上的点，分别画出点P到OB的垂线段PM，点Q到OA•的垂线段QN，正确的图形是图中的（）．7．如图所示，在△ABC中，∠A为钝角．（1）画出点A到直线BC的垂线段；（2）画出点C到直线AB的垂线段；（3）画出点B到直线AC的垂线段．知能点2 生活中的实际问题8．如图3所示，AB⊥BC，BD⊥AC，垂足分别是B，D．（1）图中共有几个直角？它们是___________．（2）点C到AB所在直线的距离是线段________；点B到AC•所在直线的距离是线段________．(3) (4) (5) (6)9．如图4，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，则能表示点到直线（或线段）•的距离的线段有（）．A．1条 B．2条 C．4条 D．5条10．如图5所示，P为直线L外一点，A，B，C三点均在直线L上，并且PB⊥L，有下列说法：①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB的长度叫做点P到直线L的距离；•③线段AB的长度是点A到PB的距离；④线段AC的长度是点A到PC的距离．其中正确的有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【综合应用提高】11．P为直线L外一点，A，B，C三点均在直线L上，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P•到直线L的距离（）．A．为2cm B．大于2cm C．小于2cm D．不大于2cm12．如图6所示，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E．（1）图中互余的角共有几对？分别写出来．（2）比较线段AB，AC，AD，DE的长短关系，并说说其依据是什么．（3）从（2）中的长短关系，你发现了什么？13．如图7:（1）画出从点A到河边L的最短距离；（2）画出从点A经过点B到河边的最短路线．(7)【开放探索创新】14．已知∠ABC和∠CBD互为邻补角，∠CBD等于直角的12，过点B画AB的垂线BE．（1）画出示意图；（2）求直线BE和∠ABC的平分线所成的角的大小．【中考真题实战】15．（湖北）同一平面上的两条直线最多有______个交点，同一平面上的三条直线最多有______个交点，同一平面上的四条直线最多有_______个交点，同一平面上的n条直线最多有_______个交点．16．（玉林）将两个直角三角尺的顶点重合为图8中所示的位置，若∠AOD=110°，则∠BOC=_______．(8) (9)17．（黑龙江）已知正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B•两点均在小方格的顶点上，位置如图9所示，C点也在小方格的顶点上，并且以A，B，C，D•为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C点的个数为（）．A．3 B．4 C．5 D．6答案:1．（1）×（2）∨（3）∨点拨：（1）B点不一定是垂足；（2）因为对顶角相等，•所以每个角等于180°÷2=90°．2．垂直点拨：∵OA⊥OC，∴∠1+∠BOC=90°，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠BOC=90°，∴OB⊥OD．3．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直4．90 垂线垂线段 PO的长度5．bcm<BD<acm 点拨：垂线段最短．6．D7．如图所示．（1）线段AD；（2）线段CF；（3）线段BE．8．（1）3 ∠ADB，∠ABC，∠BDC（2）CB的长度 BD的长度（3）点A与点B 点A到BC所在直线9．D 点拨；能表示点到直线（或线段）的距离的线段有AB，CB，AD，BD，CD五条． 10．C 点拨：正确的说法有①，②，③．11．D 点拨：点P到直线L的距离是指垂线段的长度．如果点C为垂足，则点P•到直线L的距离为2cm；如果点C不是垂足，则点P到直线L的距离小于2cm．12．（1）图中互余的角共有9对，它们是（如图）∠A与∠B，∠A与∠1，∠A与∠2，∠1与∠3，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠B，∠4与∠B，∠1与∠4．（2）DE<AD<AC<AB，其依据是“垂线段最短”．（3）在直角三角形中，斜边大于直角边．13．图略．（1）过点A作AC⊥L，垂足为点C，AC即为所求．（2）连接AB，过点B作BD⊥L，垂足为点D，则折线ABBD即为所求．14．（1）如图所示．（2）如图，作∠ABC的平分线BF，∵BE⊥AB，∠CBD等于直角的12，∴∠CBD=∠EBC=12∠DBE=45°，∴∠ABC=180°-45°=135°．∵BF为∠ABC的平分线．∴∠CBF=12∠ABC=67．5°．∴∠EBF=∠CBF-∠EBC=67.5°-45°=22.5°．故直线BE和∠ABC的平分线所成的角为22.5°．15．1 3 6(1)2n n16．70°点拨：∵∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠AOC=∠AOD-∠COD=110°-90°=20°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-20°=70°． 17．D 点拨：6个点的位置如图所示．。

5.1.2垂线1.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是()A.相等B.互余C.互补D.互为对顶角2.如图,点A在直线BC外,AC⊥BC,垂足为C,AC=3,点P是直线BC上的一个动点,则AP的长不可能是()A.2.5B.3C.4D.53.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,∠BOD的度数是()A.60°B.120°C.60°或90°D.60°或120°4.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O,∠2=2∠1,那么∠2=________度,∠3=________度.5.如图所示,AO⊥OB于点O,∠AOB∶∠BOC=3∶2,则∠AOC=________度.6.如图,BD⊥AC于D,DE⊥BC于E,若DE=9cm,AB=12cm,不考虑点与点重合的情况,则线段BD的取值范围是________.7.如图所示,已知AO⊥OB于O,DO⊥OC于O,∠AOC=∠α,求∠BOD(用∠α表示).8.如图,CD⊥AB,垂足为D,AC⊥BC,垂足为C,线段AB,BC,CD的大小顺序如何?说明理由.参考答案:1.【解析】因为AB⊥CD,所以∠BOD=90°.又因为∠1+∠2+∠BOD=180°,所以∠1+∠2=90°,所以∠1与∠2互余.【答案】B2.A3.【解析】①如图1,当OC,OD在AB的同一侧时,因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.又因为∠AOC=30°,所以∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°;②如图2,当OC,OD在AB的两侧时,因为OC⊥OD,∠AOC=30°,所以∠AOD=60°,所以∠BOD=180°-∠AOD=120°.【答案】D4.【解析】因为AB⊥CD,所以∠2+∠1=90°.因为∠2=2∠1,所以2∠1+∠1=90°,所以∠1=30°,∠2=60°.因为∠1与∠3是对顶角,所以∠3=∠1=30°.【答案】60305.【解析】因为AO⊥OB,所以∠AOB=90°.又因为∠AOB∶∠BOC=3∶2,所以∠BOC=60°,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°.【答案】1506.【解析】因为BD⊥AC,所以AB>BD,因为AB=12cm,所以BD<12cm.又因为DE⊥BC,所以BD>DE.因为DE=9cm,所以BD>9cm,所以9cm<BD<12cm.【答案】9cm<BD<12cm7.解：因为OA⊥OB于O,所以∠AOC+∠BOC=90°.因为∠AOC=∠α,所以∠BOC=90°-∠α.又因为OC⊥OD于O,所以∠COD=90°.因为∠BOD=∠COD+∠BOC,所以∠BOD=90°+90°-∠α=180°-∠α.8.解：AB>BC>CD.理由:因为CD⊥AB,垂足为D,所以BC>CD.因为AC⊥BC,垂足为C,所以AB>BC.所以AB>BC>CD.。

垂线(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是( )A.相等B.互余C.互补D.互为对顶角2.如图,点A在直线BC外,AC⊥BC,垂足为C,AC=3,点P是直线BC上的一个动点,则AP的长不可能是( )A.2.5B.3C.4D.53.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,∠BOD的度数是( )A.60°B.120°C.60°或90°D.60°或120°二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O,∠2=2∠1,那么∠2=________度,∠3=________度.5.如图所示,AO⊥OB于点O,∠AOB∶∠BOC=3∶2,则∠AOC=________度.6.如图,BD⊥AC于D,DE⊥BC于E,若DE=9cm,AB=12cm,不考虑点与点重合的情况,则线段BD的取值范围是________.三、解答题(共26分)7.(8分)如图所示,已知AO⊥OB于O,DO⊥OC于O,∠AOC=∠α,求∠BOD(用∠α表示).8.(8分)如图,CD⊥AB,垂足为D,AC⊥BC,垂足为C,线段AB,BC,CD的大小顺序如何?说明理由.【拓展延伸】9.(10分)一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的学校,如图所示.(1)汽车在公路上行驶时,会对两个学校的教学都造成影响,当汽车行驶到何处时,分别对两个学校的影响最大?在图上标出来.(2)当汽车从A向B行驶时,在哪一段上对两个学校的影响越来越大?哪一段上对M学校的影响逐渐减小,而对N学校的影响逐渐增大?答案解析1.【解析】选 B.因为AB⊥CD,所以∠BOD=90°.又因为∠1+∠2+∠BOD=180°,所以∠1+∠2=90°,所以∠1与∠2互余.2.【解析】选A.当P和C重合时,AP=3;当P和C不重合时,AP>3.根据垂线段最短,可知AP的长不可小于3.【变式训练】点P为直线l外一点,点A,B,C为直线l上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线l的距离为( )A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm【解析】选D.由题意知,PC<PA<PB,但PC不一定垂直于直线l,由“垂线段最短”知,点P到直线l的距离不大于2cm.3.【解析】选D.①如图1,当OC,OD在AB的同一侧时,因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.又因为∠AOC=30°,所以∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°;②如图2,当OC,OD在AB的两侧时,因为OC⊥OD,∠AOC=30°,所以∠AOD=60°,所以∠BOD=180°-∠AOD=120°.4.【解析】因为AB⊥CD,所以∠2+∠1=90°.因为∠2=2∠1,所以2∠1+∠1=90°,所以∠1=30°,∠2=60°.因为∠1与∠3是对顶角,所以∠3=∠1=30°.答案：60 305.【解析】因为AO⊥OB,所以∠AOB=90°.又因为∠AOB∶∠BOC=3∶2,所以∠BOC=60°,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°.答案：1506.【解析】因为BD⊥AC,所以AB>BD,因为AB=12cm,所以BD<12cm.又因为DE⊥BC,所以BD>DE.因为DE=9cm,所以BD>9cm,所以9cm<BD<12cm.答案：9cm<BD<12cm7.【解析】因为OA⊥OB于O,所以∠AOC+∠BOC=90°.因为∠AOC=∠α,所以∠BOC=90°-∠α.又因为OC⊥OD于O,所以∠COD=90°.因为∠BOD=∠COD+∠BOC,所以∠BOD=90°+90°-∠α=180°-∠α.8.【解析】AB>BC>CD.理由是:因为CD⊥AB,垂足为D,所以BC>CD.因为AC⊥BC,垂足为C,所以AB>B C.所以AB>BC>CD.9.【解析】(1)如图,作MC⊥AB于点C,ND⊥AB于点D,根据垂线段最短,所以在点C处对M学校的影响最大,在点D处对N学校的影响最大.(2)由A向点C行驶时,对两个学校的影响逐渐增大;由点C向点D行驶时,对M学校的影响逐渐减小,对N学校的影响逐渐增大.文末学习倡导书：学习不是三天打鱼，两天晒网。

