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1.3.1 正弦函数图象及其性质●指导思想与理论依据本教学设计力图以《高中数学课程标准》为依据，以“师生互动教学”为指导，以教师主导、学生主体为理念，以信息技术融入学科结合动手操作教学为手段，以课堂为依托来实现教学目标．《高中数学课程标准》指导下的新教材将突破以知识块为主线，而以基本的数学思想方法为主线来选择和安排教学内容，强调数的意识、空间观念、优化思想、统计思想、方程与函数思想、估计意识、推理意识和应用意识，强调从运算意义出发进行思考和教学，强调密切联系学生的生活．目的是让学生通过基础知识和基本技能的学习，学会从数学的角度提出问题、理解问题，能综合应用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．学生学习，尤其是新授课教与学应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程．认真听讲、积极思考、动手实践，自主探索、合作交流都是学习数学的重要方式．因此，本节课采用小组合作是学生喜闻乐见的形式，让学生从小组合作探究开始进入学习，可以让学生在合作的过程体验学习的快乐，旨在为学生提供对新知识的认识角度，结合生活实际解决教学难点，从而启发学生的创新性思维．●教学背景分析内容分析本节内容是高中数学人教B版教材《必修四》第一章第三节第一课时内容．三角函数是高中数学范围内学生接触的最后一类基本初等函数，而正弦函数是其中最具代表性的函数．学生通过必修一的学习，已经初步掌握了研究函数的一种基本方法，即通过图象研究函数的性质，通过简单的函数性质修正函数的图象．学情分析在本节课前，学生已经接触了弧度制、任意角三角函数定义、同角三角函数基本关系式和诱导公式等知识，并通过三角函数线初次体会了三角函数“形”的概念，那么，建立正弦函数与其自变量之间的映射关系并抽象为函数图象是本节课的难点．教学方法（1）通过正弦线的变化趋势，让学生建立直观的函数变化趋势，初步总结归纳出正弦函数性质；（2）通过描点，帮助学生建立角的弧度值到坐标轴的对应关系，以实物教具的方式，让学生动手将弧长转化为数；（3）通过描点、分析、实物帮助作图到五点法，使学生逐步深入地了解正弦函数的图象形状，养成五点作图的习惯，并通过练习落实；（4）本节课将以多媒体、实物教具辅助教学的手段，通过小组合作、归纳探究、展示评价的方式展开，培养学生的自主思考能力和动手实操能力．●教学目标与重点、难点设计教学目标1．知识目标：理解正弦函数的性质，能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象；2、过程目标：通过研究三角函数的性质和图象，进一步体会研究函数的基本方法，学会通过函数的性质作出函数草图，通过函数图象推演函数的性质的过程；3、情感目标：通过图象的学习，培养由局部到整体，具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃．教学重点：正弦函数的性质与图象；教学难点：理解弧度值与x轴上的点的对应；●教学过程与教学资源设计教学过程：一、复习回顾我们已经学习了任意角的三角函数以及三角函数线的内容，并且定义了正弦函数，y=sinx，x∈R．三角函数是我们高中范围内学习的最后一种函数．我们已经有了一些研究函数的基本方法．【提问1】根据这些经验，我们应该从哪几个方面研究正弦函数？→定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，最值，图象等．本节课我们将研究正弦函数的图象和性质．二、课堂活动【活动1】学生结合已有的经验，小组活动研究正弦函数的图象和性质．【预案1】学生类比学过的初等函数图象研究方法，作出正弦函数图象．【提问2】你是怎样作出这个图象的？为什么可以这样作图？【提问3】你作出的图象是正弦函数图象吗？为什么图象是这样的形状？有没有使图象更精确的做法？→材料：一个圆形纸片（半径为1的圆），两根软绳，一把直尺．【提问4】在什么点拐弯，另外一边是什么样的？图中有哪些关键点？这些关键点对我们作图有什么帮助？【设计意图】五点作图法，五个点分别为：3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22ππππ-．【提问5】结合图象，你能得出正弦函数的哪些性质？1号绳长2号绳长用1号绳量取弧长用2【设计意图】培养学生根据图象获取函数性质的能力．【活动2】分小组展示，每组总结得出一条正弦函数的性质，其他组补充，教师点评．【提问1】你是怎样得到这些性质呢？这些性质可以帮助我们作出正弦函数图象吗？ 【设计意图】培养学生根据性质作图的习惯．【活动1】学生分小组展示正弦函数的性质并讲明道理，并根据性质作出正弦函数的图象．其他组补充，教师点评．【提问2】要想得到正弦函数的图象，除了性质以外，我们还需要借助哪些条件？你有比较准确的作图方法吗？【活动2】两名学生演示作图方法，并解释该方法的原理．方法归纳：作图时，可以从0度开始量取单位圆上的一段弧长，即为对应的角度，再量取弧的终端到x 轴的线段数量，即为正弦值，利用线的长度分别得到一点的两个坐标即可．【提问3】图中有哪些关键点？这些关键点对我们作出正弦函数的草图有什么帮助？ 【活动3】试作出正弦函数的图象．【设计意图】明确正弦函数图象的形状后，为了简化作图方式，在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数的简图．只要这五个点描出后，图象在[0,2π]上的形状就基本确定了．三、课堂总结用1号绳量取弧长用2本节课我们作出了正弦函数的图象，并根据图象总结得到了正弦函数的重要性质．（本节课我们通过对正弦函数的定义和正弦线得到了正弦函数的性质，并根据性质作出了正弦函数的图象）．这是研究函数的基本方法．后面的学习，我们将继续深入研究正弦函数的性质和图象．学习效果评价设计1、根据课上的讨论，完成下面的表格．正弦函数的性质正弦函数还具有周期性，这通过其图象不难发现．你知道如何定义函数的“周期”吗？2、用五点法在同一坐标系内作出函数y= sin x，y=2sin x和y= sin x在[-2π，2π]上的图象；3、用五点法在同一坐标系内作出函数y= sin x，y=2sin x和y= sin x在[-2π，2π]上的图象；4、用五点法在同一坐标系内作出函数y= sin x，y=|sin x|和y=sin|x|在[-2π，2π]上的图象；xsin x|sin x|sin|x|【设计意图】本节课的重点是正弦函数的图象和性质，但是考虑到学生经过探究得到正弦函数图象之后可以很容易根据图象得到正弦函数的性质，因此在设置课堂练习和课后习题时，一方面落实“五点作图法”，并辅以简单的图象变换，另一方面引导学生总结归纳正弦函数的性质．教学设计特色说明与教学反思本节课围绕正弦函数的图象和性质展开．根据学生的思维过程，可以通过几何法或描点法先作出函数图象再归纳总结性质，也可以根据三角函数线的变化规律先探究函数性质，再作出图象．不管是从哪个角度，都希望向学生渗透函数性质和图象的依存关系，这也是数形结合的重要意义所在．根据“形”，即三角函数图象得到三角函数的性质后，可以进一步指导学生根据性质作出正弦函数图象．如利用周期性，将正弦函数图象的研究范围缩小到[-π，π]，利用奇偶性，将范围进一步缩小到[0，π]，利用对称性，将范围进一步缩小到[0，2]，这样我们可以只研究锐角的三角函数值，这大大降低了研究正弦函数的难度．在教学环节中，教师的个别指导和小组展示评价是本节课是否能够达到教学目标的关键，也是甄别学生是否能从小组合作和自主探究中体会新知识的研究方法，尤其是和生活衔接非常紧密的三角函数的研究方法，而后将本部分内容自然地镶嵌到一般函数的研究方法中，从而启发学生的学习和探究过程．板书设计：三、正弦函数性质（部分）一、正弦函数图象学生展示区二、五点作图法标题：正弦函数图象及其性质。
