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考点规范练25 平面向量基本定理及向量的坐标表示一、基础巩固1.向量a =(3,2)可以用下列向量组表示出来的是( )A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3),A 选项中e 1=0,C,D 选项中两个向量均共线,都不符合基底条件,故选B .2.向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示,若c =λa +μb (λ,μ∈R ),则=( )λμA.2B.4C.D.1214a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1),则A (1,-1),B (6,2),C (5,-1).所以a ==(-1,1),b ==(6,2),c ==(-1,-3).AO OB BC ∵c =λa +μb ,∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),∴解得{-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,{λ=-2,μ=-12,∴=4.λμ3.已知平面向量a =(1,-2),b =(2,m ),且a ∥b ,则3a +2b =( )A.(7,2)B.(7,-14)C.(7,-4)D.(7,-8)a ∥b ,所以m+4=0,所以m=-4.所以b =(2,-4).所以3a +2b =(7,-14).4.在▱ABCD 中,=(2,8),=(-3,4),对角线AC 与BD 相交于点M ,则=( )AD AB AM A. B. C. D.(-12,-6)(-12,6)(12,-6)(12,6)▱ABCD 中,有,所以)=(-1,12)=,故选B .AC =AB +AD ,AM =12AC AM =12(AB +AD 12(-12,6)5.在△ABC 中,点P 在BC 上,且=2,点Q 是AC 的中点.若=(4,3),=(1,5),则等于( )BP PC PA PQ BC A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21),=3=3(2)=6-3=(6,30)-(12,9)=(-6,21).BC PC PQ ‒PA PQ PA6.已知平面直角坐标系内的两个向量a =(1,2),b =(m ,3m-2),且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c =λa +μb (λ,μ为实数),则m 的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)c 都可以唯一地表示成c =λa +μb (λ,μ为实数),所以a ,b 一定不共线,所以3m-2-2m ≠0,解得m ≠2,所以m 的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞),故选D .7.若平面内两个向量a =(2cos θ,1)与b =(1,cos θ)共线,则cos 2θ等于( )A. B.1 C.-1 D.012a =(2cos θ,1)与b =(1,cos θ)共线,知2cos θ·cos θ-1×1=0,所以2cos 2θ-1=0,所以cos 2θ=0,故选D .8.在平面直角坐标系xOy 中,已知A (1,0),B (0,1),C 为坐标平面第一象限内一点,且∠AOC=,且|OC|=2.π4若=λ+μ,则λ+μ=( )OC OA OB A.2 B. C.2 D.4222|OC|=2,∠AOC=,C 为坐标平面第一象限内一点,所以C ().π42,2又因为=λ+μ,OC OA OB 所以()=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ).2,2所以λ=μ=,所以λ+μ=2.229.已知平面内有三点A (0,-3),B (3,3),C (x ,-1),且,则x 的值为 .AB ∥AC,得=(3,6),=(x ,2).AB AC ∵,∴6x-6=0,解得x=1.AB ∥AC 10.若平面向量a ,b 满足|a +b |=1,a +b 平行于x 轴,b =(2,-1),则a=.-1,1)或(-3,1)|a +b |=1,a+b 平行于x 轴,得a +b =(1,0)或a +b =(-1,0),则a =(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a =(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).11.如图,在▱ABCD 中,M ,N 分别为DC ,BC 的中点.已知=c ,=d ,则= ,AM AN AB AD = .(用c ,d 表示) d -c ) (2c -d )23设=a ,=b .因为M ,N 分别为DC ,BC 的中点,所以b ,a .AB AD BN =12DM =12又所以{c =b +12a ,d =a +12b ,{a =23(2d -c ),b =23(2c -d ),即(2d -c ),(2c -d ).AB =23AD =23二、能力提升12.在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且=3,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合).若=x BC CD AO +(1-x ),则x 的取值范围是( )AB AC A. B. C. D.(0,12)(0,13)(-12,0)(-13,0),设,其中1<λ<,BO BC 43则+λ+λ()AO =AB +BO =AB BC =AB AC ‒AB =(1-λ)+λ.AB AC 又=x +(1-x ),且不共线,AO AB AC AB ,A C 于是有x=1-λ∈,(-13,0)即x 的取值范围是.(-13,0)13.若α,β是一组基底,向量γ=x α+y β(x ,y ∈R ),则称(x ,y )为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a 在基底p =(1,-1),q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则a 在另一组基底m =(-1,1),n =(1,2)下的坐标为( )A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)a 在基底p ,q 下的坐标为(-2,2),∴a =-2p +2q =(2,4).令a =x m +y n =(-x+y ,x+2y ),则解得{-x +y =2,x +2y =4,{x =0,y =2.14.如图,在△OAB 中,P 为线段AB 上的一点,=x +y ,且=2,则( )OP OA OB BP PA A.x=,y=2313B.x=,y=1323C.x=,y=1434D.x=,y=3414又=2所以)=,OP =OB +BP BP PA O =OB +23BA =OB +23(OA ‒OB 23OA +13OB 所以x=,y=.231315.在Rt △ABC 中,∠A=90°,点D 是边BC 上的动点,且||=3,||=4,=λ+μ(λ>0,μ>0),则当λμAB AC AD AB AC 取得最大值时,||的值为( )AD A. B.3 C. D.7252125因为=λ+μ,而D ,B ,C 三点共线,AD AB AC 所以λ+μ=1,所以λμ≤,(λ+μ2)2=14当且仅当λ=μ=时取等号,此时,12AD =12AB +12AC 所以D 是线段BC 的中点,所以||=|=.故选C .AD 12|BC 5216.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 所对的边,且3a +4b +5c =0,则a ∶b ∶c= . BC CA AB∶15∶123a +4b 5c =0,BC CA AB ∴3a ()+4b +5c =0.BA +AC CA AB∴(3a-5c )+(3a-4b )=0.BA AC 在△ABC 中,∵不共线,BA ,AC ∴解得{3a =5c ,3a =4b ,{c =35a ,b =34a .∴a ∶b ∶c=a ∶a ∶a=20∶15∶12.3435三、高考预测17.已知向量a =(m ,2m-1),b =(1,-2),若a ∥b ,则|4a +2b |= . 35向量a =(m ,2m-1),b =(1,-2),且a ∥b ,∴-2m=2m-1,解得m=,∴a =,14(14,-12)∴4a +2b =(3,-6),∴|4a +2b |==3.32+(-6)25。
第二课时 参数方程考试要求 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数. 2.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致. 3.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.2.直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量.( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×解析 (4)当t ＝π3时，点M 的坐标为(2cos π3，4sin π3)，即M (1，23)，∴OM 的斜率k ＝2 3.2.(2019·北京卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋4t (t 为参数)，则点(1，0)到直线l 的距离是( ) A.15 B.25C.45D.65答案 D解析 由题意可知直线l 的普通方程为4x －3y ＋2＝0，则点(1，0)到直线l 的距离d ＝|4×1－3×0＋2|42＋（－3）2＝65.故选D.3.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值是________. 答案 3解析 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1， 所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)， 若直线l 过点(3，0)，则3－a ＝0，所以a ＝3.4.(2019·天津卷)设直线ax －y ＋2＝0和圆⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)相切，则实数a ＝________. 答案 34解析 圆的参数方程消去θ，得 (x －2)2＋(y －1)2＝4. ∴圆心(2，1)，半径r ＝2. 又直线ax －y ＋2＝0与圆相切. ∴d ＝|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34.5.已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为________. 