5.1.2垂线1.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是( )A.相等B.互余C.互补D.互为对顶角2.如图,点A在直线BC外,AC⊥BC,垂足为C,AC=3,点P是直线BC上的一个动点,则AP的长不可能是( )A.2.5B.3C.4D.53.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,∠BOD的度数是( )A.60°B.120°C.60°或90°D.60°或120°4.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O,∠2=2∠1,那么∠2=________度,∠3=________度.5.如图所示,AO⊥OB于点O,∠AOB∶∠BOC=3∶2,则∠AOC=________度.6.如图,BD⊥AC于D,DE⊥BC于E,若DE=9cm,AB=12cm,不考虑点与点重合的情况,则线段BD的取值范围是________.7.如图所示,已知AO⊥OB于O,DO⊥OC于O,∠AOC=∠α,求∠BOD(用∠α表示).8.如图,CD⊥AB,垂足为D,AC⊥BC,垂足为C,线段AB,BC,CD的大小顺序如何?说明理由.参考答案:1.【解析】因为AB⊥CD,所以∠BOD=90°.又因为∠1+∠2+∠BOD=180°,所以∠1+∠2=90°,所以∠1与∠2互余. 【答案】B2.A3.【解析】①如图1,当OC,OD在AB的同一侧时,因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.又因为∠AOC=30°,所以∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°;②如图2,当OC,OD在AB的两侧时,因为OC⊥OD,∠AOC=30°,所以∠AOD=60°,所以∠BOD=180°-∠AOD=120°.【答案】D4.【解析】因为AB⊥CD,所以∠2+∠1=90°.因为∠2=2∠1,所以2∠1+∠1=90°,所以∠1=30°,∠2=60°.因为∠1与∠3是对顶角,所以∠3=∠1=30°.【答案】60 305.【解析】因为AO⊥OB,所以∠AOB=90°.又因为∠AOB∶∠BOC=3∶2,所以∠BOC=60°,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°.【答案】1506.【解析】因为BD⊥AC,所以AB>BD,因为AB=12cm,所以BD<12cm.又因为DE⊥BC,所以BD>DE.因为DE=9cm,所以BD>9cm,所以9cm<BD<12cm.【答案】9cm<BD<12cm7.解：因为OA⊥OB于O,所以∠AOC+∠BOC=90°.因为∠AOC=∠α,所以∠BOC=90°-∠α.又因为OC⊥OD于O,所以∠COD=90°.因为∠BOD=∠COD+∠BOC,所以∠BOD=90°+90°-∠α=180°-∠α.8.解：AB>BC>CD.理由:因为CD⊥AB,垂足为D,所以BC>CD.因为AC⊥BC,垂足为C,所以AB>BC.所以AB>BC>CD.。

【牢固练习】一、选择题1．如图，直线 A B、CD订交于点O，OE、OF是过O的射线，此中组成对顶角的是( ) ．A．∠ AOF与∠ DOE B ．∠ EOF与∠ BOEC．∠ BOC与∠ AOD D ．∠ COF与∠ BOD2．以下说法正确的有( ) ．①由于∠ 1 与∠ 2 是对顶角，因此∠1＝∠ 2；②由于∠ 1 与∠ 2 是邻补角，因此∠1＝∠ 2；③由于∠ 1 和∠ 2 不是对顶角，因此∠1≠∠ 2；④由于∠ 1 和∠ 2 不是邻补角，因此∠1+∠2≠180°．A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个3．如图，直线 A B、CD订交于点O，OE⊥A B，OF⊥C D，那么图中与∠EOF 相等的角还有〔〕．A．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个4．如图，∠PQR＝138°， S Q⊥QR，Q T⊥PQ，那么∠SQT等于〔〕．A．42 ° B ．64° C ．48° D ．24 °5．〔2021 春? 大兴区期末〕如图，直线 A B、CD订交于点O，OE均分∠BOC，OF⊥OE于 O，假定∠AOD=70°，那么∠AOF等于〔〕A．35° B ．45°C．55°D．65°6．〔2021 春? 蠡县期末〕如图，点P 为直线m外一点，点P 到直线m上的三点A、B、C 的距离分别为PA=4cm，PB=6cm，PC=3cm，那么点P 到直线m的距离为〔〕A．3cm B ．小于3cmC．不大于3cm D．以上结论都不对二、填空题7．如图，三条直线a，b，c 交于一点，∠1，∠ 2，∠ 3 的大小次序是________ ．8．如图， A D⊥B D，B C⊥CD，A B＝a cm ，BC＝b cm ，那么BD的取值范围是________ ．9．如图，请你在表盘上画出时针与分针，使时针与分针恰巧相互垂直．(1) 时针和分针相互垂直的整点时辰分别为；(2) 一天24 小时，时针与分针相互垂直________ 次．10. 在同一平面内， OA⊥ MN， OB⊥ MN，所以OA， OB 在同一直线线上，理由是________________ ．11. 100 条直线两两订交于一点，那么共有对顶角〔不含平角〕_______ 对，邻补角________对.12 ．〔2021 春? 蒙城县期末〕如图，AC⊥BC 于点C，C D⊥AB 于点D，此中长度能表示点到直线〔或线段〕的距离的线段有条．三、解答题13. 〔2021 春? 高安市期中〕如图，直线AB、CD 订交于点O，OE 把∠ BOD分红两局部；〔1〕直接写出图中∠AOC的对顶角为，∠ BOE的邻补角为；〔2〕假定∠ AOC=70°，且∠BOE：∠ EOD=2：3，求∠AOE的度数．14 ．如图，A、O、B 三点在向来线上，∠AOC＝120 °， OD、OE分别是∠AOC，∠BOC的均分线．(1) 判断OD与OE的地点关系；(2) 当∠ AOC大小发生变化时，OD、OE 仍分别是∠AOC、∠ BOC的均分线，那么OD与OE的地点关系能否改变? 请说明原因．15 ．如图，AOB为一条在O 处拐弯的河，要修一条从乡村P 通向这条河的道路，此刻有两种设计方案：一是沿PM修路，二是沿PO修路．假如不考虑其余要素，这两种方案哪一个经济一些?它能否是最正确方案？假如不是，请你帮助设计出最正确的方案，并简要说明原因．【答案与分析】一、选择题1. 【答案】C；2. 【答案】B；【分析】只有①正确.3. 【答案】B；【分析】与∠EOF 相等的角还有：∠BOC，∠ AOD．4．【答案】A；【分析】∠PQS=138°－ 90°＝ 48°，∠SQT＝90°－ 48°＝42°．5. 【答案】C；【分析】解：∵∠B0C=∠AOD=70°，又∵ OE均分∠BOC，∴∠ BOE= ∠BOC=35°．∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°．∴∠AOF=180°﹣∠EOF﹣∠BOE=55°．应选C．6. 【答案】C．二、填空题7．【答案】∠1＞∠ 3＞∠ 2；【分析】∠1＝180°－ 60°－ 50°＝ 70°；∠2＝50°；∠1＝60°.8. 【答案】bcm＜B D＜a cm ；9．【答案】(1)3 时或9 时；(2)44 ；【分析】一天24 小时中时针转 2 圈，分针转24 圈，因此分针要超出时针的圈数是：24-2=22〔圈〕，分针每超出时针一圈，前后各有一次垂直，因此一天24 小时中分针与时针垂直的次数是：〔24-2 〕×2=22×2=44〔次〕．10 ．【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直；11 ．【答案】9900 ，19800 ；【分析】100 条直线两两订交，最多有100(1001)24950 个交点．每个交点处有两组对顶角， 4 对邻补角，故100 条直线订交于一点共有4950 ×2＝9900 〔对〕对顶角，有 4950 ×4＝19800 〔对〕邻补角.12. 【答案】 5.【分析】表示点C到直线AB的距离的线段为CD，表示点 B 到直线AC的距离的线段为 B C，表示点 A 到直线BC的距离的线段为 A C，表示点 A 到直线DC的距离的线段为 A D，表示点 B 到直线DC的距离的线段为 B D，共五条．三、解答题13. 【分析】解：〔1〕∠ AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；〔2〕∵∠DOE=∠AOC=70°，∠DOE=∠BOE+∠EOD及∠ BOE：∠ EOD=2：3，∴得，∴，∴∠BOE=28°，∴∠AOE=180°﹣∠ BOE=152°．14 ．【分析】解： (1)OD ⊥O E．(2) 不变，原因以下：∵OD ，OE分别是∠AOC，∠ BOC的均分线，∴∠COD＝12∠AOC，∠COE＝12∠COB．∴∠DOE＝12( ∠AOC+∠COB)＝12×180 °＝90°，∴OD ⊥OE．15 ．【分析】解：本题所给出的两种方案中，沿PO修路这类方案更经济一些，由于PO是OA 的垂线段，PM 是OA 的斜线段，依据垂线段最短可知，PO＜PM，但它仍不是最正确方案，最经济的方案应为沿以下列图的线段PN 修路．由于垂线段最短得知，线段PN 是 P 与OB上的各点的连线中最短的，PO是 P 与 OA上的各点的连线中最短的，即P N＜P O＜PM．因此沿线段PN 修路是最经济的方案．。

第5章相交线与平行线5.1 相交线2.垂线1．画一条线段的垂线，垂足在( )A.线段上B.线段端点上C.线段的延长线上D.以上都有可能2．[xx·北京]如图所示，点P到直线l的距离是( )A.线段PA的长度B.线段PB的长度C.线段PC的长度D.线段PD的长度第2题图3．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A、D，则图中能表示点到直线距离的线段共有( )第3题图A.2条B.3条C.4条D.5条4．两条直线相交所成的四个角中：(1)若四个角都相等时，则这两条直线的位置关系是________；(2)若有一组邻补角相等时，则这两条直线的位置关系是________．5．如图，已知直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，AB＝5 cm，则点A到BC的距离是线段________的长度，为________cm，点B到AC的距离是线段________的长度，为________cm.6．如图，在下列图形中，分别过点C作直线AB的垂线．7．[xx春·召陵区期中]如图所示，码头、火车站分别位于A、B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．8．如图，直线AB与CD相交于点O，O E⊥CD，O F⊥AB，∠D O F＝65°，求∠B O E和∠A O C 的度数．9．一辆汽车在直线型的公路MN上由M向N行驶，点A、B是分别位于公路MN两侧的两个村庄，如图．(1)汽车行驶到公路M N上点C位置时，距离A村最近；行驶到点D位置时，距离B村最近，请在图中分别画出点C、D的位置；(2)当汽车由M向N行驶的过程中，在公路的哪一段上距离A、B两村都越来越近？在哪一段上距离B 村越来越近，而距离A 村越来越远？(不必说明理由)10．[xx 春·林甸县期末]如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OM⊥A B. (1)若∠1＝∠2，求∠NO D 的度数；(2)若∠1＝13∠B O C ，求∠A O C 与∠MO D 的度数．11．[xx·揭西县期末]如图，AB 与CD 相交于O ，O E 平分∠A O C ，O F ⊥AB 于O ，O G ⊥O E 于O ，若∠B O D ＝40°，求∠A O E 和∠F O G 的度数．12．[xx 春·大石桥市校级期末]如图所示，直线AB 、CD 相交于点O ，O F 平分∠A O C ，E O⊥CD 于点O ，且∠D OF ＝160°，求∠B O E 的度数．参考答案1.D2.C3.D4.相互垂直相互垂直5. AC 3 BC 46.解：如答图所示．第6题答图7. 解：如答图所示：(1)沿AB走，两点之间线段最短；(2)沿AC走，垂线段最短；(3)沿BD走，垂线段最短．第7题答图8. 解：因为O E⊥CD，O F⊥AB，所以∠B O E＋∠D O B＝90°，∠D O B＋∠D O F＝90°，所以∠B O E＝∠D O F＝65°，∠D O B＝90°－∠D O F＝90°－65°＝25°.因为∠A O C与∠D O B是对顶角，所以∠A O C＝∠D O B＝25° .9. 解：(1)如答图，分别由A 、B 两点向MN 作垂线，垂足分别为C 、D 两点；第9题答图(2)汽车从M 向C 走时，离A 、B 两村都越来越近；在CD 上时离B 村越来越近，而离A 村越来越远．10.解：(1)∵OM⊥AB ，∴∠A OM ＝∠1＋∠A O C ＝90°. ∵∠1＝∠2，∴∠NO C ＝∠2＋∠A O C ＝90°，∴∠NO D ＝180°－∠NO C ＝180°－90°＝90°. (2)∵OM⊥AB ， ∴∠A OM ＝∠B OM ＝90°. ∵∠1＝13∠B O C ，∴∠B O C ＝∠1＋90°＝3∠1， 解得∠1＝45°，∴∠A O C ＝90°－∠1＝90°－45°＝45°， ∠MO D ＝180°－∠1＝180°－45°＝135°. 11. 解：∵∠B O D ＝40°， ∴∠A O C ＝∠B O D ＝40°. 又∵O E 平分∠A O C ，∴∠A O E ＝12∠A O C ＝20°，即∠A O E ＝20°.∵O F ⊥AB 于O ，O G ⊥O E ， ∴∠A O F ＝∠E O G ＝90°，∴∠F O G ＝∠A O E ＝20°(同角的余角相等)．12. 解：∵∠D O F＋∠C O F＝180°，∠D O F＝160°，∴∠C O F＝180°－∠D O F＝180°－160°＝20°.∵O F平分∠A O C，∴∠A O C＝2∠C O F＝40°，∴∠D O B＝∠A O C＝40°.∵E O⊥CD，∴∠D O E＝90°，∴∠B O E＝∠D O E＋∠D O B＝90°＋40°＝130°.欢迎您的下载，资料仅供参考！。