第1课时 正弦函数的图象与性质学 习 目 标核 心 素 养1．能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象．(难点)2．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值．(重点)1.通过正弦函数图象和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养．2．借助正弦函数图象和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养.1．正弦函数的图象(1)利用正弦线可以作出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，要想得到y ＝sin x (x ∈R )的图象，只需将y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象沿x 轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图象叫做正弦曲线．(2)“五点法”作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)， ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1和(2π，0)．2．正弦函数的性质 (1)函数的周期性①周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．(2)正弦函数的性质函数 y ＝sin x定义域 (－∞，＋∞) 值域 [－1,1] 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期：2π单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z )上递减 最值x ＝2k π＋π2，(k ∈Z )时，y 最大值＝1；x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y 最小值＝－1思考：观察正弦函数的图象是否具有对称性，它的对称性是怎样的？[提示] 由图(图略)可以看出，正弦函数的图象关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图象，点(π，0)，点(2π，0)…，点(k π，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图象有无数个对称中心，且为(k π，0)(k ∈Z )，即图象与x 轴的交点，正弦函数的图象还具有轴对称性，对称轴是x ＝k π＋π2，(k ∈Z )，是过图象的最高或最低点，且与x轴垂直的直线．1．函数y ＝x sin x 是( ) A ．奇函数，不是偶函数 B ．偶函数，不是奇函数 C ．奇函数，也是偶函数D ．非奇非偶函数B [f (－x )＝－x sin(－x )＝－x (－sin x )＝x sin x ＝f (x )，∴y ＝x sin x 为偶函数，不是奇函数．]2．下列图象中，符合y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )D [把y ＝sin x ，x ∈[0,2π]上的图象关于x 轴对称，即可得到y ＝－sin x ，x ∈[0,2π]上的图象，故选D.]3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2C [由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1，∴m ＝－1.]正弦函数的图象【例1】 用五点法作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间． ①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点，求a 的取值X 围； (3)求函数y ＝1－2sin x 的最大值，最小值及相应的自变量的值． [解] 按五个关键点列表x－π －π20 π2 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x131－11描点连线得：(1)由图象可知图象在y ＝1上方部分y >1，在y ＝1下方部分y <1，∴当x ∈(－π，0)时，y >1，当x ∈(0，π)时，y <1.(2)如图，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1，∴a 的取值X 围是{a |1<a <3或－1<a <1}．(3)由图象可知y max ＝3，此时x ＝－π2；y min ＝－1，此时x ＝π2.1．解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x 取0，π2，π，3π2，2π，然后相应求出y 值，作出图象．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．3．仔细观察图象，找出函数图象y ＝1与y ＝a 的交点及最大值，最小值点正确解答问题．1．用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0,2π]上的图象．[解] 取值列表如下：x 0 π2π 3π22πsin x 0 1 0 －1 012＋sin x 12 32 12 －12 12描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)正弦函数的单调性及应用(1)sin 194°和cos 160°； (2)sin 74和cos 53；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8和sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8.[思路探究] 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小． [解] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°. cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°， ∴sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.(2)∵cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53， 又π2<74<π<π2＋53<32π， y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，32π上是减函数，∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53， 即sin 74>cos 53.(3)∵cos 3π8＝sin π8，∴0<cos 3π8<sin 3π8<1<π2.而y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内递增，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8<sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8.1．求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性． 2．比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较．2．