答案 ±1515解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，得y ＝x tan α，设k ＝tan α，得直线的方程为y ＝kx ，由x 2＋y 2－4x ＋3＝0，得(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2，0)，半径为1， ∴圆心到直线y ＝kx 的距离为 12－|AB |24＝12＝|2k |k 2＋1，得k ＝±1515.6.(易错题)设P (x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0，2π))上任意一点，则yx 的最大值为________.答案 33解析 由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得(x ＋2)2＋y 2＝1，表示圆心为(－2，0)，半径为1的圆，yx 表示的是圆上的点和原点连线的斜率， 设yx ＝k ，则原问题转化为y ＝kx 和圆有交点的问题， 即圆心到直线的距离d ≤r ，所以|－2k |1＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33， 所以y x 的最大值为33.考点一 参数方程与普通方程的互化1.下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 2B.⎩⎨⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t |D.⎩⎨⎧x ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ，y ＝tan t答案 D解析 对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ；对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ； 对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，且要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ； 对于D ，x ＝1－cos 2t1＋cos 2t ＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ＝y 2，符合y 2＝x .故选D.2.把下列参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数，θ∈[0，2π)). 解 (1)由已知得t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2). 即它的普通方程为3x －y ＋5－3＝0.(2)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以x 2＋y ＝1，即y ＝1－x 2. 又因为|sin θ|≤1，所以其普通方程为y ＝1－x 2(|x |≤1).3.(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为C (2，1)，半径为1. (1)写出⊙C 的一个参数方程；(2)过点F (4，1)作⊙C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.解 (1)由题意知⊙C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1， 则⊙C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数).(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y －1＝k (x －4)，即kx －y ＋1－4k ＝0，所以|2k －1＋1－4k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，则这两条切线方程分别为y ＝33x －433＋1，y ＝－33x ＋433＋1， 故这两条切线的极坐标方程分别为 ρsin θ＝33ρcos θ－433＋1，ρsin θ＝－33ρcos θ＋433＋1.感悟提升 1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.另外，消参时要注意参数的范围.2.普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方程直接写出. 考点二 参数方程的应用例 1 (2022·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知点P (3，3)，曲线C 1和C 2相交于A ，B 两个不同的点，求||P A |－|PB ||的值.解(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝t －1t的参数t 消去得曲线C 1的普通方程为x 2－y 24＝1.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0，∴ρcos θ－3ρsin θ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得曲线C 2的直角坐标方程为x －3y ＝0. (2)由题意得点P (3，3)在曲线C 2上，曲线C 2的参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32t ′，y ＝3＋12t ′(t ′为参数)，将上述参数方程代入x 2－y 24＝1得11t ′2＋443t ′＋4×29＝0，① Δ>0，设t ′1，t ′2为方程①的两根， 则t ′1＋t ′2＝－43，t ′1t ′2＝4×2911，∴(|P A |－|PB |)2＝(|P A |＋|PB |)2－4|P A ||PB |＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝6411，∴||P A |－|PB ||＝81111.感悟提升 1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.2.过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.训练1 (2022·晋中模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t ∈R ，t 为参数，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(1)求半圆C 的参数方程和直线l 的普通方程；(2)直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 在半圆C 上，且直线CD 的倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍，△ABD 的面积为1＋3，求α的值. 解 (1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，将x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ代入，得半圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴y ＝ρsin θ＝2sin 2θ∈(1，2]，x ＝ρcos θ＝2sin θ·cos θ＝sin 2θ∈(－1，1)， ∴半圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1(1<y ≤2).由sin φ＝y －1∈(0，1]，cos φ＝x ∈(－1，1)知，可取φ∈(0，π)， ∴半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(其中φ为参数，φ∈(0，π)).将直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝x tan α－2，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)由题意可知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α，0，B (0，－2)，根据圆的参数方程中参数的几何意义， 结合已知条件，可得φ＝2α， 所以D (cos 2α，1＋sin 2α). 则点D 到直线AB 的距离d ＝|tan α·cos 2α－（1＋sin 2α）－2|1＋tan 2α＝|sin αcos 2α－cos αsin 2α－3cos α| ＝sin α＋3cos α， 又|AB |＝（－2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α2＝2sin α.∴△ABD 的面积S ＝12·|AB |·d ＝1＋3tan α＝1＋3， ∴tan α＝ 3.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π3.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用例2 (2020·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos k t ，y ＝sin kt (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0. (1)当k ＝1时，C 1是什么曲线？(2)当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标. 解 (1)当k ＝1时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝sin t ，消去参数t 得x 2＋y 2＝1，故曲线C 1是以坐标原点为圆心，1为半径的圆.(2)当k ＝4时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 4t ，y ＝sin 4t ，消去参数t 得C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝1.C 2的直角坐标方程为4x －16y ＋3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x －16y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14.感悟提升 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷地解决问题.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想.