第五章相交线与平行线5.1.2垂线一．选择题（共8小题）1．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°2．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（）A．B． C．D．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE=54°，则∠AOC等于（）A．54°B．46°C．36°D．26°4．如图，AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠AOG的度数为（）A．56°B．59°C．60°D．62°A．60°B．50°C．40°D．30°6．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）A． 2.5 B．3 C．4 D．57．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短C．垂线段最短 D．两点确定一条直线8．下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（）A．B． C．D．二．填空题（共6小题）9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于_________ 度．10．如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为_________ °．11．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为_________ ．12．如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若α=52°，则β的度数是_________ 度．13．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_________ ．14．如图，AC⊥BC，且BC=5，AC=12，AB=13，则点A到BC的距离是_________ ，点B到点A的距离是_________ ．三．解答题（共8小题）15．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，若∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∠4=40°，求∠1的度数．16．如图，已知直线AE、CD相交于点O，且∠AOB=90°，∠BOC=28°，求∠DOE、∠AOD的度数．17．如图，直线EF，CD相交于点O，∠AOB=90°，且OD平分∠AOF，∠BOE=2∠AOE，求∠EOD的度数．18．如图，OD平分∠AOB，OE⊥OD，OE是∠BOC的平分线，为什么？19．如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，OE⊥OD．OE是∠BOC的平分线吗？为什么？20．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．21．∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？22．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，O为垂足，若∠AOD=138°，求∠BOC的度数．第五章相交线与平行线5.1.2垂线参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON﹣∠MOC 得出答案．解答：解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．故选：C．点评：本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．2．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（）A．B． C．D．考点：垂线．分析：根据题意画出图形即可．解答：解：根据题意可得图形，故选：C．点评：此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE=54°，则∠AOC等于（）A．54°B．46°C．36°D．26°考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：根据余角的定义、对顶角相等推知∠AOC=∠BOD=90°﹣∠BOE．解答：解：如图，∵OE⊥CD，∴∠DOE=90°．又∵∠BOE=54°，∴∠BOD=90°﹣∠BOE=36°，∴∠AOC=∠BOD=36°．故选C．点评：本题考查了垂线，对顶角、邻补角．解题时，注意挖掘出隐含在题中的已知条件：由垂直得直角．4．如图，AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠AOG的度数为（）A．56°B．59°C．60°D．62°考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：首先根据垂线定义可得∠AOD=90°，再根据∠AOF的度数，进而算出∠AOE的度数，再利用角平分线性质可得答案．解答：解：∵AB⊥CD，∴∠AOD=90°，∵∠FOD=28°，∴∠AOF=90°﹣28°=62°，∴∠AOE=180°﹣62°=118°，∵OG平分∠AOE，∴∠AOG=118°÷2=59°，故选：B．点评：此题主要考查了垂线，以及角平分线性质，余角、补角，关键是理清角之间的关系．5．如图，直线a，b及木条c在同一平面内，将木条c绕点O旋转到与直线a垂直时，其最小旋转角为（）A．60°B．50°C．40°D．30°考点：垂线．分析：当木条c绕点O旋转到与直线a垂直时，算出∠1的度数，再根据平角定义计算出∠2的度数即可．解答：解：如图所示：当木条c绕点O旋转到与直线a垂直时，∠1=180°﹣60°﹣90°=30°，则∠2=180°﹣30°﹣100°=50°，故选：B．点评：此题主要考查了垂线，关键是掌握两直线垂直时，夹角为90°．6．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）A． 2.5 B．3 C．4 D．5考点：垂线段最短．分析：利用垂线段最短分析．解答：解：已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，当P和C重合时，AP=3，故选：A．点评：本题主要考查了垂线段最短的性质．7．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短C．垂线段最短 D．两点确定一条直线考点：垂线段最短．专题：应用题．分析：此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．解答：解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．故选：C．点评：此题考查知识点垂线段最短．8．下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（）A．B． C．D．考点：点到直线的距离．分析：利用点到直线的距离的定义分析可知．解答：解：利用点到直线的距离的定义可知：线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是A图．故选：A．点评：本题考查了点到到直线的距离的定义．二．填空题（共6小题）9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于70 度．考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：根据对顶角相等求出∠AOC，根据垂直求出∠AOE，相减即可求出答案．解答：解：∵∠BOD=20°，∴∠AOC=∠BOD=20°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠COE=90°﹣20°=70°，故答案为：70．点评：本题考查了垂直定义，对顶角的应用，关键是求出∠AOE和∠AOC的大小．10．如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为45 °．考点：垂线；角平分线的定义．分析：根据垂线的定义可知，∠ABD的度数是90°，根据角平分线的定义，可求∠DBE的度数，再根据对顶角相等可求∠CBF的度数．解答：解：∵AB⊥CD，∴∠ABD=90°，∵EF平分∠ABD，∴∠DBE=45°，∴∠CBF=45°．故答案为：45．点评：考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等的性质．11．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为149°．考点：垂线．专题：计算题．分析：先根据垂直的定义求出∠ACE的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．解答：解：∵EF⊥AB于E，∠CEF=59°，∴∠ACE=90°﹣∠CEF=90°﹣59°=31°，∴∠AED=180°﹣∠ACE=180°﹣31°=149°．故答案为：149°．点评：本题考查了垂线的定义，求出∠ACE的度数是解题的关键．12．如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若α=52°，则β的度数是38 度．考点：垂线；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：先根据垂线的定义得出∠MON=90°，再根据α=52°得出∠NOF的度数，最后根据对顶角的定义即可求出β的度数．解答：解：∵OM⊥l1，∴∠MON=90°，∵∠α=52°，∴∠NOF=∠MON﹣∠α=90°﹣52°=38°，∵∠NOF与∠β是对顶角，∴∠NOF=∠β=38°．点评：本题考查的是垂线的定义及对顶角的性质，比较简单．13．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．考点：垂线段最短．专题：应用题．分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．解答：解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．点评：本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．14．如图，AC⊥BC，且BC=5，AC=12，AB=13，则点A到BC的距离是12 ，点B到点A的距离是13 ．考点：点到直线的距离；两点间的距离．专题：计算题．分析：点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度．解答：解：点A到直线BC的垂线段是AC，所以线段AC的长是点A到直线BC的距离，即点A到BC的距离是12；点B到点A的距离是线段AB的长，即点B到点A的距离是13．故填12，13．点评：本题考查了点到直线的距离的定义以及两点间的距离的定义，注意点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段．三．解答题（共8小题）15．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，若∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∠4=40°，求∠1的度数．考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：根据垂直的性质以及对顶角性质得出∠3+∠2=90°，进而求出∠1的度数．解答：解：∵∠4=40°，∴∠4=∠5=40°，∵AB⊥CD，∴∠BOC=90°，∴∠2+∠5=90°，∵∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠5=∠3=40°．点评：此题主要考查了垂线以及对顶角性质，得出∠1=∠5=∠3是解题关键．16．如图，已知直线AE、CD相交于点O，且∠AOB=90°，∠BOC=28°，求∠DOE、∠AOD的度数．考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：先求出∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=62°，再根据对顶角相等得出∠DOE=∠AOC=62°，然后根据邻补角定义求出∠AOD．解答：解：∵∠AOB=90°，∠BOC=28°，∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=62°，∴∠DOE=∠AOC=62°，∴∠AOD=180°﹣∠DOE=118°．点评：本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义，准确识图是解题的关键．17．如图，直线EF，CD相交于点O，∠AOB=90°，且OD平分∠AOF，∠BOE=2∠AOE，求∠EOD的度数．考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：利用垂线的定义，以及∠BOE=2∠AOE，得出∠AOE=30°，再利用角平分线的性质得出答案．解答：解：∵∠AOB=90°，∠BOE=2∠AOE，∴∠AOE=30°，∴∠AOF=150°，∵OD平分∠AOF，∴∠AOD=75°，∴∠EOD=105°．点评：此题主要考查了垂线的定义以及邻补角定义，得出∠AOE的度数是解题关键．18．如图，OD平分∠AOB，OE⊥OD，OE是∠BOC的平分线，为什么？考点：垂线；角平分线的定义．分析：首先根据角平分线的性质可得∠BOD=∠AOD，再根据平角的定义可得∠EOC+∠AOD=90°，进而可得∠COE=∠EOB，进而可得OE是∠BOC的平分线．解答：解：∵OD平分∠AOB，∴∠BOD=∠AOD=∠AOB，∵OE⊥OD，∴∠DOE=90°，∴∠EOB+∠BOD=90°，∵∠AOC=180°，∴∠EOC+∠AOD=90°，∴∠COE=∠EOB，∴OE是∠BOC的平分线．点评：此题主要考查了角平分线的定义，关键是掌握从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．19．如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，OE⊥OD．OE是∠BOC的平分线吗？为什么？考点：垂线；角平分线的定义．分析：OE是∠BOC的平分线．由于∠AOB是平角，OD是∠AOC的平分线，∠DOE=90°，易求∠COE+∠AOC=∠BOE+∠AOD，即∠COE=∠BOE．解答：解：OE是∠BOC的平分线，理由如下：∵OD是∠AOC的平分线，OE⊥OD，∴∠AOD=∠COD，∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∴∠COE+∠AOC=∠BOE+∠AOD，即∠COE=∠BOE．∴OE是∠BOC的平分线．点评：本题考查了角的计算．解题的关键是理解角平分线的定义．20．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．考点：垂线段最短．