比较大小：(1)sin 250°与sin 260°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. [解] (1)sin 250°＝s in(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin 70°＜sin 80°，所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－23π5＝－sin 23π5＝－sin 3π5 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π5＝－sin 2π5，sin ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin π4.因为0＜π4＜2π5＜π2，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin π4＜sin 2π5，－sin π4>－sin 2π5，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4.正弦函数的值域与最值问题1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x ∈[0，π]上最小值能否为－1?[提示] 不能．因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22. 2．函数y ＝A sin x ＋b ，x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？[提示] 不是．因为A >0时最大值为A ＋b ，若A <0时最大值应为－A ＋b . 【例3】 求下列函数的值域． (1)y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3； (2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x .[思路探究] (1)用|sin α|≤1构建关于y 的不等式，从而求得y 的取值X 围． (2)用t 代替sin x ，然后写出关于t 的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y 的取值X 围．[解] (1)∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3≤5，∴1≤y ≤5，即函数y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值域为[1,5]． (2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x ， 令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1，y ＝－2t 2＋t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫t －142＋98.由二次函数y ＝－2t 2＋t ＋1的图象可知－2≤y ≤98，即函数y ＝1－2sin 2x ＋sin x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，98.1．换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．2．转化成同一函数，要注意不要一见sin x 就有－1≤sin x ≤1，要根据x 的X 围确定．3．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．[解] f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22， ∴当sin x ＝－22时取最小值为1－22.(教师用书独具)1．“几何法”和“五点法”画正弦函数图象的优缺点(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线作出弦函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为繁琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法． 2．正弦函数周期性的释疑由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.3．正弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称． (2)正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． 4．正弦函数单调性的说明(1)正弦函数在定义域R 上不是单调函数，但存在单调区间．(2)求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步． (3)确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．5．正弦函数最值的释疑(1)明确正弦函数的有界性，即|sin x |≤1.(2)对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．(3)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx ＋φ＝z ，将函数转化为y ＝A sin z 的形式求最值．1．以下对于正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π]，k ∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同 B ．关于x 轴对称C ．介于直线y ＝1和y ＝－1之间D ．与y 轴仅有一个交点B [观察y ＝sin x 图象可知A ，C ，D 项正确，且关于原点中心对称，故选B.]2．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )D [可以用特殊点来验证．当x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A ，C ；当x ＝3π2时，y ＝－sin 3π2＝1，排除B.]3．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值X围是__________．[－1,0][因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0.]4．用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0,2π]上的简图．[解] 列表：x 0π2π3π22πsin x 010－10y＝－2sin x 0－2020 描点、连线得y＝－2sin x的图象如图：。