训练2 (2022·长春联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －2，y ＝t 2－2t (t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为t 1，t 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝2a sin θ. (1)当t 1＝1，t 2＝3时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；(2)当a ＝1时，若t 1＋t 2＝2＋3，直线MN 被曲线D 截得的弦长为3，求直线MN 的方程.解 (1)因为t 1＝1，t 2＝3， 所以M (－1，－1)，N (1，3). 所以直线MN 的方程为y ＝2x ＋1. 因为ρ＝2a sin θ，所以ρ2＝2aρsin θ， 又x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以曲线D 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点(0，a )，所以a ＝1.(2)由题意可知k MN ＝（t 21－2t 1）－（t 22－2t 2）（t 1－2）－（t 2－2）＝（t 1－t 2）（t 1＋t 2－2）t 1－t 2＝3，曲线D 的方程为x 2＋(y －1)2＝1，设直线MN 的方程为y ＝3x ＋m ，圆心D 到直线MN 的距离为d ，则d ＝|m －1|2， 因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， 所以m ＝0或m ＝2，所以直线MN 的方程为y ＝3x 或y ＝3x ＋2.1.将下列参数方程化成普通方程.(1)⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝t 2＋1(t 为参数)； (2)⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 解 (1)消去参数t ，得y ＝x ＋2，由于t 2≥0，所以普通方程为y ＝x ＋2(x ≥－1)，表示一条射线.(2)消去参数θ，得x 2＋y 2＝1，由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π2，π，所以x ∈[－1，0]，y ∈[0，1]，所以普通方程为x 2＋y 2＝1(－1≤x ≤0，0≤y ≤1)，表示圆的四分之一.2.(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos θ.(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1，0)，点M 为C 上的动点，点P 满足AP→＝2AM →，写出点P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点.解 (1)根据ρ＝22cos θ，得ρ2＝22ρcos θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝22x ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝2.(2)设P (x ，y )，M (x ′，y ′)，则AP→＝(x －1，y )，AM →＝(x ′－1，y ′). 因为AP →＝2AM →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2（x ′－1），y ＝2y ′，即⎩⎨⎧x ′＝x －12＋1，y ′＝y 2. 因为点M 为C 上的动点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝2， 即(x －3＋2)2＋y 2＝4.所以点P 的轨迹C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－2＋2cos α，y ＝2sin α(其中α为参数，α∈[0，2π)). 所以|CC 1|＝3－22，⊙C 1的半径r 1＝2，又⊙C 的半径r ＝2，所以|CC 1|＜r 1－r ，所以C 与C 1没有公共点.3.(2021·银川模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过定点P (3，0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2－12t(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知直线l 交曲线C 于M ，N 两点，且|PM |·|PN |＝103，求l 的参数方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，2y ＝t －1t ，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝t 2＋2＋1t 2－t 2＋2－1t 2＝4， ∴x 2－(2y )2＝4，即x 2－4y 2＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2cos 2θ－4ρ2sin 2θ＝4. 即曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ－4ρ2sin 2θ＝4.(2)设l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入x 2－4y 2＝4整理得(cos 2α－4sin 2α)t 2＋6t cos α＋5＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝5cos 2α－4sin 2α， 则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5cos 2α－4sin 2α＝103.解得cos α＝±22， ∵0<α<π2，∴cos α＝22，∴α＝π4.故l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t(t 为参数). 4.(2022·合肥检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（t 14－t －14），y ＝2（t 14＋t －14）(t 为参数).在以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－22＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 2与曲线C 1交于点A ，B ，M (－2，2)，求1|MA |－1|MB |的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（t 14－t －14），y ＝2（t 14＋t －14）得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝t 14－t －14，12y ＝t 14＋t －14， 两式平方相减得12y 2－2x 2＝4，即y 28－x 22＝1.又y ＝2(t 14＋t －14)≥22(t >0)， ∴曲线C 1的普通方程为y 28－x 22＝1(y ≥22).曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－22＝0，化简，得ρsin θ－ρcos θ－4＝0，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y －x －4＝0，∴曲线C 2的直角坐标方程为x －y ＋4＝0.(2)设曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ′，y ＝2＋22t ′(t ′为参数).代入曲线C 1的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t ′2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t ′2＝8，即3t ′2－202t ′＋40＝0.Δ＝320>0.设方程的两个实数根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2023，t 1t 2＝403，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|t 1|－1|t 2|＝||t 2|－|t 1|||t 1|·|t 2|＝|t 1－t 2||t 1|·|t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2|t 1|·|t 2|＝853403＝55，∴1|MA |－1|MB |＝55或－55.5.(2022·陕西部分学校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋sin φ－2cos φ，y ＝cos φ＋2sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＋2＝0.(1)求曲线C 1的极坐标方程并判断C 1，C 2的位置关系；(2)设直线θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<α<π2，ρ∈R 分别与曲线C 1交于A ，B 两点，与曲线C 2交于P 点，若|AB |＝3|OA |，求|OP |的值.解 (1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝sin φ－2cos φ，①y ＝cos φ＋2sin φ，②①2＋②2得(x －3)2＋y 2＝5，即x 2＋y 2－6x ＋4＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ＋4＝0，ρcos θ＋2＝0得ρ2＋16＝0，此方程无解. 所以C 1，C 2相离.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ＋4＝0，θ＝α得ρ2－6ρcos α＋4＝0， 因为直线θ＝α与曲线C 1有两个交点A ，B ，所以Δ＝36cos 2α－16>0，得cos α>23.设方程ρ2－6ρcos α＋4＝0的两根分别为ρ1，ρ2，则⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＋ρ2＝6cos α>0，③ρ1ρ2＝4，④因为|AB |＝3|OA |，所以|OB |＝4|OA |，即ρ2＝4ρ1，⑤由③④⑤解得ρ1＝1，ρ2＝4，cos α＝56，满足Δ>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos α＋2＝0，θ＝α得ρ＝－2cos α＝－125， 所以|OP |＝|ρ|＝125.6.