专题：应用题；作图题．分析：利用两点之间线段最短和垂线段最短即可解决问题．解答：解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB+BC最短．点评：本题考查数学原理在生活中的应用，利用线段及垂线段的性质即可解决问题．21．∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？考点：垂线；角平分线的定义．分析：根据垂线的定义，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得∠AOC的度数，根据角平分线的性质，可得∠COE、∠COF的度数，根据角的和差，可得答案．解答：解：由AO⊥BO，得∠AOB=90°，由角的和差，得∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．由OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，得∠COE=∠AOC=×150°=75°，∠COF=∠BOC=×60°=30°．由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣∠COF=75°﹣30°=45°．点评：本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角平分线的定义，角的和差．22．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，O为垂足，若∠AOD=138°，求∠BOC的度数．考点：垂线．分析：根据垂线的定义，可得∠AOC、∠BOD的度数，根据角的和差，可得∠COD的度数，根据角的和差，可得答案．解答：解：由OA⊥OB，OC⊥OD，O为垂足，得∠AOC=∠BOD=90°．由角的和差，得∠COD=∠AOD﹣∠AOC=138°﹣90°=48°，∠BOC=∠BOD﹣∠COD=90°﹣48°=42°．点评：本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角的和差．。

华师大新版七年级上学期《5.1.2 垂线》同步练习卷一．填空题（共50小题）1．如图，在一块直角三角板ABC中，AB＞AC的根据是．2．如图AO⊥CO，DO⊥BO．若∠AOD=136°，则∠BOC=．3．如图所示，OA⊥OB，∠BOC=34°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是．4．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，能表示点到直线的距离的线段有条．5．在△ABC中∠B=90°，BC=5，AB=12，AC=13，则点B到斜边AC的距离是．6．如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，则这两个角的度数分别为．7．在同一平面内，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠EOD=35°，则∠AOC的度数为．8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠COE=40°，则∠AOD等于度．9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE=45°，则∠AOD=．10．点A是直线l外的一点，点A到l的距离为10cm，P是l上任意一点，则PA 的最小值是cm．11．已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的3倍少60°，则∠COD的度数为12．如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD，如果∠1=35°，那么∠2的度数是．13．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为．14．如图，已知直线AB和CD相交于O点，OC⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的度数．15．如图，已知AO⊥BC于O，∠AOD=30°，那么∠DOC=°．16．如图，∠PQR=138°．SQ⊥QR于Q，QT⊥PQ于Q，则∠SQT等于．17．如图，直线AB，CD相交于O，OE⊥AB，O为垂足，∠COE=34°，则∠BOD=度．18．如图，AB⊥l1，AC⊥l2，垂足分别为B，A，则A点到直线l1的距离是线段的长度．19．直线AB与CD交于O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF=65°，则∠BOE的度数．20．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，其中AC=6，BC=8，AB=10，CD=4.8，那么点B到AC的距离是．21．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1=30°，则∠2=．22．如图，直线AB．CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD=38°，则∠AOC=度．23．如图，若∠BOC=44°，BO⊥DE，垂足为O，则∠AOD=度．24．如图，△ABC中，CD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是C、E，那么点C到线段AB 的距离是线段的长度．25．∠1的两边垂直于∠2的两边，且∠1比∠2的一倍少70°，则∠1的度数是．26．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则AB、AC、CD之间的大小关系是（用“＜”号连接起来）．27．如图，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是5：1，则∠DBA=．28．已知α、β的两边分别垂直，且2α+β=210°，则α=．29．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF=α，下列说法①∠AOC=α﹣90°；②∠EOB=180°﹣α；③∠AOF=360°﹣2α，其中正确的是．30．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD于O，且∠AOC=50°，则∠BOE等于．31．如图，△ABC中，AD⊥BC，且AB=5cm，BC=6cm，AD=3cm，则点C到线段AB的距离为cm．32．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=6，AB=8，AC=10，则点B到AC的距离是．33．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，如果AB=4，AC=3，AD=2.4，那么点C到直线AB 的距离为．34．如图，若OA⊥OB，OC⊥OD，且∠AOC：∠BOD=1：2，则∠BOD=°．35．已知：如图，CD⊥AB于D，直线EF过点D，∠1=30°，则∠FDB=，∠BDE=．36．如图，∠AOB=α，OA⊥OC，OB⊥OD，则∠COD=．37．如图，已知CD⊥AB，垂足为点O，若∠FOC=5∠COE，则∠AOF的度数为．38．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，如果∠FOD=28°，那么∠AOG=度．39．如图，已知OA⊥OC，∠BOC=2∠AOB，则∠AOB的度数等于．40．如图，OA⊥OC，OB⊥OD，垂足都是点O，如果∠AOB=153°，那么∠COD=．41．如图所示，OA⊥OC于点O，∠1=∠2，则∠BOD的度数是．42．如图，AB，CD交于点O，OE⊥CD于O，连接CE，（1）若∠AOC=25°，则∠BOE=．（2）若OC=2cm．OE=1.5cm，CE=2.5cm，那么点E到直线CD的距离是cm．43．如图所示，AB⊥l1，AC⊥l2，则点A到直线l1的距离是线段的长度．44．如图，OA⊥OB，∠AOC=120°，则∠BOC等于度．45．如图，直线AC与直线DE相交于点O，若∠BOC=35°，BO⊥DE，垂足为O，则∠AOD=度．46．如图所示，∠AOB=42°，OA⊥OC，OB⊥OD，则∠COD=．47．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB于点O，若∠MOD=43°，则∠COB=度．48．如图，直线AB与CD相交于E点，EF⊥AB，垂足为E，∠1=125°，则∠2的度数是．49．已知OA⊥OB，∠AOC：∠AOB=2：3，则∠BOC的度数为．50．如图，图中已标明了三组互相垂直的线段，那么点B到AC的距离是，点C到AB的距离是．华师大新版七年级上学期《5.1.2 垂线》同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共50小题）1．如图，在一块直角三角板ABC中，AB＞AC的根据是垂线段最短．【分析】根据从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短可得．【解答】解：∵AC⊥BC，∴AB＞AC，其依据是：垂线段最短，故答案为：垂线段最短．【点评】本题主要考查垂线段最短的性质，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．2．如图AO⊥CO，DO⊥BO．若∠AOD=136°，则∠BOC=44°．【分析】根据垂直得出∠AOC=90°，进而得出∠COD的度数，利用互余解答即可．【解答】解：∵AO⊥CO，DO⊥BO．∴∠AOC=∠BOD=90°，∵∠AOD=136°，∴∠COD=136°﹣90°=46°，∴∠BOC=90°﹣46°=44°，故答案为：44°【点评】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，余角的性质，角的和差及余角的定义．3．如图所示，OA⊥OB，∠BOC=34°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是28°．【分析】因为OD平分∠AOC，可以先求∠AOC，再求∠COD，利用角的和差关系求∠BOD的度数．【解答】解：∵OA⊥OB，∠BOC=34°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=124°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠AOC÷2=62°，∴∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=28°，故答案为：28°．【点评】本题主要考查了垂线和角平分线的定义，关键是根据OD平分∠AOC求出∠AOC．4．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，能表示点到直线的距离的线段有5条．【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．直接利用点到直线的距离的定义分析得出答案．【解答】解：如图所示：线段AB是点B到AC的距离，线段CA是点C到AB的距离，线段AD是点A到BC的距离，线段BD是点B到AD的距离，线段CD是点C到AD的距离，故图中能表示点到直线距离的线段共有5条．故答案为：5．【点评】此题主要考查了点到直线的距离，正确把握定义是解题关键．点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．5．在△ABC中∠B=90°，BC=5，AB=12，AC=13，则点B到斜边AC的距离是．【分析】设AC边上的高为h，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：设AC边上的高为h，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，AC=13，∴AB•BC=AC•h，∴h===．故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键．6．如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，则这两个角的度数分别为48°、132°或20°、20°．．【分析】分两种情况进行讨论，依据两个角的两条边分别垂直画出图形，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，即可得到这两个角的度数．【解答】解：如图，α+β=180°，β=4α﹣60°，解得α=48°，β=132°；如图，α=β，β=4α﹣60°，解得α=β=20°；综上所述，这两个角的度数分别为48°、132°或20°、20°．故答案为：48°、132°或20°、20°．【点评】本题考查了垂线，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．7．在同一平面内，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠EOD=35°，则∠AOC的度数为55°．【分析】先根据垂直的定义求出∠BOE=90°，然后求出∠BOD的度数，再根据对顶角相等求出∠AOC的度数．【解答】解：如图：∵OE⊥AB，∴∠BOE=90°，∵∠EOD=35°，∴∠BOD=∠BOE﹣∠EOD=90°﹣35°=55°，∴∠AOC=∠BOD=55°（对顶角相等），故答案为：55°【点评】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，要注意领会由垂直得直角这一要点．8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠COE=40°，则∠AOD等于130度．【分析】先根据垂直的定义求出∠AOE=90°，然后求出∠AOC的度数，再根据邻补角的定义求出∠AOD的度数．