1.3.1 正弦函数的图象与性质(四)学习目标 1.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.知识点一 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义知识点二 φ、ω、A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1 观察下面图(1)、图(2)中函数y ＝sin(x ＋π3)，y ＝sin(x －π3)的图象，比较它们与函数y ＝sin x 图象的形状和位置，你有什么发现？思考2 观察下面图(3)、图(4)中函数y ＝sin(2x ＋π3)，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的图象，比较它们与函数y ＝sin(x ＋π3)图象的形状和位置，你又有什么发现？思考3 观察下面图(5)、图(6)中函数y ＝2sin(2x ＋π3)，y ＝12sin(2x ＋π3)的图象，比较它们与函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象的形状和位置，你又有什么发现？梳理 (1)φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 图象上所有的点向____(当φ＞0时)或向______(当φ＜0时)平行移动______个单位长度而得到的.(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标______(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标______)而得到的.(3)A(A＞0)对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A＞1时)或________(当0＜A＜1时)到原来的______倍(横坐标不变)而得到的，函数y＝A sin x的值域为________，最大值为______，最小值为______.知识点三由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤知识点四“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象思考用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？梳理用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ) 的图象的步骤第一步：列表ωx＋φ0π2π3π22πx －φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φωy 0 A 0－A 0第二步：在同一坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.知识点五 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0的性质名称 性质 定义域 值域周期性 T ＝________对称性 对称中心⎝⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )对称轴____________________ 奇偶性当φ＝k π(k ∈Z )时是____函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是____函数单调性通过整体代换可求出其单调区间类型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换例1 把函数y ＝f (x )的图象上的各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式.反思与感悟 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法.(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可.跟踪训练1 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈R B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，x ∈R C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R D.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，x ∈R类型二 用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象例2 利用五点法作出函数y ＝3sin(12x －π3)在一个周期内的草图.反思与感悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3π2，2π，解出x ，从而确定这五点.(2)作给定区间上y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，若x ∈[m ，n ]，则应先求出ωx ＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x ，y 的值，描点、连线并作出函数的图象. 跟踪训练2 已知f (x )＝1＋2sin(2x －π4)，画出f (x )在x ∈[－π2，π2]上的图象.类型三 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例3 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象，求A ，ω，φ的值，并确定其函数解析式.反思与感悟 若设所求解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A ，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)由函数图象与x 轴的交点确定T ，由T ＝2π|ω|，确定ω.(3)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相φ的值的两种方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口.“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0. “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2.“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π. “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2.“第五点”为ωx ＋φ＝2π.跟踪训练3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3类型四 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的应用 例4 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象过点P (π12，0)，图象上与P 点最近的一个最高点的坐标为(π3，5).(1)求函数解析式； (2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围.反思与感悟 有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.跟踪训练4 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值.1.函数y ＝－2sin(π4－x2)的周期、振幅、初相分别是( )A.2π，－2，π4B.4π，－2，π4C.2π，2，－π4D.4π，2，－π42.下列表示函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图正确的是( )3.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于直线x ＝π4对称C.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D.关于直线x ＝π3对称4.