(2022·贵阳适应性测试)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(0<r <2，α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4cos 2θ(如图所示).(1)若r ＝2，求曲线C 1的极坐标方程，并求曲线C 1与C 2交点的直角坐标；(2)已知曲线C 2既关于原点对称，又关于坐标轴对称，且曲线C 1与C 2交于不同的四点A ，B ，C ，D ，求矩形ABCD 面积的最大值.解 (1)∵r ＝2，∴x 2＋y 2＝2，又x 2＋y 2＝ρ2，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝4cos 2θ，ρ＝2，cos 2θ＝12⇒cos θ＝±32， 当cos θ＝32时，sin θ＝±12，当cos θ＝－32时，sin θ＝±12，分别代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，可得四个交点的直角坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22. (2)由(1)知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝r .由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝r ，ρ2＝4cos 2θ得cos 2θ＝r 24. ∵曲线C 2关于原点和坐标轴对称， ∴S 矩形ABCD ＝4|r cos θ||r sin θ| ＝4r 2|cos θsin θ|＝2r 2|sin 2θ| ＝2r 21－cos 22θ＝2r 21－r 416 ＝12r 216－r 4＝12r 4（16－r 4） ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫r 4＋16－r 422＝4. 当且仅当r 4＝16－r 4，即r 2＝22时等号成立. 故矩形ABCD 面积的最大值为4.。
考点规范练45 椭圆一、基础巩固1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为( )A.=1B.=1x 2169+y 2144x 2144+y 2169C.=1D.=1x 2169+y 225x 2144+y 225a=13,c=5,则b 2=a 2-c 2=144.又椭圆的焦点在x 轴上,∴椭圆方程为=1.x 2169+y 21442.已知椭圆=1的离心率为,则k 的值为( )x 29+y 24+k 45A.- B.21C.-或21D.或21192519251925a 2=9,b 2=4+k ,则c=,5-k 由,即,得k=-;ca =455-k3=451925若a 2=4+k ,b 2=9,则c=,k -5由,即,解得k=21.ca =45k -54+k =453.若曲线ax 2+by 2=1是焦点在x 轴上的椭圆,则实数a ,b 满足( )A.a 2>b 2B. C.0<a<b D.0<b<a1a <1bax 2+by 2=1,得=1,因为焦点在x 轴上,所以>0,所以0<a<b.x 21a+y 21b1a >1b 4.(2018河南中原名校质量考评)已知点P (x 1,y 1)是椭圆=1上的一点,F 1,F 2是焦点,若∠F 1PF 2取x 225+y 216最大值时,则△PF 1F 2的面积是( )A. B.12C.16(2+)D.16(2-)163333椭圆方程为=1,x 225+y 216∴a=5,b=4,c==3,25-16因此椭圆的焦点坐标为F 1(-3,0),F 2(3,0).根据椭圆的性质可知,当点P 与短轴端点重合时,∠F 1PF 2取最大值,则此时△PF 1F 2的面积S=2×12×3×4=12,故选B .5.已知椭圆C :=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-x 2a 2+y 2b 2ay+2ab=0相切,则C 的离心率为( )A. B. C. D.63332313A 1A 2为直径的圆的方程是x 2+y 2=a 2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x 2+y 2=a 2相切,所以圆心到该直线的距离d==a ,2ab b 2+a 2整理,得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),所以,从而e=.故选A .c 2a 2=23ca =636.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率14为( )A. B. C. D.13122334(0,b ),一个焦点坐标为(c ,0),则直线l 的方程为=1,即bx+cy-bc=0,xc +yb 短轴长为2b ,由题意得×2b ,与b 2+c 2=a 2联立得a=2c ,故e=.bcb 2+c2=14127.如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B ,C 两点,x 2a2+y 2b2b2且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .B ,C ,F (c ,0),(-32a ,b2)(32a ,b2)所以.BF =(c +32a ,-b2),CF =(c -32a ,-b2)因为∠BFC=90°,所以=0.BF ·CF所以c 2-=0.(32a )2+(b 2)2又a 2-b 2=c 2,所以3c 2=2a 2,即,所以e=.c 2a2=23638.已知F 1,F 2分别为椭圆+y 2=1的左、右焦点,过F 1的直线l 与椭圆交于不同的两点A ,B ,连接AF 2x 22和BF 2.(1)求△ABF 2的周长;(2)若AF 2⊥BF 2,求△ABF 2的面积.∵F 1,F 2分别为椭圆+y 2=1的左、右焦点,过F 1的直线l 与椭圆交于不同的两点A ,B ,连接AF 2x 22和BF 2.∴△ABF 2的周长为|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a=4.2(2)设直线l 的方程为x=my-1,由得(m 2+2)y 2-2my-1=0.{x =my -1,x 2+2y 2-2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=,y 1y 2=-.2mm 2+21m 2+2∵AF 2⊥BF 2,∴=0,F 2A ·F 2B ∴=(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2F 2A ·F 2B =(my 1-2)(my 2-2)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2-2m (y 1+y 2)+4=-2m ·+4==0.-(m 2+1)m 2+22mm 2+2-m 2+7m 2+2∴m 2=7.∴△ABF 2的面积S=·|F 1F 2|·.12(y 1+y 2)2-4y 1y 2=899.(2018北京,文20)已知椭圆M :=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2,斜率为k 的直线l 与椭x 2a2+y 2b2632圆M 有两个不同的交点A ,B.(1)求椭圆M 的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P (-2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ,若C ,D 和点Q 共线,求k.(-74,14)由题意得解得a=,b=1.{a 2=b 2+c 2,c a =63,2c =22,3所以椭圆M 的方程为+y 2=1.x 23(2)设直线l 的方程为y=x+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由得4x 2+6mx+3m 2-3=0,{y =x +m ,x23+y 2=1,所以x 1+x 2=-,x 1x 2=.3m 23m 2-34所以|AB|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2=2(x 2-x 1)2=2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=.12-3m 22当m=0,即直线l 过原点时,|AB|最大,最大值为.6(3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意得+3=3,+3=3.x 21y 21x 22y 22直线PA 的方程为y=(x+2).y 1x 1+2由{y =y 1x 1+2(x +2),x 2+3y 2=3,得[(x 1+2)2+3]x 2+12x+12-3(x 1+2)2=0.y 21y 21y 21设C (x C ,y C ),所以x C +x 1=.-12y 21(x 1+2)2+3y 21=4x 21-124x 1+7所以x C =-x 1=.4x 21-124x 1+7-12-7x 14x 1+7所以y C =(x C +2)=.y 1x 1+2y 14x 1+7设D (x D ,y D ),同理得x D =,y D =.-12-7x 24x 2+7y 24x 2+7记直线CQ ,DQ 的斜率分别为k CQ ,k DQ ,则k CQ -k DQ =y14x 1+7-14-12-7x14x 1+7+74‒y24x 2+7-14-12-7x 24x 2+7+74=4(y 1-y 2-x 1+x 2).因为C ,D ,Q 三点共线,所以k CQ -k DQ =0.故y 1-y 2=x 1-x 2.所以直线l 的斜率k==1.y 1-y 2x1-x 2二、能力提升10.已知F 1,F 2是椭圆=1(a>b>0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2,则该椭x 2a 2+y 2b 2圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.[55,1)[22,1)(0,55](0,22]F 1,F 2是椭圆=1(a>b>0)的左、右两个焦点,x 2a 2+y 2b 2∴离心率0<e<1,F 1(-c ,0),F 2(c ,0),c 2=a 2-b 2.设点P (x ,y ),由PF 1⊥PF 2,得(x-c ,y )·(x+c ,y )=0,化简得x 2+y 2=c 2,联立方程组{x 2+y 2=c 2,x2a 2+y 2b 2=1,整理,得x 2=(2c 2-a 2)·≥0,a 2c2解得e ≥,又0<e<1,∴≤e<1.故选B .222211.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m 的x 2a 2+y 2b 2x 2m 2‒y 2n 2等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.32221214因为椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),所以c 2=a 2-x 2a2+y 2b2x 2m2‒y 2n2b 2=m 2+n 2.