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∵∠COE=40°，∴∠AOC=∠AOE﹣∠COE=90°﹣40°=50°，∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣50°=130°．故答案为：130【点评】本题考查了垂线的定义，邻补角的和等于180°，要注意领会由垂直得直角这一要点．9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE=45°，则∠AOD=135°．【分析】先根据垂直的定义求出∠AOE=90°，然后求出∠AOC的度数，再根据邻补角的定义求出∠AOD的度数．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∵∠COE=45°，∴∠AOC=∠AOE﹣∠COE=90°﹣45°=45°，∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣45°=135°．故答案为：135°【点评】本题考查了垂线的定义，邻补角的和等于180°，要注意领会由垂直得直角这一要点．10．点A是直线l外的一点，点A到l的距离为10cm，P是l上任意一点，则PA 的最小值是10cm．【分析】据点到直线距离的定义进行解答即可．【解答】解：∵A为直线l外一点，P是直线l上一点，点A到l的距离为10cm，∴当AB⊥l时，PA=10cm；当PA不与直线l垂直时，AB＞10cm．故答案为：10．【点评】本题考查的是垂线段最短，即从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．11．已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的3倍少60°，则∠COD的度数为30°或120°【分析】有两种情况：①如图1，根据∠COD=90°+90°﹣∠AOB，列方程可得结论；②如图2，根据∠AOB+∠BOD=∠COD+∠AOC，列方程可得结论．【解答】解：设∠AOB=x°，则∠COD=3x°﹣60°，分两种情况：①如图1，∵∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，∴∠COD=90°+90°﹣∠AOB，即3x﹣60=90+90﹣x，x=60°，∴∠COD=3×60°﹣60°=120°；②如图2，∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOB+∠BOD=∠COD+∠AOC，x+90=3x﹣60+90，x=30°，∴∠COD=30°，综上所述，∠COD的度数为30°或120°，故答案为：30°或120°．【点评】此题主要考查了角的计算，以及垂直的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系．12．如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD，如果∠1=35°，那么∠2的度数是55°．【分析】直接利用垂线的定义结合互余的性质求出答案．【解答】解：∵OC⊥OD，∠1=35°，∴∠2=90°﹣35°=55°．故答案为：55°．【点评】此题主要考查了垂线，正确把握垂线的性质是解题关键．13．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为140°．【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案．【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∴∠EOB=90°，∵∠EOD=50°，∴∠BOD=40°，则∠BOC的度数为：180°﹣40°=140°．故答案为：140°．【点评】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义，正确把握相关定义是解题关键．14．如图，已知直线AB和CD相交于O点，OC⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的度数22°．【分析】根据垂直的定义、角平分线线的定义以及图中的角与角间的和差关系得到∠AOF=∠EOF=∠COE﹣∠COF=90°﹣34°=56°，则对顶角∠BOD=∠AOC=22°．【解答】解：∵CO⊥OE，∴∠COE=90°，∵∠COF=34°∴∠EOF=90°﹣34°=56°又∵OF平分∠AOE∴∠AOF=∠EOF=56°∵∠COF=34°∴∠AOC=56°﹣34°=22°则∠BOD=∠AOC=22°．故答案为：22°【点评】此题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．15．如图，已知AO⊥BC于O，∠AOD=30°，那么∠DOC=60°．【分析】根据垂直的定义得到∠AOC=90°，结合图形找到相关角间的和差关系进行解答即可．【解答】解：如图，∵AO⊥BC，∴∠AOC=90°，又∠AOD=30°，∴∠DOC=90°﹣∠AOD=60°．故答案是：60．【点评】本题考查了垂直的定义，如果两个角的和等于90°，两个角互为余角．16．如图，∠PQR=138°．SQ⊥QR于Q，QT⊥PQ于Q，则∠SQT等于42°．【分析】利用垂直的概念和互余的性质计算．【解答】解：∵∠PQR等于138°，QT⊥PQ，∴∠PQS=138°﹣90°=48°，又∵SQ⊥QR，∴∠PQT=90°，∴∠SQT=42°．故答案是：42°．【点评】本题是对有公共部分的两个直角的求角度的考查，注意直角的定义和度数．17．如图，直线AB，CD相交于O，OE⊥AB，O为垂足，∠COE=34°，则∠BOD= 56度．【分析】由OE⊥AB，∠COE=34°，利用互余关系可求∠BOD．【解答】解：∵OE⊥AB，∠COE=34°，∴∠BOD=90°﹣∠COE=90°﹣34°=56°．故答案为：56．【点评】此题考查的知识点是垂线，关键是利用垂直的定义及余角的定义求解．18．如图，AB⊥l1，AC⊥l2，垂足分别为B，A，则A点到直线l1的距离是线段AB 的长度．【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离可得点P到直线l的距离是线段AB的长度．【解答】解：∵AB⊥l1，∴则A点到直线l1的距离是线段AB的长度，故答案为：AB．【点评】此题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．19．直线AB与CD交于O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF=65°，则∠BOE的度数65°或115°．【分析】根据题意，分两种情况：（1）∠BOE是锐角时；（2）∠BOE是钝角时；然后根据垂线的性质，分类讨论，求出∠BOE的度数是多少即可．【解答】解：（1）如图1，，∵直线OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠DOF=65°，∴∠EOF=90°﹣65°=25°，又∵直线OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∴∠BOE=90°﹣25°=65°．（2）如图2，，∵直线OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠DOF=65°，∴∠EOF=90°﹣65°=25°，又∵直线OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∴∠BOE=90°+25°=115°．综上，可得∠BOE的度数是65°或115°．故答案为：65°或115°．【点评】（1）此题主要考查了垂线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）此题还考查了对顶角和邻补角的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．②补角互补，即和为180°．20．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，其中AC=6，BC=8，AB=10，CD=4.8，那么点B到AC的距离是8．【分析】由题意即可推出点B到AC的距离即为点B到AC的垂线段的长度即为BC的长度．【解答】解：∵AC⊥BC，BC=8，∴点B到AC的距离为8．故答案为8．【点评】本题主要考查了点到直线的距离，关键在于推出点B到AC的距离为BC 的长度．21．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1=30°，则∠2=60°．【分析】根据对顶角相等求出∠EOD，继而得出∠2．【解答】解：∵∠EOD与∠1互为对顶角，∴∠EOD=∠1=30°，又∵AB⊥CD，∴∠AOD=∠BOD=90°，∴∠2=90°﹣∠EOD=60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了垂线的定义，用到的知识点为：对顶角相等，垂线产生直角．22．如图，直线AB．CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD=38°，则∠AOC=52度．【分析】根据垂线的定义，可得∠AOE=90°，根据角的和差，可得∠AOD的度数，根据邻补角的定义，可得答案．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠AOD=∠AOE+∠EOD=90°+38°=128°，∴∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣128°=52°，故答案为：52．【点评】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，邻补角的和等于180°，要注意领会由垂直得直角这一要点．23．如图，若∠BOC=44°，BO⊥DE，垂足为O，则∠AOD=46度．【分析】本题需先根据已知条件和所给的图形，列出所要求的式子，即可求出答案．【解答】解：∵∠BOC=44°，BO⊥DE，∴∠AOD=180°﹣44°﹣90°=46°．故答案为：46°．【点评】本题主要考查了垂线，在解题时要根据已知有条件，再结合图形列出式子是本题的关键．24．如图，△ABC中，CD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是C、E，那么点C到线段AB 的距离是线段CE的长度．【分析】根据点到直线的距离的定义，找出点C到AB的垂线段即可．【解答】解：如图，∵CE⊥AB，垂足是E，∴点C到线段AB的距离是线段CE的长度．故答案为：CE．【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度．25．∠1的两边垂直于∠2的两边，且∠1比∠2的一倍少70°，则∠1的度数是55°．【分析】由两个角间特殊关系和∠1比∠2的一倍少70°，得方程组，求解即可．【解答】解：若一个角的两边垂直于另一个角的两边时，这两个角相等或互补．因为∠2﹣∠1=70°，所以∠1≠∠2，∠2+∠1=180°，所以∠2=125°，∠1=55°．故答案为：55°【点评】本题考查了垂直的意义和解方程组．解决本题的关键是根据∠1的两边垂直于∠2的两边，知道∠1与∠2的数量关系．26．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则AB、AC、CD之间的大小关系是CD＜AC＜AB（用“＜”号连接起来）．【分析】根据垂线段最短可得AC＜AB，CD＜AC，进而可得CD＜AC＜AB．【解答】解：∵AC⊥BC，∴AC＜AB，∵CD⊥AB，∴CD＜AC，∴CD＜AC＜AB，故答案为：CD＜AC＜AB．【点评】此题主要考查了垂线的性质，关键是掌握垂线段最短．27．如图，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是5：1，则∠DBA=72°．【分析】直接利用垂直的定义结合角的比值关系进而得出答案．【解答】解：∵CB⊥AB，∴∠CBA=90°，∵∠CBA与∠CBD的度数比是5：1，∴∠DBA=∠CBA=×90°=72°．故答案为：72°．【点评】此题主要考查了垂线，正确得出角之间关系是解题关键．28．已知α、β的两边分别垂直，且2α+β=210°，则α=70°或30°．【分析】若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．【解答】解：如图1，∵β的两边与α的两边分别垂直，∴α+β=180°，又∵2α+β=210°，解得：，如图2，在上述情况下，若反向延长∠β的一边，那么∠β的补角的两边也与∠α的两边互相垂直，故此时β=α，由2α+β=210°，解得：α=70°，综上可知：∠α=70°或30°，故答案为：70°或30°．【点评】本题主要考查角的概念的知识点，要注意从不同的角度来分析β的存在情况，以免漏解．29．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF=α，下列说法①∠AOC=α﹣90°；②∠EOB=180°﹣α；③∠AOF=360°﹣2α，其中正确的是①②③．【分析】根据垂线、角之间的和与差，即可解答．【解答】解：∵OE⊥CD于O，∠EOF=α，∴∠DOF=α﹣90°，∵OD平分∠BOF，∴∠BOD=∠FOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC=∠FOD，∴∠AOC=α﹣90°，①正确；∴∠BOE=180°﹣∠COE﹣∠AOC=180°﹣90°﹣（α﹣90°）=180°﹣α，②正确；∴∠AOF=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=180°﹣（α﹣90°）﹣（α﹣90°）=360°﹣2α，③正确；故答案为：①②③【点评】本题考查了垂线，解决本题的关键是利用角之间的关系解答．30．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD于O，且∠AOC=50°，则∠BOE等于40°．【分析】根据余角的定义、对顶角相等推知∠AOC=∠BOD=90°﹣∠BOE．