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为____________.5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示.(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的递增区间.1.由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).注意 两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.2.利用“五点”作图法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次取0，π2，π，3π2，2π，再求出x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x 的值，后求“ωx ＋φ”的值.3.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求得周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.4.在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值答案精析问题导学知识点一A 2πω ω2πωx ＋φ φ 知识点二思考1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 图象上所有的点向左平移π3个单位长度而得到的．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 图象上所有的点向右平移π3个单位长度而得到的．思考2 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)而得到的． 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．思考3 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)而得到的． 梳理 (1)左 右 |φ| (2)缩短 不变(3)伸长 缩短 A [－A ，A ] A －A知识点三|φ| |φω|知识点四思考 用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先令t ＝ωx ＋φ，再由t 取0，π2，π，3π2，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－φω，－φω＋π2ω，－φω＋πω，－φω＋3π2ω，－φω＋2πω.知识点五R[－A，A]2πωx＝π2ω＋kπ－φω(k∈Z)奇偶题型探究例1 解y＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫12x＋π3――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y＝3sin⎝⎛⎭⎪⎫12x＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y＝3sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3――――――――――→向左平移6π个单位y＝3sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π6＋π3＝3sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π2＝3cos x.所以f(x)＝3cos x.跟踪训练1 C例2 解依次令x2－π3＝0，π2，π，3π2，2π，列出下表：x2－π3π2π3π22πx2π35π38π311π314π3y 030－30 描点，连线，如图所示．跟踪训练2 解(1)∵x∈[－π2，π2]，∴2x －π4∈[－54π，34π]． 列表如下：x －π2 －38π －π8 π8 38π π22x －π4 －54π －π －π2 0 π2 34πf (x ) 2 1 1－2 1 1＋2 2(2)描点，连线，如图所示．例3 解 (逐一定参法)由图象知，振幅A ＝3，又T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2.由点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0可知，－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.跟踪训练3 A例4 解 (1)∵图象最高点的坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)，得sin(2π3＋φ)＝1，∴2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .令k ＝0，则φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， ∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )， ∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )． ∴函数的增区间为[k π－π6，k π＋π3] (k ∈Z )．(3)∵5sin(2x －π6)≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )， ∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )． 故所求x 的取值范围是[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )． 跟踪训练4 解 (1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4－φ2， 令k π2＋π4－φ2＝π8， 得φ＝k π＋π4，k ∈Z . ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4. (2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8 (k ∈Z )．同理可得函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π8，k π＋9π8(k ∈Z )． 当2x －3π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π8(k ∈Z )时，函数取得最大值1； 当2x －3π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，函数取得最小值－1. 当堂训练1．D 2.A 3.A 4.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π45．解 (1)易知A ＝2，T ＝4×[2－(－2)]＝16， ∴ω＝2πT ＝π8，∴f (x )＝2sin(π8x ＋φ)，将点(－2,0)代入得sin(－π4＋φ)＝0，令－π4＋φ＝0，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(π8x ＋π4)．(2)由－π2＋2k π≤π8x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得16k －6≤x ≤16k ＋2，k ∈Z ，∴f (x )的递增区间为[16k －6,16k ＋2]，k ∈Z .。