因为c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,所以c 2=am ,2n 2=2m 2+c 2,所以m 2=c 4a 2,n 2=,所以=c 2,化为,所以e=.c 4a 2+c 222c 4a 2+c 22c 2a 2=14c a =1212.已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点F (c ,0)关于直线y=x 的对称点Q 在椭圆上,则椭圆的离心率x 2a2+y 2b2bc 是 .Q (x 0,y 0),则{y 0x 0-c=-cb ,b c ·(x 0+c 2)=y 02,解得{x 0=c (c 2-b 2)a 2,y 0=2bc 2a 2.因为点Q 在椭圆上,所以=1,c 2(c 2-b 2)2a 4·a 2+4b 2c 4a 4·b 2化简得a 4c 2+4c 6-a 6=0,即4e 6+e 2-1=0.即4e 6-2e 4+2e 4+e 2-1=0,即(2e 2-1)(2e 4+e 2+1)=0.所以e=.2213.已知椭圆C :=1过A (2,0),B (0,1)两点.x 2a 2+y 2b 2(1)求椭圆C 的方程及离心率;(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N.求证:四边形ABNM 的面积为定值.,得a=2,b=1,所以椭圆C 的方程为+y 2=1.x 24又c=,所以离心率e=.a 2-b 2=3c a =32P (x 0,y 0)(x 0<0,y 0<0),则+4=4.x 20y 20又A (2,0),B (0,1),所以直线PA 的方程为y=(x-2).y 0x-2令x=0,得y M =-,从而|BM|=1-y M =1+.2y 0x-22y 0x-2直线PB 的方程为y=x+1.y 0-1x 0令y=0,得x N =-,从而|AN|=2-x N =2+.x 0y-1x 0y-1所以四边形ABNM 的面积S=|AN|·|BM|=1212(2+x 0y-1)(1+2y 0x 0-2)=x 20+4y 20+4x 0y 0-4x 0-8y 0+42(x 0y 0-x 0-2y 0+2)==2.2x 0y 0-2x 0-4y 0+4x 0y 0-x 0-2y 0+2从而四边形ABNM 的面积为定值.14.设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :+y 2=1上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足x 22NP =2.NM (1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线x=-3上,且=1.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.OP ·PQP (x ,y ),M (x 0,y 0),则N (x 0,0),=(x-x 0,y ),=(0,y 0).NP NM由x 0=x ,y 0=y.NP =22因为M (x 0,y 0)在C 上,所以=1.x 22+y 22因此点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2.F (-1,0).设Q (-3,t ),P (m ,n ),则=(-3,t ),=(-1-m ,-n ),=3+3m-tn ,=(m ,n ),=(-3-m ,t-n ).OQ PF OQ ·PF OP PQ由=1得-3m-m 2+tn-n 2=1.OP ·PQ 又由(1)知m 2+n 2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.OQ ·PF OQ ⊥PF 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.三、高考预测15.椭圆E :=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2作垂直于x 轴的直线l 与椭圆E 在第一x 2a2+y 2b 2象限交于点P ,若|PF 1|=5,且3a=b 2.(1)求椭圆E 的方程;(2)A ,B 是椭圆C 上位于直线l 两侧的两点.若直线AB 过点(1,-1),且∠APF 2=∠BPF 2,求直线AB 的方程.由题意可得|PF 2|==3,b 2a 因为|PF 1|=5,由椭圆的定义得a=4,所以b 2=12,故椭圆E 方程为=1.x 216+y 212(2)易知点P 的坐标为(2,3).因为∠APF 2=∠BPF 2,所以直线PA ,PB 的斜率之和为0.设直线PA 的斜率为k ,则直线PB 的斜率为-k ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则直线PA 的方程为y-3=k (x-2),由{y -3=k (x -2),x 216+y 212=1可得(3+4k 2)x 2+8k (3-2k )x+4(3-2k )2-48=0,所以x 1+2=,8k (2k -3)3+4k 2同理直线PB 的方程为y-3=-k (x-2),可得x 2+2=,-8k (-2k -3)3+4k 2=8k (2k +3)3+4k 2所以x 1+x 2=,x 1-x 2=,16k 2-123+4k 2-48k 3+4k 2k AB =y 1-y 2x 1-x 2=k (x 1-2)+3+k (x 2-2)-3x 1-x 2=,k (x 1+x 2)-4kx 1-x 2=12所以满足条件的直线AB 的方程为y+1=(x-1),即为x-2y-3=0.12。
第1节 坐标系与参数方程第一课时 坐标系考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).3.极坐标与直角坐标的互化4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ＜2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos__θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线①θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R ) ②θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a (0＜θ＜π)1.极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.2.(易错题)在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝ 3 C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3答案 A解析 先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1， 再化为极坐标为ρsin θ＝1.3.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 答案 A解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.4.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C.(1，0)D.(1，π)答案 B解析 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ， 即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.5.(易错题)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1.6.(2018·北京卷)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________. 答案 1＋ 2解析 直线的方程为x ＋y －a ＝0，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆心(1，0)，半径r ＝1， 由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1－a |2＝1，又a >0，所以a ＝1＋ 2.考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换1.曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为________. 答案 x ′24＋y ′2＝1解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入曲线C 的方程得C ′：x ′24＋y ′2＝1.2.曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为________. 答案 4x 2＋9y 2＝1解析 根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则(2x )2＋(3y )2＝1，即4x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1.3.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过变换后所得的点A ′的坐标为________. 答案 (1，－1)解析 设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1， 所以点A ′的坐标为(1，－1).4.双曲线C ：x 2－y 264＝1经过伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y后所得曲线C ′的焦点坐标为________.答案 (－5，0)，(5，0)解析 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎨⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1， 化简得x ′29－y ′216＝1，即为曲线C ′的方程，知C ′仍是双曲线，其焦点坐标分别为(－5，0)，(5，0).感悟提升 1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程.2.解答该类问题应明确两点：一是明确平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解.