【解答】解：∵OE⊥CD，∴∠DOE=90°．又∵∠AOC=50°，∴∠BOD=50°，∴∠BOE=90°﹣50°=40°．故答案为：40°【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角．解题时，注意挖掘出隐含在题中的已知条件：由垂直得直角．31．如图，△ABC中，AD⊥BC，且AB=5cm，BC=6cm，AD=3cm，则点C到线段AB的距离为cm．【分析】根据三角形的面积，可得答案．【解答】解：设点C到线段AB的距离为xcm，由题意，得=，x===cm，故答案为：．【点评】本题考查了点到直线的距离，利用面积公式得出=是解题关键．32．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=6，AB=8，AC=10，则点B到AC的距离是4.8．【分析】作出点B到AC的垂线段BD，再利用面积法求BD，即为点B到AC的距离．【解答】解：过B点作AC的垂线，垂足为D，由三角形面积公式可知，BD×AC=AB×BC，即BD×10=8×6，∴BD=4.8，即点B到AC的距离是4.8．故答案为：4.8．【点评】本题考查点到直线的距离，此题关键是理解点B到AC的距离是从点B 向AC作垂线交AC于点D，即线段BD的长度．33．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，如果AB=4，AC=3，AD=2.4，那么点C到直线AB 的距离为3．【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离可得答案．【解答】解：∵AB⊥AC，AC=3，∴点C到直线AB的距离为3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．34．如图，若OA⊥OB，OC⊥OD，且∠AOC：∠BOD=1：2，则∠BOD=120°．【分析】根据垂直定义可得∠AOB=90°，∠COD=90°，进而可得∠AOC+∠BOD=180°，然后再根据条件∠AOC：∠BOD=1：2可得∠BOD的度数．【解答】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，∴∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=180°，∵∠AOC：∠BOD=1：2，∴∠BOD=120°，故答案为：120．【点评】此题主要考查了垂线，以及角的计算，关键是理清图中角的关系．35．已知：如图，CD⊥AB于D，直线EF过点D，∠1=30°，则∠FDB=60°，∠BDE=120°．【分析】首先定义可得∠CDB=90°，再根据余角定义可得∠FDB的度数，然后再利用邻补角互补可得∠BDE的度数．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠1=30°，∴∠FDB=60°，∴∠BDE=180°﹣60°=120°，故答案为：60°；120°．【点评】此题主要考查了垂线，以及余角和补角，关键是掌握邻补角互补．36．如图，∠AOB=α，OA⊥OC，OB⊥OD，则∠COD=180°﹣α．【分析】直接利用垂直的定义和已知角得出∠DOA的度数，进而得出答案．【解答】解：∵∠AOB=α，OB⊥OD，OA⊥OC，∴∠DOA=90°﹣α，∠AOC=90°，∴∠COD=90°+90°﹣α=180°﹣α．故答案为：180°﹣α．【点评】此题主要考查了垂线以及角的计算，正确表示出∠DOA的度数是解题关键．37．如图，已知CD⊥AB，垂足为点O，若∠FOC=5∠COE，则∠AOF的度数为120°．【分析】设∠EOC=x°，则∠FOC=5x°，根据邻补角互补可得5x+x=180，解方程可得x的值，然后可得∠DOF的度数，再根据垂直定义可得∠AOD的度数，然后可得∠AOF的度数．【解答】解：设∠EOC=x°，则∠FOC=5x°，5x+x=180，解得：x=30，∴∠EOC=30°，∴∠DOF=30°，∵CD⊥AB，∴∠AOD=90°，∴∠AOF=120°，故答案为：120°．【点评】此题主要考查了垂线，以及角的计算，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．38．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，如果∠FOD=28°，那么∠AOG=59度．【分析】先根据对顶角的性质求出∠COE的度数，进而可得出∠AOE的度数，根据角平分线的定义即可得出结论．【解答】解：∵∠FOD与∠BOE是对顶角，∴∠COE=∠FOD=28°，∴∠BOE=90°﹣∠COE=62°，∴∠AOE=180°﹣62°=118°，∵OG平分∠AOE，∴∠AOG=∠AOE=×118°=59°．故答案为：59．【点评】本题考查的是垂线及角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解答此题的关键．39．如图，已知OA⊥OC，∠BOC=2∠AOB，则∠AOB的度数等于30°．【分析】根据垂直关系知∠AOC=90°，由∠BOC=2∠AOB，可求∠AOB，【解答】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵∠BOC=2∠AOB，∴∠AOB=30°．故答案为：30°．【点评】此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．40．如图，OA⊥OC，OB⊥OD，垂足都是点O，如果∠AOB=153°，那么∠COD= 27°．【分析】根据OA⊥OC可得∠AOC=90°，然后根据已知∠AOB=153°，可求得∠BOC 的度数，最后根据余角的知识可求得∠COD的度数．【解答】解：∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC=90°，∠BOD=90°，∵∠AOB=153°，∴∠BOC=153°﹣∠AOC=63°，∴∠COD=90°﹣∠BOC=90°﹣63°=27°．故答案为：27°．【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°．41．如图所示，OA⊥OC于点O，∠1=∠2，则∠BOD的度数是90°．【分析】根据垂直求出∠AOC=90°，根据∠1=∠2求出∠BOD=∠AOC，即可得出答案．【解答】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵∠1=∠2，∴∠BOD=∠2+∠BOC=∠1+∠BOC=∠AOC=90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了垂直定义和角的计算，能求出∠BOD=∠AOC是解此题的关键．42．如图，AB，CD交于点O，OE⊥CD于O，连接CE，（1）若∠AOC=25°，则∠BOE=65°．（2）若OC=2cm．OE=1.5cm，CE=2.5cm，那么点E到直线CD的距离是 1.5cm．【分析】（1）根据对顶角的性质得出∠BOD，再由垂直的定义答案即可；（2）根据点到直线的距离即可得出答案．【解答】解：（1）∵OE⊥CD，∴∠DOE=90°，∵∠AOC=25°，∴∠BOD=90°，∴∠BOE=90°﹣25°=65°，（2）∵OE⊥CD，OE=1.5cm，∴点E到直线CD的距离是1.5cm，故答案为65°，1.5．【点评】本题考查了点到直线的距离，对顶角以及邻补角，掌握对顶角以及邻补角的性质是解题的关键．43．如图所示，AB⊥l1，AC⊥l2，则点A到直线l1的距离是线段AB的长度．【分析】直接利用点到直线的距离定义得出答案．【解答】解：∵AB⊥l1，∴点A到直线l1的距离是线段AB的长度．故答案为：AB．【点评】此题主要考查了点到直线的距离，正确把握定义是解题关键．44．如图，OA⊥OB，∠AOC=120°，则∠BOC等于30度．【分析】利用角的和差关系，不难发现∠AOC=∠AOB+∠BOC，其中∠AOC=120°，∠AOB=90°，可求∠BOC．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，又∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，∴∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=120°﹣90°=30°．故答案为：30．【点评】本题主要考查了垂直的定义，要注意领会由垂直得直角这一要点是解答此题的关键．45．如图，直线AC与直线DE相交于点O，若∠BOC=35°，BO⊥DE，垂足为O，则∠AOD=55度．【分析】由垂直的定义可求得∠COE，再利用对顶角可求得答案．【解答】解：∵BO⊥DE，∴∠BOE=90°，∴∠COE=∠BOE﹣∠BOC=90°﹣35°=55°，∴∠AOD=∠COE=55°，故答案为：55．【点评】本题主要考查垂的定义和对顶角的性质，由垂直的定义求得∠COE是解题的关键．46．如图所示，∠AOB=42°，OA⊥OC，OB⊥OD，则∠COD=138°．【分析】根据垂直的定义和角的和差即可得到结论．【解答】解：∵OB⊥OD，∴∠BOD=90°，∵∠AOB=42°，∴∠AOD=48°，∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∴∠COD=138°，故答案为：138°．【点评】本题考查了垂线，余角的知识，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，属于基础题．47．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB于点O，若∠MOD=43°，则∠COB= 133度．【分析】根据垂直定义可得∠AOM的度数，然后再根据角的和差关系可得∠AOD，再利用对顶角相等可得答案．【解答】解：∵OM⊥AB，∴∠AOM=90°，∵∠MOD=43°，∴∠AOD=90°+43°=133°，∴∠COB=133°，故答案为：133．【点评】此题主要考查了垂线，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，掌握对顶角相等．48．如图，直线AB与CD相交于E点，EF⊥AB，垂足为E，∠1=125°，则∠2的度数是35°．【分析】根据EF⊥AB可知∠AEF=90°，由∠1可求出∠DEB的度数，进而可求出∠2的度数．【解答】解：∵EF⊥AB，∴∠FEB=90°，∵∠1=125°，∴∠DEB=180°﹣∠1=55°∴∠2=90°﹣∠DEB=35°，故答案为：35°【点评】本题考查角度计算，涉及垂线的定义，邻补角的性质，属于基础题型．49．已知OA⊥OB，∠AOC：∠AOB=2：3，则∠BOC的度数为30°或150°．【分析】根据垂直关系可得∠AOB=90°，再由∠AOC：∠AOB=2：3，可得∠AOC=120°，然后再分两种情况进行计算即可．【解答】解：如图，∠AOC的位置有两种：一种是∠AOC在∠AOB内，一种是在∠AOB外．∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，①当∠AOC在∠AOB内，∵∠AOC：∠AOB=2：3，∴∠AOC==60°，∴∠BOC=90°﹣∠AOC=30°；②当∠AOC在∠AOB外，∵∠AOC：∠AOB=2：3，∴∠AOC==60°，∴∠BOC=90°+∠AOC=150°．故答案为：30°或150°．【点评】此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．50．如图，图中已标明了三组互相垂直的线段，那么点B到AC的距离是线段BF的长度，点C到AB的距离是线段CE的长度．【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间线段的长度，可得答案．【解答】解：图中已标明了三组互相垂直的线段，那么点B到AC的距离是线段BF的长度，点C到AB的距离是线段CE的长度，故答案为：线段BF的长度，线段CE的长度．【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间线段的长度．。

华东师大版数学七年级上册第5章相交线与平行线 5.1 相交线5.1.2 垂线同步课时练习题1. 在同一平面内，下列语句正确的是()A．过一点有无数条直线与已知直线垂直B．和一条直线垂直的直线有两条C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．两直线相交，则一定垂直2．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角尺放法正确的是()3. 如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是( )A．35° B．45° C．55° D．65°4. 如图，点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝145°，则∠3的度数为( ) A．35° B．45° C．55° D．65°5. 过一条线段外一点画这条线段的垂线，垂足在()A．这条线段上 B．这条线段的端点上C．这条线段的延长线上 D．以上都有可能6. 体育课上，老师测量跳远成绩的依据是()A．两直线间的距离 B．两点之间，线段最短C．垂线段最短 D．两点确定一条直线7. 如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是()A．两点确定一条直线B．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．过一点只能作一条直线D．垂线段最短8. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有()A．2条 B．3条 C．4条 D．5条9. 在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是()A．60° B．120° C．60°或90° D．60°或120°10. 如图，已知AB⊥BD，CB⊥CD，AD＝14 cm，BC＝10 cm，若线段BD的长度为偶数，则线段BD的长度为()A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．14 cm11. 如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝90°，则AB_____CD；若AB⊥CD，则∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠AOD＝_________.12. 如图，当∠1和∠2满足________________(只需填一个条件)时，OA⊥OB.13. 如图所示，AC⊥l1，AB⊥l2，垂足分别为A，B，则A点到直线l2的距离是线段____的长，线段AC的长是点____到直线____的距离．14. 如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB 的方位角是_____________.15. 已知，AD⊥BD，AE⊥BE且AD＝3，BE＝4，CD＝2，BC＝5，则点B到AC的距离为____，点A到BC的距离为____，点B到AD的距离为____.16. 如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC ＝13∠BOC ，OC 是∠AOD 的平分线．(1)求∠COD 的度数；(2)判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由．17. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE ，OF 分别是∠BOD ，∠AOD 的平分线． (1)∠DOE 的补角是__________________； (2)若∠BOD ＝62°，求∠AOE 和∠DOF 的度数；(3)判断射线OE 与OF 之间有怎样的位置关系？并说明理由．参考答案：1---10 CCACD CBDDC 11. ⊥ 90° 12. ∠1＋∠2＝90° 13. AB C l 1 14. 北偏西60° 15. 4 3 716. 解：(1)设∠AOC ＝x °，则∠BOC ＝3x °，所以x °＋3x °＝180°，则x ＝45°.又OC 平分∠AOD ，所以∠COD ＝∠AOC ＝45°(2)OD ⊥AB ，理由：由(1)知∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ＝45°＋45°＝90°，所以OD ⊥AB17. (1) ∠AOE 或∠COE解：(1)因为OE 是∠BOD 的平分线，所以∠DOE ＝∠BOE ，又因为∠BOE ＋∠AOE ＝180°，∠DOE ＋∠COE ＝180°，所以∠DOE 的补角是∠AOE 或∠COE (2)因为OE 是∠BOD 的平分线，∠BOD ＝62°，所以∠BOE ＝12∠BOD ＝31°，所以∠AOE ＝180°－31°＝149°，因为∠BOD ＝62°，所以∠AOD ＝180°－62°＝118°，因为OF 是∠AOD 的平分线，所以∠DOF ＝12×118°＝59°(3)OE 与OF 的位置关系是OE ⊥OF.理由如下：因为OE ，OF 分别是∠BOD ，∠AOD 的平分线，所以∠DOE ＝12∠BOD ，∠DOF ＝12∠AOD ，因为∠BOD ＋∠AOD ＝180°，所以∠EOF ＝∠DOE ＋∠DOF ＝12(∠BOD ＋∠AOD)＝90°，所以OE ⊥OF。

5.1.2 垂线知识点 1 垂直的定义1．如图5－1－15，若AB⊥CD，则∠ADC＝_________度．图5－1－152．如图5－1－16所示，OA⊥OB，∠1＝35°，则∠2的度数是( )图5－1－16A．35° B．45° C．55° D．70°3．下列说法正确的是( )A．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直B．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直C．两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角互余，那么这两条直线互相垂直D．两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线互相垂直知识点 2 垂线的画法及基本性质4．如图5－1－17，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是( )图5－1－17A．两点确定一条直线B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．在同一平面内，过一点只能作一条垂线D．垂线段最短5．在下列各图中，分别过点P作AB的垂线．图5－1－18知识点 3 垂线段、点到直线的距离6．如图5－1－19所示的图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是( )图5－1－197．如图5－1－20所示，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，且PB⊥l，下列说法：图5－1－20①PA，PB，PC这3条线段中，PB最短；②点P到直线l的距离是线段PB的长；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段PA的长是点P到直线l的距离．其中正确的是( )A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④8．如图5－1－21，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则点B到AC的距离为________．图5－1－219. 自来水公司为某小区A改造供水系统，如图5－1－22所示，沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接(AO⊥BO)，路线最短，工程造价最低，根据是______________________．图5－1－2210．如图5－1－23，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝5，BC＝3，若BD的长度是整数，则BD的长度是__________．图5－1－2311.如图5－1－24，某人在公路的左侧A处，要到公路的右侧，怎样走最近？为什么？若他要到公路对面的B处，怎样走最近？为什么？图5－1－2412．P为直线l外一点，A，B，C为直线l上三点，PA＝5 cm，PB＝3 cm，PC＝4 cm，则点P到直线l的距离( )A．等于4 cm B．等于3 cmC．小于3 cm D．不大于3 cm13．过线段外一点，画出这条线段的垂线，垂足在( )A．这条线段上B．这条线段的端点处C．这条线段的延长线上D．以上都有可能14．如图5－1－25，工匠师傅为检查门框AB是否垂直于地面，在门框AB的上端A用细线悬挂一铅锤，看铅锤线AE是否与AB重合，若门框AB垂直于地面，则AE与AB重合，否则AE与AB不重合．工匠师傅这样测量的依据是________________________________________________________________________．图5－1－2515．如图5－1－26，OA⊥OC，OB⊥OD.(1)图中有____个锐角，分别是______________；(2)若∠AOB＝120°，求∠DOC的度数．图5－1－2616．一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，如图5－1－27所示．(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P，Q的位置；(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而距离村庄M却越来越远？(分别用文字表述你的结论，不必说明理由)图5－1－2717．(1)在图5－1－28①中以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直；(2)量一量∠P和∠1的度数，它们之间的数量关系是____________________________；(3)同样在图②和图③中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直，分别写出图②和图③中∠P和∠1之间的数量关系．(不要求写出理由)图②：__________________，图③：__________________；(4)由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角________________．(不要求写出理由)图5－1－281．902．C [解析] 因为OA⊥OB，所以∠AOB＝90°，即∠1＋∠2＝90°.又因为∠1＝35°，所以∠2＝90°－35°＝55°.故选C.3．B 4.B5．解：如图所示．6．A 7.A8．4 [解析] ∵AC⊥BC，∴点B到AC的垂线段为线段BC，∴点B到AC的距离为线段BC的长度．9．垂线段最短[解析] 过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．10．4 [解析] 因为AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝5，BC＝3，所以BC＜BD＜AB，即BD的长度的取值范围是大于3且小于5.又因为BD的长度是整数，所以BD＝4.11．[解析] 利用垂线段最短和两点之间线段最短进行解答．解：某人在公路的左侧A处，要到公路的右侧，如图，沿垂线段AC的方向走最近，根据是垂线段最短．若他要到公路对面的B处，如图，连结AB，沿线段AB走最近，根据是两点之间线段最短．12．D [解析] 因为垂线段最短，则点P到直线l的距离肯定小于或等于3 cm.13．D [解析] 由垂线的定义可知，画一条线段的垂线，垂足可以在线段上，可以是线段的端点，也可以在线段的延长线上．故选D.14．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直15．解：(1)3 ∠AOD，∠DOC，∠COB(2)因为OA⊥OC，OB⊥OD，所以∠AOC＝∠BOD＝90°.因为∠AOB＝120°，所以∠COB＝∠AOB－∠AOC＝120°－90°＝30°.又因为∠BOD＝90°，所以∠DOC＝∠BOD－∠COB＝90°－30°＝60°.16．解：(1)点P，Q的位置如图，其中，MP⊥AB于点P，NQ⊥AB于点Q.(2)汽车在AP段路上距离M，N两村庄都越来越近，在PQ段路上距离村庄N越来越近，而距离村庄M却越来越远．17．解：(1)如图①.(2)∠P＋∠1＝180°(3)如图②③.图②：∠P＝∠1图③：∠APB＋∠1＝180°或∠A′PB＝∠1(4)相等或互补。

5.1.2垂线1.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是( )A.相等B.互余C.互补D.互为对顶角2.如图,点A在直线BC外,AC⊥BC,垂足为C,AC=3,点P是直线BC上的一个动点,则AP的长不可能是( )A.2.5B.3C.4D.53.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,∠BOD的度数是( )A.60°B.120°C.60°或90°D.60°或120°4.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O,∠2=2∠1,那么∠2=________度,∠3=________度.5.如图所示,AO⊥OB于点O,∠AOB∶∠BOC=3∶2,则∠AOC=________度.6.如图,BD⊥AC于D,DE⊥BC于E,若DE=9cm,AB=12cm,不考虑点与点重合的情况,则线段BD的取值范围是________.7.如图所示,已知AO⊥OB于O,DO⊥OC于O,∠AOC=∠α,求∠BOD(用∠α表示).8.如图,CD⊥AB,垂足为D,AC⊥BC,垂足为C,线段AB,BC,CD的大小顺序如何?说明理由.参考答案:1.【解析】因为AB⊥CD,所以∠BOD=90°.又因为∠1+∠2+∠BOD=180°,所以∠1+∠2=90°,所以∠1与∠2互余. 【答案】B2.A3.【解析】①如图1,当OC,OD在AB的同一侧时,因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.又因为∠AOC=30°,所以∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°;②如图2,当OC,OD在AB的两侧时,因为OC⊥OD,∠AOC=30°,所以∠AOD=60°,所以∠BOD=180°-∠AOD=120°.【答案】D4.【解析】因为AB⊥CD,所以∠2+∠1=90°.因为∠2=2∠1,所以2∠1+∠1=90°,所以∠1=30°,∠2=60°.因为∠1与∠3是对顶角,所以∠3=∠1=30°.【答案】60 305.【解析】因为AO⊥OB,所以∠AOB=90°.又因为∠AOB∶∠BOC=3∶2,所以∠BOC=60°,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°.【答案】1506.【解析】因为BD⊥AC,所以AB>BD,因为AB=12cm,所以BD<12cm.又因为DE⊥BC,所以BD>DE.因为DE=9cm,所以BD>9cm,所以9cm<BD<12cm.【答案】9cm<BD<12cm7.解：因为OA⊥OB于O,所以∠AOC+∠BOC=90°.因为∠AOC=∠α,所以∠BOC=90°-∠α.又因为OC⊥OD于O,所以∠COD=90°.因为∠BOD=∠COD+∠BOC,所以∠BOD=90°+90°-∠α=180°-∠α.8.解：AB>BC>CD.理由:因为CD⊥AB,垂足为D,所以BC>CD.因为AC⊥BC,垂足为C,所以AB>BC.所以AB>BC>CD.。