考点二 极坐标与直角坐标的互化例1 (1)极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0转化成直角坐标方程为( ) A.x 2＋y 2＝0或y ＝1 B.x ＝1C.x 2＋y 2＝0或x ＝1D.y ＝1(2)点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z ) 答案 (1)C (2)C解析 (1)ρ2cos θ－ρ＝0⇒ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝1，即x ＝1.(2)∵ρ＝（－1）2＋（3）2＝2，tan θ＝3－1＝－ 3.又点M 在第二象限，∴θ＝2π3， ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.感悟提升 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.训练1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程. 解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得，ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233. 所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ). 考点三 求曲线的极坐标方程例2 (2022·西安五校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，如图，将C 1分别绕原点O 逆时针旋转π2，π，3π2得到曲线C 2，C 3，C 4，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出曲线C 1，C 2，C 3，C 4的极坐标方程；(2)直线l ：θ＝π3(ρ∈R )交曲线C 1，C 3分别于A ，C 两点，直线l ′：θ＝2π3(ρ∈R )交曲线C 2，C 4分别于B ，D 两点，求四边形ABCD 的面积.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1，得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，设C 1上的点(ρ0，θ0)旋转π2得到曲线C 2上的点(ρ，θ)，则ρ0＝ρ，θ0＝θ－π2，代入C 1的方程得ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ－π2≤π2，所以C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤θ≤π，同理，C 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π≤θ≤3π2，C 4的极坐标方程为ρ＝－2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2≤θ≤2π.(2)结合图形的对称性可知S 四边形ABCD ＝4S △AOB ， 将θ＝π3代入C 1得|OA |＝ρA ＝1，将θ＝2π3代入C 2得|OB |＝ρB ＝3，所以S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝4×12·|OA |·|OB |·sin π3＝3. 感悟提升 求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.训练2 在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P . (1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 解 (1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2. 设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.考点四 极坐标方程的应用例3 已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 得到曲线C ′，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C ′的极坐标方程；(2)若A ，B 是曲线C ′上的两个动点，且OA ⊥OB ，求|OA |2＋|OB |2的最小值. 解 (1)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，转换为普通方程为x 2＋y 2＝4，曲线C经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝12y得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，极坐标方程为ρ＝21＋3sin 2θ.(2)设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，所以|OA |2＋|OB |2＝ρ21＋ρ22＝41＋3sin 2θ＋41＋3cos 2θ ＝8＋12（sin 2θ＋cos 2θ）（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ）＝20（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ） ＝201＋3（sin 2θ＋cos 2θ）＋94sin 22θ ＝204＋94sin 22θ≥165. 当sin 2θ＝±1时，|OA |2＋|OB |2取得最小值165.感悟提升 1.若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.2.在极坐标系中，如果P 1(ρ1，θ1)，P 2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式 |P 1P 2|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.两种特殊情况：(1)当θ1＝θ2＋2k π，k ∈Z 时，|P 1P 2|＝|ρ1－ρ2|； (2)当θ1＝θ2＋π＋2k π，k ∈Z ，|P 1P 2|＝|ρ1＋ρ2|.3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.训练3 (2021·昆明诊断)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝9＋3t ，y ＝t (t为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝161＋3sin 2θ.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离. 解 (1)由ρ2＝161＋3sin 2θ， 得ρ2＋3ρ2sin 2θ＝16，则曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2＝16， 即x 216＋y 24＝1.直线l 的直角坐标方程为x －3y －9＝0.(2)可知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设P (4cos α，2sin α)，α∈[0，2π)，则M (2cos α，sin α)到直线l ：x －3y －9＝0的距离为d ＝|2cos α－3sin α－9|2＝|7sin （θ－α）－9|2≤9＋72，所以线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离为9＋72.1.将直角坐标方程与极坐标方程互化： (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)θ＝π3(ρ∈R )；(4)ρcos 2 θ2＝1； (5)ρ2cos 2θ＝4； (6)ρ＝12－cos θ.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝yx ＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)； 当x ＝0时，y ＝0.显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为 y ＝3x .(4)因为ρcos 2θ2＝1，所以ρ·1＋cos θ2＝1，而ρ＋ρcos θ＝2，所以x 2＋y 2＋x ＝2.化简得y 2＝－4(x －1).(5)因为ρ2cos 2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4. (6)因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.2.在极坐标系中，已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3.(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求点B 到直线l 的距离.解 (1)设极点为O .在△OAB 中，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，由余弦定理，得 |AB |＝32＋（2）2－2×3×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝ 5.(2)因为直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3，所以直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π2，倾斜角为3π4.又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2， 所以点B 到直线l 的距离为(32－2)×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π2＝2.3.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，所以直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).4.(2022·南宁调研)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为C 1，C 2上的点，若△OAB 为等边三角形，求|AB |. 解 (1)因为圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1， 圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4，所以C 1：x 2＋y 2＝2x ，C 2：x 2＋y 2＝－4x ， 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ， 所以C 1：ρ＝2cos θ，C 2：ρ＝－4cos θ.