垂线(30分钟50分)1.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是( )A.相等B.互余C.互补D.互为对顶角A.2.5B.3C.4D.53.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时, ∠BOD的度数是( )A.60°B.120°C.60°或90°D.60°或120°二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O,∠2=2∠1,那么∠2=________度,∠3=________度.6.如图,BD⊥AC于D,DE⊥BC于E,若DE=9cm,AB=12cm,不考虑点与点重合的情况,则线段BD的取值范围是________.三、解答题(共26分)8.(8分)如图,CD⊥AB,垂足为D,AC⊥BC,垂足为C,线段AB,BC,CD的大小顺序如何?说明理由.【拓展延伸】9.(10分)一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的学校,如图所示.(1)汽车在公路上行驶时,会对两个学校的教学都造成影响,当汽车行驶到何处时,分别对两个学校的影响最大?在图上标出来.答案解析1.【解析】选B.因为AB⊥CD,所以∠BOD=90°.又因为∠1+∠2+∠BOD=180°,所以∠1+∠2=90°,所以∠1与∠2互余.【变式训练】点P为直线l外一点,点A,B,C为直线l上三点,PA=4cm,PB=5cm, PC=2cm,则点P到直线l的距离为( )A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm【解析】选D.由题意知,PC<PA<PB,但PC不一定垂直于直线l,由“垂线段最短”知,点P到直线l的距离不大于2cm.3.【解析】选D.①如图1,当OC,OD在AB的同一侧时,因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.又因为∠AOC=30°,所以∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°;②如图2,当OC,OD在AB的两侧时,因为OC⊥OD,∠AOC=30°,所以∠AOD=60°,所以∠BOD=180°-∠AOD=120°.4.【解析】因为AB⊥CD,所以∠2+∠1=90°.因为∠2=2∠1,所以2∠1+∠1=90°,所以∠1=30°,∠2=60°.因为∠1与∠3是对顶角,所以∠3=∠1=30°.答案：60 305.【解析】因为AO⊥OB,所以∠AOB=90°.又因为∠AOB∶∠BOC=3∶2,所以∠BOC=60°,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°.答案：1506.【解析】因为BD⊥AC,所以AB>BD,因为AB=12cm,所以BD<12cm.又因为DE⊥BC,所以BD>DE.因为DE=9cm,所以BD>9cm,所以9cm<BD<12cm.7.【解析】因为OA⊥OB于O,所以∠AOC+∠BOC=90°.因为∠AOC=∠α,所以∠BOC=90°-∠α.又因为OC⊥OD于O,所以∠COD=90°.因为∠BOD=∠COD+∠BOC,所以∠BOD=90°+90°-∠α=180°-∠α.8.【解析】AB>BC>CD.理由是:因为CD⊥AB,垂足为D,所以BC>CD.因为AC⊥BC,垂足为C,所以AB>B C.所以AB>BC>CD.关闭Word文档返回原板块。

【巩固练习】一、选择题1．如图，直线AB、CD相交于点O，OE、OF是过O的射线，其中构成对顶角的是( ) ．A．∠AOF与∠DOE B．∠EOF与∠BOEC．∠BOC与∠AOD D．∠COF与∠BOD2．下列说法正确的有 ( ) ．①因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1＝∠2；②因为∠1与∠2是邻补角，所以∠1＝∠2；③因为∠1和∠2不是对顶角，所以∠1≠∠2；④因为∠1和∠2不是邻补角，所以∠1+∠2≠180°．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，则图中与∠EOF相等的角还有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，∠PQR＝138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT等于（）．A．42° B．64° C．48° D．24°5．（2016春•大兴区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于O，若∠AOD=70°，则∠AOF等于（）A．35° B．45°C．55°D．65°6．（2015春•蠡县期末）如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A、B、C的距离分别为PA=4cm，PB=6cm，PC=3cm，则点P到直线m的距离为（）A．3cm B．小于3cmC．不大于3cm D．以上结论都不对二、填空题7．如图，三条直线a，b，c交于一点，∠1，∠2，∠3的大小顺序是________．8．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝a cm，BC＝b cm，则BD的取值范围是________．9．如图，请你在表盘上画出时针与分针，使时针与分针恰好互相垂直．(1)时针和分针互相垂直的整点时刻分别为；(2)一天24小时，时针与分针互相垂直________次．10. 在同一平面内，OA⊥MN，OB⊥MN，所以OA，OB在同一直线线上，理由是________________．11. 100条直线两两相交于一点，则共有对顶角（不含平角）_______对，邻补角________对.12．（2015春•蒙城县期末）如图，AC⊥BC于点C，C D⊥AB于点D，其中长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有条．三、解答题13.（2016春•高安市期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为；（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．14．如图，已知A、O、B三点在一直线上，∠AOC＝120°，OD、OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线．(1)判断OD与OE的位置关系；(2)当∠AOC大小发生变化时，OD、OE仍分别是∠AOC、∠BOC的平分线，则OD与OE 的位置关系是否改变? 请说明理由．15．如图，AOB为一条在O处拐弯的河，要修一条从村庄P通向这条河的道路，现在有两种设计方案：一是沿PM修路，二是沿PO修路．如果不考虑其他因素，这两种方案哪一个经济一些?它是不是最佳方案？如果不是，请你帮助设计出最佳的方案，并简要说明理由．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；2. 【答案】B；【解析】只有①正确.3. 【答案】B；【解析】与∠EOF相等的角还有：∠BOC，∠AOD．4．【答案】A；【解析】∠PQS=138°－90°＝48°，∠SQT＝90°－48°＝42°．5. 【答案】C；【解析】解：∵∠B0C=∠AOD=70°，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠BOC=35°．∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°．∴∠AOF=180°﹣∠EOF﹣∠BOE=55°．故选C．6.【答案】C．二、填空题7．【答案】∠1＞∠3＞∠2；【解析】∠1＝180°－60°－50°＝70°；∠2＝50°；∠1＝60°.8. 【答案】bcm＜BD＜a cm；9．【答案】(1)3时或9时； (2)44；【解析】一天24小时中时针转2圈，分针转24圈，所以分针要超过时针的圈数是：24-2=22（圈），分针每超过时针一圈，前后各有一次垂直，所以一天24小时中分针与时针垂直的次数是：（24-2）×2=22×2=44（次）．10．【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；11．【答案】9900，19800；【解析】100条直线两两相交，最多有100(1001)49502-=个交点．每个交点处有两组对顶角，4对邻补角，故100条直线相交于一点共有4950×2＝9900（对）对顶角，有4950×4＝19800（对）邻补角.12.【答案】5.【解析】表示点C到直线AB的距离的线段为CD，表示点B到直线AC的距离的线段为BC，表示点A到直线BC的距离的线段为AC，表示点A到直线DC的距离的线段为AD，表示点B到直线DC的距离的线段为BD，共五条．三、解答题13.【解析】解：（1）∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；（2）∵∠DOE=∠AOC=70°，∠DOE=∠BOE+∠EOD及∠BOE：∠EOD=2：3，∴得，∴，∴∠BOE=28°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=152°．14．【解析】解：(1)OD⊥OE．(2)不变，理由如下：∵ OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，∴∠COD＝12∠AOC，∠COE＝12∠COB．∴∠DOE＝12(∠AOC+∠COB)＝12×180°＝90°，∴ OD⊥OE．15．【解析】解：本题所给出的两种方案中，沿PO修路这种方案更经济一些，因为PO是OA的垂线段，PM是OA的斜线段，根据垂线段最短可知，PO＜PM，但它仍不是最佳方案，最经济的方案应为沿如图所示的线段PN修路．因为垂线段最短得知，线段PN是P与OB上的各点的连线中最短的，PO是P与OA上的各点的连线中最短的，即PN＜PO＜PM．所以沿线段PN修路是最经济的方案．。

5.1.2　垂线知识点 1　垂直的定义1．如图5－1－15，若AB⊥CD，则∠ADC＝_________度．图5－1－152．如图5－1－16所示，OA⊥OB，∠1＝35°，则∠2的度数是( )图5－1－16A．35° B．45° C．55° D．70°3．下列说法正确的是( )A．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直B．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直C．两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角互余，那么这两条直线互相垂直D．两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线互相垂直知识点 2　垂线的画法及基本性质4．如图5－1－17，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是( )图5－1－17A．两点确定一条直线B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．在同一平面内，过一点只能作一条垂线D．垂线段最短5．在下列各图中，分别过点P作AB的垂线．图5－1－18知识点 3　垂线段、点到直线的距离6．如图5－1－19所示的图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是( )图5－1－197．如图5－1－20所示，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，且PB⊥l，下列说法：图5－1－20①PA，PB，PC这3条线段中，PB最短；②点P到直线l的距离是线段PB的长；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段PA的长是点P到直线l的距离．其中正确的是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④8．如图5－1－21，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则点B到AC的距离为________．图5－1－219. 自来水公司为某小区A改造供水系统，如图5－1－22所示，沿路线AO铺设管道和BO 主管道衔接(AO⊥BO)，路线最短，工程造价最低，根据是______________________．图5－1－2210．如图5－1－23，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝5，BC＝3，若BD的长度是整数，则BD的长度是__________．图5－1－2311.如图5－1－24，某人在公路的左侧A处，要到公路的右侧，怎样走最近？为什么？若他要到公路对面的B处，怎样走最近？为什么？图5－1－2412．P为直线l外一点，A，B，C为直线l上三点，PA＝5 cm，PB＝3 cm，PC＝4 cm，则点P到直线l的距离( )A．等于4 cm B．等于3 cmC．小于3 cm D．不大于3 cm13．过线段外一点，画出这条线段的垂线，垂足在( )A．这条线段上B．这条线段的端点处C．这条线段的延长线上D．以上都有可能14．如图5－1－25，工匠师傅为检查门框AB是否垂直于地面，在门框AB的上端A用细线悬挂一铅锤，看铅锤线AE是否与AB重合，若门框AB垂直于地面，则AE与AB重合，否则AE与AB不重合．工匠师傅这样测量的依据是________________________________________________________________________．图5－1－2515．如图5－1－26，OA⊥OC，OB⊥OD.(1)图中有____个锐角，分别是______________；(2)若∠AOB＝120°，求∠DOC的度数．图5－1－2616．一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，如图5－1－27所示．(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P，Q的位置；(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而距离村庄M却越来越远？(分别用文字表述你的结论，不必说明理由)图5－1－27。