(2)因为C 1，C 2都关于x 轴对称，△OAB 为等边三角形， 所以不妨设A (ρA ，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρB ，θ＋π3，0＜θ＜π2.依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.从而2cos θ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，整理得，2cos θ＝3sin θ，所以tan θ＝233，又因为0＜θ＜π2，所以cos θ＝217，|AB |＝|OA |＝ρA ＝2217.5.(2021·成都诊断)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋3y －6＝0.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)若点P (x ，y )在直线l 上且y >0，射线OP 与曲线C 相交于异于点O 的点Q ，求|OP ||OQ |的最小值.解 (1)由极坐标与直角坐标的互化公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 由题意得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－6＝0，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝3.(2)设点P 的极坐标为(ρ1，θ)，点Q 的极坐标为(ρ2，θ)，其中0<θ<π2. 由(1)知|OP |＝ρ1＝6cos θ＋3sin θ，|OQ |＝ρ2＝2cos θ. ∴|OP ||OQ |＝ρ1ρ2＝62cos 2θ＋23sin θcos θ＝61＋cos 2θ＋3sin 2θ＝61＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6.∵0<θ<π2，∴π6<2θ＋π6<7π6，∴－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6≤1. ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝1，即θ＝π6时，|OP ||OQ |取得最小值2.6.已知曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，A 是曲线C 1上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90°得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点，定点M (－4，0)，求△MPQ的面积.解 (1)曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9， 即x 2＋y 2－6y ＝0. 从而ρ2＝6ρsin θ.所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6sin θ. 设B (ρ，θ)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－6cos θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝－6cos θ. (2)M 到射线θ＝5π6(ρ＞0)的距离为d ＝4sin 5π6＝2，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρP ，5π6，其中，ρP ＝6sin 5π6＝3，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 2的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρQ ，5π6，其中，ρQ ＝－6cos 5π6＝33，则|PQ |＝|ρP －ρQ |＝33－3， 则S △MPQ ＝12|PQ |d ＝33－3.。
考点规范练57 不等式选讲一、基础巩固1.已知函数f (x )=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f (x )≥3;(2)若∃x ∈R ,使得f (x )<2成立,求实数a 的取值范围.若a=-1,f (x )≥3,即为|x-1|+|x+1|≥3,当x ≤-1时,1-x-x-1≥3,即有x ≤-;32当-1<x<1时,1-x+x+1=2≥3不成立;当x ≥1时,x-1+x+1=2x ≥3,解得x ≥.32综上可得,f (x )≥3的解集为;(-∞,-32]∪[32,+∞)(2)∃x ∈R ,使得f (x )<2成立,即有2>f (x )min ,由函数f (x )=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|,当(x-1)(x-a )≤0时,取得最小值|a-1|,则|a-1|<2,即-2<a-1<2,解得-1<a<3.则实数a 的取值范围为(-1,3).2.(2018全国Ⅰ,文23)已知f (x )=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立,求a 的取值范围.当a=1时,f (x )=|x+1|-|x-1|,即f (x )={-2,x ≤-1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为.{x |x >12}(2)当x ∈(0,1)时,|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,则|ax-1|<1的解集为,{x | 0<x <2a }所以≥1,故0<a ≤2.2a综上,a 的取值范围为(0,2].3.已知f (x )=+ 3|x-a|.|3x +1a |(1)若a=1,求f (x )≥8的解集;(2)对任意a ∈(0,+∞),任意x ∈R ,f (x )≥m 恒成立,求实数m 的最大值.当a=1时,由f (x )≥8得|3x+1|+3|x-1|≥8,①当x ≤-时,-(3x+1)-3(x-1)≥8,x ≤-1,13∴x ≤-1;②当-<x<1时,3x+1-3(x-1)≥8,无解;13③当x ≥1时,3x+1+3(x-1)≥8,∴x ≥.53综上所述,f (x )≥8的解集为(-∞,-1]∪.[53,+∞)(2)f (x )=+3|x-a||3x +1a |≥|(3x +1a )-(3x -3a )|=≥2≥m.|1a+3a |3当且仅当=3a ,即a=时,等号成立,1a33故m 的最大值为2.34.(2018湖南、江西十四校联考)已知函数f (x )=|x-1|-|x+2|.(1)若不等式f (x )≥|m-1|有解,求实数m 的最大值M ;(2)在(1)的条件下,若正实数a ,b 满足3a 2+b 2=M ,求证:3a+b ≤4.f (x )≥|m-1|有解,只需f (x )的最大值f (x )max ≥|m-1|即可.因为|x-1|-|x+2|≤|(x-1)-(x+2)|=3,所以|m-1|≤3,解得-2≤m ≤4,所以实数m 的最大值M=4.(1)知正实数a ,b 满足3a 2+b 2=4.由柯西不等式可知(3a 2+b 2)(3+1)≥(3a+b )2,所以(3a+b )2≤16.因为a ,b 均为正实数,所以3a+b ≤4(当且仅当a=b=1时取“=”).5.已知函数f (x )=m-|x-2|,m ∈R ,且f (x+2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m 的值;(2)若a ,b ,c 都大于0,且=m ,求证:a+2b+3c ≥9.1a +12b +13cf (x+2)=m-|x|,∴f (x+2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m 有解,得m ≥0,且其解集为{x|-m ≤x ≤m }.又f (x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.(1)知=1,1a +12b +13c且a ,b ,c 都大于0,由柯西不等式知:a+2b+3c=(a+2b+3c )(1a +12b +13c)≥=9,(a ×1a +2b ×12b +3c ×13c )2当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c ≥9.二、能力提升6.(2018安徽蚌埠模拟)已知函数f (x )=|x+1|-2|x|.(1)求不等式f (x )≤-6的解集;(2)若f (x )的图象与直线y=a 围成的图形的面积不小于14,求实数a 的取值范围.f (x )=|x+1|-2|x|={x -1,x <-1,3x +1,-1≤x ≤0,1-x ,x >0.则不等式f (x )≤-6等价于{x <-1,x -1≤-6或{-1≤x ≤0,3x +1≤-6或{x >0,1-x ≤-6,解得x ≤-5或x ≥7.故不等式f (x )≤-6的解集为{x|x ≤-5或x ≥7}.(2)作出函数f (x )的图象,如图.若f (x )的图象与直线y=a 围成的图形是三角形,则当a=-2时,△ABC 的面积为×4×3=6.12∵f (x )的图象与直线y=a 围成的图形的面积不小于14,∴该图形一定是四边形,即a<-2.∵△ABC 的面积是6,∴梯形ABED 的面积不小于8.∵AB=4,D (1+a ,a ),E (1-a ,a ),DE=-2a ,∴×(4-2a )×(-2-a )≥14-6=8,即a 2≥12.12又a<-2,∴a ≤-2.3故实数a 的取值范围是(-∞,-2].37.已知函数f (x )=|x+2|-2|x-1|.(1)解不等式f (x )≥-2;(2)对任意x ∈[a ,+∞),都有f (x )≤x-a 成立,求实数a 的取值范围.f (x )=|x+2|-2|x-1|≥-2.当x ≤-2时,x-4≥-2,即x ≥2,故x ∈⌀;当-2<x<1时,3x ≥-2,即x ≥-,故-≤x<1;2323当x ≥1时,-x+4≥-2,即x ≤6,故1≤x ≤6;综上,不等式f (x )≥-2的解集为.{x |-23≤x ≤6}(2)f (x )=函数f (x )的图象如图所示.{x -4,x ≤-2,3x ,-2<x <1,-x +4,x ≥1,令y=x-a ,当直线y=x-a 过点(1,3)时,-a=2.故当-a ≥2,即a ≤-2时,即往上平移直线y=x-a ,都有f (x )≤x-a.往下平移直线y=x-a 时,联立{y =-x +4,y =x -a ,解得x=2+,当a ≥2+,a 2a 2即a ≥4时,对任意x ∈[a ,+∞),-x+4≤x-a.综上可知,a 的取值范围为a ≤-2或a ≥4.三、高考预测8.已知函数f (x )=|x+1|-a|x-1|.(1)当a=-2时,解不等式f (x )>5;(2)若f (x )≤a|x+3|,求a 的最小值.当a=-2时,f (x )={1-3x ,x <-1,3-x ,-1≤x ≤1,3x -1,x >1.由f (x )的单调性及f =f (2)=5,(-43)得f (x )>5的解集为.{x |x <-43,或x >2}(2)由f (x )≤a|x+3|得a ≥.|x +1||x -1|+|x +3|由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得,|x +1||x -1|+|x +3|≤12即a ≥(当且仅当x ≥1或x ≤-3时等号成立).12故a 的最小值为.12。
考点规范练3 命题及其关系、充要条件一、基础巩固1.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=33的否定是a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<3.2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”,故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数,则它是负数”.3.(2018重庆期末)命题p:“若x>1,则x2>1”,则命题p以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4p:“若x>1,则x2>1”是真命题,则其逆否命题为真命题;其逆命题:“若x2>1,则x>1”是假命题,则其否命题也是假命题.综上可得,四个命题中真命题的个数为2.4.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又因为a⊆α,b⊆β,所以P∈α,P∈β.故α,β相交.反之,若α,β相交,设交线为l,当a,b都与直线l不相交时,有a∥b.显然a,b可能相交,也可能异面、平行.综上,“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.5.下列命题中为真命题的是( )A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题A,逆命题是:若x>|y|,则x>y.因为x>|y|≥y,必有x>y,所以逆命题是真命题;对于B,否命题是:若x≤1,则x2≤1.因为x=-5,有x2=25>1,所以否命题是假命题;对于C,否命题是:若x≠1,则x2+x-2≠0.因为x=-2,有x2+x-2=0,所以否命题是假命题;对于D,若x2>0,则x≠0,不一定有x>1,因此逆否命题是假命题.6.若x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件|x-2|<1,解得1<x<3.因为“1<x<2”能推出“1<x<3”,“1<x<3”推不出“1<x<2”,所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分不必要条件.7.“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A.m>B.0<m<1C.m>0D.m>1x2-x+m>0在R上恒成立,则Δ=1-4m<0,解得m>.所以“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>0.8.下列结论错误的是( )A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0”B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分不必要条件C.命题“若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2+n2=0,则m=0,且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”x的方程x2+x-m=0有实根,则Δ=1+4m≥0,即m≥-,不能推出m>0.所以“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题不是真命题,故选C.9.若a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3a>3b>3,∴a>b>1.∴log3a>log3b>0.∴,即log a 3<log b 3.1log 3a <1log 3b∴“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分条件.当0<a<1,b>1时,满足log a 3<log b 3.而由3a >3b >3,得a>b>1,∴由log a 3<log b 3不能推出3a >3b >3,∴“3a >3b >3”不是“log a 3<log b 3”的必要条件.∴“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件,故选B .10.若实数a ,b 满足a>0,b>0,则“a>b ”是“a+ln a>b+ln b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件f (x )=x+ln x ,显然f (x )在区间(0,+∞)内单调递增,∵a>b ,∴f (a )>f (b ),即a+ln a>b+ln b ,故充分性成立,∵a+ln a>b+ln b ,∴f (a )>f (b ),∴a>b ,故必要性成立,故“a>b ”是“a+ln a>b+ln b ”的充要条件,故选C .11.(2018江西抚州七校联考)A,B,C 三名学生参加了一次考试,A,B 的得分均为70分,C 的得分为65分.已知命题p :若及格分低于70分,则A,B,C 都没有及格.在下列四个命题中,p 的逆否命题是( )A.若及格分不低于70分,则A,B,C 都及格B.若A,B,C 都及格,则及格分不低于70分C.若A,B,C 至少有一人及格,则及格分不低于70分D.若A,B,C 至少有一人及格,则及格分高于70分,p 的逆否命题是:若A,B,C 至少有一人及格,则及格分不低于70分.故选C .12.有下列几个命题:①“若a>b ,则a 2>b 2”的否命题;②“若x+y=0,则x ,y 互为相反数”的逆命题;③“若x 2<4,则-2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是 .原命题的否命题为“若a ≤b ,则a 2≤b 2”,是假命题;②原命题的逆命题为“若x ,y 互为相反数,则x+y=0”,是真命题;③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤-2,则x 2≥4”,是真命题.二、能力提升13.已知命题“若函数f (x )=e x -mx 在区间(0,+∞)内是增函数,则m ≤1”,则下列结论正确的是( )A.否命题是“若函数f (x )=e x -mx 在区间(0,+∞)内是减函数,则m>1”,是真命题B.逆命题是“若m ≤1,则函数f (x )=e x -mx 在区间(0,+∞)内是增函数”,是假命题C.逆否命题是“若m>1,则函数f (x )=e x -mx 在区间(0,+∞)内是减函数”,是真命题D.逆否命题是“若m>1,则函数f (x )=e x -mx 在区间(0,+∞)内不是增函数”,是真命题f (x )=e x -mx 在区间(0,+∞)内是增函数,可知f'(x )=e x -m ≥0在区间(0,+∞)内恒成立,故m ≤1.因此命题“若函数f (x )=e x -mx 在区间(0,+∞)内是增函数,则m ≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f (x )=e x -mx 在区间(0,+∞)内不是增函数”是真命题.14.已知条件p:k=;条件q :直线y=kx+2与圆x 2+y 2=1相切,则p是q 的( )3A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件y=kx+2与圆x 2+y 2=1相切,可得d==1,解得k=±,所以p 是q 的充分不必要条2k 2+13件,则p 是q 的必要不充分条件.15.设x ∈R ,则“2-x ≥0”是“|x-1|≤1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件x=-3满足2-x ≥0,但不满足|x-1|≤1,∴“2-x ≥0”不是“|x-1|≤1”的充分条件.若|x-1|≤1,则-1≤x-1≤1,即0≤x ≤2,可得2-x ≥0,即“2-x ≥0”是“|x-1|≤1”的必要条件.故“2-x ≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分条件.故选B .16.已知p :实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a ≠0,q :实数x 满足若p 是q 的必要不充分{x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0,条件,则实数a 的取值范围是 .p 是q 的必要不充分条件,∴q ⇒p ,且p q.设A={x|p (x )},B={x|q (x )},则B ⫋A.又B={x|2<x ≤3},当a>0时,A={x|a<x<3a };当a<0时,A={x|3a<x<a }.故当a>0时,有解得1<a ≤2;{a ≤2,3<3a ,当a<0时,显然A ∩B=⌀,不合题意.综上所述,实数a 的取值范围是(1,2].17.已知p :≤x ≤1,q :(x-a )(x-a-1)>0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 . a |0≤a ≤12}q :(x-a )(x-a-1)≤0,解得a ≤x ≤a+1.由p 是q 的充分不必要条件,知⫋[a ,a+1],[12,1]则且等号不能同时成立,解得0≤a ≤.{a ≤12,a +1≥1,12三、高考预测18.若a ,b ∈R ,则“a>b ”是“a (e a +e -a )>b (e b +e -b )”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件f (x )=e x +e -x ,则f'(x )=e x -e -x =.e 2x -1e x 当x>0时,e x >1,∴(e x )2-1>0.∴f'(x )>0,∴当x>0时,f (x )是增函数;∵a>b>0,∴f (a )>f (b ).∴e a +e -a >e b +e -b .∴a (e a +e -a )>b (e b +e -b ).当x<0时,0<e x <1,∴(e x )2-1<0.∴f'(x )<0,∴当x<0时,f (x )是减函数;∵b<a<0,∴f (a )<f (b ).∴e a +e -a <e b +e -b .∴a (e a +e -a )>b (e b +e -b ).当a>0>b 时,a (e a +e -a )>b (e b +e -b )显然成立,综上所述,当a>b 时,a (e a +e -a )>b (e b +e -b )恒成立,故充分性成立;反之也成立,故必要性成立;故“a>b ”是“a (e a +e -a )>b (e b +e -b )”的充要条件,故选C .。
